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1 Gráfico Cusum (H-K) Resumen Los gráficos de sumas acumulativas monitorean datos por variables graficando las sumas acumulativas de las desviaciones al valor obetivo. Esto lo hace, incorporando la historia pasada del proceso dentro de los puntos graficados, alcanzando mayor sensibilidad y longitud de corridas cortas para que los gráficos X y X-Barra detecten cambios pequeños en la media del proceso. STATGRAPHICS ofrece dos procedimientos para la creación de los gráficos cusum: 1. El procedimiento Gráfico Cusum (Tabular), descrito en este documento, grafica dos sumas acumulativas unilaterales con límites de control horizontales. 2. El procedimiento Gráfico Cusum (Mascara-V), grafica una sola suma acumulativa bilateral con una Mascara-V para determinar cuando el proceso esta fuera-de-control. La tabulación o algoritmo cusum descrita aquí, a menudo es preferida puesto que se asemea más a una carta control. Además, una propiedad ventaa es que puede agregarse para reducir la longitud promedio de corrida. Este procedimiento también crea una escala cusum grafica para datos individuales monitoreando la variabilidad del proceso. Eemplo StatFolio: cusumtabular.sgp Datos del Eemplo: El archivo process shift.sf3 contiene una muestra de números aleatorios descritos por Montgomery (2005). Los datos consisten de m = 30 observaciones, que serán tratadas como individuos. Una lista parcial de los datos en el archive se muestra abao: Simple X (Muestra) Las primeras 20 observaciones fueron generadas aleatoriamente de una distribución normal con μ = 10 y σ = 1. Las últimas 10 observaciones fueron generadas con una distribución normal con μ = 11 y σ = 1, representando un cambio de 1 sigma en la media del proceso. Montgomery utiliza este eemplo para ilustrar las propiedades de varios tipos de grafico de tiempo ponderado por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 1

2 Entrada de Datos Existen dos menús de selección para crear gráficos cusum tabular, uno para datos individuales y otro para datos agrupados. En el caso de datos agrupados, las observaciones originales son ingresadas, o las estadísticas de subgrupos pueden ingresarte también. Caso #1: Individuos Los datos a ser analizados consisten de una sola columna numérica de n observaciones. Se asume que los datos son tomados una sola vez sobre el tiempo. Observaciones: Columna numérica que contiene los datos a ser analizados. Etiquetas: Etiquetas opcionales para cada observación. Selección: Selección de un subconunto de los datos. Caso #2: Datos Agrupados Los datos a ser analizados consisten de una o más columnas numéricas. Se asumen que los datos fueron tomados en subgrupos, en un orden secuencial por filas por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 2

3 Observaciones: Una o más columnas numéricas. Si más de una columna es ingresada, cada fila del archivo es asumida para representar un subgrupo con tamaño de subgrupo m igual al número de columnas ingresadas. Si solamente una columna es ingresada, entonces el campo Número o Tamaño de Subgrupo será utilizado para formar los grupos. Número o Tamaño de Subgrupo: Si cada conunto de m filas representa un grupo, ingrese un solo valor para m. Por eemplo, ingresar un 5 en el eemplo anterior implica que los datos de la fila 1-5 formaran el primer grupo, fila 6-10 formaran el segundo grupo, y así sucesivamente. Si los tamaños de subgrupos no son iguales, ingrese el nombre de una columna numérica adicional o una columna de texto conteniendo identificadores por grupo. El programa puede escanear esta columna y colocar filas secuenciales con códigos identificadores dentro del mismo grupo. Etiqueta de Subgrupo: Etiquetas opcionales para cada subgrupo. Selección: Selección de un subconunto de los datos por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 3

4 Caso #3: Datos Agrupados Estadísticas por Subgrupo En este caso, las estadísticas para cada subgrupo se calcularan por separado y se ingresan en la base de datos, como se muestra en la tabla de abao: Muestra Media Rangos Tamaños Estadísticas por Subgrupo: Los nombres de las columnas que contienen las medias y rangos de los subgrupos. Número o Tamaño de Subgrupo: Si todos los subgrupos contienen el mismo número de observaciones entonces ingrese un solo valor para n. De lo contrario, ingrese el nombre de una columna numérica que contenga los tamaños de los subgrupos. Etiquetas del Subgrupo: Etiquetas opcionales para cada subgrupo por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 4

5 Selección: Selección de un subconunto de los datos. Gráfico CuSum El grafico cusum tabular grafica los datos originales o medias de subgrupos unto con las sumas acumulativas inferior y superior. Carta de Estatus CuSum para X CuSum H=5.00 K=0.50 AIM=0.00 K=-0.50 H= Observación El gráfico incluye: 1. Puntos Símbolos que despliegan las observaciones o media de subgrupos. 2. Una línea central en Líneas horizontales a una distancia corta K arriba y abao de la línea central. K es llamada holgura o valor de referencia y es especificado sobre la caa de dialogo Opciones del Análisis como un múltiplo de la sigma del proceso de acuerdo a K = kσ (1) k afecta el desempeño del gráfico y generalmente es fiado en un valor cercano de 0.5. Los puntos que caen dentro de este valor de holgura no agregan sumas acumulativas, como las discutidas anteriormente. 4. Líneas Horizontales a una distancia larga H arriba y abao de la línea central. Estas líneas definen el intervalo de decisión y también se especifican sobre la caa de dialogo de Opciones del Análisis como un múltiplo de sigma: decisión H = hσ (2) Las sumas acumulativas que caen fuera del intervalo de decisión son tratadas como señales de fuera-de-control por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 5

6 5. Las barras Verticales que se extienden por arriba y abao de la línea central, representan el valor de las dos sumas acumulativas unilaterales, definidas por individuos como individuales by: C C + = + max[ 0, x ( μ + kσ ) + C 1 ] (3) = max[ 0,( μ kσ ) x + C 1 ] (4) + donde C0 = C0 = 0. Estas sumas acumulativas de desviaciones de las observaciones o medias de subgrupos son con respecto a la gran media μ, más y menos la holgura. Las dos cusums están diseñadas para detectar cambios por arriba o debao de la media, respectivamente. Mientras el proceso este en control, pues parece ser que para los primeros 22 periodos, las cusums se despiden hacia arriba y abao de la línea central. Sin embargo, si la media del proceso cambia de lugar leos de la media asumida μ, una u otra de las cusums comenzara a crecer y moverse eventualmente fuera del intervalo de decisión, al igual que los casos con los cusums positivos grandes en el grafico anterior. El gráfico cusum es más comúnmente utilizado durante una Fase 2 para monitorear un proceso contra un estándar establecido. En el eemplo actual, los parámetros son fiados en μ = 10 y σ = 1, correspondiente a la distribución sobre la cual las primeras 20 filas fueron generadas. Si se utiliza durante una Fase 1, los parámetros son reemplazados por las estimaciones de los datos actuales. En este caso, m n x = 1 ˆμ = x = (5) m n = 1 mientras σ es estimada usando el método especificado en la sección Gráficos de Control de la caa de dialogo Preferencias. Opciones del Panel Lugares Decimales para los Límites: El número de decimales utilizados para presentar los límites de control. Color de Zona: Activar esta caa para desplegar los colores de zona, verde, amarrillo y roo por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 6

7 Gráfico de Escala Para los datos individuales, un Segundo gráfico cusum también puede graficarse para monitorear la variabilidad del proceso. Carta de Estatus de Escala Cusum para X CuSum H=5.00 K=0.50 AIM=0.00 K=-0.50 H= Observación Este grafico esta diseñado para detector cambios en la variabilidad del proceso por la graficación de las sumas acumulativas de las cantidades estandarizadas x μ σ v = (6) El gráfico tiene dos cusums unilaterales definidos por + + S = max[ 0, v k + S 1 ] (7) S = max[ 0, k v + S 1 ] (8) + donde S = S = 0, con límites de decisión en ± h. Cualquier punto fuera de los límites de decisión indica un cambio en la variabilidad del proceso. La escala cusum usa los mismos valores de h y k como la cusum par alas desviaciones de la media por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 7

8 Reporte del Gráfico CuSum Este panel tabula los valores graficados sobre el gráfico de control: Reporte Carta CuSum para Individuos Todas las Observaciones X = Excluida * = Fuera de Límites C = Cusum Media S = Escala Cusum Observación C+ N+ C- N- S+ N+ S- N Las columnas en la tabla muestran los cálculos para cada valor cusum: C+: El valor del cusum positivo. N+: El número de periodos que tiene cusum positivos cercanos a 0. C-: El valor del cusum negativo. N-: número de periodos que tiene cusum negativos cercanos a 0. STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 Cuando el proceso se estimado como fuera-de-control, los valores de C y N pueden usarse para ayudar a uzgar cuando el proceso cambia y cuanto se austa. Opciones del Panel Desplegar: Especifica las observaciones o subgrupos a presentar en el reporte por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 8

9 Resumen del Análisis El Resumen del Análisis sintetiza los datos y el gráfico de control. Gráfico CuSum Individuos(H-K) - X Número de subgrupos = 30 Tamaño de subgrupo = subgrupos excluidos Intervalo de decisión h: 5.0 Valor de merma k: 0.5 Valor Inicio Cusum: 0.0 Meta: 10.0 Distribución: Normal Transformación: ninguna Carta CUSUM media Período #1-30 LSC 5.0 Línea Central 0.0 LIC fuera de límites Carta de Escala CUSUM Período #1-30 LSC 5.0 Línea Central 0.0 LIC fuera de límites Estimados Período #1-30 Estándar Media de proceso Sigma de proceso MR(2) promedio Sigma estimada a partir del rango móvil promedio Se incluyen en la tabla: STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 Información del Subgrupo: El número de observaciones o subgrupos m y el tamaño del subgrupo n. Si cualquier observación o subgrupo se ha excluido de los cálculos, ese número también se presenta. Intervalo de Decisión, Valor de Holgura, Origen, y Valor Obetivo: Los parámetros usados para calcular los cusums y la posición de los límites de control. Distribución: La distribución asumida para los datos. Por defecto, se asume que los datos siguen una distribución normal. Sin embargo, alguna de las otras 26 distribuciones puede seleccionarse usando Opciones de Análisis. Transformación: Cualquier transformación que se haya aplicado a los datos. Usando Opciones de Análisis, se puede elegir la transformación de los datos usando una transformación común como raíz cuadrada u optimizar la transformación utilizando el método de Box-Cox por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 9

10 Gráfico CuSum para la Media: Un resumen de la línea central y límites de control para la media del grafico cusum. Gráfico CuSum de Escala: Un resumen de la línea central y límites de control para el grafico cusum de escala. Estimaciones: Estimaciones de la media μ y desviación estándar σ del proceso. Los métodos para estimar la sigma del proceso dependen de la configuración en la sección Gráficos de Control sobre la caa de diálogo Preferencias, accesible desde el menú Edición. Las opciones están descritas en la documentación de Gráficos de Control Individuales y Gráficos X-Barra-R. Promedio MR(2), Rango Promedio, o Promedio S: El promedio de los valores graficados sobre el grafico de dispersión. Opciones del Análisis Tipo de Estudio: Determina cómo se fian los límites de control. Para un gráfico en un Estudio Inicial (Fase 1), los límites se estiman de los datos actuales. Para un gráfico del Control de un Estándar (Fase 2), los límites de control se determinan sobre la información en la caa de diálogo de la sección de Control de un Estándar. Intervalo de Decisión (h): Un múltiplo sigma utilizado para posicionar los límites de control. Un valor común para h es 5.0. Valor de Referencia (k): Un múltiplo de sigma utilizado para posicionar la referencia o valor de holgura. La variación dentro de los límites de holgura no se cuenta unto con la suma acumulativa. Un valor compón para k es por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 10

11 Origen: Un valor alternativo para inicializar las cusums C + 0 y C 0. Si se especifica, esto encuentra un grafico para una respuesta rápida inicial, reduciendo el ARL para los procesos que no están en control. Un uso común del valor origen es h/2, el cual inicia los cusums a la mitad de la distancia de los límites de decisión. Valor Obetivo: Un valor alternativo para la media obetivo μ será utilizado cuando calculamos las cusums. Si se dea en blanco, la media muestral x podrá ser utilizada como el valor obetivo en modo Estudio Inicial, o si la media especificada del proceso será utilizada en modo Control de un Estándar. Limites de Control para la Media: Cualquiera o ambos de las cusums unilaterales pueden graficarse. Normalización: Crea un gráfico cusum estandarizado primero normalizando cada valor de acuerdo a x μ z = (9) σ Todos los cálculos son desarrollados usando estos valores normalizados. Límites de Control para la Escala: Controlan el gráfico cusum de escala. ARL: La longitud promedio de corrida en un número seleccionado de desviaciones estándar δ leos de la media. La caa de dialogo despliega el ARL asumiendo los cambios del proceso de la media original μ a la nueva media ( μ + δ σ ). Control de un Estándar: Para desarrollar un análisis de Fase 2, seleccionando Control de un Estándar para el Tipo de Estudio y entonces ingrese un estándar establecido para la media y sigma del proceso (o otros parámetros si no se asume una distribución normal). Botón Excluir: Utilice este botón para excluir subgrupos específicos de los cálculos. Botón Transformar: Utilice este botón para especificar una transformación o Distribución No Normal. Botón de Diseño: Utilice este botón para seleccionar valores para h y k basándose sobre el ARL en un cambio del valor obetivo en la media del proceso. Para una discusión de las características de Excluir y Transformar, vea la documentación para Gráficos de Control Individuales. Diseñando Gráficos Cusum La caa de dialogo Opciones del Análisis contiene un botón etiquetado Diseño. Este botón permite que diseñe un grafico cusum ayudándole a seleccionar los valores óptimos de h y k. Cuando presiona, el botón se despliega la siguiente caa de dialogo: 2006 por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 11

12 Existen dos campos de entrada: ARL En-Control La longitud promedio de corrida deseada cuando el proceso esta en control. Por defecto, el ARL para el grafico actual será presentado. Cambio Sigma a Detectar La magnitud del cambio en la media δ que el grafico puede diseñar para detectar. La caa de dialogo calcula el optimo de h y k en orden para minimizar el ARL en el cambio sigma deseado. Por eemplo, configurando el ARL En-Control en 370 (el valor de un grafico de Shewhart en 3 sigmas), el Cambio Sigma a Detectar para 1.5, y presionando Actualizar los campos: Los valores optimo son k = 0.75 y h = 3.34, los cuales encuentran un ARL = 5.18 contra un cambio sigma de 1.5 en la media. Cuando se presiona el botón OK, los nuevos valores h y k deberán ingresarse en la caa de dialogo de Opciones del Análisis por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 12

13 Curva ARL La curva ARL es otra alternativa para observar el desempeño de un gráfico en una Fase Curva ARL para Cusum Longitud promedio de corrida Media de proceso La curva ARL grafica la Longitud Promedio de Corrida (número promedio de los valores trazados hasta que se incluye el primer punto más allá de los limites de control) como una función de la verdadera media del proceso. Asumiendo que la media del proceso cambia de lugar a un nuevo valor, el gráfico demuestra cuánto tiempo en promedio se adquiere hasta que se genera una señal de fuera-de-control. Para cambios muy pequeños, nos puede tomar en exceso hasta 400 puntos en promedio para detectar el cambio. Con un cambio para μ = 11, el ARL es aproximadamente 10. Grabar Resultados Los siguientes resultados pueden grabarse en la base de datos, dependiendo si los datos son individuales o subgrupos: 1. Suma Acumulada El valor más grande de las dos sumas acumulativas en cada periodo de tiempo. 2. Rangos, sigmas, o rangos móviles Los valores dibuados sobre el gráfico de dispersión. 3. Tamaños El tamaño de los subgrupos. 4. Etiquetas Las etiquetas de los subgrupos. 5. Media de Proceso La estimación de la media del proceso. 6. Sigma de Proceso La estimación de la desviación estándar del proceso. 7. Observaciones incluidas Una columna de ceros (0) y unos (1) para excluir o incluir observaciones, respectivamente. Esta columna puede utilizarse en el campo Selección o para otra entrada de una caa de dialogo por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 13

14 Cálculos STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 ARL El ARL de un gráfico cusum de dos-colas es calculado de los ARL s de los dos cusum unilaterales de acuerdo a = + ARL ARL ARL + (10) donde para Δ 0 ARL ARL + = = exp( 2Δb) + 2Δb 1, Δ = δ - k (11) 2 Δ 2 exp( 2Δb) + 2Δb 1, Δ = -δ - k (12) 2 Δ 2 y b = h Si Δ = 0, entonces ARL + o ARL - = b 2. Datos Agrupados Las formulas en este documento asume que los datos que serán analizados son mediciones individuales. Si se analizan datos agrupados, sustituya x en lugar de x y σ / n en lugar de σ por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Tabular) - 14

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