PLAN DE REFUERZO NOMBRE ESTUDIANTE: Nº GRADO: 6

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1 COLEGIO BETHLEMITAS PLAN DE REFUERZO Fecha: Dia 25 Mes 03 Año 2015 META DE COMPRENSIÓN: Las estudiantes desarrollarán comprensión acerca de la evolución histórica de los sistemas de numeración, para ubicar dentro de ellos el sistema decimal y el conjunto de los números naturales con sus operaciones básicas. DOCENTE: Nora Patricia Barrera Gómez PERIODO: I AREA: Matemáticas ASIGNATURA: Aritmética NOMBRE ESTUDIANTE: Nº GRADO: 6 1. OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES: El siguiente plan de refuerzo contiene la ejercitación básica de los tópicos desarrollados durante el primer período. Se debe tener en cuenta para su realización las guías de desarrollo e informativa trabajadas, los apuntes de clase, las guías de control corregidas y los referentes bibliográficos que encontrará al final del plan. Debe desarrollarse responsablemente, para ser sustentado en las actividades de recuperación de final de año. 2. IDENTIFICACIÓN DE TÓPICOS Sistema de numeración decimal: Página 11 - Descomposición polinomial: Página 11 - Bases numéricas: Páginas Sistema de numeración egipcio: Páginas 8 - Sistema de numeración romano: Pagina 9 - Sistema de numeración maya: Páginas 8 y 9 - Sistema de los números naturales: Orden: Página 18 Representación en la recta: Página 19 Adición y Sustracción: Página 20 Multiplicación y División: Páginas DESARROLLO CONCEPTUAL Numeración Romana Este sistema (tan bien conocido por nosotros) tuvo el mérito de ser capaz de expresar los números del 1 al con solo siete símbolos: I para el 1, V para el 5, X para el 10, L para el 50, C para el 100, D para el 500 y M para el Es importante acotar que una pequeña línea sobre el número multiplica su valor por mil. En la actualidad los números romanos se usan para la historia y con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos escritos con rapidez. Numeración Arábiga El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy y en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes y luego por los árabes que introdujeron la innovación de la notación posicional; en la que los números cambian su valor según su posición. La notación posicional solo es posible si existe un número para el cero. El guarismo 0 permite distinguir entre 11, 101 y 1001 sin tener que agregar símbolos adicionales. Además todos los números se pueden expresar con sólo diez guarismos, del 1 al 9 más el 0. La notación posicional ha facilitado muchísimo todos los tipos de cálculos numéricos por escrito. SISTEMAS NUMÉRICOS En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema. A lo largo de la historia se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes. Valores posicionales La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la posición del número completo. 1

2 Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así sucesivamente hasta obtener un cociente cero. Sistema binario El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de los ordenadores. Los números se pueden representar en el sistema binario como la suma de varias potencias de dos. Ya que sólo se necesitan dos dígitos; el sistema binario se utiliza en ordenadores y computadoras. Sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra. 1. Sistema de numeración decimal: El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc. El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha. En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa: 5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir: 5* * *100 o, lo que es lo mismo: = 528 En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como: 8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos 8* * * * * *10-2, es decir: ,9 + 0,07 = 8245,97 Sistema de numeración binario. El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1). En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números. De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así: 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20, es decir: = 11 y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así: =

3 2. Conversión entre números decimales y binarios Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos. Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes: 77 2 = 38 Resto: = 19 Resto: = 9 Resto: = 4 Resto: = 2 Resto: = 1 Resto: = 0 Resto: 1 y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria: 7710 = Ejercicio 1: Expresa, en código binario, los números decimales siguientes: 191, 25, 67, 99, 135, 276 i. El tamaño de las cifras binarias La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para representar el número 77, que en el sistema decimal está compuesto tan sólo por dos dígitos, han hecho falta siete dígitos en binario. Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 28 = 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos. Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2n, números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir, 2n 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16 números, porque 24 = 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 24-1 = 15. Ejercicio 2: Averigua cuántos números pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que puede escribirse en cada caso. Ejercicio 3: Dados dos números binarios: y Cuál de ellos es el mayor? Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal? 3. Conversión de binario a decimal El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda. Por ejemplo, para convertir el número binario a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit: 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = = 8310 Ejercicio 4: Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios: , , , ,

4 Sistema de numeración octal El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal. En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8. Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así: 2*83 + 7*82 + 3*81 = 2* *64 + 3*8 = = Conversión de un número decimal a octal La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal tendremos que hacer las siguientes divisiones: = 15 Resto: = 1 Resto: = 0 Resto: 1 Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal: = 1728 Ejercicio 5: Convierte los siguientes números decimales en octales: 6310, 51310, Conversión octal a decimal La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito: 2*82 + 3*81 + 7*80 = = = Ejercicio 6: Convierte al sistema decimal los siguientes números octales: 458, 1258, 6258 ORDEN EN EL LOS NUMEROS NATURALES Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor el que está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda. 5 > 3 5 es mayor que < 7 10 es menor que 7. 4

5 Criterios para ordenar los números enteros 1 Todo número negativo es menor que cero. 7 < 0 2 Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0 3 De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. 7 > 10 7 < 10 4 De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. 10 > 7 10 > 7 Propiedades de la suma de números naturales Operación interna El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural. Asociativa El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = = 10 Conmutativa El orden de los sumandos no varía la suma. a + b = b + a = = 7 Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da él mismo número. a + 0 = 0 + a a + 0 = a = 3 a b = c 5

6 RESTA DE NUMEROS NATURALES Los términos que intervienen en una resta se denominan: a se denomina minuendo. b se denomina sustraendo. El resultado (c) se denomina diferencia. Propiedades de la resta de números naturales No interna El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural. No conmutativa 4. EJERCITACIÓN 1. Escriba la descomposición polinomial de los siguientes números. a b c Escriba los siguientes números en las bases que se indican realizando el debido procedimiento: a en base 5 b en base 2 c en base 4 2. Escriba los siguientes números en base decimal: a (4) b (3) c ) 4. Escriba los siguientes números en números romanos: a. 494 b Escriba en notación decimal los siguientes numerales romanos: a. MMCDXXXII b. MMDXCVIII 6. Escriba los siguientes números utilizando el sistema de numeración egipcio: a b Escriba en notación decimal los siguientes numerales egipcios a. b. 8. Escriba el signo > mayor que, < menor que o = igual a, según corresponda a b c d e f g h Un montañista sube 176 metros y desciende 53 metros. Asciende de nuevo 220 metros. A qué altura del piso quedó? 10. La edad de una madre es 16 años más que la suma de las edades de sus 4 hijos. Si el menor tiene 3 años, el tercero 4 año más que el menor, el segundo 6 años más que el menor y el mayor la suma de las edades de sus tres hermanos, Cuál será la edad del madre? 11. Un tendero recibe el siguiente pedido: 450Kg de arroz, 75 de lentejas, 68 de Fríjol y 100 de arveja. En la semana vendió 595Kg de grano. Cuántos kilogramos de grano le quedan? 6

7 12. Catalina ha utilizado 27 rollos de cinta para decorar las sillas del teatro del colegio. Si cada rollo tiene 15 metros de cinta, cuántos metros utilizó en total? Si por los 27 rollos de cinta, Catalina pagó $255150, Cuánto costo cada metro de cinta? NOTA: ES IMPORTANTE QUE TODOS LOS EJERCICIOS LOS REALICE CON LOS PROCEDIMIENTOS Y NO UTILIZAR CALCULADORA. 5. METODOLOGÍA DE ESTUDIO PROPIA DE LA ASIGNATURA 1. Lea e interprete los enunciados de los ejercicios. 2. Seleccione los datos que le proporciona el enunciado y que sirven para solucionar el ejercicio. 3. Determine los datos que debe hallar y el procedimiento que debe seguir. 4. Realice el algoritmo o procedimiento que debe seguir para la solución del ejercicio. 5. Verifique que el procedimiento realizado este correcto. 6. Escriba claramente la respuesta con su procedimiento. 6. BIBLIOGRAFÍA: CENTENO ROJAS, Rocio. ZOOM a las matemáticas 6. Editorial Libros y Libros S.A., Págs LÓPEZ, Nidia y Otros. Matemáticas para pensar 6º. Bogotá: Grupo editorial norma, Páginas: y LEGUIZAMÓN DE BERNAL, Cecilia. Conexiones Matemáticas 6º. Bogotá: Grupo Editorial Norma, Páginas: 8-23 MEJÍA FONSECA, Cristina Fernanda. Desafíos matemáticas 6º. Bogotá: Grupo Editorial Norma, Páginas: