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Laura Redondo Alvarado
hace 8 años
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1 TEMA 4: CAPACITORES E INDUCTORES 4.1. Índice del tema 4.1. Índice del tema El Condensador Introducción Potencia Energía Condición de continuidad La bobina Introducción Potencia Energía Condición de continuidad Asociaciones serie y paralelo Condensadores en paralelo Condensadores en serie Bobinas en serie Bobinas en paralelo Principio de dualidad Ecuación de malla Ecuación de nodo Dualidad El Transformador Introducción Transformador con inductancia mutua positiva Transformador con inductancia mutua negativa Referencias...16

..9 4.4.3. Bobinas en serie...9 4.4.4. Bobinas en paralelo...10 4.5. Principio de dualidad...11 4.5.1. Ecuación de malla...11 4.5.2. Ecuación de nodo...11 4.5.3. Dualidad...12 4.6. El Transformador.

2 4.2. El Condensador Introducción El condensador es un elemento de dos terminales en el que el voltaje y la corriente se relacionan por: donde C es la capacidad que se expresa en Faradios (F). Se puede observar en (1) que el voltaje depende de instantes de tiempo pasados, es decir tiene "memoria". Se representa por el siguiente símbolo: La ecuación de voltaje se puede expresar como: donde v(0) se denomina condición inicial. Teniendo en cuenta la relación entre i(t) y q(t) se puede deducir la relación: Por tanto, el valor de la capacidad (C) es la relación entre la carga almacenada y el voltaje que aparece en sus terminales. Aunque se puede definir un capacitor de forma no lineal, todos los que se usarán en este tutorial serán lineales, invariantes y de parámetros concentrados. Página 2 de 16

Se representa por el siguiente símbolo: La ecuación de voltaje se puede expresar como: donde v(0) se denomina condición inicial.

3 Potencia En anteriores apartados se defino la potencia de un dipolo como. Así que, sustituyendo: Esta potencia puede ser positiva o negativa, ya que aunque C es siempre positiva, el término puede ser positivo o negativo Energía La energía se puede expresar mediante la siguiente expresión: Teniendo en cuenta que: De esta forma se comprueba que aunque la potencia instantánea pueda ser negativa, la energía siempre es positiva o nula. El condensador, por tanto, es un elemento pasivo; en él se almacena energía que puede ser entregada al circuito en otro momento (no es un elemento disipativo como la resistencia). Valores típicos son del orden de pf hasta cientos de µf. Hay condensadores que requieren una determinada polaridad (condensadores electrolíticos), pero en general la mayoría pueden tener ambas polaridades. Página 3 de 16

Energía La energía se puede expresar mediante la siguiente expresión: Teniendo en cuenta que: De esta forma se comprueba que aunque la potencia instantánea pueda ser negativa, la energía siempre es

4 Condición de continuidad El voltaje que aparece en los terminales de un condensador lineal e invariante en el tiempo siempre debe ser una función continua. Es decir, para cualquier instante de tiempo t 0, se cumple: Siendo: (límite por la izquierda) (límite por la derecha) EJEMPLO: Como ejemplo del efecto de la condición de continuidad, se considera el siguiente circuito: Supóngase que el interruptor se ha conectado a la fuente de 10 V (interruptor en la posición 1) durante un largo tiempo antes que, permitiendo de ese modo que el circuito alcance una condición en estado estable. Como resultado, en se cumple: Puesto que independientemente del voltaje, el capacitor puede tratarse como un circuito abierto: Página 4 de 16

se considera el siguiente circuito: Supóngase que el interruptor se ha conectado a la fuente de 10 V (interruptor en la posición 1) durante un largo tiempo antes que, permitiendo de

5 En el interruptor se cambia a la posición 2. En, el voltaje del capacitor debe permanecer en 8 V, sin importar la corriente que circula por él. En consecuencia, puede ser modelado por medio de una fuente de voltaje: Conclusión: Se puede observar que el voltaje en un resistor puede ser discontinuo, aun cuando el voltaje del capacitor sea siempre será continuo. Página 5 de 16

6 4.3. La bobina Introducción La bobina o inductor es un elemento de dos terminales en el que las variables corriente y voltaje se relacionan por: Donde L es el valor de la inductancia, cuya unidad es el Henrio (H). Su símbolo es: La ecuación de la corriente se puede expresar mediante la condición inicial i(0): Así como un condensador se mantiene cargado en circuito abierto, las bobinas (idealmente, si no tuvieran resistencia en sus conductores) se mantienen cargadas en cortocircuito. A temperaturas cercanas al cero absoluto mantienen la corriente durante años. Por la ley de Faraday: ( : flujo magnético) Se puede definir la inductancia de una bobina mediante la relación existente entre el flujo magnético producido y la corriente que lo atraviesa: Página 6 de 16

(H). Su símbolo es: La ecuación de la corriente se puede expresar mediante la condición inicial i(0): Así como un condensador se mantiene cargado en circuito abierto, las bobinas (idealmente,

7 Potencia Sabiendo que la potencia instantánea en un dipolo es bobina se puede expresar de la siguiente forma:, la potencia de la L siempre es positivo, pero el término puede ser negativo o positivo Energía La energía total suministrada se puede expresar mediante la siguiente expresión: Teniendo en cuenta que: Se obtiene la energía total almacenada en el instante t como: Esto indica que la bobina (lineal e invariante) es un elemento pasivo, es decir no puede ceder más energía de la que previamente ha almacenado y, aunque puede ser no lineal y variante con el tiempo, se considerará en este tutorial que es lineal e invariante Condición de continuidad La corriente que circula por un inductor lineal e invariante siempre debe ser una función continua. Es decir, para cualquier instante de tiempo t 0 : Donde i L es la corriente que circula por la bobina. Página 7 de 16

4.3.3. Energía La energía total suministrada se puede expresar mediante la siguiente expresión: Teniendo en cuenta que: Se obtiene la energía total almacenada en el instante t como: Esto indica que

8 4.4. Asociaciones serie y paralelo Condensadores en paralelo Aplicando la ley de corrientes de Kirchoff: Página 8 de 16

9 Condensadores en serie Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff: Bobinas en serie Página 9 de 16

10 Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff: Bobinas en paralelo Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff: Página 10 de 16

11 4.5. Principio de dualidad Ecuación de malla LVK Ecuación de nodo LCK Página 11 de 16

12 Dualidad Como vemos en las ecuaciones anteriores, y a lo largo de todo el tutorial, existe una cierta similitud o dualidad entre las expresiones obtenidas intercambiando: Corriente Resistencia (R) Flujo ( ) Inducción (L) Conexión en serie Análisis por mallas Ley de voltajes de Kirchoff Corrientes entrantes/salientes Voltaje Conductancia (G) Carga (q) Capacidad (C) Conexión en paralelo Análisis por nodos Ley de corrientes de Kirchoff Subidas/caídas de voltaje 4.6. El Transformador Introducción En esta sección se estudiará un dispositivo de terminales múltiples bastante diferente a los elementos estudiados anteriormente, en el que las variables de voltaje y corriente se relacionan por medio de ecuaciones integro-diferenciales: el transformador. Cuando circula corriente por una bobina en solitario, se crea un flujo magnético a su alrededor. A este fenómeno se le denomina autoinducción. El flujo magnético creado viene dado por la siguiente expresión: siendo L 1 el coeficiente de autoinducción de la bobina. Si se coloca otra bobina cerca de la primera, algunas de las líneas de flujo producidas por la corriente en esta nueva bobina también enlazarán la primera bobina. De esta forma, los enlaces de flujo Ø 1 (t) de la primera bobina están determinados por las corrientes i 1 (t) e i 2 (t): Página 12 de 16

Flujo ( ) Inducción (L) Conexión en serie Análisis por mallas Ley de voltajes de Kirchoff Corrientes entrantes/salientes Voltaje Conductancia (G) Carga (q) Capacidad (C) Conexión en paralelo Análisis

13 donde L 1 es el coeficiente de autoinducción de la bobina 1 y M 12 es el coeficiente de inductancia mutua de la bobina 1 con respecto a la bobina 2. Considerando la segunda bobina, el flujo Ø 2 (t) se genera por las corrientes i 2 (t) e i 1 (t): donde L 2 es el coeficiente de autoinducción de la bobina 2 y M 21 es el coeficiente de inductancia mutua de la bobina 2 con respecto a la bobina 1. Aplicando la ley de Faraday a las dos ecuaciones anteriores, y sabiendo que M 12 =M 21 =M, se pueden calcular los voltajes que aparecen en los terminales de cada bobina (v 1 (t) y v 2 (t)): Los coeficientes de autoinducción y de inducción mutua se pueden expresar en función del número de espiras de las bobinas (N 1 y N 2 ) y de una constante K llamada coeficiente de acoplamiento. K es una medida de la cantidad de flujo que genera una corriente que circula en una bobina, la cual enlaza las vueltas de la otra bobina. Si esta cantidad es pequeña, las bobinas están acopladas débilmente. Por otra parte, si la totalidad del flujo generado por una bobina enlaza las vueltas de la otra, las bobinas están perfectamente acopladas (K=1). La inductancia mutua M puede ser positiva o negativa. Normalmente se emplea un par de puntos para identificar las direcciones de devanado relativas. Si las direcciones de corriente de referencia positiva se orientan hacia adentro (o hacia afuera) de las terminales marcadas con un punto de las dos bobinas, la inductancia mutua es positiva; en otro caso es negativa. Página 13 de 16

mutua de la bobina 2 con respecto a la bobina 1.

14 Transformador con inductancia mutua positiva Las relaciones para las variables de voltaje y corriente para este caso son: Página 14 de 16

15 Si se considera K=1: Si la potencia de entrada es igual a la potencia de salida: Transformador con inductancia mutua negativa Las relaciones para las variables de voltaje y corriente para este caso son: Página 15 de 16

16 Si se considera K=1: Si la potencia de entrada es igual a la potencia de salida: 4.7. Referencias [1] Huelsman, L.P. Teoría de circuitos. Segunda edición. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. [2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos. Tercera edición. Mc Graw-Hill. [3] Nilsson, J.W.. Circuitos eléctricos. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina Página 16 de 16

Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. [2] Edminister, J.A., y Nahvi, M. Circuitos eléctricos.

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