Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato.

Transcripción

1 UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Tema Poliomios y otras eresioes algebraicas Estos cocetos está etraídos del libro Matemáticas de achillerato McGrawHill Poliomios: oeracioes co oliomios U oliomio de grado, e ua variable, es ua eresió algebraica de la forma P a a a a0, a 0 dode a, a,, a, a 0 so úmeros llamados coeficietes Todos lo eoetes debe ser eteros ositivos; el mayor de ellos idica el grado del oliomio cada uo de los sumados se les llama térmios El térmio de grado es a El térmio ricial es a, el de mayor grado El úmero a 0 se llama térmio ideediete os térmios so semejates cuado sólo difiere e los coeficietes: E articular, y 7 so semejates; or el cotrario, a y 0 y 0 o lo so Suma y resta de oliomios Para sumar oliomios se agrua, sumado o restado, los térmios semejates 7 7 b so semejates OJO: o uede realizarse; debe dejarse así Lo más ue uede hacerse es sacar factor comú: Multilicació de oliomios Se utiliza la roiedad distributiva del roducto y las roiedades de la oteciació Productos otables: So las oeracioes ue aarece co relativa frecuecia oocerlas de memoria agiliza los cálculos Idicamos los tres casos más frecuetes aso: b a ab a b 9 a b a ab b 0 a b a b a b 9 Potecia de u biomio Fórmula de Newto ara el cálculo de la otecia -ésima de u biomio: 0 9 José María Martíez Mediao

2 UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara José María Martíez Mediao ± ± 0 a 0 9 b 0 ivisió de moomios Se basa e las oeracioes co otecias ; ; ivisió de oliomios Para dividir oliomios hay ue ordearlos Se recuerda el algoritmo co el siguiete ejemlo: Regla de la divisió ividedo divisor cociete resto divisor resto cociete divisor ividedo E el caso de oliomios, uede escribirse: d r c d r c d La seguda igualdad se emlea co relativa frecuecia e Matemáticas La divisió etre 7 y d da de cociete 0 c, y de resto 7 r ; etoces: y tambié: 7 0 7

3 UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Teoremas del resto y del factor Teorema el resto El valor umérico del oliomio P ara a es igual al resto de la divisió P : a emostració: Si al dividir P etre a el cociete es c y el resto r e este caso, el resto es u úmero, etoces: P a c r ado a el valor a, se tiee: P a a a c a r 0 r Esto es, P a r Para P y ara, se tiee ue P 0 Observa ue coicide co el resto de la divisió :, hecha ateriormete Para P y ara, se tiee ue P 0 Tambié coicide co el resto de la divisió :, hecha ates E este caso, es ua raíz del oliomio Teorema del factor a es u factor del oliomio P a es ua raíz de P emostració: Si a es u factor del oliomio P P a Q Esto es, la divisió es eacta E cosecuecia, el resto es 0 Luego, or el teorema del resto, Pa 0 Por tato, a es ua raíz de P Si a es ua raíz de P Pa 0, y, or lo mismo or el teorema del resto, la divisió P : a es eacta Por tato, a es u factor de P Las raíces de u oliomio so las solucioes de la ecuació P 0 Si se cooce ue, y so las raíces de P, etoces el oliomio es de la forma P c, c es ua costate U oliomio de tercer grado cuyas raíces so, y es, P Tambié uede ser P Hay ifiitos Las raíces de P so, 0 y comruébalo; etoces: P Resumiedo: a es ua raíz de P Pa 0 a es u factor de P P a Q, siedo Q de u grado meor ue P Notas: oviee saber ue u oliomio tiee tatas raíces como idica su grado esas raíces uede ser simles, múltiles reetidas o comlejas; e este último caso o se halla E cosecuecia, u oliomio de grado tiee u máimo de factores irreducibles Si u oliomio tiee raíces eteras estas debe ser divisores del térmio ideediete Por ejemlo, si el térmio ideediete fuese, las raíces eteras, si las hubiese, hay ue buscarlas etre los úmeros y, y, y, y José María Martíez Mediao

4 UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Regla de Ruffii: divisió de P etre a Sólo uede utilizarse ara dividir u oliomio cualuiera etre el biomio a Para alicar la regla, los coeficietes del dividedo se coloca ordeados de mayor a meor grado, icluido el térmio ideediete; si faltase alguo de ellos, se oe u 0 Para dividir : se rocede así: El cociete de la divisió es c ; el resto, r 0 álogamete, ara dividir : se disoe los úmeros así: 0 0 El cociete de la divisió es c ; el resto, r 0 E este caso, el dividedo es múltilo del divisor Esto es: Tambié se dice ue es u factor de Factorizació de oliomios Factorizar u oliomio es escribirlo como roducto de factores irreducibles, los de meor grado osible, como e el ejemlo imediatamete aterior El coceto es aálogo al de la descomosició de u úmero e factores rimos 7 El teorema del factor ermite escribir u oliomio como roducto de factores de meor grado Para ello: º Si uede sacarse factor comú, se saca º Hay ue buscar las raíces Se ecuetra utilizado los métodos de resolució de ecuacioes; o a ojo si el oliomio es de grado mayor o igual a, buscado raíces eteras º uado se coozca algua raíz, se divide or Ruffii ara obteer factores de meor grado, y, or tato, más cómodos de maejar Si a es ua raíz de P se divide or a y se escribe P a P cotiuació, se alica el mismo roceso a P Para P, se uede sacar factor comú 0 es ua raíz E cosecuecia, P Los otros dos factores se obtiee resolviedo la ecuació 0 ; Por tato, P Para P, tambié se tiee ue P Pero, como e este caso, la ecuació 0 o tiee solucioes reales, o es osible hacer ua descomoiedo más simle José María Martíez Mediao

5 UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara José María Martíez Mediao Si 0 P, ua raíz es ues P 0 es u factor P es divisible or Se divide or Ruffii y se obtiee: 0 P Los otros dos factores se obtiee resolviedo la ecuació 0 Sus solucioes so y y so los factores E cosecuecia: 0 P E este caso, la solució es doble, ues el factor se reite dos veces Fraccioes algebraicas Las fraccioes algebraicas so auellas e las ue el umerador y el deomiador so oliomios Se oera del mismo modo ue las fraccioes ordiarias So frecuetes los errores de sigos y los errores e el o emleo de arétesis Suma ± ± ; ± ± NOT Puede ser coveiete, como co las fraccioes ordiarias, hallar el m c m de los deomiadores; ello simlifica los cálculos Nota: Salvo idicació e cotra uede coveir o oerar el deomiador mcm Producto y divisió ; : 9 : 9

6 UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Simlificació de fraccioes algebraicas La simlificació de fraccioes algebraicas es objeto de frecuetes errores, ero se simlifica igual ue las fraccioes ordiarias: dividiedo umerador y deomiador or factores comues La clave está e el factor comú Para simlificar al máimo habrá ue factorizar los oliomios umerador y deomiador Las eresioes y vistas más arriba se debería haber simlificado sí: Observació: E la simlificació de fraccioes algebraicas so frecuetes los errores Está ML: ; sigue mal: Lo correcto es: Está ML: Lo correcto es: escomosició e fraccioes simles uado el deomiador de ua fracció algebraica uede descomoerse e factores, la fracció se uede escribir como suma o diferecia de otras fraccioes más secillas Este roceso se cooce co el ombre de descomosició e fraccioes simles m Estudio de los casos más fáciles: descomosició de la fracció F a b c aso El deomiador es u oliomio de º grado co dos raíces reales simles Esto es, la ecuació a b c 0 tiee dos solucioes distitas, y Esto sigifica ue a La descomosició ue se hace es: m, a b c a los valores de y, ue so úmeros, se determia or el llamado método de idetificació de coeficietes Sea F omo las solucioes de 0 so y, la descomosició ue se hace es: José María Martíez Mediao

7 UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara 7 se ha sumado las dos fraccioes simles La fracció dada y la obteida al sumar las dos fraccioes simles so iguales Luego, como sus deomiadores so iguales, tambié debe serlo sus umeradores E cosecuecia: Resolviedo el sistema se obtiee los valores de y e otro modo: Si e la rimera igualdad se da a dos valores se obtiee directamete y Los valores más cómodos so y las raíces halladas sí: si : / si : / Por tato: / / aso El deomiador es u oliomio de º grado co ua raíz real doble Esto es, la ecuació a b c 0 tiee ua solució doble: Esto sigifica ue a La descomosició ue se hace es: La descomosició ue se hace es: m a b c a Los valores de y, ue so úmeros se determia como e el caso aterior Sea F 9 omo la ecuació 9 0 tiee la solució doble, la descomosició ue se hace es: se ha sumado las dos fraccioes simles 9 omo ates, la fracció dada y la obteida al sumar las dos fraccioes simles so iguales l ser iguales sus deomiadores, tambié lo será sus umeradores E cosecuecia: Si e esta igualdad se da a dos valores se obtiee u sistema ue ermite calcular y Los valores más cómodos so y 0 uo de ellos es la raíz del deomiador Se tiee: si : si 0: Por tato: 9 aso Si la ecuació a b c 0 o tiee raíces reales, la fracció descomoer de ua maera simle m o se uede a b c José María Martíez Mediao