VECTORES. b procesador de texto lo más usual es escribirlo con negrita (a). Ambas notaciones se leen el vector a. De ahora en

Transcripción

1 /o Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 VECTORES En físic eisten cntiddes que quedn representds por un número, ests cntiddes dimensionles pueden ser: el umento de un lente ( M 3); el coeficiente de fricción cinétic ( k 0,48), l constnte dieléctric de un dieléctrico (k 5), etc... se crcterizn por no tener uniddes. Otrs quedn determinds por un número un unidd, ests cntiddes se llmn cntiddes esclres. Son ejemplos de cntiddes esclres l ms ( m 5,8 kg), l longitud (l 3 cm), l energí cinétic (Ek 34 J), el tiempo (t 5 s), l tempertur (T 36º C), etc. Y finlmente h cntiddes llmds cntiddes ectoriles, tles como l elocidd ( 59 km/h), ls fuerzs (F 7 N), l celerción ( 76 m/s ), entre otrs que necesitn un ector pr poder representrse correctmente. Un ector es un segmento orientdo que posee módulo, dirección sentido. El módulo de un ector es l mgnitud esclr que represent l longitud del ector. L dirección está dd por l rect sore l cul se puede desplzr el ector que contiene l ector el sentido es hci donde se puede desplzr. Pr nomrr un ector se utilizn letrs músculs o minúsculs, según el utor que se consulte. Nosotros doptmos el criterio de designrlos con letrs minúsculs. Cundo se escrie en form mnuscrit se suele notr sore l letr un flech o un r ( -) pr representr l ector (ā) cundo se hce con un procesdor de teto lo más usul es escriirlo con negrit (). Ams notciones se leen el ector. De hor en Fig.1 más, tod ez que encontremos un negrit, nos estremos refiriendo un ector. En l Fig.1 se precin dos ectores con el mismo módulo (osérese que todos tienen l mism longitud), no ostnte ls direcciones de son respectimente: horizontl erticl, en tnto que el sentido de los mismos es derech rri. Al diujr digrms con ectores, normlmente usmos un escl similr l de los mps, en l que el módulo del ector es proporcionl l mgnitud ectoril que represent. Por ejemplo en un digrm podrímos representr un fuerz de 3 N con un ector de 1 cm, entonces un ector de 4 cm representrí un fuerz de 1 N. Por definición, el módulo o norm de un ector es siempre positio. L mner más frecuente pr representr el módulo de un ector es son ls rrs erticles ( ) que encierrn l letr, de tl mner que l escritur se lee módulo de. O Fig. Llmremos origen l etremo del segmento que no es l punt de flech, en l Fig. es el punto O. 1

2 Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 Iguldd de ectores: dos ectores son igules si tienen el mismo módulo, dirección sentido, se cul se su uicción en el espcio. Fig.3 Opuesto de un ector: definimos el opuesto de un ector, como el ector que tiene el mismo módulo dirección, pero sentido contrrio. Utilizmos l notción pr referirnos l opuesto del ector. - Fig.4 Vectores concurrentes: dos o más ectores son concurrentes cundo tienen el mismo origen. c O Los ectores, c de l Fig.5 son concurrentes porque tienen el mismo origen O. Fig.5 OPERACIONES CON VECTORES Multiplicción de un esclr por un ector: el producto de un esclr por un ector es otro ector de l mism dirección, cuo módulo se otiene de multiplicr el esclr por el módulo del ector ddo cuo sentido es igul l del ector si el esclr es positio de sentido contrrio si el esclr es negtio Fig.6 En l Fig.6 se preci que ddo un ector culquier, el ector. es otro de l mism dirección sentido l ddo, cuo módulo es el dole. El ector 3. es otro ector de l mism dirección, de sentido contrrio cuo módulo es el triplo del módulo del ector. Ahor podemos firmr que el opuesto de un ector se otiene de multiplicr por el esclr menos uno l ector cuo opuesto se quiere hllr. Simólicmente: A) Sum de ectores colineles SUMA DE VECTORES A. 1 : Sum de ectores colineles del mismo sentido: l sum de dos ectores colineles del mismo sentido es otro ector colinel los ddos, del mismo sentido cuo módulo es l sum de los módulos de los ectores ddos.

3 Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 c + Fig.7 En l Fig,.7 se preci que l sum de los ectores colineles del mismo sentido es otro ector c, colinel los ddos, del mismo sentido cuo módulo es l sum de los módulos ddos. Ejemplo: Un uto que h estdo detenido por más de un semn se qued sin terí. El compñnte un oserdor solidrio deciden empujrlo. El primero reliz un fuerz de 5 N el segundo de 7 N. Cuál es l fuerz totl que relizn entre mos pr empujrlo? F 1 5 N Dtos Incógnit R? F 7 N Como ls fuerzs son colineles del mismo sentido, pr clculr el módulo de l fuerz resultnte deemos sumr los módulos de ls fuerzs dds: R F 1 + F F 1 5 N Fig.8 R F 1 + F R 5 N + 7 N R 1 N0 F 7 N R 1 N Rt: l fuerz que relizn entre mos es resultnte o sum de ls fuerzs relizds por mos. L resultnte tendrá un módulo de 1 N, un dirección prlel ls fuerzs dds el mimo sentido que ls fuerzs F 1 /o F. A. : Sum de ectores colineles de distinto sentido: l sum de dos ectores colineles de distinto sentido es otro ector de l mism dirección ls dds, cuo módulo es l diferenci entre los módulos ddos cuo sentido es igul l sentido del ector de mor módulo. Fig.9 c + En l Fig. 9 se oser que l sum de los ectores colineles de distinto sentido, siendo el módulo de mor que el módulo de, es otro ector c, colinel los ddos, del sentido de cuo módulo es l diferenci de módulos entre. Ejemplo: En un competenci inter triu el profesor de Educción Físic orgniz el juego de l cinchd. El grupo de Los rojos reliz un fuerz de 3 N hci el este, en tnto que el denomindo Los zules pueden relizr un fuerz de 5 N hci el oeste. Qué equipo gn l competenci? Cuál es l fuerz resultnte de este torneo? Dtos F r 3 N gndor? Incógnits F 5 N R? 3

4 Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 Si llmmos F r l fuerz que relizn el equipo rojo F l fuerz que relizn el equipo zul, tendremos un gráfico de fuerzs como el relizdo en l Fig.10. N Fig.10 F S Es eidente que l fuerz resultnte será un fuerz de igul dirección ls dds, cuo módulo lo otenemos restndo los módulos ddos (l mor el menor) cu dirección será igul l sentido de l fuerz mor como muestr l Fig.11. F r sog O E F F r R F r + F R F - F r R 5 N - 3 N R N0 L dirección será este oeste el sentido hci el este. R Fig.11 Rt: el torneo lo gnrá el equipo zul l fuerz resultnte tiene un lor de N hci el oeste. B: Sum de ectores no colineles: B 1 : No concurrentes: l sum de dos o más ectores no concurrentes es nueo ector cuo módulo es l sum ectoril de los módulos ddos cu dirección sentido se pueden otener gráficmente por el método de l poligonl. Método de l poligonl: Se sumr los ectores, c ddos. Pr relizr l sum gráficmente se diuj continución del etremo del ector el ector continución del etremo de el ector c. Finlmente se une el origen de con el etremo del último ector c se otiene el ector sum. c c s + + c Fig.1 B : Concurrentes: l sum de dos o más ectores concurrentes es otro ector concurrente cuo módulo, dirección sentido se otiene gráficmente por el método del prlelogrmo o de l pologonl. Método del prlelogrmo: Se sumr los ectores, c ddos. Primero relizmos l sum ectoril de, pr ello trzmos un rect prlel por el etremo de luego un rect prlel por el etremo de. Uniendo el origen con el punto de intersección hlldo, tenemos el ector +. Pr sumr este ector el ector c se procede de l mism mner, por el etremo de + trzmos un rect prlel l ector c por el etremo de c un rect prlel l ector +. Uniendo el origen con el punto donde dichs rects se interceptn otenemos el ector sum s + + c. 4

5 Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 s ( + ) + c + c c Fig.13 Método de l poligonl: A continución del etremo de primer ector se diuj el segundo ector continución del etremo de este ector el tercer ector c. El ector resultnte o sum se otiene l unir el origen del primer ector con el etremo del último ector. c Erro! s + + c c Fig.14 Adertenci: cuiddo cundo se sumn ectores, el error más usul que suelen cometer los que se inicin en este tem es querer sumr directmente los módulos de los ectores ddos sin tener en cunt l dirección el sentido. Est sum de módulos es correct sólo si los ectores son colineles del mismo sentido, si son de sentido contrrio, el módulo es l diferenci de los módulos ddos si son ectores con diferentes direcciones se dee empler gráficmente culquier de los métodos descriptos de l poligonl o del prlelogrmo. Más delnte nlizremos l sum nlític de ectores. 5

6 es es θ que Componentes Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 Propieddes de l sum de ectores: L sum de ectores es conmutti. L sum de ectores es sociti ( + c ) ( + ) + c Componentes de un ector: Hst quí hemos desrrolldo conceptulmente los métodos gráficos que pueden ser inectos /o que sólo funcionn pr csos prticulres descriptos en dos dimensiones. Sin emrgo eisten métodos nlíticos más precisos que utilizn el concepto de componentes de un ector que son más generles, ectos etensiles tres dimensiones (el espcio). Un ector puede tener un conjunto de componente si el sistem de coordends es rectngulres o no. Aunque en generl, tnto en mtemátic como en físic, el sistem de coordends que se utiliz es el crtesino rectngulr. En el cso idimensionl, que se trj en el plno, dichos ejes son e perpendiculres entre sí; si fuer tridimensionl el sistem crtesino es el formdo por los ejes, z, todos perpendiculres entre sí. Elegimos por conenienci un ector cuo origen coincid con el origen de coordends, unque un ector puede, moerse por todo el espcio en tnto no ríen su módulo, dirección sentido. En el gráfico, Fig. 15, se preci que ls componentes del ector en este plno elegido son: - θ donde el ángulo medido desde el semieje positio de ls hci el semieje positio de ls o se el ángulo se mide en sentido contrrio ls gujs del reloj. Diremos entonces que ls componentes de un ector son quells que se pueden otener conociendo el módulo del ector el ángulo que form con lgunos de los ejes de coordends elegidos. θ Ejemplo: Se un ector 5 m/s el ángulo sus componentes. θ cos sen - Fig.15 θ cos sen 5 m/s cos 30º 4,33 m/s > 4,33 m/s 5 m/s sen 30º,5 m/s >,5 m/s de un ector form con el semieje positio de 30º, hllr θ Adertenci: téngse mucho cuiddo con ls epresiones nteriores, sólo son álids cundo el ángulo el ángulo que form el ector con el semieje positio de ls en sentido contrrio l de ls gujs del reloj. Un ez que se decompuesto un ector en sus componentes, ests misms componentes pueden usrse pr especificr l ector. 6

7 θ θ θ Módulo Angulo Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 Así en e ejemplo ddo, ls componentes son perpendiculres entre sí, si desplzmos l componente o l etremo del ector nos qued determindo un triángulo rectángulo cuos ctetos son los módulos de de cu hipotenus es el módulo de. En el ejemplo ddo otendrímos: + Fig.16 Aplicndo el teorem de Pitágors: según l definición de tngente estudid en trigonometrí: o 0 rctg / (4,33 m/s ) + (,5 m/s ) 5 m/s > 5 m/s rctg / rctg,5 m/s / 4,33 m/s 30 º > θ 30 º Podemos entonces psr, en uno u otro sentido, de l descripción de un ector en término de sus componentes l descripción equilente en términos del módulo de de l dirección del ángulo θ. θ θ θ Adertenci: L ecución rctg / tiene un pequeñ complicción pr encontrr θ. Supongmos que los módulos de de son respectimente: 5 cm de θ - 5 cm, entonces l tg - 1. Pero h dos ángulos cus tngentes tomn el lor -1: 135º 315º (ó 45º). En generl dos ángulos que difieren en 180º tienen l mism tngente. Pr decidir cuál es el correcto, nlizmos ls componentes. Como es positio es negtio, el ángulo dee estr en el curto cudrnte. Así que 315º ó 45º como nos indicn l morí de ls clculdors. El signo menos del 45º nos está indicndo que el ángulo se gener en el mismo sentido de ls gujs del reloj. Si ien son equilentes, según nuestr conención deemos tomr el lor del ángulo correcto como 315º (recuérdese que dijimos que se gener desde el eje + l + en sentido contrrio l del ls gujs del reloj) º 5 cm - 5 cm del ector que form el ector con el eje - Fig.17-45º 7

8 es α es ddo. Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 Cd ez que dude sore el ángulo recurr un gráfico crtesino como el que se muestr en l Fig 18 recuerde el signo de ls componentes en cd uno de ellos. Entre préntesis se hn indicdo los signos de ls componentes en de l componente en respectimente. O utilice l siguiente tl: Cudrnte I + + II - + III - - IV + - (-, +) (+, +) - (-, +) (+, -) - Fig.18 Ejercicios: 1) Ddo un ector de 6 cm e módulo que form un ángulo de 70º con el eje positio de ls, erificr nlíticmente que ls componentes son:,05 cm 5,64cm. Grficr escl. ) Dds ls componentes - 3 cm + 4 c, erificr que el módulo del ector 5 cm que el ángulo que form con el eje positio de ls es 53,13º. Grficr escl. α α Cundo el ángulo que se conoce no es el que form con el eje + en el sentido ntihorrio, tenemos dos opciones:1) clculr el ángulo con el semieje positio de ls o ) utilizr ls funciones trigonométrics seno o coseno según correspond. Por ejemplo en el gráfico, Fig.19, emos que el ángulo el que form el ector con el eje + ; el ángulo que form el ector con el eje + (pero en sentido horrio). Supongmos que sus lores son: 8º - 35º que los módulos de los ectores son cm, cm. - Fig.19 - Un procedimiento es clculr el lor de α como : α 90º + α Con lo cul estmos en condiciones de clculr ls componentes de : cos α cos (90º + α ) cm cos (90º + 8º) cm cos118º - 0,94 cm sen α sen (90º + α ) cm sen(90º + 8º) cm sen 118º 1,77 cm α α α Otr mner de clculr ls componentes de es trjr directmente con el ángulo cso ls epresiones serán: - sen - cm sen 8º 0,94 cm cos cm cos 8º 1,77 cm En ese 8

9 ,, son α α Hciendo lo mismo con, otenemos 360º º 360º - 35º 35º Luego: cos, cm cos 35º 1,8 cm sen, cm sen 35º - 1,6 cm Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 Si trjmos directmente con el lor soluto del ángulo, ls epresiones serán: cos -, cm cos 35º 1,8 cm - sen -, cm sen 35º - 1,6 cm L regl mnemotécnic pr recordr el segundo de los procedimientos es primero oserr si l relizr l proección hci los ejes coordendos será positi o negti colocr el signo que correspond. Luego utilizr l función coseno del ángulo dto si se rre el ángulo pr llegr desde el ector l eje l función seno del ángulo en cso contrrio. Con est regl ls componentes de los ectores de l Fig.0 se otienen como: + sen - cos α + cos - sen α Utilizción de ls componentes: Ls componentes de un ector son de much utilidd pr resoler nlíticmente ls sum de ectores. Ddos dos ectores cus componentes son: cos α sen α cos sen como se muestr en l Fig. 1 nos proponemos hllr su sum o ector resultnte r. r + α Osérese que los ángulos los que formn cd uno de los ectores con el eje semi-positio de ls. - - Fig.0 Fig.1 9

10 α l l Componentes Módulo Ángulo θ Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 Hemos isto que el método de l poligonl permití desplzr ectores en espcio, siempre cundo no se ríe su módulo, dirección sentido. Relizndo un nueo gráfico, Fig ; se preci que ls componentes del ector resultnte son: r + r + Su módulo es: r r + r θ el ángulo que form con el eje es: rctg r / r Fig. Si ien en el ejemplo hemos sumdo sólo dos ectores en el plno, es fácil relizr l etensión pr tres o más ectores en el plno, en cuo cso ls componentes del ector resultnte serán: Su módulo es: r r + r r r + + c + d +.. r + + c + d +.. θ δ θ el ángulo que form con el eje es: rctg r / r Si nuestro ector está en el espcio se necesitn dos ángulos pr determinr l dirección. Si llmmos que form el plno Oz con el plno zo que form el eje Oz con O. El modulo estrá ddo por l epresión: + + z r del ector sum del ector sum del ector sum r r z θ δ O Fig.3 10

11 θ ) + + α θ /o Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 Finlmente si se conocen los módulos de dos ectores el ángulo comprendido entre ellos, es posile sumrlos, con el método de l poligonl como se muestr en l Fig.4. θ θ En el triángulo rectángulo ACD se preci que: AD AB + BD 1 + cos DC θ θ sen Aplicndo el teorem de Pitágors podemos clculr el lor de l hipotenus : ( 1 + θ θ cos + ( sen θ) cos θ θ θ cos + sen cos (cos + sen θ) cos Pr determinr l dirección de, necesitmos solmente conocer el ángulo α. En l Fig 4 puede oserr que en los triángulos ACD BDC se cumplen ls siguientes relciones: ACD BDC Por lo tnto: de donde θ α > CD AC sen > CD BC sen Análogmente, BE 1 sen α de donde 1 α θ sen sen sen α sen θ sen 1 sen sen θ Cominndo ms epresiones, otenemos l relción simétric pr clculr α sen θ Fig.4 sen α sen α 1 sen A E sen α 1 B cos θ C sen θ D. 11

12 θ θ α α Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 Pr el cso prticulr de dos ectores perpendiculres entre sí, ls epresiones nteriores se reducen ls ists: 1 Fig rctg / 1 En físic muchos prolems de cinemátic, estátic, dinámic de l prtícul se resulten utilizndo l sum de ectores. Ejemplos: 1) Tres fuerzs F 1, F F 3 se plicn un cuerpo como muestr l Fig. 6. Hllr l fuerz resultnte (o sum) e indicr l dirección sentido si sus módulos son F 1 9 N, F 4 N F 3 5 N. Pr hllr el módulo de l resultnte deemos plicr l fórmul: R R + R F F Lo cul nos lle clculr por seprdo ls componentes en en de l fuerz resultnte: - 50º 30º R F 1 cos 30º - F cos 50º - F 3 sen 48º R 9 N cos 30º - 4 N cos 50º -5 N sen 48º R 7,794 N,571 N 3,715 N R 1,5 N F 3 48º - Fig.6 R F 1 sen 30º + F sen 50º - F 3 cos48º F F R 9 N sen 30º + 4 N sen 50º - 5 N cos48º R 4,5 N + 3,064 N 3,346 N R 4, N R R + R ( 1,5 N ) + ( 4, N ) 0θ - 0 R 4,48 N0 Finlmente, clculmos l dirección sentido, siendo que como ls componentes e son positis, el ángulo hlldo deerá estr en el primer cudrnte: rctg R / R rctg (4,/ 1,5) 70,43º0 Rt: L fuerz resultnte tiene un módulo de 4,48 N el ángulo que form con el semieje positio de ls es de 70,43º. 1 - F 3 50º 48º 30º

13 θ 16º Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 ) Un ote motor se dirige hci el norte 13,5 km/h en un lugr donde l corriente del gu o de rrstres es de 4,5 km/h en l dirección S 50º E. Encontrr l elocidd resultnte. Primer resolución: Representndo gráficmente l situción plnted, llmndo l elocidd del ote c l elocidd de l corriente o de rrstre por el método del prlelogrmo podemos encontrr l resultnte. Anlíticmente podemos epresr: cos140º O Fig.7 N c S sen sen + c donde el módulo es: E + c + c cos θ (13,5 km/h) + (4,5 km/h) +. 13,5 km/h. 4,5 km/h 10,53 km/h 10,5 km/h l dirección será: > sen (4,5 km/h. sen 140º ) : 10,53 km/h 0,75 15,94º ~ sen θ Rt: l elocidd resultnte será de 10,5 km/h en l dirección N 16º E ~ V c sen c sen θ c 13

14 α α Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 Segund resolución: Tmién podrímos her optdo por trjr con ls componentes de cd elocidd, en cuo cso l solución nlític huier sido: + c cos 50º 4,5 km/h cos 50º,893 km/h c sen 50º 13,5 km/h 4,5 km/h sen 50º 10,053 km/h + + c (,893km/h) + (10,053 km/h) 10,46 km/h 10,5 ~ km/h El ángulo que form l elocidd resultnte con el eje + (Este) será: rctg / rctg 10,053 /,893 73,94º ~ 74º ~ 74º Por lo tnto l dirección será: 90º - 74º 16 º con respecto l eje (Norte) Rt: l elocidd resultnte será de 10,5 km/h en l dirección N 16º E como hímos otenido con el procedimiento nterior. - 50º c - Fig.8 3) Un lámpr que pes 10 N cuelg del techo medinte dos cuerds que formn 35º 50º con el mismo como muestr l Fig. 9 Qué tensión soport cd cuerd? 35º 50º Pr resoler este prolem deemos diujr un digrm del cuerpo lire, que es un modelo simplificdo de l situción prolemátic. Trzmos un sistem de ejes coordendos en el punto donde concurren ls dos cuerds el cle que sostiene l lámpr diujmos ls fuerzs que están ctundo: dos tensiones (en ls cuerds) el peso (en el cle) como indic l Fig.30. Si l lámpr está en equilirio se dee cumplir que l sum de tods ls fuerzs se nul. Es decir: F 0 F 0 Fig.9 14

15 Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 F T 1 Desrrollndo cd un de ests epresiones otenemos: T 1 cos 50º - T cos 35º 0 (i) - 35º 50º T 1 sen 50 + T sen 35º - w 0 (ii) Osérese que tenemos un sistem de dos ecuciones con dos incógnits (T 1 T ). Pr resolerlo podemos despejr T 1 de l epresión (i) sustituirl en (ii): w Fig.30 - T 1 T cos 35º (iii) cos 50º T cos 35º sen 50º + T sen 35º - w 0 cos 50º En el primer término emos que el cociente entre sen 50º cos 50º se puede sustituir por tg 50º: T tg 50º cos35º + T sen 35º - w 0 T ( tg 50º cos35º + T sen 35º ) w T w : ( tg 50º cos35º + T sen 35º ) T 10 N : ( tg 50º cos35º + T sen 35º ) ot 6,45 N0 Finlmente sustituendo este lor en (iii), clculmos el lor de T1: T 1 (6,45 N. cos 35º) : cos 50º 0T 1 8, N 0 Rt: L tensión que soport cd un de ls cuerds es 8, N 6,45 N respectimente. DIFERENCIA DE VECTORES L diferenci de dos ectores es otro ector que se otiene de sumr el opuesto de. En símolos: + (-) - Pr resoler gráficmente l diferenci entre dos ectores se dee ser, tl como en l ritmétic ordinri, que cntidd deer ser sustríd de otr. Luego por el etremo lire del primer ector (minuendo) se trsld el opuesto del segundo (sustrendo). Uniendo el origen del primero con el etremo lire del segundo se otiene el ector diferenci como muestr l Fig Fig.31 15

16 Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 Propieddes de l diferenci de ectores L diferenci de ectores no es conmutti. L diferenci entre es igul l opuesto de l diferenci entre. - ( ) En l Fig.3 se muestr l sum de dos ectores ls propieddes mencionds precedentemente Fig. 3 - Vectores unitrios: Un ector unitrio es un ector con módulo uno. Su únic función es señlr l dirección sentido. Los ectores unitrios son un notción cómod pr ls epresiones que contienen ls componentes de los ectores. En un sistem de coordends crtesins rectngulres e podemos definir un ector unitrio i que punte en l dirección de eje + un ector unitrio j que punte en l dirección de eje +. Luego podemos epresr ls componentes del ector de l Fig. 33 como: i j El ector en término de sus componentes será: iguldd sum de ectores respectimente. j j i Fig.33 i i + j donde los signos + indicn Cundo representmos dos ectores en término de sus componentes, podemos epresr l sum o resultnte r utilizndo ectores unitrios. Sen: i + j i + j > r + r ( i + j ) + ( i + j ) r ( + ) i + ( + ) j r r i + r j Si los ectores están en el espcio necesitmos un tercer componente. Introduciendo un tercer ector unitrio k en l dirección del eje + z, l form generlizd de l ecución nterior es: Sen: i + j + z k i + j + z k r + 16

17 φ < < < está Definición Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 r ( i + j + z k ) + ( i + j + z k ) r ( + ) i + ( + ) j + ( z + z ) k r r i + r j + r z k Ejemplo: 1) Ddos dos ectores 3 i j 4 i + 5 j; hllr gráfic nlíticmente l sum o resultnte. r 4 3 r + r (3 i j ) + (4 i + 5 j ) r ( 3 4 ) i + ( ) j r - i + 3 j ) Ddos 3 ectores en el espcio: i- 3j + k 5 i 4 j + k c - 6 i + 3 j + 4 k erificr que l sum + + c i 4 j + 7 k. - Fig.34: Resolución gráfic del Ejemplo 1 PRODUCTO DE VECTORES Como los ectores no son números ordinrios, no se puede plicr l regl de l multiplicción de números. Eisten dos tipos de productos de ectores: producto esclr producto ectoril. Producto esclr: El producto esclr de dos ectores concurrentes es un esclr que se otiene relizndo el producto de los módulos de los ectores ddos con el coseno del ángulo comprendido. φ φ φ de producto esclr. cos φo donde comprendido entre 0º 180º. Fig.35 0º < 180º Osérese que el resultdo del producto esclr de dos ectores es un esclr (número), por lo tnto puede ser positio, negtio o nulo, dependiendo del lor del ángulo φ. Si 0º < φ 90º < φ Propieddes: 90º >. es positio 90º >. es nulo 180º >. es negtio El producto esclr de dos ectores es conmuttio. El producto esclr es distriutio con respecto l sum Importnte: El producto esclr de dos ectores perpendiculres es siempre nulo..( + c ). +. c

18 φ comprendido l Producto l Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 Producto esclr de ectores unitrios: Aplicndo l definición de producto esclr los ectores unitrios i, j k se otiene: i. i j. j k. k 1 1 cos 0º i.j i. k j. k 1 1 cos 90º El producto esclr de un ector unitrio consigo mismo es siempre uno, en tnto que el producto esclr de un ector unitrio culquier por otro ector unitrio perpendiculr él es siempre nulo o cero. Pr poder clculr el producto esclr. cundo se conocen ls componentes, z de los ectores, epndimos el producto utilizmos los ectores unitrios. Sen: i + j + z k i + j + z k. ( i + j + z k). ( i + j + z k). i + i. j + z i. k + j. i + j + z j. k + z k. i + z k. j + z z k z znnn El producto esclr de dos ectores es el esclr que se otiene l sum los productos de sus respectis componentes. Ejemplo: 1) Ddos dos ectores, cuos módulos son 3 4 respectimente cus direcciones son 58º 130 º con respecto l eje +, hllr el producto esclr utilizndo: () l definición () sus componentes. Dtos φ α () Antes de resoler el producto esclr plicndo l definición, coniene relizr un gráfico pr isulizr el ángulo entre los ectores. Como hemos llmdo ángulo que form el ector con el eje + que form el ector con el eje +, entonces: α φ 7º Luego.... cos 130º - 58º 7º cos 7º. 3,70 α 3 ; 4 ; 58º 130º Incógnit () Pr relizr el producto esclr utilizndo ls componentes deemos preimente hllr ls esclr en función de ls componentes (). (definición) (). (componentes) 18

19 teng de φ φ α α componentes de cd ector. En l Fig. 36 se preci que. cos sen 3. cos 58º 3. sen 58º 1,59,54 α cos sen 4 cos 130º 4 sen 130º -,57 3,06 Finlmente: 3, ,59. (-,57) +,54.. 3,70 Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio Fig.36 7º 130º º ) Encontrr el ángulo entre los ectores 3 i j - i + j. Clculmos el producto esclr utilizndo sus componentes: (- 1) + ( - ) Luego clculmos el módulo de cd uno de ellos: (-) (-1) + 3,60,4 Finlmente despejmos de l definición de producto esclr el ángulo φ:... cos φ donde φ rcos. /. rcos 7 / (3,60.,4) 150,3º φ Que el ángulo un lor de 150,3º (ése Fig. 37) concuerd con lo que dijimos del signo del producto ectoril, cundo el mismo es negtio el ángulo entre los ectores está comprendido entre 90º 180º Fig

20 φ 00 desde Definición φ φ Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 3) Verificr que el ángulo entre los ectores i + 3 j + k - 4 i + j k es φ Producto ectoril: El producto ectoril de dos ectores es otro ector perpendiculr l plno que determinn dichos ectores. L dirección es l de nce de un tornillo de rosc derech rotdo desde hci. Y l mgnitud o módulo se otiene relizndo el producto de los módulos de los ectores ddos con el seno del ángulo comprendido entre ellos sen φ 100,08º. φ φ Medimos el ángulo hci tommos el menor de los dos ángulos posiles, por lo que está comprendido entre 0º 180º. Osérese que el resultdo de un producto ectoril es un ector, cuo módulo siempre es positio o nulo. φ Si son prlelos (del mismo sentido: ectoril es nulo. Regl de l mno derech: Siempre hs dos direcciones perpendiculres un plno, un cd ldo del plno. Pr escoger l dirección del producto ectoril de dos ectores deemos colocr l mno derech de tl modo que el dedo meñique coincid con l dirección sentido del ector que los demás dedos puedn rotrse cerrrse hci. El dedo pulgr etendido indic l dirección de, tl como indic l Fig.39. Fig.40 de producto ectoril 0º ó de sentido contrrio: φ 180º) el producto Supóngse dos ectores en el plno de l hoj como indic l Fig.40. Si plicmos l regl nterior de mner que l uñ del dedo meñique coincid con l punt de flech de girmos los demás dedos hci, el pulgr quedrá perpendiculr l plno de l hoj hci el lector (pr el ejemplo diujdo). Luego es un ector φ cuo módulo es.. sen cu dirección es perpendiculr l plno de l hoj sliendo del ppel. En físic este tipo de ectores perpendiculres l plno de l hoj slientes se los represent por un punto ( ) los ectores perpendiculres l plno de l hoj entrntes se los represent por un cruz (). El primero represent l punt de l flech en tnto que el segundo indic l col del ector u origen. Ejercicio: Ddos dos ectores, como muestr l Fig. 41, hllr l dirección sentido de ector r plicndo l regl de l mno derech. Fig.38 Fig.39 0

21 φ φ φ φ Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio Fig.41 Respuests: 1) es un ector perpendiculr l plno entrnte. () ) Es un ector que está en plno de l hoj erticl hci rri. ( ) 3) Es un ector perpendiculr l plno de l hoj sliente. ( ) 4) Es un ector que está en l hoj del ppel horizontl hci l izquierd ( ) 5) Es un ector que está en l hoj del ppel erticl hci jo ( ) 6) Es un ector perpendiculr l plno de l hoj entrnte. () 7) Es un ector que está en el plno de l hoj, perpendiculr l ector hci rri e izquierd. ( ) 8) Es un ector perpendiculr l plno de l hoj sliente. ( ) Propieddes El producto ectoril no es conmuttio. Siempre se cumple que -.O se que si se inierte el orden del producto ectoril, se otiene el ector opuesto, es decir quel que tiene el mismo módulo dirección, pero sentido contrrio. j k k El producto ectoril es distriutio con respecto l sum. ( + c ) + c Producto ectoril de ectores unitrios: Aplicndo l definición de producto ectoril los ectores unitrios i, j k señldos en l Fig.4. se otiene el módulo: i i j k sen 0º i j j k i sen 90º j Aplicndo l regl de l mno derech tenemos que: i k i j k ; j k i ; k i j Y por lo menciondo en l propiedd no conmutti: 1 z Fig.4

22 Producto Producto Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 i j - j i k j k - k j i k i - i k j Pr poder clculr el producto ectoril cundo se conocen ls componentes, z de los ectores, epndimos el producto ectoril utilizmos los ectores unitrios. Sen: i + j + z k i + j + z k ( i + j + z k) ( i + j + z k) i i + i j + i z k + + j i + j j + j z k + + z k i + z k j + z k z k Se preci que el 1º, 5º 9º términos son nulos (i i j j k k 0). Agrupndo el 6º 8º término otenemos l primer componente (j k - k j i), el 7º 3º nos proporcionn l segund (k i - i k j ) finlmente el º 4º término determinn l tercer componente (i j - j i k) ( z - z ) i + ( z - z ) j + ( - ) k El producto ectoril tmién se puede epresr en form de determinnte: i j k z z ectoril en función de ls componentes Aplicndo l regl de Srrus (se repiten ls dos primes fils dejo de l tercer fil o ls dos primers columns l derech de l tercer column, se sumn los tres productos prlelos l digonl principl líne de punto- se restn los tres productos prlelos l contrdigonl líne llen-), se puede resoler este determinnte de dimensión tres por tres. i j k ectoril epresdo como determinnte i j k z i j k i j z z z i j k z z z i j k z i + z j + k - k - z i - z j z z

23 φ de Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 ( z - z ) i + ( z z ) j + ( - ) k Ejemplo: Sen los ectores i - j + 3 k - 4 i + j + + k hllr el módulo del ector que se otiene l relizr el producto ectoril. i j k (-1). 1 i + 3 (-4) j +. k - [( -1) (-4) k +.1 j +.3 i ] - i 1 j + 4 k ( 4 k + j + 6 i ) - i 13 j + 4 k 4 k - j - 6 i (- 1 6 ) i + ( 13 ) j + (4 4 ) k - 7 i 14 j (-7) + (-14) ,65 Si quisiérmos erificr este resultdo, deerímos plicr l definición de producto ectoril, pr lo cul es necesrio conocer el ángulo que formn los ectores. De l definición de producto esclr podemos hllr el ángulo que formn los ectores entre sí, pr lo cul deeremos clculr los módulos de el producto esclr utilizndo ls componentes:. + + z z. (). (-4) + (-1). () + (3). (1) () + (-1) + (3) ,74 (-4) + () + (1) ,58... cos φ donde φ rcos 7 / (3,74. 4,58) 65,87º ~ 66º.. sen φ 3,74. 4,58. sen 66º 15,65 rcos. /. 3

24 Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: VECTORES 1. Sumr gráficmente los siguientes ectores ) ) c) u u u w. Otén gráficmente: ) u ; ) 1 u + 3 u 3. Ddos 3 i j ; - i + j ; c i 3j ; d - 1/ i Repréndlos en l gráfic clcul: 4 3 ) + ) c c) (1/) c d) c + d e) 3 + f) + (1/) + 5 d

25 Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio Ddos,, c d en l gráfic, clcul represent: ) - ( + c) ) 1 c) c - d 1 d) d + j e) - i + d c d Represent en l gráfic los ectores: u 4 i + 3 j - i + 4 j 6. Epres nlíticmente los ectores t r Clcul el módulo de u;, t r. Verifíclo en el gráfico Clcul ) u. ) r. w c) Qué osers de los resultdos ) )? d) Qué deduces de ello? Verifíclo en el gráfico. 9. Clcul el ángulo formdo entre: ) t ; ) r c) Verific en el gráfico los resultdos nteriores. Utiliz un trnsportdor r t ) Cómo son los ángulos del ejercicio 9 entre sí? ) Puedes deducir de estos resultdos cuál es el ángulo formdo por los ectores r t? 5

26 Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 TRABAJO PRÁCTICO Nº : VECTORES 1. Dos ectores de 6 9 uniddes de longitud, formn un ángulo entre ellos de () 0º, () 60º, (c) 90º, (d) 150º (e) 180º. Encontrr l mgnitud de su resultnte su dirección con respecto l ector más pequeño.. Encontrr el ángulo entre dos ectores de uniddes de longitud cundo su resultnte tiene () 0 uniddes de longitud, () 1 uniddes de longitud. Diujr l figur propid. 3. Dos ectores formn un ángulo de 110º. Uno de ellos tiene 0 uniddes de longitud hce un ángulo de 40º con el ector sum de mos. Encontrr l mgnitud del segundo ector l ector sum. 4. El ector resultnte de dos ectores tiene 10 uniddes de longitud hce un ángulo de 35º con uno de los ectores componentes, el cul tiene 1 uniddes de longitud. Encontrr l mgnitud del otro ector el ángulo entre ellos. 5. Encontrr el ángulo entre dos ectores de 8 10 uniddes de longitud, cundo su resultnte form un ángulo de 50º con el ector mor. Clculr tmién l mgnitud del ector resultnte. 6. El ector resultnte de dos ectores tiene 30 uniddes de longitud hce ángulos de 5º 50º con ellos. Hllr l mgnitud de los dos ectores. 7. Dos ectores de 10 8 uniddes de longitud, formn entre sí un ángulo de () 60º, () 90º (c) 10º. Encontrr l mgnitud de l diferenci el ángulo con respecto l ector mor. 8. Encontrr ls componentes rectngulres de un ector de 15 uniddes de longitud cundo éste form un ángulo con respecto l eje positio de ls de () 50º, () 130º, (c) 30º (d) 310º. 9. Tres ectores situdos en un plno, tienen 6, 5 4 uniddes de longitud. El primero el segundo formn un ángulo de 50º, mientrs que el segundo tercero formn un ángulo de 75º. Encontrr l mgnitud del ector resultnte su dirección con respecto l ector mor. 10. Ddos cutro ectores coplnres de 8, 1, 10 0 uniddes de longitud respectimente, los tres últimos hcen con el primer ector ángulos de 70º, º, respectimente. Encontrr l mgnitud l dirección del ector resultnte. 11. Demostrr que si ls mgnitudes de l sum diferenci de dos ectores son igules, entonces los ectores son perpendiculres. 1. Verificr que ls mgnitudes de l sum diferenci de dos ectores en el espcio, epresds en coordends rectngulres, están dds por: s ( + ) + ( + ) +( z + z ) d ( - ) + ( - ) +( z - z ) 13. Ddos los ectores 3 i + 4 j 5 k - i + j + k, encontrr: () l mgnitud dirección de l resultnte, () l diferenci, (c) el ángulo entre los ectores. 13. Encontrr el resultdo de l sum de los siguientes ectores: 1 5 i - j + z, -3 i + j 7 k 3 4 i + 7 j + 6 k. Otén l mgnitud de l resultnte los ángulos que form con los ejes, z. 14. Ddos los ectores: 1 - i + 3 j + 4 z, 3 i j 8 k 3 4 i + 4 j + 4 k. () Determin si h lgun diferenci entre los productos 1 ( 3 ) ( 1 ) 3. () Encontrr 1. ( 3 ) ( 1 ). 3 determin si h lgun diferenci. (c) Clcul ( 3 1 ). compr este resultdo con los dos nteriores. 6

27 R. Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 TRABAJO PRÁCTICO Nº 3: VECTORES 1. Ddos los ectores u (-1; 9; ), ( ; 1; -1); w ( 3; 0; 3) efectú ls siguientes operciones. ) u ) 3 w c) u. ( + w) d) ( w. u ) e) (-u). ( -1/3) w Rt: ) ( -4; - 1; 5 ), ) ( 3; 3; -6), c) 1; d) 1, e) 1. Ddos los ectores: u (-1; ) ; (- + ; - 4 ); hllr los lores de ls constntes tl que se cumpl: u (-, -). Rt: -11; Ddos los ectores u (-; 4 ) ; ( - 4 ; ) ; hllr ls seis funciones trigonométrics del ángulo que form con el eje el ector: u +. Є 4. Sen los ectores u ( ; - ; ) ; ( +1; - ; -); donde, Hllr los lores de de mner que se erifiquen - + u (-4; ; - 6). Rt: ; - 5. Ddos los ectores (4, -3) ( -1, 5) hllr () el producto esclr., (c) el producto ectoril (c) representr. 7

28 Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: VECTORES 1. Considérense dos desplzmientos, uno de 3 m de longitud otro de 4 m. Demostrr cómo pueden cominrse estos ectores pr otener un desplzmiento resultnte cu mgnitud se () de 7m, () de 1m (c) de 5 m. Rt: ) prlelos, ) ntiprlelos c) perpendiculres. Qué propieddes tienen los ectores tles que: ) + c + c, ) +, c) + c + c 3. Se sumn dos ectores. Demostrr que l mgnitud resultnte no puede ser mor que l sum de +, ni menor que -, donde ls rrs erticles significn el lor soluto. 4. Un utomóil recorre un distnci de 50 km hci el este, después 30 km hci el norte finlmente 5 km en un dirección 30º hci el este del norte. Diujr el digrm ectoril determinr el desplzmiento totl del utomóil prtir de su punto de prtid. 5. Un jugdor de golf mete su pelot en un hoo en tres golpes. El primer golpe desplz l pelot 1 pie hci el norte, el segundo 6,0 pies l sureste el tercero, 3,0 pies l suroeste. Qué desplzmiento serí necesrio pr meter l pelot en el hoo l primer golpe? Rt: 6,0 pies, 0,5º hci el este del norte 6. El ector tiene un mgnitud de 5,0 uniddes está dirigido hci el este. El ector está dirigido 45º l oeste del norte (noroeste) tiene un mgnitud de 4,0 uniddes. Construir el digrm ectoril pr clculr: () +, () -. Prtiendo de los digrms, estimr ls mgnitudes direcciones de Determinr l sum de los ectores de desplzmiento c d cus componentes en kilómetros lo lrgo de tres direcciones mutumente perpendiculres sen: c 5, c 0, c z ; d 3, d 4, d z 6 Rt: r km, r r z 4 km 8. () Un homre sle por l puert principl de su cs, cmin 1000 pies l este, 000 pies l norte sc entonces un moned de su olsillo l dej cer desde un risco erticl que tiene 500 pies de ltur. Escoger un sistem de coordends usndo ectores unitrios, escriir un epresión pr el desplzmiento de l moned. () El homre regres después hst l puert de su cs, siguiendo un trectori diferente en su ije de uelt. Cuál es el desplzmiento resultnte en su ije completo? 9. Dos ectores están ddos por 4 i + 3 j + k - i + j + 4 k. Encontrr () +, () (c) un ector c tl que + c 0 Rt: ) 3 i j + 5 k; ) 5 i 4 j 3 k ; c) igul que ) pero de signo contrrio. 10. Un curto tiene ls dimensiones siguientes: 10 m 1m 14 m. Un mosc uel desde un rincón hst el rincón dimetrlmente opuesto. () Cuál es l mgnitud de su desplzmiento? () Puede ser l longitud de su trectori menor que est distnci? Mor que est distnci? Igul est distnci?; (c) Escoger un sistem de coordends propido encontrr ls componentes del ector desplzmiento en dicho referencil.(d) Si l mosc no olse sino que cminse, Cuál serí l longitud de l trectori más cort que pudiese seguir? 11. Ddos los ectores 4 i 3 j 6 i + 8 j; encontrr l mgnitud dirección de, de, de + ; de de. Rt: Ls mgnitudes son 5, 10, 11, Los ángulos con el eje + son: 33º, 53º, 7º, 80º 60º. 8

29 entre Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 θ 1. Dos ectores de longitudes formn un ángulo sí cundo se colocn sore el mismo origen. Demostrr, tomndo componentes sore los ejes perpendiculres, que l longitud de su sum es : r + + cos θ 13. Dos ectores tienen mgnitudes igules, de 10 uniddes están orientdos como se muestr en l Fig.1. Su sum ectoril es r. Encontrr () ls componentes e de r; () l mgnitud de r (c) el ángulo que r form con el eje. 105º 30º Fig.1 9