9. Límites que involucran funciones exponenciales y logarítmicas

Transcripción

1 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 77 9 Límites que involucran funciones eponenciales y logarítmicas 9 El número e como un ite El ite: + n) n 9) se conoce como el número e Su valor aproimado, redondeado a ocho cifras decimales es En realidad, es un número irracional, lo cual significa que es un número decimal no periódico Cualquier representación del mismo con una cantidad finita de decimales, constituye una aproimación por truncamiento o redondeo Para ilustrar esto, construyamos una tabla con los valores de la epresión + /n) n, para valores de n grandes, tanto positivos como negativos Es decir, los valores de n = 0, 00, 000, 0 4,0 5,0 8,así como los valores de n = 0, 00, 000, 0 4, 0 5, 0 8 : n + n) n n + ) n n Tabla 9: Aproimaciones al número e La tabla 9 sugiere que conforme n tiende a +, otiendea, la epresión + /n) n tiende a cierto ite igual cuando n +, que cuando n ), conocido como número e ) Esta presunción intuitiva puede ser comprobada rigurosamente 2),demostrándose que el referido ite eiste, y es un valor real entre 2 y 3 3) Este número es la base de los logaritmos neperianos, llamados así en honor al matemático John Napier ) Para ver una breve biografía, visitar 2 En 3] p7-8 se demuestra la eistencia del ite de + /n) n cuando n +, estableciendo que los valores de + /n) n,paran entero positivo, corresponden a una sucesión monótona acotada, y por tanto, convergente 3 Ver 8] p48 50, para consultar esta demostración

2 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 78 Ahora bien, es bueno saber que haciendo el cambio de variable p =/n, elite 9) equivale a e = + n ) /p = +p n) p 0 de este modo Resumiendo ambas fórmulas: e = p p 0 +p ) /p = e + p) p = p 0 +p ) /p 92) El estudiante debe saber que se utilizan por igual estas dos representaciones en forma de ite del número e Debemos advertir sin embargo que la fórmula 92) encierra un significado distinto a la 9), enelsentidoqueen9) se toma n como una variable con valores enteros, mientras en 92) se considera que p toma valores continuos reales enteros o no) En 8] p5 52 se prueba que el ite p + + p) p, considerando p como una variable real, eiste y es igual al mismo valor obtenido al considerar el ite con valores enteros de n, en el sentido de 9) Igualmente se prueba el importante hecho que p + + p) p = p siendo estos ites iguales al número e 4) + p) p, Una aparición práctica del número e viene dada por el modelo utilizado en economía de ganancia de interés con capitalización compuesta continua Supóngase que se coloca un capital inicial A 0 a una tasa anual del 00 % Si los intereses se capitalizan una vez al año, al final de este periodo se obtendrá lógicamente un interés igual al capital inicial A 0 Pero si los intereses se capitalizan mensualmente, alfinaldelperiodoanual, producto de las doce cuotas mensuales, se tendrá un capital total inicial + intereses) de A 0 + r ) n = A0 + ) A 0, n 2 4 La demostración se realiza apoyándose en el teorema del encaje sección 2), utilizando la desigualdad + ) n < + p < + n + p) n) n+, donde n es entero positivo, y p es real con n p<n+

3 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 79 donde r = es la tasa en unidades absolutas) anual, y n = 2 viene siendo el número de cuotas en el año Ahora, si los intereses se capitalizaran semanalmente, y considerando un año de 52 semanas, el capital total acumulado al final del periodo sería A 0 + r ) n = A0 + ) A 0, n 52 pero si los intereses se capitalizaran diariamente, el capital total acumulado al final del año sería A 0 + r ) n = A0 + ) A 0 n 365 Continuando este razonamiento, si los intereses se capitalizaran cada hora, cada día, cada segundo, etc, y en el caso ite, si se capitalizaran en forma continua en instantes infinitesimalmente pequeños), el capital total acumulado al final del periodo anual sería A 0 + n = ea 0, n) por lo que el capital inicial se multiplica e veces, como producto de la inversión realizada 92 Límites de funciones eponenciales Consideraremos aquí ites que tienen la estructura Si ocurre que y f) g) f) =, g) = +, ó g) = se dice que el ite de la potencia f) g) tiene la forma la cual constituye una indeterminación que será estudiada en la subsección 93 Sin embargo en este momento nos ocuparemos de estructuras de potencia, cuyos ites no son de la forma Estos casos ocurren cuando: i) f) = A, y g) = B eisten ambos y son finitos, pero no son ambos iguales a cero A 0obienB 0) ii) f) = A, eiste finito) y es distinto de, mientras g) = +, ó g) =

4 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 80 En el primer caso, dado que A B es real, el valor del ite f) g) es A B, en virtud de la propiedad 26 sección 2), del ite de una potencia En el segundo caso, debemos distinguir si A> ó 0 A<, y si el ite de g) es + ó Supongamos primero que entonces la magnitud f) g) a, por lo cual f) = A >, y g) = +, se vuelve inconmensurablemente grande a medida que f) g) = + Ahora bien, si 0 <A<yelite de g) cuando a es +, observemos que f) g) = ) g) = f) f) ) g) donde /f) tieneelite /A que es mayor que, por lo que aplicando el resultado anterior se tiene ) g) = +, f) y en consecuencia teorema 73) f) g) = ) g) = 0 f) Finalmente, si f) = 0 yelite de g) cuando a es +, resulta también que f) g) = 0 Al respecto de los casos cuando g) =,

5 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 8 basta poner f) g) = f) g) donde el ite de g) es +, y aplicaremos los resultados anteriores a la epresión del denominador Resultará entonces que si el ite de f) esunnúmero A>, y f) g) = 0 f) g) = + si el ite de f) esunnúmero A con 0 A< Podemos resumir todos los resultados anteriores en una tabla, donde A es el ite de f) cuando a g) = + g) = A> f) g) = + f) g) = 0 0 A< f) g) = 0 f) g) = + Tabla 92: Valores del ite de f) g) Ejemplo 9 por lo tanto Evaluar ) 3 / 2 + Vemos que la base tiende a 2, y el eponente tiende a 3, conforme, ) 3 / 2 + = 2 3 = 8 Ejemplo 92 Evaluar En este caso tenemos sen ) 3 sen ) tg) 3 = 3 sen ) = 3,

6 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 82 mientras así que tg) = 0, sen ) tg) = 3 ) 0 = 3 Ejemplo 93 Calcular Aquí tenemos que + + ) 3 +2 ) ln 3 +2 = + 3 ) + 2 = 3, y como es sabido así que, por la tabla 92: + ln = + + ) ln 3 = + +2 Ejemplo 94 Determinar el valor del ite ) cosec) +2 En cuanto al ite de la base tenemos ) = +2 2 <, yencuantoaleponente cosec) = es + debido al valor absoluto), por lo que sen) = + ) cosec) = 0 +2

7 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 83 Ejemplo 95 Evaluar los ites laterales a) + Tenemos que ) / +, b) +3 ) + +3 = 3 < ) / + +3 tanto si tiende a cero por la derecha, como por la izquerda Ahora, por tanto + = +, = + ) / + = 0, pero +3 ) / + = + +3 Ejemplo 96 Calcular +3 2 ) Advertimos que cuando 0, la base tiende a, y el eponente tiende a cero, por lo que ) +3 2 = 0 = 93 La forma indeterminada Llamamos forma al ite con la estructura donde y F ) g) F ) =, g) = +, ó g) = Ante tales situaciones es posible por medio de manipulaciones algebraicas obtener epresiones que involucran el número e A tal efecto, véanse los siguientes ejemplos

8 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 84 Ejemplo 97 Calcular + 3 n) n En realidad, la estrategia que se acostumbra aplicar para este tipo de ites se basa en una idea muy sencilla, que el estudiante comprenderá al ver cómo procedemos en éste y los demás ejemplos que siguen Hacemos el cambio de variable p =3/n, con lo cual: p = 3 n n = 3 p p cuando n Luego + 3 n ) 3/p = +p n) por lo tanto = p +p ) /p ] 3 propiedad de la potenciación ] + n) 3 n +p ) ] /p 3 = p = p ] ) 3 /p +p ver nota más abajo ] = e 3 debido a que, en virtud de 92), el ite es igual al número e p + ) p p Nota El paso de introducir el ite dentro de los corchetes se ampara en la propiedad del ite de un producto En efecto: + p ] 3 = + p p) p + p p) p + p p) ) p p p = e e e = e 3

9 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 85 Por favor, estúdiese ahora el ejemplo siguiente: Ejemplo 98 Calcular + n 2 ) n Ante todo, realicemos la siguiente descomposición: + n 2 ) n = = + n ) n2 n pues, n = n 2 ] 2 n + ) n 2 /n propiedad de la potenciación ] n 2 Ahora, es necesario analizar por separado el ite de la base la epresión entre las llaves), y el ite del eponente: + ) /n n 2 eponente n 2 base entonces, haciendo el cambio de variable p =/n 2 se puede ver que 5) : ) + n ) n 2 2) n = 0 y entonces ) = +p p m 0 = e + n 2 ) n = + ) n 2 /n n 2 = e 0 = Como usted se habrá dado cuenta en los ejemplos anteriores, los ites de la forma son ites de funciones con estructura de potencia en la forma: ) g) +f) 5 o haciendo el cambio p = n 2, con lo que se obtendría al final el mismo resultado

10 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 86 donde el ite de f) es cero, y el ite del eponente es infinito La técnica de solución, en todos los casos es ingeniarnos para poner /f) en el eponente, y aprovechar el hecho que ) f) +f) si el ite de f) es cero Pero para terminar de asimilar esto, veamos algunos ejemplos adicionales Ejemplo 99 Calcule el ite = e +2 2 ) / Primero notemos que la base ) tieneite, mientras que el eponente / tiene ite infinito, cuando 0 Por lo tanto, el ite tiene la forma Como antes dijimos, la técnica de solución consiste en poner /2 2 ) eneleponente, lo cual lo hacemos de la siguiente manera: Ahora bien / +2 2 ) = )) / = )] = )] ) )] 2 2 ) /p = +p = e cambio p =2 2 ] p 0 2) por lo que 2 2 = 2 ) = )] / = e Ejemplo 90 Calcule ) 2 3

11 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 87 Este ite tiene la estructura, pues /3) tiendea,y2 tiende a infinito, cuando Manipulamos para poner el inverso de /3), o sea 3], en el eponente de la potencia: 2 ) 3 ) 2 = 3 = ) 3) 3 ] 3 2/3 3 = e 2/3 ver nota más abajo ] = e 2/3 Nota Aclaramos cómo es que aparece el número e en el ite anterior Haciendo el cambio p = /3): ] 3 = +p) /p = e 3 p 0 Ejemplo 9 Evaluar + sen ) / El ite tiene la estructura, entonces hacemos + sen ) / = = = ] + sen sen sen ] sen) ] + sen sen ] sen) ] + sen sen = e = e

12 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve Fórmula generalizada para formas Como el alumno podrá haberse dado cuenta, los ites en los ejemplos anteriores se evalúan siguiendo unos pasos más o menos similares y repetitivos Por esta razón es posible establecer una fórmula general que permita llegar a los resultados más directamente, y sin tener que seguir tantos pasos intermedios En concreto, supóngase que tenemos un ite con la estructura ) f) g) donde el itedelabasees,yelite del eponente es : i) f) = ) ii) ) hemos indicado de una forma general ) para indicar que puede tratarse de a, +,, a +, etc) Entonces, hagamos el siguiente acomodo: f) g) = ) ) = ) = ) = ) + f) ) g) f) + f) ) f) ) ] g) f) ) ] g) + f) )] f) f) ) ] g) + f) )] ) f) ahora haciendo el cambio u = f) : ) + f) )] f) /u = +u) = e u 0

13 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 89 por lo que: ) f) g) = ) = e ) + f) )] f) ) g) ] f) ) f) ) g) ] de este modo, llegamos a la fórmula: f) g) = ep ) ) f) ) g) ] 93) Vamos a repetir el ejemplo 9 utilizando esta última fórmula 93), para ver como llegamos al resultado de una forma más rápida Ejemplo 92 Calcular + sen ) / El ite es del tipo, y tiene la estructura f) g), donde f) = + sen ), g) = por lo tanto, siguiendo la fórmula general 93): Ejemplo 93 ) / + sen = f) g) f) ) ] = ep g) Calcular = ep = ep sen ) ] sen = ep) = e cos ) / El ite es del tipo, y tiene la estructura: ] f) g), donde f) =cos, g) =

14 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 90 por lo tanto, siguiendo la fórmula general 93) ) / cos = f) g) f) ) ] = ep g) ] cos = ep = ep0) = ite trigonométrico notable ] Ejemplo 94 Calcular + sen ) cotg El ite es del tipo, y tiene la estructura f) g), donde f) = + sen, g) =cotg por lo tanto, siguiendo la fórmula general 93): ) cotg + sen = f) g) f) ) ] = ep g) = ep = ep sen cos ] sen cos ] = ep) = e El siguiente ejemplo es particularmente interesante Ejemplo 95 Determinar el valor del ite ) + +2 Cuando,labase +)/ + 2) tiene a, por lo tanto, el ite es del tipo, con estructura f) g), donde f) = +, g) = +2

15 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 9 por lo que podemos aplicar la fórmula 93): ) + = f) g) +2 = ep = ep = ep = ep f) ) g) ] ) + +2 ) +2 ] +2 = ep ) = e ] ] Revísese el siguiente ejemplo, que involucra funciones trigonométricas Ejemplo 96 Evaluar el ite π cos)+2 ) / sen) π Aplicando la acostumbrada fórmula, tenemos ) / sen) ) cos)+2 = ep cos)+2 π +cos) = ep π sen) sen) En este punto, y siguiendo los consejos de la sección 6, hacemos un cambio de variable del tipo u = π π = u + π u 0 donde el secreto es escoger el cambio de manera que la nueva variable tienda a cero) Así π cos)+2)/ sen) +cosu + π) = ep u 0 senu + π) ahora usamos el hecho de que cosu + π) = cosu), y senu + π) = senu)

16 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 92 para obtenerlo, desarrollar identidad trigonométrica y simplificar), entonces ) / sen) cosu) cos)+2 = ep π u 0 senu) = ep ) cos u u 0 u u sen u ites notables = ep ) 0) ) = e 0 = El siguiente ite, se evalúa con ayuda de una conveniente factorización Ejemplo 97 Evaluar fórmula: 2 + ) / ) Advertimos la forma del ite, por lo que utilizamos la acostumbrada 2 + ) / ) = ep = ep = ep 2 + ) ) ) = ep +2) = e 3 95 Límites de funciones logarítmicas Presentemos ahora un hecho básico Si el ite eiste, y es positivo, entonces f) ] ln f) = ln f)

17 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 93 Este resultado puede ser de utilidad en situaciones como las que se mostrarán en los ejemplos siguientes Ejemplo 98 se sigue que Como Calcular ln ) ln ) = 2, = ln ) 2 = ln 2 Ejemplo 99 luego como tendremos Evaluar ln +) Lo que debemos hacer es escribir primero ln +) ] = ln +) = ln +) /, +)/ = e, ln +) = lne = Ejemplo 920 Determinar el valor de ln +) ln 2 En primer lugar ) ln +) ln 2 + = ln 2 ) / ) + = ln 2 pero la fórmula 93) muestra que + 2 ) / ) = ep = ep + 2 ) 2 ) )) = e /2,

18 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 94 entonces ln +) ln 2 = ln e /2 = 2 Ejemplo 92 Evaluar 2 Primero ln 2 ) ln = 2 2 ln ln 2 ) ln 3 2 ) 2 3 ) 2 / 2) = ln 2 3 La fórmula 93) muestra que ) / 2) = ep )) = e 4/3, de modo que 2 ln 2 ) ln 3 2 = ln e 4/3 = Casos relacionados El ite a 94) donde a es una constante positiva distinta de, es famoso dentro de este temario Su valor es lna), e indicaremos a continuación cómo obtener ese resultado En primer lugar, definamos la variable t = a con lo cual: a = t + lna ) = lnt +) lna) = lnt +) = lnt +) lna)

19 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 95 y notamos que cuando 0, tenemos que t 0 Por lo tanto, al aplicar este cambio, y realizar algunas simplificaciones, obtendremos: ahora, por el ejemplo 93 así lo que buscábamos a = t 0 = t 0 t lnt +) lna) lna) t lnt +) = lna) t 0 lnt +) t lnt +) t 0 t a =, = lna) = lna), Este resultado sirve de ayuda para la evaluación de otros ites, como lo muestran los ejemplos subsiguientes Ejemplo 922 Calcular el valor del ite e b, donde b es una constante real Observamos que e b = e b ) por lo tanto, tenemos el ite básico 94), con a = e b, por lo que el resultado es e b = ln e b) = b

20 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 96 Ejemplo 923 Calcular el valor del ite p a a p p, donde a es una constante positiva La clave es aplicar un cambio de variable del tipo m = p, = m + p donde la variable m tienda a cero Así p a a p p = m 0 = m 0 a m+p a p a p u a m ) m = a p m 0 a m m yenvistaque,por94) resulta p m 0 a m m a a p p = lna), = a p lna)

21 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 97 Ejercicio 9 Determinar el valor de los siguientes ites a y b representan constantes): a) sen 3 sen b) + 4+ ) ln ) c) e) ) /2 π) + sen d) π/2 + π/2 ln +2) f) + sen ) /2 π) ln3 +) ln +/3) g) ) /2 cos h) ) /2 cos i) k) m) ñ) p) r) π/2 sen) ] / cos) j) a 2 + a 3 + b b ) /3) l) ) n) ) +2 o) ) 3 / 2) 2 ln + cos ) ln 2 q) s) + ) a 2 a + a + b + + ) / a) ) 2 +3 ) ) 3 /2 2 4) 2 ln 2 4) ln Use el hecho ln 2 ) < 2, válido si 0 < <, para probar por medio del teorema del encaje, que 2 ln 2 ) = 0