SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.3. SERIES ALTERNANTES 6.4. SERIES DE POTENCIAS

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1 Cp. 6 Sris SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.. SERIES ATERNANTES 6.. SERIES DE POTENCIAS Objtivo: S prtd qu l studit: Dtrmi covrgci o divrgci d sris. Empl sris pr rsolvr problms uméricos. 5

2 Cp. 6 Sris 6.. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.. DEFINICIÓN S { } u sucsió iiit. Y s S. sucsió d sum prcils { S } { S, S, S, } {, },,, dotd como, s llm Sri Iiit. Ejmplo S l sucsió { } Alguos térmios d l sucsió srí sucsió d sums prcils srí { S S,, },,, 8 7, S,,,,,, CONVERGENCIA DE SERIES U sri S S, s covrgt si y sólo si ist. Cso cotrrio; s dcir, si dic qu l sucsió s divrgt. S o ist, s E cso d qu l sri s covrgt s dic qu ti sum S, s dcir ocurrirá qu. S S S Si tuviésmos o pudiérmos clculrlo, dtrmir l covrgci srí muy scillo. Estudirmos primr lugr ls sris gométrics y ls sris 6

3 Cp. 6 Sris tlscópic qu si s ls pud dtrmir, y lugo mciormos critrios pr dtrmir covrgci y divrgci d sris cudo y o tmos S S 6.. A SERIE GEOMÉTRICA. U sri gométric s d l orm r r r r sum prcil d los térmios stá dd por S r r. Dmuéstrl! Pr dtrmir su covrgci, dbrímos obtr lím S lím Obsrv qu si r tocs sri gométric s divrgt Si r <, tocs r lím r r. r r POR QUÉ? y por tto l lím r l sri s covrgt. r Ejmplo Dtrmir si l sri s covrgt o o. 8 Obsrv qu l scuci dd s u sri gométric co sri d l orm y y por tto covrg S r s dcir u 7

4 Cp. 6 Sris 6.. SERIES TEESCÓPICA Pr st tipo d sri tmbié s posibl obtr, s lo hc mpldo rccios prcils. S Ejmplo S l sri. Obtr. S Empldo rccios prcils, tmos: B A B A Si tocs: A B A Si tocs: B B B A Por tto: Obtido lguos térmios d su dsrrollo 5 Not qu l rlizr l sum, los térmios ctrls s suprim quddo l primr y l último térmio. Etocs S, por tto lím S lím sri s covrgt 8

5 Cp. 6 Sris Ejrcicios Propustos 6.. Ecutr l sri iiit qu s l scuci idicd d sum prcil. Si l sri s covrgt, cutr su sum. SUGERENCIA: Hllr, sbido qu S S S { } b { } { l } S. Ecutr S y dtrmi si ls sris so covrgts o divrgts. Si s covrgt dtrmi su sum: c b d CRITERIO GENERA PARA A DIVERGENCIA TEOREMA Si l sri covrg tocs Es dcir si Ejmplo sri tocs l sri divrg s divrgt dbido qu lím Vriiqu qu los jmplos triors d sris covrgts s cumpl l torm. No olvid qu s u codició csri pro o suicit. 9

6 Cp. 6 Sris Ejmplo. sri si mbrgo lím, llmd Sri Armóic, s divrgt lo dmostrrmos más dlt, 6..6 PROPIEDADES DE AS SERIES CONVERGENTES. Si y b covrg y si C s u costt, tocs tmbié covrg C y ± b y dmás. C C. ± b ± b 6..7 TEOREMA DE A SERIE DIVERGENTE Si divrg y C s u costt dirt d cro, tocs l sri C tmbié divrg.

7 Cp. 6 Sris 6.. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS TEOREMA U sri d térmios o gtivos covrg si y sólo si, sus sums prcils stá cotds por rrib. 6.. CRITERIOS PARA ESTABECER A CONVERGENCIA DE SERIES DE TERMINOS POSITIVOS CRITERIO DE A INTEGRA S u ució cotiu positiv, o crcit, diid l itrvlo [, y supog qu pr todo tro positivo. Etocs l sri covrg si y sólo si l itgrl impropi covrg. d Ejmplo Dtrmi si l SERIE ARMÓNICA covrg o divrg Aplicdo l critrio d l itgrl, dbido qu s u sri d térmios positivos dcrcits. lím N Por tto l sri divrg. lím N [ l ] lím l N

8 Cp. 6 Sris Ejmplo. S l sri p vlors divrg. P Alizdo l itgrl lím P P Si P, tmos l sri rmóic, qu s divrgt Si p, l itgrció s dirt lím Ahor, si P >, N P P N lím P, dtrmi pr qué vlors d p covrg y pr qu P N P lím p P P P P Si P <, P P E coclusió, l sri P N P P N lím p p, l itgrl covrg p l itgrl divrg Si P > covrg Si P divrg p Ejmplo Dtrmi si l sri l SOUCIÖN: Aplicdo l critrio d l itgrl Por tto divrg l lím covrg o divrg. [ l l N l l ] Ejrcicios propustos 6. Usdo l critrio d l Itgrl, dtrmi l covrgci o divrgci d l siguit sri uméric l l

9 Cp. 6 Sris 6... CRITERIO DE COMPARACIÓN ORDINARIA Supog qu b pr N Si b covrg, tocs Si divrg, tocs covrg. b divrg Ejmplo. Dtrmi si l sri Empldo l critrio d comprció. covrg o divrg. Busqumos u sri mpldo los primros térmios dl umrdor y dl domidor: Rsult u sri divrgt por qué? os térmios d l sri dd db sr myors qu los d st sri, pr qu l sri dd s divrgt. Si sto o ocurris hbrá qu cmbir d sri o d critrio. S obsrv qu > pr. Por tto s cocluy qu l sri dd s divrgt. Not qu tmbié s pud plicr l critrio d l itgrl. Ejmplo Dtrmi si l sri Utilicmos l sri covrg o divrg. Est sri s gométric covrgt por qué?. os térmios d l sri dd db sr mors qu los d st sri, pr qu l sri dd s covrgt. Obsrvmos qu: < Por tto l sri dd s covrgt..

10 Cp. 6 Sris 6... CRITERIO DE COMPARACIÓN DE ÍMITE. Supog qu, b > y qu Si < < tocs y divrg juts. Si y b b covrg tocs b covrg o covrg. Ejmplo Dtrmi si l sri covrg o divrg. Solució: Igul qu l critrio trior busqumos u sri d trbjo. tmos u sri covrgt por qué? Obtmos hor 6 Por tto l sri dd s tmbié covrgt. Ejmplo Dtrmi si l sri Solució: Nustr sri d trbjo sri Etocs: Por tto sri dd tmbié s divrgt. covrg o divrg. sri rmóic divrgt

11 Cp. 6 Sris 6... CRITERIO DE COCIENTE S u sri d térmios positivos y supog qu Si Si Si < > lím l sri covrg. l sri Divrg. o s pud cocluir. Ejmplo Dtrmi si l sri! E st cso tocs! ugo lím lím covrg o divrg.!!! lím! El rsultdo s u úmro mor qu, por tto l sri s covrgt. Ejmplo Dtrmi si l sri E st cso Ahor covrg o divrg. tocs 5

12 Cp. 6 Sris lím lím lím lím El rsultdo s u úmro myor qu, por tto l sri s divrgt. Ejmplo Dtrmi si l sri! covrg o divrg. E st cso Ahor lím lím! tocs!! lím! lím!! lím El rsultdo s u úmro mor qu, por tto l sri s covrgt. Ejrcicios propustos 6. Dtrmi l covrgci o divrgci d ls sris: b c s d π cos! h! i! j!! 6

13 Cp. 6 Sris 6.. SERIES ATERNANTES Ahor s studirá sris qu prst sus térmios co sigos ltrdos, s dcir sris d l orm o tmbié TEOREMA DE CONVERGENCIA PARA AS SERIES ATERNANTES U sri ltrt co tocs l sri covrg.. Si > lím Ejmplo S l sri divrgt. SOUCIÓN. Primro, vmos si los térmios, vlor bsoluto, so o crcits. Comprmos co < los térmios so dcrcits. Sgudo, vmos si lím S obsrv qu: lím. S obsrv qu: Por tto l sri rmóic ltrt s covrgt. Dtrmi si s covrgt o Ejmplo S l sri SOUCIÓN. Primro. E st cso S obsrv qu Dtrmi si s covrgt o divrgt. y < los térmios so dcrcits. 7

14 Cp. 6 Sris Sgudo. lím Por tto l sri s covrgt. A cotiució licmos l torm TEOREMA Si covrg, tocs tmbié covrg. Esto quir dcir qu si l sri d térmios positivos covrg tocs l sri ltrt tmbié covrg, mitrs qu si l sri ltrt covrg o csrimt l sri d térmios positivos covrg. 6.. CONVERGENCIA ABSOUTA. DEFINICIÓN. U sri covrg Ejmplo covrg bsolutmt si sri covrgt s bsolutmt covrgt, dbido qu s DEFINICIÓN. U sri covrg y divrg. s codiciolmt covrgt si Ejmplo sri divrgt, mitrs qu ll s covrgt. s codiciolmt covrgt, dbido qu s 8

15 Cp. 6 Sris s sris d térmios positivos covrgts so bsolutmt covrgts os critrios qu mciormos cotiució yud cocluir rápidmt situcios cudo l térmio grl d l sri prst orms spcils. 6.. CRITERIO DE COCIENTE ABSOUTO. S qu lím. Si Si Si u sri d térmios o ulos y supog < l sri covrg bsolutmt. > l sri divrg. o s cocluy. Ejmplo Mustr qu l sri! Aplicdo l critrio dl cocit tmos: lím lím!! s bsolutmt covrgt. lím!! lím Como l rsultdo s u úmro mor qu por tto l sri s bsolutmt covrgt. 6.. CRITERIO DE A RAÍZ. S u sri iiit y supog qu lím. Si < l sri covrg bsolutmt. Si > o l sri divrg. Si o s cocluy. 9

16 Cp. 6 Sris Ejmplo Alic l sri Dbido l orm d l sri, s plic l critrio d l ríz. lím lím. lím lím Como l rsultdo s u úmro mor qu por tto l sri s bsolutmt covrgt. Ejmplo Alic l sri [ l ] Dbido l orm d l sri, s plic l critrio d l ríz. lím lím. lím [ ] l [ l ] lím l [ ] Como l rsultdo s u úmro mor qu por tto l sri s bsolutmt covrgt. Ejrcicios Propustos 6. Dtrmi l covrgci bsolut, covrgci codiciol o divrgci d ls siguits sris uméric:. b.! c.. 5! l d

17 Cp. 6 Sris 6.. SERIES DE POTENCIAS Ahor studirmos sris cuyos térmios y o so uméricos. 6.. DEFINICIÓN. U sri d potci ti l orm: U sri d potci ti l orm: Algo importt quí s dtrmir los vlors d, pr los culs l sri uméric corrspodit s covrgt. 6.. INTERVAO DE CONVERGENCIA. Empldo l critrio dl cocit bsoluto pr qu l sri s covrgt tmos: < < < < Ahor, supog qu tocs tmos:

18 Cp. 6 Sris A < < < < R s lo llm Rdio d Covrgci. Si tocs s dcir l sri covrg pr todo úmro rl. R l rdio d covrgci s iiito, Si tocs R l rdio d covrgci s cro Ejmplo Dtrmi l itrvlo d covrgci pr SOUCIÓN. Aplicdo l critrio dl cocit pr qu s covrgt: < < < < < < S rquir dmás dtrmir l covrgci o divrgci los putos trmos. E st cso: Si, tmos u sri o covrgt porqué? Si, tmos u sri o covrgt. porqué? Filmt l itrvlo d covrgci pr l sri dd s: < < Obsrv qu s l pud obsrvr como u sri gométric d rzó.

19 Cp. 6 Sris Ejmplo Dtrmi l itrvlo d covrgci pr SOUCIÓN Aplicdo l critrio dl cocit. E los putos trmos: Si, tmos < < < < ltrt covrgt Por qué?. Si, tmos < < Filmt, l itrvlo d covrgci srí < u sri divrgt Porqué? u sri Ejmplo Dtrmi l itrvlo d covrgci pr SOUCIÓN Aplicdo l critrio dl cocit.!!! <! <! < < <

20 Cp. 6 Sris Etocs, l sri s covrgt pr R pr todo Ejmplo Dtrmi l itrvlo d covrgci pr SOUCIÓN Aplicdo l critrio dl cocit!. <!!! <! < < < Vmos pr,!, tmos u sri covrgt. Filmt l sri ddo covrg sólo pr. Ejmplo 5 Dtrmi l itrvlo d covrgci pr SOUCIÓN Aplicdo l critrio dl cocit < < < < < < < < <.

21 Cp. 6 Sris Ahor,, tmos u sri o covrgt. E,, u sri o covrgt. Por tto l sri covrg pr, Ejrcicios propustos 6.5 Dtrmi l itrvlo d covrgci pr:! b! c! d l l 6.. SERIE DE TAYOR U sri d potci prticulr s l sri d Tylor. Supog qu: os coicits pud sr dtrmidos térmios d l ució Evludo [ ] [ ] [ ] [ ] Obtmos: Pr cotrr l sgudo coicit, drivmos y vlumos Etocs: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Obtido l sgud drivd y vludo 5

22 Cp. 6 Sris [ ] [ ] [ ] [ ] D l últim prsió, s ti Ahor, obtido l trcr drivd y vludo [ ] [ ] D l últim prsió, s ti! Por lo tto: [ ] [ ] [ ] [ ]!!! Si s llm Sri d Mcluri, s dcir: [] 6! Ejmplo Hllr l sri d Tylor pr, lrddor d Obtmos primro ugo, rmplzdo : 6 Rsult!!! 6

23 Cp. 6 Sris DEDUZCA SU INTERVAO DE CONVERGENCIA! Obsrv qu podmos tr u bu proimció d utilizdo l sri: Ejmplo Hllr l sri d Tylor pr lrddor d Empldo l sri triormt cotrd:! Srí custió d rmplzr por, s dcir:!!!!!! Ejmplo Hllr l sri d Tylor pr lrddor d Ahor, s custió d rmplzr por, s dcir: 8 6!!!!!! 7

24 Cp. 6 Sris Ejmplo Hllr l sri d Tylor pr Obtmos primro s cos s / cos IV V s cos s lrddor d IV V ugo, rmplzdo : 6 S obti: 5 s! 5! s! DEDUZCA SU INTERVAO DE CONVERGENCIA! 5! 5 7! 7! Ejmplo 5 Hllr l sri d Tylor pr cos lrddor d Obtmos primro cos s cos / s IV cos IV ugo, rmplzdo : S obti: 6 cos! cos! DEDUZCA SU INTERVAO DE CONVERGENCIA!! 6! 6!! 8

25 Cp. 6 Sris Ejmplo 6 Hllr l sri d d Tylor pr i lrddor d Srí custió d rmplzr i por, l sri d s dcir: i! i i 5 5 i i i i i!! 5! 5 i i i!! 5! 5 i!! 5! i cos! Rcurd qu: i i i i i i i i i i i Por lo tto, s cocluy qu Est últim prsió s l llmd IDENTIDAD DE EUER s cos i s i!! i i 5! DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS. U sri d potci s pud drivr o itgrr térmio térmio d tl mr qu s tdrá otr sri d potci co l mismo rdio d covrgci, uqu o csrimt l mismo itrvlo d covrgci. Ejmplo Obtr l sri d sri dl so s: cos prtir d l sri dl so. s Drivádol s ti: cos D s D!!!! 9

26 Cp. 6 Sris Ejmplo. Ecutr u sri d potci pr prsió trior pud sr obsrvd como l sum d u sri gométric iiit co primr térmio igul y rzó r tocs: b Empl l sri trior pr obtr l sri d l Itgrdo l d c Dtrmi su itrvlo d covrgci. Aplicdo l critrio Si < < < < <, tmos divrgt. por qué? Si tmos Por tto su itrvlo d covrgci s, ] u sri u sri ltrt covrgt. Ejrcicios Propustos Ecutr los trs primros térmios dirts d cro d l sri d Tylor pr t lrddor d. b Empl l rsultdo obtido y l dircició térmio térmio co l ilidd d cotrr los primros trs térmios dirts d cro d l sri d Tylor pr g sc. c Utilic l rsultdo obtido y l itgrció térmio térmio pr cotrr los primros trs térmios qu o s cro d l sri d Tylor pr h lcos.. Ecutr los trs primros térmios dirts d cro d l sri d Tylor pr l lrddor d. b Dtrmi su itrvlo d covrgci.. Ecutr l dsrrollo sris d potcis d y lic su covrgci:

27 Cp. 6 Sris. l b. d c. l d. rctg. rctg s. d g. h. cos i.. Clculr usdo sris d potcis:. d π b. d s cosh c. d 5. Cosidr l ució rct d. s d. d rctg. sh d. Dtrmi u rprstció pr sris d potcis d y spciiqu su itrvlo d covrgci. b. A prtir d l sri obtid proim l vlor d π. Utilic los cicos primros térmios d l sri. 6. Cosidr l ució. Dtrmi u rprstció pr sris d potci d. b. Dirci térmio térmio l sri otid y prtir d st rsultdo dmustr qu!. p p p p 7. Utilic l Sri Biomil pr clculr l sri d

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