8 Límites de sucesiones y de funciones

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1 Solucioario 8 Límits d sucsios y d ucios ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Calcula l térmio gral, l térmio qu ocupa l octavo lugar y la suma d los ocho primros térmios para las sucsios siguits., 6,,,..., 6, 8,,...,,,,... Progrsió aritmética: a, d a ), a, S 8 ) 8 8 Progrsió gométrica: a, r a, 7 a 8 7, S 8 8 Progrsió aritmética: a, d ) 8 8 a, 8 a, S II. E ua rgió, la població crc aualmt u %. Escrib la sucsió dl úmro d habitats sgú l úmro d años trascurridos dsd 8, sabido qu s año ra. Calcula qué año s alcazará ua població d d habitats. Calcula qué año s doblará la població iicial. a 8, a 9, 7,..., a, 8 a, 8, 8 log,87,87 8 6, 7 años log,, 8 log 8. Cuado pas años. log, EJERCICIS PRPUESTS 8.. Dada la sucsió d térmio gral a : Calcula sus trs primros térmios. Halla l lugar qu ocupa l térmio a s. 7 Dmustra qu s crcit. Halla, si s qu ist, ua cota suprior y ua cota irior. a a a s ) 7 s ) s 6 s a s. Es l térmio qu ocupa l lugar s a a >. Por tato, a > a y la sucsió s crcit. a. Ua cota suprior s y ua cota irior s. Solucioario

2 8.. S cosidra la siguit sucsió diida por rcurrcia: a ; a a. Calcula sus cuatro primros térmios y di d qué tipo s. Halla su térmio gral. Dmustra qu s moótoa crcit. Dmustra qu o stá acotada supriormt. a, a 6, a, a. Es ua progrsió gométrica. a a r a a a ) > a > a Es crcit. Dado l úmro ral M, s pud cotrar u térmio mayor qu él: > M M > l M l M M ) > l )l l > > l 8.. Dmustra qu los térmios d la siguit sucsió tid a. a a 9 < ε para > 9 ε 8.. Calcula l límit d las siguits sucsios. 7 ) 8.. TIC) Calcula los límits: 8 ) 6) ) 8 ) 6) ) TIC) Halla los límits siguits. ) 6 6 ) ) ) l Solucioario

3 Solucioario 8.7. PAU)TIC) Estudia l domiio d las siguits ucios: 6 ) 8 ) ) ) log ) l 6 ) ) ) D R ya qu s trata d ua ució poliómica. 6 D, l > > D, ) ), D, ), ), ) ) > ) ) > D, ), ) D, ), ) 8.8. TIC) Estudia l domiio d las ucios siguits: ) ) cos ) ) s D R si co solució ; D,, si < D R π s s La ució ist todo R cpto ± kπ, co k Z TIC) Ecutra l domiio y l rcorrido d las ucios: ) ) D R; R [, ) D [, ); R [, ) 8.. Dada la gráica d : Calcula: ), ), ), ), ), ), ), ), ) ) 6, ), o ist ), ) 6, ) 6, ) 6, ), ), ) 8.. Dada la gráica d g): Calcula: g ), g ), g ), g ), g ), g ), g ), g ), g ) g g ), g ), o ist g ), g ), g ), o ist g ), g ), g ), g ) 6 Solucioario

4 8.. Dada la graica d, calcula: ) ) ), ). No ist. ) ). No ist ), i ) 8.. Dada la graica d g), calcula: g ) g ) g g ), g ), g ) g ), g ), g ) 8.. Dibuja la ució l y calcula sus límits l iiito. ) ) o ist, porqu l logaritmo o stá diido,]. 8.. Dada la graica d, calcula: ) ) ) ) π π π π π 8.6. Dada la graica d g), halla los siguits límits: g ) g g ) g ) g ) Solucioario 7

5 Solucioario 8.7. TIC) Calcula l valor d los siguits límits ) ) ,, 8,, [ ] ) ) [ ] a 8.8. Sabido qu ), g ) y h ), calcula los siguits límits. ) g ) h ) ) a a a a ) g ) ) ) g ) ) a ) ) g ) g ) h ) ) g ) h ) ) ) 6 a a ) g ) ) ) g ) ) ) g ) ) ) 8 a g ) h ) 8.9. PAU)TIC) Halla l valor d los siguits límits. ) 6 ) ) ) l 9 l ) [ ] ) ) g) h) l ) l 9 ) ) 6 g) h) l,, ) ) l 8 Solucioario

6 8.. TIC) Calcula los siguits límits: ) s 8) tg cos s tg ) tg s ) tg cos ) l s s ) s 8 8 ) ) tg ) tg ) EJERCICIS Sucsios. Límits d sucsios 8.. Halla l térmio gral d las siguits sucsios., 7,,,,..., 8, 7, 6,, ,,,,, ), 7, 6, 6,,...,,,,... 6 a ) ) a a a ) a Halla l lugar qu ocupa l térmio qu val la sucsió,,,,, El térmio gral d la sucsió s a. Por tato: s a s s s s s s S trata dl vigésimo térmio. Solucioario 9

7 Solucioario 8.. PAU) Estudia la mootoía y la acotació d las siguits sucsios: a, b, c a ) 8 a < Es dcrcit. ) ) a > Acotada supriormt por a iriormt por. b b > ) ) ) ) ) Es crcit. b < Acotada supriormt por iriormt por b. c ) 6 c < Es dcrcit. c > Acotada supriormt por c iriormt por. 8.. Dada la sucsió a : Dmustra qu s dcrcit y acotada iriormt. Calcula su límit. Avrigua a partir d qué térmio los siguits s aproima a, co u rror mor d ε,. a a <. La sucsió s dcrcit. Ua cota irior d la sucsió s. l a <, <, <,. A partir dl térmio. 8.. Calcula los límits d las siguits sucsios. ) ) 7 g) 8 ) ) 6 ) h) 7 i) l l l g) 8 9 l 8 6 Solucioario

8 ) l h) l 7 6 i) 8 l Calcula los límits d las siguits sucsios. ) [ ] ) ) l [ ] id ) [ ] ) ) ) l l 8.7. Halla los límits d las sucsios siguits. 6 6 ) ) [ ] l 6 [ ] l ) ) l [ ] 6... [ ] 8.8. Escrib ua sucsió moótoa crcit, acotada supriormt, co todos sus térmios gativos. Escrib ua sucsió qu o sa crcit i dcrcit, y qu sa acotada supriormt y acotada iriormt. Escrib ua sucsió qu sa crcit y dcrcit a la vz. Escrib ua sucsió acotada supriormt, dcrcit y o covrgt. a,,,,,... a ),,,,,... Es oscilat. Admás solo toma dos valors, por lo qu stá acotada. a,,,,... Las ucios costats so crcits y dcrcits a la vz. a,,,... Solucioario

9 Solucioario Domiio y rcorrido d ua ució 8.9. Halla l domiio y rcorrido d las ucios cuyas gráicas s mustra a cotiuació. g h π π π π Domiio: R. Rcorrido: [, ) Domiio: [ π, π ]. Rcorrido: [,7;,7] Domiio:, ), ). Rcorrido: R 8.. PAU)TIC) Halla l domiio d las siguits ucios. ) ) ) l ) ) s ) cos log ) g) ) tg ) ) ) D, ), ) D, ) > > > D, ), ) D, ) ) La ució o ist i para los positivos i para los gativos. D π cos la ució ist todo R cpto los k π co k Z. π g) La ució ist todo R cpto los kπ co k Z. 8.. Halla l domiio y l rcorrido d las siguits ucios. ) ) D, ), ); R, ), ) D, ); R, ) Solucioario

10 8.. TIC) Halla l domiio d las ucios siguits. ) ) ) ) D [, ), ) D [, ) Todos los valors dl radicado so positivos. Por tato, l domiio d la ució s todo R. D [, ) > < < < Límits d ucios 8.. Dada la gráica d la ució y, idica, si ist, los valors d los siguits límits. E caso d qu o ista, idica los valors d los límits latrals. ) ) ) ) ) ) ), ) No ist ) 8.. Dada la gráica d la ució y, idica, si ist, los valors d los siguits límits. E caso d qu o ista, idica los valors d los límits latrals. ) ) ) ) ) ) ), ) No ist. ) 8.. Dada la gráica d la ució y, idica, si ist, los valors d los siguits límits. E caso d qu o ista, idica los valors d los límits latrals. ) ) ) ) ) ) ) ; ) o ist. No ist; o ist los latrals. ) No ist; ) ; ) o ist. Solucioario

11 Solucioario 8.6. Dada la gráica d las siguits ucios halla, si ist, los valors d los límits qu s idica a cotiuació. E caso d qu o ista, idica los valors d los límits latrals. ) ) ), y, rspctivamt ), ), o ist ) Calcula los límits siguits.,,,,,,,, 8.8. Halla los siguits límits o ist, ya qu o stá diidas las raícs d ídic par d los úmros gativos. 6 o ist al o istir TIC) Halla los límits siguits. l l l l ) l l No ist. No ist. ) No ist. No ist. 8.. TIC) Calcula los siguits límits: tg cos π tg π cos tg cos π tg π cos tg π cos tg π cos Solucioario

12 8.. TIC) Halla los límits qu s idica a cotiuació. ) i) m) j) ) ) ) g) k) h) l) k) [ ] h) ) [ ] [ ] ) g) l) i) j) ) [ ] m) ) 8.. Calcula los límits: ) ) ) ) g) ) 6) 6 ) h) ) g) h) 8.. Halla los límits: g) j) ) h) k) i) l) 6 ) g) j) h) k) 6 i) l) Solucioario

13 Solucioario 8.. TIC) Dtrmia los siguits límits d ucios. 6 g) i) ) h) 6 j) 6 g) h) i) ) No ist. j) 8.. PAU)TIC) Halla los límits: [ ] l l [ ] 8 l 8 6 [ ] 8.6. PAU)TIC) Calcula los siguits límits. ) ) ) ) ) Solucioario

14 8.7. TIC) Calcula los siguits límits d ucios distiguido, si s csario, los dos límits latrals. g) 7 6 h) 9 i) 6 a ) a a a j) a a 7 7 ; o ist ; o ist ; 7 a ) a a a g) a si a a a ; o ist ; o ist 9 h) 6 i) a a j) o ist a a si a Solucioario 7

15 Solucioario 8.8. PAU)TIC) Calcula los siguits límits. 6 8 ) g) ) ) h) 6 ) ) ) l ) 7) 7) 8 ) 6) 9 l 7 ) 9) 7 ) ) 7 l ; 8 ) ) ) ) 7 ) ) l o ist 7 8 ) ) ) si l ) ) ) ) si ) ) 8 ) l ) ) 8 ) ) ) ) l ) ) 7 ) ) ) ) g) ) ) ) ) ) l l ) h) [ ] 8.9. TIC) Calcula: ) 6 7 a a a, a > a ) ) ) ) ) ) ) ) ) 7 ) ) ) 7 ) ) ) l l ) ) 7 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) l 6 8 Solucioario

16 ) ) ) ) ) ) ) ) l ) ) ) ) ) ) ) ) ) 8 ) 6 ) 6 ) 6 ) ) ) ) ) l 6 6 a a a a a l a a a a a a a a a a a a a a 8.. TIC) Halla los límits siguits. g) h) ) s s l l j) i) cos cos cos cos [ ] [ ] s s l l ) [ ] g) h) [ ] cos i) cos cos cos j) Solucioario 9

17 Solucioario 8.. PAU)TIC) Halla los límits siguits. ) g) h) ) ) l ) ) l 6 ) ) l ) g) ) 8 8 ) l ) l ) ) l h) 8.. TIC) Halla los siguits límits. s l ) ) s ) g) cotg i) cos tg s cos h) l ) ) j) cos ) s tg l l ) s [ ] Solucioario

18 s ) s l ) ) s cos ) cos cos ) cos ) cos l g) [ ] cotg l tg h) l ) ) cos i) cos ) cos l j) ) cos PRBLEMAS 8.. Dada la sucsió a : Compruba qu su límit s. Ecutra u térmio a partir dl cual todos los siguits prtzca al itrvalo d ctro y radio ε,. Ecutra u térmio a partir dl cual todos los siguits prtzca al itrvalo d ctro y radio ε,. l a <, <, <, <, > El térmio buscado s., a <, <, <, <, > 666, 67, El térmio buscado s l PAU) Calcula l valor d a para qu l límit d la sucsió d térmio gral a a sa. a a l Calculamos l límit dl pot: a Etocs a a l a l a a Solucioario

19 Solucioario 8.. E l año 8, y ua cirta zoa d bosqu mditrráo, hay uidads d árbols d ua dtrmiada spci. Si s supo qu cada año la catidad d árbols crc u %: Escrib los primros térmios d la sucsió qu idica l úmro d árbols qu habrá sgú los años trascurridos. Escrib l térmio gral d dicha sucsió. Cuátos árbols habría l año 6 si s siguira dado stas mismas codicios? A partir dl año 6, y dbido a u pla d rgració, s spra qu l crcimito s modiiqu 69 7) sgú l modlo b, dod s l úmro d años trascurridos dsd 8. 6 E qué porctaj crcrá l úmro d uidads 7 rspcto d 6? ) Raliza u gráico qu rprst l úmro d árbols tr los años 8 y. S stabilizará l úmro d árbols? E qué catidad?,, 8,,... a,, sido l úmro d años trascurridos dsd 8. a 8, 8 69 árbols b 9 ) 76 69, u, % 69 7) árbols 8.6. PAU) Calcula los valors d a y b para qu s vriiqu las siguits igualdads. a b a b a b a b a b a b a a, b a b a b a b b a b a ) a b ) b a a, b a b Solucioario

20 8.7. S orma u cubo d lado co cubos d lado uidad, y s pita las caras dl cubo grad. Dspués, s cuta los cubos pquños qu ti trs caras pitadas, los qu ti dos y los qu ti ua. Forma la sucsió dl úmro d cubos co trs caras pitadas, sgú qu l lado dl cubo grad sa,,, tc., uidads. Escrib l térmio gral. Forma la sucsió dl úmro d cubos co dos caras pitadas, sgú qu l lado dl cubo grad sa,,, tc., uidads. Escrib l térmio gral. Forma la sucsió dl úmro d cubos co ua cara pitada, sgú qu l lado dl cubo grad sa,,, tc., uidads. Escrib l térmio gral. Si la mdida s, solo ti u cubo co las sis caras pitadas, por lo qu l primr térmio d las trs sucsios s. Cosidrmos, por tato, >. Trs caras pitadas: 8, 8, 8, 8,..., a 8 Dos caras pitadas:,,, 6,..., a ) Ua cara pitada:, 6,,,..., a 6 ) 8.8. U cuadrado ti cm d lado. E él s iscrib ua circurcia, dtro d lla otro cuadrado, dspués otra circurcia, y así sucsivamt. Halla los primros térmios corrspodits a las sucsios d los prímtros y d las áras d los cuadrados, por u lado, y d las circurcias, por otro. Calcula los térmios grals d las sucsios atriors. Calcula l límit, si s qu ist, d las sucsios atriors. Cuadrados: Prímtros: 8,,,,...; Áras:,,,,... Círculos: Prímtros: π, π, π, π,...; Áras: π, π, π, π,... Cuadrados: Prímtros: 8 ; Áras: Círculos: Prímtros: π ; Áras: Todas las sucsios ti límit. π 8.9. PAU) Calcula l valor d k para qu s vriiqu qu: k k ) k ) ) ) k k k k ) 8 k k k k k k. Para qu l límit puda valr, s csario qu k k. ) ) Ectivamt, st caso: l ) ) Solucioario

21 Solucioario 8.6. Ua mprsa prsta srvicios d assoramito iormático para corrgir rrors habituals los PC mdiat cosultas tlóicas. La siguit ució prsa l cost total aual, uros, d prstar cosultas tlóicas, tido cuta los gastos d salarios, local, coios y quipos: ) 7, 6 Escrib la prsió d la ució qu acilita l cost uitario d cada assoramito cuado s ha cotstado cosultas tlóicas. Supoido qu la ly s vriica idiidamt, halla l cost aproimado d cada srvicio tlóico cuado s prsta ua gra catidad d llos. Si s dcid cobrar por cada srvicio prstado u % más dl cost hallado l apartado atrior, cuál s l bicio obtido al rsolvr 8 cosultas? ) 7, 6 Costs por uidad: C ) 7, 6 7, S cobrará 7,, 9,7 por srvicio. Lugo l bicio s d,87. Al rsolvr 8 cosultas l bicio obtido srá d La població d isctos ua lagua ctroamricaa volucioa co l paso d días sgú la siguit ució: 8 ) Idica la població qu ist al comizo dl príodo cosidrado. Idica la població cuado ha pasado, 7 y días. Si la població siguis la ly idicada d orma idiida, qué valor aproimado s stabilizaría?,6 isctos A los días: isctos; a los 7 días: 7) isctos; a los días: 66 isctos. 8 isctos 8.6. Ua mprsa qu abrica discos duros tros para ordadors prsoals s plata abricar u míimo d uidads u dtrmiado príodo d timpo y stima qu: Si abrica sas uidads míimas, los costs totals d producció ascid a. Por cada uidads qu abriqu qu supr sas y simpr qu o pas d 9, los costs dismiuy cétimos por uidad abricada. A partir d sas 9 uidads, los costs por uidad producida vi dados por la prsió: ), Escrib las prsios d las ucios qu dtrmia los costs totals y por uidad, sgú l úmro d uidads vdidas. Idica l domiio d las atriors ucios. Estudia la tdcia d las atriors ucios cuado l úmro d uidads producidas s muy grad. Costs por uidad:, ) si 9 Cu ), si > 9 Costs totals:, ) si 9 CT ), si > 9 El domiio d ambas s [, ). Cuado s abrica u úmro muy grad d uidads, los costs por uidad tid a stabilizars y los totals, obviamt, crc idiidamt. Solucioario

22 8.6. El timpo, sgudos, qu tarda u atlta corrr mtros lisos vi dado por la ució: ) 9 dod s l úmro d días qu ha trado prviamt. Calcula l timpo qu tardará ralizar la carrra tras u largo príodo d tramito. 9 ) 9 s PRFUNDIZACIÓN 8.6. Da ua plicació d por qué o ist los siguits límits: s cos s ) tg cos tg s, cos y tg oscila idiidamt tr y o tr y ), d orma qu uca s acrca a igú úmro i s hac muy grads o muy pquñas cuado s hac muy grad apartados a, c y ). D igual orma, o ist s s y, hacido y. Aálogamt los apartados b, d y. y 8.6. Po u jmplo d dos ucios y g) tals qu ista ) g ) ) i g )., pro qu o ista ) ) s ; g ) s g) s s y s vriica l uciado TIC) Calcula los siguits límits. ) ) ) ) ) ) Solucioario

23 Solucioario Solucioario TIC) Calcula los límits siguits. ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) TIC) Calcula los siguits límits TIC) Calcula l siguit límit, studiado prviamt los límits latrals: ; Como los límits latrals o coicid, o ist.

24 8.7. S cosidra la sucsió, 6, 8,,,, 6,... Cuado ua sucsió vriica qu la sucsió ormada por los úmros qu s obti al rstar a cada térmio l atrior, mpzado por l sgudo, s ua progrsió aritmética, s dic qu la sucsió iicial s ua progrsió aritmética d sgudo grado. Compruba qu la sucsió dada s d st tipo. Las progrsios aritméticas d sgudo grado ti por térmio gral u poliomio d sgudo grado. Halla l térmio gral d la sucsió dada. La sucsió qu s orma al rstar a cada térmio l atrior, mpzado por l sgudo, s:,,,,, 6,... Ectivamt, s ua progrsió aritmética d primr térmio a y d razó d. a a b c a b c a a b a b c a 6 a a, b, c. Por tato, a a b 9a b c a S cosidra la sucsió,, 6,,,,... Cómo diirías qué s ua progrsió aritmética d trcr grado? Compruba qu la sucsió dada s d st tipo. Qué orma ti los térmios grals d las progrsios aritméticas d trcr grado? Halla l térmio gral d la sucsió dada. Ua sucsió s ua progrsió aritmética d trcr grado cuado la sucsió ormada por la dircia d cada térmio co l atrior s ua progrsió aritmética d sgudo grado. Partido d la sucsió dada, la sucsió ormada por cada térmio mos l atrior s,, 6,, 8,..., qu s ua progrsió aritmética d sgudo grado ya qu si s vulv a rstar a cada térmio l atrior, s obti,,, 7,..., qu s ua progrsió aritmética. a b c d 7a b c 8a b c d a a b c d : 9a b c 7a 9b c d 6 7a 7b c 6 6a 6b c d a b 6a a, b, c, d a 8a b Dada la sucsió diida por rcurrcia: a, a a Calcula sus primros térmios. Sabido qu s covrgt, calcula su límit. a, a, a, a Como s sab qu la sucsió s covrgt: a a L Por tato: L L L L L La solució L o ti stido ya qu s ua sucsió d térmios positivos). Solucioario 7

25 Solucioario 8.7. Dada la sucsió diida por rcurrcia: a, a a Calcula sus primros térmios. Sabido qu s covrgt, calcula su límit. a a a a Como s sab qu la sucsió s covrgt: a a L Por tato: L L L L L L L L ) L La solució L o ti stido ya qu todos los térmios so mayors qu ) Calcula los siguits límits )... ) Halla los siguits límits: ) ) ) ) ) ) )... ) ) ) ) 6... ) ) 6 ) Solucioario

26 Elig la úica rspusta corrcta cada caso: RELACINA CNTESTA 8.. El valor d log val: A) D) B) E) El límit o ist. C) D) Calculado l límit: log log log 8.. El valor d a s: A) D) a B) E) a C) C) Calculado l límit: a a a a a a a 8.. Los valors d A y 6 B so: A) A y B D) A y B B) A y B E) A y B C) A y B E) Calculado ambos límits: A B [ ] Solucioario 9

27 Solucioario 8.. La ució y ) vriica qu: ) ) ) ) ) ) E stas codicios, su gráica pud sr: A) B) C) D) E) Nigua d las gráicas atriors pud rprstar a la ució y. D) Porqu la opció A, ), ). E la opció B, ) ) o ist y ). o ist. E la opció C, a b 8.. Los valors d a y b qu hac qu: so: 7 6 A) a 8, b C) a 8, b E) Nigua d las atriors opcios s cirta. B) a 8, b D) a 8, b C) 7 E st caso, a b 8 a b. Para qu st límit sa iito, s csario qu a b. 6 7 a b ) a ) a 8 a a 8, b. 6 ) 6) S compruba qu para stos valors l límit val: Sñala, cada caso, las rspustas corrctas: 8.6. Dada la graica d : A) ) D) ) B) ) 6 E) ) C) ) A, C, D y E. bsrvado la gráica s aprcia qu la rspusta o cirta s la B, ya qu ) o ist. Solucioario

28 8.7. La sucsió a s covrgt y vriica qu: a a A) Si a tocs la sucsió s moótoa dcrcit. D) El límit d la sucsió s. B) Si a tocs la sucsió s moótoa crcit. E) El límit d la sucsió s C) El límit d la sucsió s. si a > y si a <. C) Si a L L L L L L ; A, B) s compruba co calculadora. Elig la rlació tr las dos airmacios dadas: 8.8. Dadas las sucsios d térmios grals rspctivos a y b : Las dos so covrgts. La sucsió d térmio gral c a b s covrgt. A) a b D) a y b o s pud dar a la vz. B) a b, pro b / a E) Nigua d las dos airmacios s pud vriicar. C) b a, pro a / b B) Si a ) y b ) a b a b ), pro los límits d a y b o ist. Sñala l dato icsario para cotstar: 8.9. S quir obtr l límit datos: P ) Q ) dod P) y Q) so ucios poliómicas. S da los siguits P) Q) El rsto d dividir Q) tr s. El rsto d dividir P) tr s. El rsto d dividir Q) tr ) s. A) Pud iars l dato a. D) Pud iars l dato d. B) Pud iars l dato b. E) Los datos o so suicits para podr calcular l límit. C) Pud iars l dato c. P ) P ) ) D) l Q ) Q ) ) Aaliza si la iormació sumiistrada s suicit para cotstar la custió: 8.. S quir obtr l límit l orig d coordadas d la ució cotiua R. S sab qu: La ució vriica qu ) ) para cualquir. ) A) Cada dato s suicit por sí solo para hallar l límit. D) So csarios los dos datos jutos. B) a s suicit por sí solo, pro b o. E) Hac alta más datos. C) b s suicit por sí solo, pro a o. C) Por sr cotiua todo R, tambié lo s. Por tato: ) ) ) Solucioario

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