Relaciones binarias. ( a, b) = ( c, d) si y solamente si a = c y b = d

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1 Relaciones binarias En esta sección estudiaremos formalmente las parejas de objetos que comparten algunas características o propiedades en común. La estructura matemática para agrupar estas parejas en conjuntos es la teoría de relaciones binarias. Las relaciones son de fundamental importancia en el área de computación. Una estructura compuesta de datos, tal como un arreglo, lista, o árbol, es generalmente usada para representar simultáneamente a un conjunto de datos y a una relación que se cumple entre los miembros del conjunto. Para poder introducir el concepto de relación binaria necesitamos precisar lo que significa un par ordenado de objetos y definir el producto cartesiano de dos conjuntos. El concepto de par ordenado es un ejemplo particular de sucesión con dos elementos. Par ordenado. Un par ordenado es un conjunto con dos elementos en un orden específico. Usamos la notación ( a, b) para denotar el par ordenado en la cuál el primer elemento o componente es a y el segundo elemento objeto es b. De esta forma, dos pares ordenados ( a, b) y (c,d) son iguales si sus correspondientes componentes son iguales. Es decir, ( a, b) = ( c, d) si y solamente si a = c y b = d Así mientras que los conjuntos { a, b} y { b, a } son iguales, los pares ordenados (a, b) y ( b, d) son diferentes. El concepto de de producto cartesiano se basa en el concepto de pareja ordenada. Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) donde x A e y B. En símbolos, Por lo tanto A x B = {(x, y) / x A y B } (x, y) A x B si y sólo si x A y B Sean los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} se tiene: A x B={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)} El producto cartesiano A x B no es igual al producto cartesiano B x A (no es conmutativo)

2 Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes, entonces los elementos del producto cartesiano de la forma (a, a), se les llama elementos diagonales. Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto A x A puede escribirse de forma simbólica como A 2. Si el producto cartesiano lo forman más de dos conjuntos, los elementos del producto cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto, otro del segundo otro del tercero y así hasta llegar al ultimo. Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares, en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B, los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepción que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal.

3 Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el diagrama de árbol tenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementos del conjunto A por los del conjunto B. Relaciones entre conjuntos Llamamos relaciones entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra R, a cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B. (No es necesario que todos los elementos de A estén considerados) R : A B Una relación presenta los siguientes elementos Elemento homólogo o imagen Se dice que b es homólogo o imagen de a a todo elemento del conjunto B tal que el par (a, b) pertenece al subconjunto relación R es decir: (a, b) R Siendo R el subconjunto relación. La primera componente del par (a, b) que pertenece a G se llama preimagen, mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen. Cuando b es el elemento imagen de a por la relación R escribiremos b = R(a) Conjunto origen, de partida o inicial. Llamaremos así al conjunto A Conjunto de llegada o final. Es el conjunto B

4 Se llama conjunto Dominio, y lo designaremos por Dom(R) al conjunto formados por todos los elementos de A que son preimagen por la relación R (o que tienen una imagen). Se llama conjunto recorrido, y se representa por Rec(R) al conjunto formado por todos los elementos de B que son elementos imágenes por la relaciones R. Gráfico o Grafo de una Relación: Es el conjunto de puntos Relación inversa Graf (R) = { (x, y ) A x B / y = R(x) x A } R 2 Se llama relación inversa a la relación que resulta de cambiar el orden de los conjuntos A x B por B x A La relación inversa la designaremos por R 1 Sea R la relación definida por: La relación inversa G -1 será: G = {(a,1),(a,2),(b,3),(c,5)} G -1 = {(1,a),(2,a),(3,b),(5,c)} Función: Se llama función entre los conjuntos A y B a la relación de A en B f : A B tal que: Todos y cada uno de los elementos de A son elementos del dominio y la imagen de cada elemento de A es única.

5 Relaciones binarias Se llama relación binaria definida en un conjunto A, a la relación de A en A. Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son: Reflexiva, Simétrica, Antisimétrica Transitiva Relación reflexiva cuando un elemento esta relacionado con sigo mismo y se escribe a R a a A. 1) En N la relación R definida por: x R y x divide a y es reflexiva ya que x N, x R x porque x divide a x 2) En N la relación R definida por: a R b a es el doble de b. no es reflexiva ya que (1, 1) R puesto que 1 no es el doble de 1 Si la relación R es reflexiva entonces la diagonal pertenece a la relación. Relación Simétrica si para todo par de elemento ocurre que si el elemento a esta relacionado con el elemento b, entonces el elemento b esta relacionado con el elemento a. si a, b A: a R b b R a 1) En Z la relación R definida por: a R b a b es múltiplo de 2. es simétrica ya que si a R b hay p Z tal que a b = 2p b a = 2(-p) con -p Z b R a 2) En N la relación R definida por: x R y x divide a y no es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 tanto (4,2) R por lo Si la relación R es simétrica sobre A entonces los pares relacionados se reflejan respecto a la diagonal principal.

6 Relación Antisimétrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta relacionado con el elemento b, entonces el elemento b esta relacionado con el elemento a, y además, se deduce que a = b. Otra manera de expresarlo: si a, b A: [a R b b R a] a = b Si a b [ (a,b) R (b,a) R ] 1) En N la relación R definida por: x R y x divide a y es antisimétrica Ya que si a R b y b R a entonces existen n, m N tales que: b = an y a = bm. Combinándolas, a = bm = (a.n).m n.m = 1 n = m = 1 a = b. 2) En Z la relación R definida por: a R b a b es múltiplo de 2. no es antisimétrica ya que 2R4 y 4R2, pero 2 4 Si la relación R es antisimétrica pueden existir pares por encima o por debajo de la diagonal pero ningún par tiene reflejo respecto a la diagonal principal excepto la diagonal misma. Relación Transitiva cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y el elemento b esta relacionado con el elemento c; entonces el elemento a esta relacionado con el elemento c. si a, b, c A: [a R b b R c] a R c 1) En N la relación R definida por: x R y x divide a y es transitiva ya que si a R b y b R c entonces existen n, m N tales que: b = an y c = bm. Combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m N b R c. 2) En N la relación R definida por: a R b a es el doble de b. no es transitiva ya que (4, 2) R y (2, 1) R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1) R

7 Resumen Propiedad R Se satisface sii No se satisface sii Reflexiva a A a R a a A (a,a) R Simétrica Antisimétrica Transitiva Ejercicios: a, b A: a R b b R a a, b A: [a R b b R a] a = b a, b, c A: [a R b b R c] a R c a, b A: (a, b) R (b, a) R a, b A: (a, b) R (b, a) R a b a, b, c A: (a, b) R (b, c) R (a, c) R 1) Sea A = {1, 2, 3, 4}. i) Represente gráficamente las relaciones (b) y (d) en forma cartesiana y sagital. ii) Determine las propiedades que satisfacen las siguientes relaciones en A y verifíquelas (demuéstrelas) a) R = { (1,1), (2,2), (3,3)}. b) R = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (1,4), (2,1), (3,2), (4,3) }. c) R = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}. d) R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (3,2), (2,3) }. e) R = { (1,1), (1,2), (1,4), (2,3), (4,3) }. 2) Sea A = {1, 2, 3, 4}. Construya tres relaciones binarias en A con las siguientes propiedades: i) Reflexiva, simétrica y no transitiva ii) Reflexiva, no simétrica y transitiva iii) No reflexiva, simétrica y transitiva 3) Definimos en R, el conjunto de los números reales, la relación R : x R y x y Ζ Determine las propiedades que cumple R y demuestre, usando la definición, que efectivamente las verifica!

8 Relación de equivalencia Diremos que una relación binaria sobre A, es una relación de equivalencia si satisface las tres propiedades: R es reflexiva R es simétrica R es transitiva Ejemplos 1) En Z la relación R definida por: a R b a b es múltiplo de 3. 2) Dado un conjunto D U, la relación: A R B A D = B D Demuestra que estas son relaciones de equivalencia Relación de orden Diremos que una relación binaria sobre A, es una relación de orden parcial si satisface las tres propiedades: R es reflexiva R es antisimétrica R es transitiva En este caso diremos que el conjunto A está parcialmente ordenado 1) En D 60, el conjunto de todos los divisores de 60, la relación R definida por: a R b a divide a b. 2) En R, la relación definida por a R b a b. Demuestra que estas son relaciones de orden. Diremos que una relación binaria R sobre A, es una relación de orden total si es una relación de orden parcial y además se satisface que: a, b A: [a R b b R a] En este caso diremos que el conjunto A está totalmente ordenado 1) En las relaciones anteriores decida cuáles son de orden parcial o de orden total 2) Para pensar: Considere la relación en R 2, definida por: (x,y) R (a,b) x a y b. Qué tipo de relación es?

9 Leyes de composición Se dice que en A se ha definido una ley de composición interna u operación cuando se define una Función del producto cartesiano A x A en A de tal forma que el par de elementos (a, b) genere otro elemento c, tal que c también pertenece al conjunto A. Para representar el elemento imagen del par (a, b) se utiliza la notación c = a f b donde f es cualquier símbolo. Por ejemplo,,, Θ,,, Se dice que en A se a definido una ley de composición externa sobre el conjunto B cuando se define una Función del producto cartesiano BXA en A Propiedades Asociativa Se dice que la ley de composición * es asociativa cuando para cualquier elementos a,b,c pertenecientes al conjunto A se verifica: (a * b) * c = a * (b * c) Conmutativa Se dice que la ley de composición * es conmutativa cuando para cualquier elementos a,b,c pertenecientes al conjunto A se verifica: a * b = a * b Elemento neutro Se dice que la ley de composición * posee elemento neutro cuando existe un elemento e de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica: a * e = a Elemento Inverso Se dice que la ley de composición, que posee elemento neutro, es simetrizable cuando para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento Inverso a 1 de A tal que: a*a 1 = e Donde e es el elemento neutro Distributiva entre dos operaciones Se dice que la ley de composición * es distributiva respecto de la operación cuando cualquiera que sean los elementos a, b, c pertenecientes al conjunto A se verifica: a * (b c)= ( a * b ) ( a * c )

10 Estructuras algebraicas Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias leyes de composición Estructuras algebraicas con una ley de composición Semigrupo Se dice que el conjunto A con la ley de composición interna * tiene estructura de semigrupo si la ley es asociativa. Si la operación * posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez, el semigrupo se llama conmutativo, con elemento neutro o conmutativo con elemento neutro, respectivamente. Grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composición interna * tiene estructura de grupo si la ley es asociativa, posee elemento neutro y es simetrizable. Si la operación * posee la propiedad conmutativa, entonces el grupo se llama conmutativo o abeliano. Estructuras algebraicas con dos leyes de composición Semianillo Se llama semianillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composición interna que tienen estructura de semigrupo y además una ley de composición es distributiva respecto a la otra. Anillo Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composición interna una que tiene estructura de grupo y la otra de semigrupo y además una ley de composición es distributiva respecto a la otra. Cuerpo Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composición interna que tienen estructura de grupo y además una ley de composición es distributiva respecto a la otra. Espacio vectorial Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A una estructura de cuerpo conmutativo y una ley externa sobre el conjunto B que satisfacen las siguientes condiciones: A con la ley * es un grupo conmutativo Distributiva de la ley externa respecto de la interna * en A Distributiva de la ley externa respecto de la enterna * en B

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