SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO

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1 CAPÍTULO DOS SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO. Iroducció E ese capíulo se iroduce y discue varias propiedades básicas de los sisemas. Dos de ellas, la liealidad y la ivariabilidad e el iempo, so aribuos muy imporaes y juega u papel fudameal e el aálisis de señales y sisemas porque muchos procesos físicos posee esas propiedades y por ello puede ser modelados como sisemas lieales e ivariaes e el iempo (sisemas LIT) y porque esos sisemas LIT puede ser aalizados co basae dealle. Los objeivos primordiales de ese exo so desarrollar la compresió de las propiedades y herramieas para aalizar señales y sisemas LIT y proporcioar ua iroducció a varias de las aplicacioes imporaes e las que se usa esas herramieas. E ese capíulo comezamos ese desarrollo derivado y examiado ua represeació fudameal y exremadamee úil de los sisemas LIT e iroduciedo ua clase imporae de ales sisemas. Ua de las pricipales razoes para lo amigable que resula el aálisis de los sisemas LIT es el hecho de cumplir co la propiedad de superposició. Por ello, si la erada x() a u sisema LIT de iempo coiuo cosise de ua combiació lieal de señales, x( ) a x ( ) a x ( ) a x ( ) (.) 3 3 eoces, por la propiedad de superposició, la salida esá dada por y( ) a y ( ) a y ( ) a y ( ) (.) 3 3 dode y k () es la respuesa del sisema a la exciació x k (), k =,,. E cosecuecia, si podemos represear la erada a u sisema LIT e fució de u cojuo de señales básicas, podemos eoces usar la superposició para calcular la salida del sisema e fució de sus respuesas a esas señales básicas. Como veremos e la próxima secció, ua de las caracerísicas imporaes del impulso uiario, ao e iempo coiuo como discreo, es que puede usarse para represear señales muy geerales. Ese hecho, uido a las propiedades de superposició e ivariabilidad e el iempo, os permiirá desarrollar ua caracerizació complea de cualquier sisema LIT e érmios de su respuesa a u impulso uiario. Esa represeació, a la cual se le refiere como la suma de covolució e iempo discreo y como la iegral de covolució e iempo coiuo, proporcioa gra facilidad aalíica al raar sisemas LIT. Poseriormee se discuirá la especificació de las relacioes de erada-salida de sisemas LIT mediae ecuacioes difereciales y ecuacioes de diferecias.

2 6. Sisemas LIT e Tiempo Discreo.. La Represeació de Señales e Tiempo Discreo Mediae Impulsos Uiarios La idea clave para visualizar cómo se puede usar la fució impulso uiario para cosruir cualquier señal de iempo discreo es cosiderar a ésa como ua sucesió de impulsos idividuales. Para ver cómo esa image puede coverirse e ua represeació maemáica, cosidere la señal e iempo discreo x[] mosrada e la Fig..a. E las oras pares de la figura se muesra cico secuecias de impulsos uiarios escalados y desplazados e el iempo, dode el escalamieo de cada impulso es igual al valor de x[] e el isae específico e que ocurre la muesra. Por ejemplo, x[ ], x[ ] [ }, x[], x[] [ }, x[], x[] [ }, Por lo ao, la suma de las res secuecias e la figura, es decir, x[ ] [ ] x[ ] [ ] x[ ] [ ] (.3) es igual a x[] para. E forma más geeral, icluyedo impulsos escalados adicioales, podemos escribir que x[ ] x[ 3] [ 3} x[ ] [ } x[ ] [ ] x[] [ ] x[] [ ] (.4) x[] x[ ][ + ] (a) (b) x[ ][ + ] x[][] (c) (d) Figura.

3 63 Para cualquier valor de, solamee uo de los érmios e el lado derecho de la Ec. (.4) es diferee de cero y la poderació e ese érmio es precisamee x[]. Escribiedo esa suma e ua forma más compaca, se obiee x[ ] x[ k ] [ k ] (.5) k Ésa correspode a la represeació de ua secuecia arbiraria como ua combiació lieal de impulsos uiarios desplazados, [ k], dode los pesos e esa combiació so los valores x[k]. Como u ejemplo, cosidere la secuecia x[] = u[], la secuecia escaló uiario. E ese caso, u[k] = para k < y u[k] = para k y la Ec. (.5) se coviere e u[ ] [ k ] la cual es idéica a la expresió derivada e la Sec..9.8 [ver la Ec. (.8)]. k La Ec. (.5) se cooce como la propiedad de selecció del impulso uiario de iempo discreo. Como la secuecia [ k] es diferee de cero solamee cuado = k, la sumaoria e el lado derecho de la Ec. (.5) seleccioa a ravés de la secuecia de valores x[] y preserva sólo el valor correspodiee a k..3 Sisemas LIT Discreos: La Suma de Covolució Cosidere u sisema lieal e iempo discreo y ua erada arbiraria x[] a ese sisema. Como vimos e la Sec.., cualquier señal arbiraria x[] puede expresarse como ua combiació lieal de muesras desplazadas e la forma de la Ec. (.5), la cual repeimos aquí por coveiecia; x[ ] x[ k ] [ k ] k Usado la propiedad de superposició de los sisemas lieales [Ecs. (.9) y (.)], se deduce que la salida y[] puede expresarse como ua combiació lieal de las respuesas del sisema cuado la exciació esá cosiuida por muesras uiarias desplazadas e el iempo. Específicamee, si deoamos por h k [] la respuesa de u sisema lieal a la muesra uiaria desplazada [ k], eoces la respuesa del sisema a ua erada arbiraria x[] puede expresarse como y[ ] x[ k ] h [ ] (.6) k De acuerdo co la Ec. (.6), si coocemos la respuesa de u sisema lieal al cojuo de muesras uiarias desplazadas, eoces podemos cosruir la respuesa a ua erada arbiraria. Ua ierpreació de la Ec. (.6) se ilusra e la Fig... E la Fig..a se dibuja ua señal paricular x[], la cual es diferee de cero solamee para =, y. Esa señal se aplica a la erada de u sisema lieal cuyas respuesas a las señales [ + ], [ ] y [ ] se muesra e la Fig..b. Como x[] puede escribirse como ua combiació lieal de [ + ], [ ] y [ ], el pricipio de k

4 64 superposició os permie escribir la respuesa a x[] como ua combiació lieal de las respuesas a los impulsos idividuales desplazados. Los impulsos idividuales desplazados y escaloados que coforma a x[] se ilusra e el lado izquierdo de la Fig..c, mieras que las respuesas a esas señales compoees se dibuja e el lado derecho. x[] h [] ] (a) h [ h [] x [ ] [ ] (b) x [ ] h [ ] x [ ] [ ] [ ] h [ ] x ] [ ] x ] h x [ [ [ ] x[] (c) y[] (d) Figura.

5 65 Fialmee, e la Fig..d se muesra la erada real x[], la cual es la suma de sus compoees e la Fig..c y la salida real y[], la cual, por superposició, es la suma de sus compoees e la Fig..c. Por cosiguiee, la respuesa e el iempo de u sisema lieal es simplemee la superposició de las respuesas debidas a cada valor sucesivo de la erada. E geeral, por supueso, las respuesas hk [ ] o iee que esar relacioadas ere ellas para diferees valores de k. No obsae, si el sisema ambié es ivariable e el iempo, eoces h [ ] h [ k ] (.7) k Específicamee, como [ k] es ua versió desplazada de [], la respuesa h k [] es ua réplica desplazada e el iempo de h []. Por coveiecia e la oació, o se usará el subídice e h [] y se defiirá la respuesa al impulso (muesra) uiario h[] como h[ ] h [ ] (.8) (es decir, [] h[]). Eoces, para u sisema LIT, la Ec. (.6) se coviere e y[ ] x[ ] h[ ] x[ k ] h[ k ] (.9) Ese úlimo resulado se cooce como la suma de covolució o suma de superposició y la operació e el lado derecho de la Ec. (.9) se cooce como la covolució de las secuecias x[] y h[] y que se represeará simbólicamee por y[ ] x[ ] h[ ]. Observe que la Ec. (.9) expresa la respuesa de u sisema LIT a ua erada arbiraria e fució de su respuesa al impulso uiario. E ése y e los próximos capíulos se desarrollará alguas de las implicacioes de esa observació. k h[k] h[ - k] (a) k x[k] (b) k k (c) Figura.3 La ierpreació de la Ec. (.9) es que la respuesa debida a la erada x[k] e el isae k es xkh k, y ésa es secillamee ua versió desplazada y escalada de h[]. La respuesa real es la

6 66 superposició de odas esas respuesas. Para cualquier isae fijo, la salida y[] cosise de la suma para odos los valores de k de los úmeros xkh k. Como se ilusra e la Fig..3, esa ierpreació es ua fora úil de visualizar el cálculo de la respuesa usado la suma de covolució. Específicamee, cosidere el cálculo de la respuesa para algu valor específico de. Observe que h[ k] se obuvo mediae ua reflexió e oro al orige seguida por u desplazamieo e el iempo. E la Fig..3a se muesra h[k] y e la Fig..3b se muesra h[ k] como ua fució de k co fija. E la Fig..3c se ilusra x[k]. La salida para ese valor específico de se calcula eoces poderado cada valor de x[k] pora el valor correspodiee de h[ k] y luego sumado esos producos. El proceso se ilusrará mediae ejemplos. Ejemplo. Cosideremos ua erada x[] y la respuesa al impulso uiario h[] dadas por dode < <. x[ ] u[ ] h[ ] u[ ] h[k] = u[k] (a) h[-k] h[- - k] k (b) - h[ - k] h[ - k] > (d) h[ - k] k k (c) k (e) x[ k] u[ k] k k... < (f) k (g) k Figura.4

7 67 E la Fig..4 se muesra h[k], h[k] y h[ k], es decir, h[ k] para =, y h k para cualquier valor posiivo arbirario de. Fialmee, x[k] se ilusra e la Fig..4g. E la figura se observa que para < o hay solapamieo ere los puos que o so iguales a cero e x[k] y h[ k]. Por ello, para <, x[k]h[ k] = para odos los valores de k y, e cosecuecia, y[] = para <. Para, x[k]h[ k] esá dada por Eoces, para, k, k x[ k ] h[ k ], oros valores de El resulado se grafica e la Fig..5. y[ ] k k... y [ ]... k k Figura.5 Ejemplo. Cosidere ahora las dos secuecias x[] y h[] dadas por, 4 x [ ], oros valores de, 6 h [ ], oros valores de Esas señales se muesra e la Fig..6. Para calcular la covolució de las dos señales, coviee cosiderar cico iervalos separados para. Eso se ilusra e la Fig..7. x[] h[] Figura.6

8 68 Iervalo. Para < o hay solapamieo ere las porcioes diferees de cero de x[k] y h[ k ] y, por lo ao, y[] =. Iervalo. Para 4, el produco Por lo que e ese iervalo, se iee x k h k esá dado por k, k x[ k ] h[ k ], oros valores de k y[ ] Iervalo 3. Para > 4 pero 6 (es decir, 4 < 6), x[k]h[ k] esá dada por Así que e ese iervalo, k k k, k 4 x[ k ] h[ k ], oros valores de k y[ ] Iervalo 4. Para > 6 pero 6 4 (es decir, para 6 < ), de modo que 4 k k k, ( 6) k 4 x[ k ] h[ k ], oros valores de k y [ ] 4 k6 Iervalo 5. Para ( 6) < 4 o, equivaleemee, >, o hay solapamieo ere las porcioes diferees de cero de x[k] y h[ k] y, por ao, y [ ] El resulado gráfico de la covolució se muesra e la Fig..7. k y[] 4 6 Figura.7

9 69 Esos dos ejemplos ilusra la uilidad de ierprear gráficamee el cálculo de la suma de covolució. E el reso de esa secció examiaremos varias propiedades imporaes de la covolució que será de mucha uilidad e diferees ocasioes. Ejemplo 3. Sea x[ ] u[ ] y h[ ] u[ ] Eoces k k y[ ] u[ k ] u[ k ] k Como u[k] = para k < y u[ k] = para k >, podemos escribir la sumaoria como Claramee, y[] = si <. Para, si =, eemos k k k [ ] ( ) y k k y[ ] () ( ) Si, la sumaoria puede escribirse e forma compaca usado la fórmula k k a a k a, a (.) a Supoiedo que, eoces podemos escribir y [ ] ( ) Como u caso especial de ese ejemplo, sea =, de modo que x[] represea a la fució escaló uiario. La respuesa al escaló para ese sisema se obiee haciedo = e la úlima expresió para y[] y es y[ ] Observe que el Ejemplo es u caso especial de esa relació. Resumiedo, se iee eoces que la suma de covolució esá compuesa de cuaro operacioes básicas:

10 7. Tomar la image especular de h[k] sobre el eje verical a ravés del orige para obeer h[k].. Desplazar h[] e ua caidad igual al valor de, e dode la secuecia de salida se evalúa para calcular h[ k]. 3. Muliplicar la secuecia desplazada h[ k] por la secuecia de erada x[k]. 4. Sumar la secuecia de valores resulaes para obeer el valor de la covolució e. 5. Los pasos a 4 se repie coforme varía de a + para producir oda la salida h[]. Exise oro algorimo que se puede usar para evaluar covolucioes discreas (ese méodo es especialmee úil para secuecias fiias). Supoga que se desea deermiar la covolució de x[] y h[], e dode y, h [ ], x [ ] 3,, Se puede cosruir ua mariz dode h[] se localice e la pare superior de la mariz y x[] ocupe la pare izquierda de la misma, como se idica e la Fig..8. E ese caso, la mariz es ifiia porque h[] es ifiia. Los valores dero de la mariz se obiee muliplicado los ecabezados correspodiees a la fila y a la columa. Para calcular la covolució de las dos secuecias, basa co girar y sumar siguiedo las líeas diagoales pueadas. Así, por ejemplo, el primer érmio y[] es igual a 3. El segudo érmio, y[], es igual a + 3/ = 7/, que es la suma de los érmios coeidos ere la primera y la seguda diagoal. Procediedo e esa forma, se obiee la secuecia de salida y [ ] 3 k E el caso de secuecias bilaerales, el érmio de orde cero correspodiee a la salida se localiza ere las diagoales e las cuales se ecuera el érmio correspodiee a la iersecció de los ídices de orde cero para las secuecias de las filas y columas. h[] x[] Figura.8

11 7 Ejemplo 4. Se desea deermiar la covolució de la muesra uiaria [] co ua secuecia arbiraria x[]. De la Ec. (.9), el -ésimo érmio de la secuecia resulae será y[ ] x[ k ] [ k ] k Si embargo, cada érmio de [ k] es cero excepo cuado = k. E ese caso se iee que [], por lo que el úico érmio que es diferee de cero e la sumaoria aparece cuado k y, e cosecuecia, y[ ] x[ ] E oras palabras, la covolució de x[] y [] reproduce la secuecia x[]. Ejemplo 5. Deermiar la covolució de las secuecias x[] y h[], dode y a, x[ ], b, h [ ], Solució: La secuecia resulae, y[], esá dada por y[ ] x[ k ] h[ k ] x[ k ] h[ k ] k Los límies e la úlima sumaoria se debe a que x[] = para < y h[] = para k >. E cosecuecia, k k, y[ ] k k a b, Ejemplo 6. Deermiar, empleado la suma de covolució, la salida del circuio digial de la Fig..9, x [ ] 3 3. Supoga que la gaacia G es igual a /. correspodiee a la secuecia de erada Solució: La ecuació que describe al sisema se puede obeer igualado la salida del sumador y[] co las dos eradas, es decir, y[ ] y[ ] x[ ] (.)

12 7 x[] + + y[] Gy[ ] Gaacia G Uidad de reardo Figura.9 La Ec. (.) es u ejemplo de ua ecuació e diferecias. Se supoe que el sisema esá iicialmee e reposo, de modo que y[] =. Para emplear la suma de covolució, primero se debe calcular la fució de respuesa al impulso h[]. U méodo para obeer dicha respuesa es emplear la ecuació e diferecias y deermiar la salida e forma ieraiva. De la Ec. (.) se iee que h{} [] h[ ] h [] [] h[]] h[] [] h[] 4 h[ ] [ ] h[ ] La fució de respuesa al impulso es eoces y la salida esará dada por h [ ],, y[ ] 3 3, Ua forma secilla de calcular esa covolució es emplear la mariz co el méodo de gira y suma, como se ilusra e la Fig... De esa figura se obiee la secuecia de salida como y [ ] Ese méodo ieraivo iee la desveaja de que o siempre es posible recoocer la forma del érmio geeral. E esos casos, la solució para h[] o se obiee e ua forma cerrada, como e ese ejemplo, y puede o ser ua solució acepable.

13 73 h[] x[] Figura..3. Propiedades de la Suma de Covolució La Ec. (.9) defie la covolució de las dos secuecias x[] y h[]: y[ ] x[ ] h[ ] x[ k ] h[ k ] (.) La primera propiedad básica de la suma de covolució es que es ua operació comuaiva, es decir, k x[ ] h [ ] h [ ] x[ ] (.3) Eso se demuesra e ua forma direca mediae ua susiució de variables e la Ec. (.). Haciedo m k, la Ec. (.) se coviere e x[ ] h[ ] x[ k ] h[ k ] x[ m] h[ m] h[ ] x[ ] k De acuerdo co esa úlima ecuació, la salida de u sisema LIT co erada x[] y respuesa al impulso h[] es idéica a la salida de u sisema LIT co erada h[] y respuesa al impulso x[]. m Ua seguda propiedad úil de la covolució es que es asociaiva, es decir, x[ ] h [ ] h [ ] x[ ] h [ ] h [ ] (.4) Para demosrar esa propiedad, sea x[ ] h [ ] f [ ] y h [ ] h [ ] f [ ]. Eoces y f [ ] x[ k ] h [ k ] k

14 74 x[ ] h [ ] h [ ] f [ m] h [ m] m x[ k ] h[ m k ] h[ m] m k Susiuyedo r = m k e iercambiado el orde de las sumaorias, eemos y ahora, pueso que eemos y, por lo ao, x[ ] h [ ] h [ ] x[ k ] h [ r] h [ k r] k r f [ ] h [ r] h [ r] r f [ k ] h [ r] h [ k r] k x[ ] h [ ] h [ ] x[ k ] f [ k ] k x[ ] f [ ] x[ ] h [ ] h [ ] La ierpreació de la propiedad asociaiva se idica e las Figs..a y b. Los sisemas mosrados e esos diagramas de bloques so sisemas LIT cuyas respuesas al impulso so las idicadas. E la Fig..a, y[ ] w[ ] h [ ] x[ ] h [ ] h [ ] x[] h [] w[] h [] y[] x[] h[ ] h [ ] h [ ] y[] (a) (b) x[] h[ ] h [ ] h [ ] y[] x[] h [] h [] y[] (c) (d) Figura.

15 75 E la Fig..b, y[ ] x[ ] h[ ] x[ ] h [ ] h [ ] Segú la propiedad asociaiva, la iercoexió e cascada de los dos sisemas e la Fig..a es equivalee al sisema úico e la Fig..b. Tambié, como ua cosecuecia de la propiedad asociaiva e cojuo co la propiedad comuaiva, la respuesa complea al escaló de sisemas LIT e cascada es idepediee del orde e el cual los sisemas esá coecados (Figs..c y d). Ua ercera propiedad de la covolució es la disribuiva co respeco a la suma, es decir, x[ ] h [ ] h [ ] x[ ] h [ ] x[ ] h [ ] (.5) la cual se verifica fácilmee usado la propiedad de liealidad de la suma. De uevo, esa propiedad iee ua ierpreació úil. Cosidere los dos sisemas LIT e paralelo mosrados e la Fig..a. Los dos sisemas h [] y h [] iee eradas idéicas y sus salidas se suma. y Como la salida del sisema de la Fig..a es y [ ] x[ ] h [ ] y [ ] x[ ] h [ ] y[ ] x[ ] h [ ] x ] h [ ] que correspode al lado derecho de la Ec. (.5). La salida del sisema de la Fig..b es y[ ] x[ ] h [ ] h [ ] lo que correspode al lado izquierdo de la Ec. (.5). E cosecuecia, por la propiedad disribuiva de la covolució, ua combiació e paralelo de sisemas LIT puede ser reemplazada por u solo sisema LIT cuya respuesa al impulso es la suma de las respuesas al impulso idividuales de la combiació e paralelo. h [] y [] x[] y[] x[] h [] + h [] y[] h [] (a) y [] (b) Figura.

16 76 Ejemplo 7. Cosidere el sisema mosrado e la Fig..3 co h [ ] [ ] a[ ] h [ ] u[ ] [ ] h [ ] 3 a u h [ ] ( ) u[ ] 4 5 h [ ] [ ] u [ ] [ ] h [] h [] h 3 [] h 4 [] h 5 [] Figura.3 De la figura esá claro que h[ ] h [ ] h [ ] h [ ] { h [ ] h [ ]} Para evaluar h[], calculamos primero la covolució h[ ] h3[ ] 3 h [ ] h [ ] [ ] a[ ] a u[ ] Tambié, de modo que 5 4 a u[ ] a u[ ] [ ] h [ ] h [ ] [ ] u[ ] [ ] ( ) u[ ] [ ] [ ] u[ ] h[ ] [ ] h [ ] [ ] [ ] u[ ] h [ ] h [ ] s [ ] dode s represea la respuesa al escaló correspodiee a h []; E cosecuecia, eemos que k h[ ] u[ ] u[ ] k Usado la Ec. (.), ese resulado puede escribirse como

17 77 h[ ] u[ ] u[ ].3. Respuesa al Escaló La respuesa al escaló s[] de u sisema LIT de iempo discreo cuya respuesa al impulso es h[] se obiee rápidamee a parir de la Ec. (.9) como s[ ] h[ ] u[ ] h[ k ] u[ k ] h[ k ] k pueso que u[k ] = para k >. De la Ec. (.6) eemos que (.6) k h[ ] s[ ] s[ ] (.7).4 Sisemas de Tiempo Coiuo: La Iegral de Covolució E el domiio del iempo, u sisema lieal se describe e érmios de su respuesa al impulso, la cual se defie como la respuesa del sisema (co cero codicioes iiciales) a ua fució impulso uiario o fució dela () aplicada a la erada del sisema. Si el sisema es ivariable e el iempo, eoces la forma de la respuesa al impulso es la misma si imporar cuado se aplica el impulso uiario al sisema. Así pues, supoiedo que la fució impulso uiario se aplica e el isae =, podemos deoar la respuesa al impulso de u sisema LIT por h(). Supoga que el sisema esá someido a ua exciació arbiraria x(). Eoces. igual a como se hizo e la secció precedee, el objeivo de ésa es obeer ua caracerizació complea de sisemas LIT de iempo coiuo e fució de la respuesa al impulso. Por la Ec. (.5) sabemos que x ( ) x ( ) ( ) d (.8) La respuesa al impulso h() de u sisema LIT de iempo coiuo (represeado por ) se defie como la respuesa del sisema cuado la erada es (), es decir, h() { ( )} (.9) Pueso que el sisema es lieal, la respuesa y() del sisema a ua exciació arbiraria x() puede ser expresada como y ( ) x( ) x ( ) ( ) d Como el sisema o varía co el iempo, eoces x ( ) { ( )} d (.)

18 78 y susiuyedo la Ec. (.) e la Ec. (.), se obiee h( ) ( ) (.) y ( ) x ( ) h( ) d (.) La Ec. (.) idica que u sisema LIT de iempo coiuo esá compleamee caracerizado por su respuesa al impulso h() y se cooce como la iegral de covolució o la iegral de superposició y es la corapare de la Ec. (.9) para la covolució e iempo discreo. Teemos eoces el resulado fudameal que la salida de cualquier sisema LIT de iempo coiuo es la covolució de la erada x() co la respuesa al impulso h() del sisema. La respuesa a cualquier erada x() puede calcularse usado la iegral de la Ec. (.). La Fig..4 ilusra esa defiició. La covolució de dos señales x() y h() se represeará simbólicamee por y( ) x( ) h( ) (.3) () x() Sisema LIT h() y() = x() h() Figura.4.4. Propiedades de la Iegral de Covolució La covolució e iempo coiuo saisface las mismas propiedades ya discuidas para la covolució de iempo discreo. E paricular, es comuaiva, asociaiva y disribuiva: Comuaiva: Asociaiva: Disribuiva: x( ) h( ) h( ) x( ) (.4) x( ) h ( ) h ( ) x( ) h ( ) h ( ) (.5) x( ) h ( ) h ( ) x( ) h ( ) x( ) h ( ) (.6) Esas propiedades iee las mismas implicacioes que las discuidas para la covolució e iempo discreo. Como ua cosecuecia de la propiedad comuaiva, los papeles de la señal de erada y de la respuesa al impulso so iercambiables. Por la propiedad asociaiva, ua combiació e cascada de sisemas LIT puede agruparse e u solo sisema cuya respuesa al impulso es la covolució de las respuesas al impulso idividuales. Tambié, la respuesa al impulso oal o es afecada por el orde que iee los sisemas e la coexió e cascada. Fialmee, como u resulado de la propiedad

19 79 disribuiva, ua combiació e paralelo de sisemas LIT es equivalee a u solo sisema cuya respuesa al impulso es la suma de las respuesas al impulso idividuales e la combiació e paralelo..4. Evaluació de la Iegral de Covolució La covolució es ua operació iegral que puede evaluarse aalíica, gráfica o uméricamee. Aplicado la propiedad de comuaividad de la covolució, Ec. (.4), a la Ec., se obiee y ( ) h( ) x( ) h( ) x( ) d (.7) la cual e alguos casos puede ser más fácil de evaluar que la Ec. (.). De esa úlima ecuació observamos que el cálculo de la iegral de covolució ivolucra los cuaro pasos siguiees:. La respuesa al impulso h() es iverida e el iempo (es decir, reflejada co respeco al orige) para obeer h() y luego desplazada por para formar h( ), la cual es ua fució de co parámero.. Las señal x() y la respuesa al impulso h( ) se muliplica para odos los valores de co fijo e algú valor. 3. El produco x() h( ) es iegrado e para producir u solo valor de salida y(). 4. Los pasos a 3 se repie coforme varía desde hasa para producir oda la salida y(). Tega siempre presee que al evaluar la iegral, x() y h( ) so fucioes de y o de ; es ua cosae co respeco a. Ejemplo 8. La erada x() y la respuesa al impulso h() de u sisema LIT de iempo coiuo esá dadas por Calcule la salida y(). Solució: Por la Ec. (.) x( ) u ( ) h( ) e u ( ), y ( ) x ( ) h( ) d Las fucioes x() y h ( ) se muesra e la Fig..5 para < y >. De la figura vemos que para <, x() y h ( ) o se solapa, mieras que para >, se solapa desde hasa. E cosecuecia, para <, y() =. Para >, eemos ( ) ( ) y e d e e d e

20 8 y podemos escribir la salida y() como y ( ) e u ( ) (.8) x() h() h( ) h( ) < > Figura.5 Ejemplo 9. Calcule la respuesa y() para u sisema LIT de iempo coiuo cuya respuesa al impulso h() y la erada x() esá dadas por Solució: Por la Ec. (.) Así que, h( ) e u ( ) x( ) e u ( ), y ( ) x ( ) h( ) d ( ) y ( ) e u( ) e u( ) d Las fucioes x() y h( ) se muesra e la Fig..6a para < y >. De la Fig..6a vemos que para <, x() y h( ) se solapa desde = hasa =, mieras que para >, se solapa desde = hasa =. E cosecuecia, para <, eemos y para >, ( ) y () e e d e e d e ( ) y () e e d e e d e

21 8 x() h( ) < y() h( ) > (b) (a) Figura.6 Combiado las dos úlimas relacioes, y() se puede escribir como y ( ) e, Ese resulado se muesra e la Fig..6b. Ejemplo. Evalúe la covolució y( ) x( ) h( ), dode x() y h() se muesra e la Fig..7, mediae ua écica aalíica. x() h() 3 Figura.7 Solució: Primero expresamos x() y h() como fucioes del escaló uiario: Eoces, por la Ec. (.), eemos que x( ) u( ) u( 3) h( ) u( ) u( ) y ( ) x ( ) h( ) d

22 8 [ u( ) u( 3)][ u( ) u( )] d u( ) u( ) d u( ) u( ) d Pueso que u( 3) u( ) d u( 3) u( ) d,, u ( ) u ( ), oros valoresde,, u ( ) u ( ), oros valoresde, 3, 3 u ( 3) u ( ), oros valoresde podemos expresar a y() como la cual se grafica e la Fig..8., 3, 5 u ( 3) u ( ), oros valoresde y ( ) du( ) du( ) du( 3) du( 5) 3 3 u( ) ( ) u( ) ( 3) u( 3) ( 5) u( 5) y() u() ( 5)u( 5) ( )u( ) ( 3)u( 3) Figura.8 Iee resolver ese ejemplo mediae la écica gráfica usada e el Ejemplo 9.

23 83 Ejemplo, Si x () y x () so ambas señales periódicas co u período comú T, la covolució de x () y x () o coverge. E ese caso, defiimos la covolució periódica de x () y x () como T f ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) d (.9) (a) Demuesre que f () es periódica co período T. (b) Demuesre que para cualquier a. Solució: at (.3) a f ( ) x ( ) x ( ) d (a) Como x () es periódica co período T, eemos que Eoces, de la Ec. (.9) eemos Así pues, f () es periódica co período T. x ( T ) x ( ) T f ( T ) x ( ) x ( T ) d T x ( ) x ( ) d f ( ) (b) Pueso que ambas x () y x () so periódicas co el mismo período T, x ()x ( ) es periódica co período T y eoces, igual que oda fució periódica x() co período T iee la propiedad de que y para cualquier a real, se iee que T at x ( ) d x ( ) d a T at f ( ) x ( ) x ( ) d x ( ) x ( ) d a.4.3 Respuesa al Escaló Ora señal que se usa co frecuecia para describir el comporamieo de sisemas LIT de iempo coiuo es la fució escaló uiario. La respuesa al escaló s() de u sisema LIT de iempo

24 84 coiuo (represeado por ) se defie como la respuesa del sisema cuado la erada es u(); es decir, s( ) u ( ) (.3) E muchas aplicacioes, la respuesa al escaló s() ambié es ua caracerizació úil del sisema y por ello es imporae relacioarla co la respuesa al impulso. La respuesa al escaló se puede deermiar fácilmee a parir de la iegral de covolució, Ec. (.): s( ) h( ) u( ) h( ) u( ) d h( ) d (.3) Así que la respuesa al escaló s() puede obeerse por iegració de la respuesa al impulso h(). Difereciado la Ec. (.3) co respeco a, se obiee Esa ecuació es la corapare de la Ec. (.7) e iempo discreo. d s () h( ) s( ) (.33) d.5 Propiedades de los Sisemas LIT E las seccioes aeriores se desarrollaro represeacioes muy imporaes para los sisemas LIT de iempo discreo y de iempo coiuo. Esa represeació e iempo discreo oma la forma de la suma de covolució, mieras que su corapare e iempo coiuo es la iegral de covolució. E esa secció usamos la caracerizació de sisemas LIT e fució de sus respuesas al impulso para examiar oras propiedades de los sisemas..5. Sisemas LIT Co y Si Memoria Recuerde que la salida y() de u sisema si memoria e u isae dado depede solamee de la erada y() e ese mismo isae. Esa relació sólo puede ser de la forma y( ) K x( ) (.34) dode K es ua cosae (gaacia del sisema). Por ello, la respuesa al impulso correspodiee h() es simplemee h( ) K ( ) (.35) E cosecuecia, si h ( ) para, el sisema LIT de iempo coiuo iee memoria. Para sisemas LIT de iempo discreo si memoria, la relació equivalee a la Ec. (.34) es y[ ] K x[ ] (.36) dode K es ua cosae (gaacia del sisema) y la respuesa al impulso correspodiee h[] es h[ ] K [ ] (.37)

25 85 Por lo ao, si h[ ] para, el sisema LIT de iempo discreo iee memoria..5. Causalidad Como ya se esudió e el Cap., u sisema causal o respode a u eveo e su erada hasa que ese eveo efecivamee ocurra; e oras palabras, la respuesa de u sisema causal depede solamee de los valores presee y pasados de la exciació. Usado la suma y la iegral de covolució, podemos relacioar esa propiedad co la propiedad correspodiee de la respuesa al impulso de u sisema LIT de iempo discreo o de iempo coiuo. Específicamee, para que u sisema LIT de iempo discreo sea causal, su salida y[] o debe depeder de la erada x[k] para k. De la ecuació para la suma de covolució se deduce que ése será el caso si y[ ] x[ k ] h[ k ] k y, aplicado esa codició, la suma de covolució se coviere e h[ ] para (.38) y[ ] x[ k ] h[ k ] h [ k ] x [ k ] k (.39) La seguda sumaoria e el lado derecho de la Ec. (.39) muesra que los úicos valores de x[] usados para evaluar la salida y[] so aquellos para k. k Se dice eoces que cualquier secuecia x[] es causal si y se llama aicausal si x[ ], (.4) x[ ], (.4) Eoces, cuado la erada x[] es causal, la salida y[] de u sisema LIT de iempo discreo esá dada por y[ ] h[ k ] x[ k ] x[ k ] h [ k ] k k (.4) Para que u sisema LIT de iempo coiuo sea causal se debe cumplir que la respuesa al impulso cumpla co la codició y, e ese caso, la iegral de covolució se coviere e h( ), (.43) y ( ) h( ) x( ) d x( ) h( ) d (.44)

26 86 Por la codició de causalidad, Ec. (.43), cualquier señal x() es causal si y se llama aicausal si x( ), (.45) x( ), (.46) Eoces, cuado la erada x() es causal, la salida y() de u sisema LIT causal de iempo coiuo esá dada por y ( ) h( ) x( ) d x ( ) h( ) d (.47) Ejemplo. Cosidere u sisema LIT de iempo coiuo descrio por T y ( ) x ( ) d T (.48) T (a) Deermie y dibuje la respuesa al impulso h() del sisema. (b) Es causal ese sisema? Solució: (a) La Ec. (.44) puede escribirse como Ahora bie, T T y ( ) x ( ) d x ( ) d T T (.49) x ( ) u( ) x ( ) u( ) d x( ) d por lo que la Ec. (.49) puede expresarse como T T y ( ) x( ) u x( ) u T T T T x( ) u u x( ) h( ) T y obeemos T T T T, h() u u T (.5) T, oros valores de

27 87 h() T/ T/ Figura.9 (c) De la Ec. (.5) o de la Fig..9 vemos que h ( ) para. E cosecuecia, el sisema o es causal. Ejemplo. Cosidere u sisema LIT de iempo discreo cuya erada x[] y salida y[] esá relacioadas por la ecuació Deermie si el sisema es causal. k y[ ] x[ k ] k Solució: Por defiició, la respuesa al impulso h[] del sisema esá dada por k ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] h k k k Cambiado la variable k + = m, obeemos k k k ( ) ( ) h[ ] [ m] u[ ] k E esa úlima ecuació eemos que h[ ] u[] y, por lo ao, el sisema o es causal..5.3 Esabilidad Recuerde de la Secció..5 que, para uesros propósios, u sisema es esable si pequeñas exciacioes produce respuesas que o diverge (o aumea si límie); o dicho de ora forma, el sisema es esable si oda erada acoada produce ua salida acoada. Para deermiar las codicioes bajo las cuales u sisema LIT de iempo discreo es esable, cosidere ua exciació x[] acoada e magiud, es decir, x[ ] para oda dode es ua cosae (fiia). Si aplicamos esa exciació a u sisema LIT cuya respuesa al impulso uiario es h[], la suma de covolució os dará ua réplica para la magiud de la respuesa: