De la teoría a la demostración.

Transcripción

1 Los orbitales híbridos sp el ángulo de 0º: De la teoría a la demostración. Antonio José Sánchez. Introducción objetivo Describir los datos experimentales es el objetivo de toda ciencia. En Química, los materiales con los que continuamente estamos trabajando son las moléculas, las cuales queremos transformar por medio de una reacción en otras que nos sean más útiles rentables desde un punto de vista económico. De entre las propiedades que definen a una molécula, una de las más importantes es el ángulo que forman los átomos que la componen. Así, es sabido que para la molécula de metano ( CH 4 ) el ángulo entre el C el H es de 09,5º, es decir, el ángulo correspondiente a un tetraedro regular, mientras que en la molécula de eteno ( CH CH ), dicho ángulo se amplia hasta 0º. Cómo las teorías de enlace han sido capaces de explicar esta direccionalidad de los enlaces químicos? Si consideramos que los enlaces se establecen entre orbitales de la capa de valencia que tienen electrones desapareados, fundamentalmente manejaríamos orbitales s orbitales p (los orbitales d, que aparecen en la capa de valencia de los metales de transición no suelen aparecer en las moléculas estudiadas en los cursos de Química básica). Sin embargo, el orbital s tiene una simetría esférica, como la de un balón de baloncesto, mientras que los orbitales p extienden sus lóbulos en las tres direcciones de los ejes cartesianos (de ahí que los llamemos p, p p ) Es decir, que tenemos un orbital que no muestra x z preferencia por ninguna dirección, a que en una esfera todas las direcciones son equivalentes, tres orbitales que forman entre sí un ángulo de 90º. Por ello, para justificar ángulos como los de la molécula de metano o eteno, parece que la premisa de usar orbitales atómicos puros no pasa por ser la mejor solución. Es en este punto donde aparece como solución los orbitales híbridos, que no son más que una mezcla de orbitales atómicos en unas proporciones que nos permiten no sólo justificar la dirección de enlace, sino también la existencia de moléculas como el metano (parémonos a pensar que el carbono, cua configuración electrónica es C : [ He] s p, sólo tiene electrones p desapareados cuando en la molécula forma 4 enlaces que requerirían 4 electrones desapareados) Por ello, con este artículo, vamos a tomar el caso de la molécula de eteno de los híbridos sp, necesarios para explicar su estructura, procederemos a demostrar matemáticamente el cumplimiento del ángulo de 0º.. Desarrollo Cuando en nuestra vida cotidiana hablamos de mezcla, nos referimos a la unión de dos sustancias (líquida, sólidas o unión de ambas). Por ejemplo, para preparar una limonada natural no excesivamente ácida, tenemos que rebajar el zumo extraído directamente de un limón con una cierta cantidad de agua. Si tomamos por caso, que mezclamos 5 ml de zumo de limón puro con 0 ml de agua, podemos decir que la limonada resultante es un % limón puro, un 77% agua pura. Lo que es evidente, es que la limonada que hemos preparado no es ni limón puro ni agua pura. Cuando hablamos de orbitales híbridos, la analogía de la limonada nos sirve perfectamente. Dentro de los múltiples orbitales híbridos que se pueden construir, los más comunes en los cursos de Química básica son: Orbitales sp : Resultado de combinar un orbital s con tres orbitales p, formándose cuatro orbitales híbridos que dirigen sus lóbulos a los vértices de un tetraedro

2 Orbitales sp : Solución de combinar un orbital s con dos orbitales p, generándose tres orbitales híbridos que dirigen sus lóbulos a los vértices de un triángulo plano Orbitales sp : Donde se mezcla un orbital s con un orbital p, dando lugar a dos orbitales híbridos que se disponen linealmente Figura I. Ejemplos de distribución de los orbitales sp sp Sin embargo, cuando en Química hablamos de mezclar orbitales, ésta expresión realmente responde a una operación matemática simple: la combinación lineal, es decir, sumar o restar orbitales. Se pueden sumar orbitales? La respuesta es que sí, porque los orbitales se describen por medio de funciones matemáticas. Más concretamente, estas funciones reciben el nombre de funciones de onda, por el hecho de que el electrón puede explicarse como una onda ( como una partícula, por la dualidad onda-corpúsculo planteada por De Broglie!) Así, parece que acabamos de echar por tierra la idea que teníamos de orbital como una especie de espacio físico que se encuentra alrededor del núcleo en donde ha una alta probabilidad de encontrar al electrón. Bien es cierto que la definición de orbital es un punto donde ha una gran divergencia de opiniones criterios, pero es interesante dejar bien claro que un orbital se puede describir por una función matemática. La siguiente pregunta que nos puede surgir es qué forma tiene esa función matemática. Sin entrar en detalles, podemos decir que esta función es el producto de dos partes: Una parte radial, representada por R(r). Podemos decir que esta parte lo que determina es la distancia del electrón al núcleo. Evidentemente, de algún modo matemático debemos explicar que un orbital s tiene un tamaño maor que un orbital s. Una parte angular, representada por Y ( θ, φ), que de una forma mu reduccionista podríamos decir que controla la forma del orbital (que sea esférica o que tenga forma alargada como en el caso de los orbitales p). Estos dos ángulos se llaman θ (ascensión recta) φ (azimutal), para entender lo que significan vamos a tomar como caso práctico una grúa móvil de construcción El ángulo de ascensión recta es el que formaría el brazo de la grúa con la perpendicular al suelo, mientras que el ángulo azimutal es el ángulo que se puede mover la base de la grúa sobre su propio eje para trasladar un objeto de un lado para otro Figura II. Representaciones del ángulo de ascensión recta del ángulo azimutal

3 A la hora de demostrar el ángulo de los híbridos sp, nos tendremos que centrar únicamente en la parte angular, pues el tamaño de los orbitales atómicos no nos debe importar. Siguiendo con la analogía de la limonada, ahora al orbital s vamos a considerarle que es el zumo de limón los orbitales p, la porción de agua. En un híbrido sp sabemos que hemos mezclado o combinado orbitales (uno s dos p ), por lo que en cada híbrido, el orbital s representará un % (/) del total, los orbitales p equivaldrán al 77% (/) restante. Este hecho tiene que quedar plasmado en la combinación lineal de las funciones matemáticas, a las que genéricamente vamos a llamar i c s) ± c ( p ) ± c ( p ) () i ( x Los cuadrados de los factores, c son los que expresarán esta participación, de modo que c c c + c matemáticas, las ecuaciones de los tres orbitales híbridos c. Teniendo en cuenta esto, sin entrar en detalles de cómo se construen las funciones ( s) + ( px ) () ( s) ( p x ) + ( p ) () 6 ( s) ( p x ) ( p ) (4) 6 sp serán: Como los orbitales forman entre sí un plano, hemos escogido el plano XY, porque en los posteriores cálculos nos va a simplificar esta elección algunas expresiones. Figura III. Disposición de los orbitales en el plano XY Ahora, simplemente, tenemos que saber cuál es la función correspondiente a cada orbital atómico de partida. Nuevamente se exponen los resultados, pues la deducción implica conceptos excesivamente avanzados. Como a hemos comentado anteriormente, sólo pondremos la parte dependiente de los ángulos. ( s) (5). Nótese que en una esfera no ha dependencia angular. ( p x ) Senθ (6) π ( p ) Senθ (7) π Que aparezcan dos variables no nos debe asustar, porque como hemos escogido el plano XY, es fácil ver que éste plano forma un ángulo de 90º con el eje z. Es decir, que el brazo de la grúa del que hablábamos antes estaría paralelo al suelo. Por tanto, es bien sabido que Sen θ Sen ( 90º ). Así es como simplificamos enormemente las expresiones anteriores, que quedan: ( p x ) (6.) π ( p ) (7.) π

4 Sustituendo (5), (6.) (6.) en las ecuaciones (), () (4), obtenemos unas funciones dependientes de una sola variable: +. Para saber a qué valor de ángulo φ se alcanza el máximo de la π función, simplemente tenemos que hacer la primera derivada, del mismo modo que se hace en la asignatura de Matemáticas: ' d 6 0. Esta igualdad sólo se cumple cuando φ 0º, cosa que no nos debe π extrañar porque este orbital se encuentra sobre el eje X. Con respecto a +. Haciendo la misma derivada e 6 π π igualando a 0 resulta: ' d 0 ( ) π π Simplificando:. Que es igual a Tgφ π. Una de las π π π soluciones de esta igualdad es precisamente nuestro buscado valor de φ 0º El cálculo para el orbital restante es idéntico que el anterior, con la única diferencia de que ha un signo que cambia: De donde se saca que 6 π π ' d 0 ( ) 0 6 π π π π De modo que: Tgφ π. La solución nos dice que φ 40º. Es decir, que endo en π sentido antihorario en la figura III. desde el orbital, tenemos que recorrer 40º para llegar al orbital. Viendo los resultados, es evidente que un orbital está separado de otro vecino, un valor de 0º, como queríamos demostrar.

5 . Conclusiones Los cálculos que acabamos de realizar han venido a demostrar uno de los valores más manejados en el estudio de las moléculas a nivel de Bachillerato. Si bien estos cálculos se han simplificado lo máximo posible, es interesante reflexionar sobre cómo las Matemáticas otras ciencias se hacen indispensables en el manejo cotidiano de las deducciones en Química, más concretamente, de la Química cuántica. Si bien detrás de los orbitales híbridos ha un sin fin de complicaciones de índole más técnica, hemos podido comprobar cómo los conceptos que se manejan a nivel de Bachillerato, pueden ser más que suficientes para que, con un poco de paciencia, con un lápiz papel en blanco como compañeros, podamos demostrar uno de los principios fundamentales de las teorías de enlace en Química.