Modelos de elección simple y múltiple. Regresión logit y probit. Modelos multilogit y multiprobit.

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1 Modelos de eleccón smple y múltple. Regresón logt y probt. Modelos multlogt y multprobt. Sga J.Muro(14/4/2004) 2

2 Modelos de eleccón dscreta. Modelos de eleccón smple. Modelos de eleccón múltple. Fnal J.Muro(14/4/2004) 3

3 Modelos de eleccón dscreta. (Alternatvas bnaras) Sga J.Muro(14/4/2004) 4

4 Modelos de eleccón smple. Introduccón. Planteamento. Modelos probt y logt. Atrás J.Muro(14/4/2004) 5

5 Introduccón. Referencas. Análss aplcado. Relevanca. Atrás J.Muro(14/4/2004) 6

6 Referencas. Goldberger, A. S. (2001), Introduccón a la Econometría. Arel. Capítulo 17, págs Maddala, G. S. (1996), Introduccón a la Econometría, 2ª ed. Prentce Hall. Capítulo 8. Atrás J.Muro(14/4/2004) 7

7 Análss aplcado Muro, J. e I. Senra (2002), Ensayo 3. Influye el tamaño de una empresa sobre la probabldad de acceder a la fnancacón bancara? Camba el sentdo de la nfluenca a partr de un tamaño determnado? Atrás J.Muro(14/4/2004) 8

8 Relevanca. Tablas multdmensonales con condcón ceters parbus. Mecansmos de seleccón muestral. Modelos no lneales para datos de panel. Métodos dscretos para modelos de duracón. Atrás J.Muro(14/4/2004) 9

9 Planteamento. Construccón del modelo a partr de una forma reducda. Modelzacón de la probabldad asocada a la varable dcotómca a través de las expresones dervadas de una formulacón estructural. Funcón índce (forma estructural de v. latente). Utldad aleatora. Atrás J.Muro(14/4/2004) 10

10 Modelo en forma reducda. Analogía con el modelo de regresón (v. objetvo con 0 y 1). Probabldad es una funcón de la matrz de característcas X y de los parámetros a estmar β. Hpótess de lnealdad: el argumento de la funcón anteror es una combnacón lneal de las característcas y de los parámetros. Sga J.Muro(14/4/2004) 11

11 Modelo en forma reducda. Probabldad de que ocurra un suceso (se tome una decsón) P Prob G( X' [ y 1 X, β ] β ). Probabldad de que no ocurra un suceso (no se tome la decsón) G( X, β ) Prob [ y 0 X, β ] 1 G(.). Sga J.Muro(14/4/2004) 12

12 Modelo en forma reducda. El valor esperado de la varable a estudo, y, es E ( y ) 1* P + 0* ( 1 - P ) P G. (.) Cuáles pueden ser las canddatas para la funcón G(.)? modelo lneal de probabldad. modelo probt. modelo logt. Atrás J.Muro(14/4/2004) 13

13 Modelo lneal de probabldad. La funcón dentdad, es decr G(.) 1. Expresón formal es y X' β+ ε 1,2,... N. ( y 1) X' β. P Prob Atrás J.Muro(14/4/2004) 14

14 Modelo probt. La funcón de dstrbucón normal, es decr G(.) F(.). Expresón formal es P Prob ( y 1) F( X' β ). Atrás J.Muro(14/4/2004) 15

15 Modelo logt. La funcón de dstrbucón logístca, es decr G(.) Λ(.). Expresón formal es P Prob ( y 1) 1 + exp 1 ( X' β ). Atrás J.Muro(14/4/2004) 16

16 Planteamento de funcón índce. La varable observada toma unos valores que responden al comportamento de una varable índce (latente o nobservable). S el índce supera un determnado nvel la varable dscreta toma el valor uno y, s no lo supera, toma el valor cero. La varable latente está relaconada con las característcas a través de un modelo estructural. β ε y* X' + 1,2,... N. Sga J.Muro(14/4/2004) 17

17 Planteamento de funcón índce. Según establezcamos el supuesto de que la perturbacón aleatora se dstrbuya como una Normal o una Logístca, el modelo generado será un probt o un logt, respectvamente. Los valores de la varable a estudo, observados, se relaconan con los de la varable latente en la forma y ( y * 0) 1( X' β ε 0). 1 > + > Sga J.Muro(14/4/2004) 18

18 Planteamento de funcón índce. La probabldad asocada a la realzacón del suceso tene la expresón P Prob G( X ' [ y ] [ ] 1 X, β Prob y* > 0 [ X β + ε > 0] Prob[ ε < X β ] Prob β ). Sga J.Muro(14/4/2004) 19

19 Planteamento de funcón índce. El hacer la varanza del modelo gual a uno es el resultado de un mero proceso de normalzacón, ya que el modelo no se altera porque se multplque por cualquer cantdad. El umbral consderado a superar por el índce puede ser cero o cualquer otro valor. Atrás J.Muro(14/4/2004) 20

20 Modelos probt y logt. Expresón de la funcón de verosmltud. Ecuacones de verosmltud. Hessano. Presentacón e nterpretacón de resultados. Contrastes. Bondad del ajuste. Atrás J.Muro(14/4/2004) 21

21 La funcón de verosmltud de los modelos probt y logt es: L( β lnl y, X ) 1 ( ) y ' β [ 1 G( X' β )] 1 y ( ' β ) + (1 y )ln[ 1 G( X' β )] { y lng X }. N G X. Atrás J.Muro(14/4/2004) 22

22 Las ecuacones de verosmltud de los modelos probt y logt son: ( ) ln L β β 0. y g(.) G(.) X + ( y 1) g(.) 1 G(.) X 0. y G(.) G(.) [ 1 G(.) ] g(.) X 0. Sga J.Muro(14/4/2004) 23

23 Que se concretan en f (.) X [ 1 F(.) ] 0. Modelo probt [ Λ(.) ] 0. y X Modelo logt Atrás J.Muro(14/4/2004) 24

24 El hessano es defndo negatvo en ambos modelos y tene la forma: H λ + ( λ X' β) X X'. Modelo probt H Λ(.)1 [ Λ(.) ] '. X X Modelo logt Atrás J.Muro(14/4/2004) 25

25 El hessano es defndo negatvo en ambos modelos y tene la forma: ( ) ln L β β 0. y g(.) G(.) X + ( y 1) g(.) 1 G(.) X 0. y G(.) G(.) [ 1 G(.) ] g(.) X 0. Atrás J.Muro(14/4/2004) 26

26 Presentacón e nterpretacón de resultados. Presentacón: Habtual (estmacones parámetros). Razón de probabldades (odds rato). Efectos margnales. Predccones. Atrás J.Muro(14/4/2004) 27

27 Contrastes. Especfcacón. Especfcacón errónea. Atrás J.Muro(14/4/2004) 28

28 Contrastes de especfcacón errónea. Análss de resduos generalzados. Contrastes de momentos condconales. Pagan-Vella (1989). Contraste de heteroscedastcdad. Davdson y McKnnon (1993). Atrás J.Muro(14/4/2004) 29

29 Pagan, A.R. y F. Vella (1989), Dagnostc Tests for Models Based on Indvdual Data: A Survey. Journal of Appled Econometrcs, 4, S J.Muro(14/4/2004) 30

30 Davdson, R. y J. MacKnnon (1993), Estmaton and Inference n Econometrcs. Oxford Unversty Press. Contraste de heteroscedastcdad. Harvey (1976). Modelo probt. Hpótess nula. H 0 : Var(u ) cte; H 1 : Var(u )exp(2γ*var). Regresón auxlar. La suma de los cuadrados explcada de dcha regresón se dstrbuye asntótcamente bajo la hpótess nula como una χ 2 con 1 grado de lbertad (stuacón partcular debda a que sólo hay una varable que cause la heteroscedastcdad, s hubera más varables los grados de lbertad serían guales a su número). La regresón auxlar tene la forma: y pˆ pˆ (1 pˆ ) f( X' θ) pˆ (1 pˆ ) X' φ f( X' θ)*( X' θ) var* φ + v 1+ 2 pˆ (1 pˆ ). Las p son predccones, la X es la matrz de varables del lado derecho (que ncluye la varable var) y, fnalmente, f(.) es la funcón de densdad de probabldad de una varable N(0,1). Atrás J.Muro(14/4/2004) 31

31 Bondad del ajuste. Contraste de la razón de verosmltud. Seudo R 2. Tabla de predccones. Atrás J.Muro(14/4/2004) 32

32 Contraste de la razón de verosmltud. Compara de la forma habtual el modelo estmado con el modelo ngenuo (modelo que contene sólo una constante). Hpótess nula. H 0 : β0. LR 2 ( ) 2 ln L ln L ~ χ ( r) 0 H 0 lnl 0 N[ P lnp + (1 P)ln(1 P) ]. Atrás J.Muro(14/4/2004) 33

33 Seudo R 2. Dfcultades en crear un consenso sobre cuál es el modelo de comparacón. 1 ln ln L L 0. lnl 0 N[ P lnp + (1 P)ln(1 P) ]. Atrás J.Muro(14/4/2004) 34

34 Tabla de predccones. Compara los resultados muestrales con los predchos para cada observacón y sumnstra el número de acertos y fallos. Característcas de equlbro de la muestra analzada. Regla de construccón habtual. Pˆ > 0.5 mplca que yˆ 1; P 0.5 mplca que yˆ 0. Atrás J.Muro(14/4/2004) 35

35 Modelos de eleccón dscreta. (Múltples alternatvas) Sga J.Muro(14/4/2004) 1

36 Modelos de eleccón dscreta con múltples alternatvas. Introduccón. Los temas. Característcas comunes. Cuáles son las causas de la aleatoredad? Problemas que nacen del dseño muestral. Los modelos. J.Muro(14/4/2004) 2

37 Introduccón. Referencas. Thurstone, L. (1927), A Law of Comparatve Judgement. Psychologcal Revew, 34, págs Luce, D. (1959), Indvdual Choce Behavour. Wley. Atrás J.Muro(14/4/2004) 3

38 Referencas Greene, W. H. (1997), Econometrc Analyss. 3ª ed. Macmllan. Capítulo 19, págs Wooldrdge, J. M. (2002), Econometrc Analyss of Cross Secton and Panel Data, The MIT Press. Capítulo 15, págs Atrás J.Muro(14/4/2004) 4

39 Modelos de eleccón dscreta con múltples alternatvas. Introduccón. Los temas. Característcas comunes. Cuáles son las causas de la aleatoredad? Problemas que nacen del dseño muestral. Los modelos. Fnal J.Muro(14/4/2004) 5

40 Los temas. 1. Compras de benes duraderos (benes ndvsbles). Automóvles. Cragg y Uhler (1970). Fecunddad. Becker (1960). 2. Demanda de característcas (ben heterogéneo). Transporte. McFadden ( ). Vvenda; educacón; ocupacón 3. Eleccón dscreta como abstraccón de demanda de un ben contnuo. Oferta de trabajo. Muro et al. (1986). 4. Otros temas. Sentdo del voto; construccón de autopstas. Atrás J.Muro(14/4/2004) 6

41 Característcas comunes. Comparacón de utldades. Hpótess RUM (random utlty maxmzaton). IIA (Supuesto de ndependenca de las alternatvas rrelevantes). Atrás J.Muro(14/4/2004) 7

42 Causas de la aleatoredad Heterogenedad. Defcencas de nformacón. Atrás J.Muro(14/4/2004) 8

43 Dseño muestral Exogenedad. Endogenedad. Referenca útl: Pudney (1989). Atrás J.Muro(14/4/2004) 9

44 Los modelos. 1. La nformacón dsponble. 2. Planteamento general. 3. Modelos para datos no ordenados. 4. Modelos para datos ordenados. 5. Líneas de nvestgacón. Atrás J.Muro(14/4/2004) 10

45 La nformacón dsponble. Indvduos y alternatvas. n ndvduos; 1,2,3,,n. J alternatvas; j 0,1,2,3,..,J-1. Característcas de los ndvduos. W es un vector (K x 1). Atrbutos de las alternatvas. X j es un vector (L x 1). En suma: Z j (X j W ). Atrás J.Muro(14/4/2004) 11

46 Utldad estocástca U j S j + ε j. Donde S j Z j γ. γ (β α ). El ndvduo escoge la alternatva que maxmza su utldad. Prob(y j) P j prob (U j > U k ) k j. S la dstrbucón del térmno de error es Normal modelo probt; Webull modelo logt. Atrás J.Muro(14/4/2004) 12

47 Modelos para un conjunto no ordenado de alternatvas. 1. Modelo logt multnomal. 2. Modelo logt condconal. 3. Modelos andados. 4. Por qué especfcacones logt? Atrás J.Muro(14/4/2004) 13

48 Modelo logt multnomal. McFadden (1973). Datos de característcas de los ndvduos (pero no de atrbutos de las alternatvas). Planteamento del modelo. Identfcacón. Razón de probabldades (odds rato). Estmacón. Contrastes. Ejemplo 1; ejemplo 2. Atrás J.Muro(14/4/2004) 14

49 Prob ( y j) P j k e W ' α j e W ' α k Donde representa ndvduos y k corre para las alternatvas (J).. Atrás J.Muro(14/4/2004) 15

50 J.Muro(14/4/2004) 16 S α* j α j + α 0. Una mera traslacón no altera el valor de las probabldades (ndetermnacón). Manfestacón de la propedad de suma untara del conjunto de probabldades.. ) ( Prob * ' * ' ) * ( ' ) * ( ' 0 0 k W W k W W j k j k j e e e e P j y α α α α α α Sga

51 La expresón normalzada queda (se hace la medda relatva a la alternatva cero, por lo que los coefcentes α 0 de la alternatva cero se hacen nulos): Prob( y j) P j 1+ e W ' α e j W ' α k. k 0 Atrás J.Muro(14/4/2004) 17

52 P W' α P W' α j j e j; j e. P P W' α 0 k e k S calculamos la relacón en logartmos (log odds rato). ln P j P 0 W ' α ; j ln P j P k W ' ( α α ). j k Atrás J.Muro(14/4/2004) 18

53 Hacemos d d j j 1 0 : s s y y j ; j. La funcón de verosmltud del modelo será: L( α j, ln L j 1,2,... J j d j W ln ) e W ' α j k 0 n J [ prob ( d 1) ] j e 1 j 0 W ' α k. d j. Atrás J.Muro(14/4/2004) 19

54 Las ecuacones de verosmltud del modelo son: ln L α j [ d ] j Pj W 0. El térmno entre corchetes se puede utlzar para realzar contrastes oportunos por el método de los contrastes de momentos condconales. Atrás J.Muro(14/4/2004) 20

55 Modelo logt condconal. McFadden (1974). Datos de atrbutos de las alternatvas y/o característcas de los ndvduos. Planteamento. Identfcacón. Razón de probabldades (odds rato). IIA. Estmacón. Logt para datos de panel con efectos fjos? Contrastes de especfcacón (IIA). Ejemplo 1; ejemplo 2. Atrás J.Muro(14/4/2004) 21

56 El calfcatvo condconal se derva de que elegmos una alternatva concreta condconada al hecho de que alguna de las alternatvas se elge. Prob( y j) P j Z' γ j j e. Z' γ e k k k Donde representa ndvduos y k corre para las alternatvas (J). La mayor parte de los ejemplos de logt condconal se construyen con solo atrbutos de las alternatvas. Es convenente observar que la msma expresón se obtene de consderar nuestra muestra como el resultado de un logt para datos de panel con efectos fjos, Chamberlan (1980). Atrás J.Muro(14/4/2004) 22

57 Supongamos que γ j γ β + α. Entonces, Prob ( y X ' j e j) Pj X ' k β + e β + W ' α W ' α e X ' e j β X ' k β. k k Los parámetros de las característcas de los ndvduos desaparecen. La dentfcacón se produce por medo de térmnos de nteraccón que permten recuperar los parámetros asocados con las característcas. Lo msmo ocurre con el térmno ndependente del modelo. Atrás J.Muro(14/4/2004) 23

58 P j P k X' β e j. X' β e k S calculamos la relacón en logartmos (log odds rato). ln P j P k X' X' j k β. Se cumple el supuesto IIA (restrccón mplícta en el modelo). Atrás J.Muro(14/4/2004) 24

59 Hacemos d d j j 1 0 : s s y y j ; j. La funcón de verosmltud del modelo será: L( β X ln L j...) j n J [ prob( dj 1) ] d 1 j 1 j ln k e X ' j β e X ' k β. dj. Atrás J.Muro(14/4/2004) 25

60 El contraste del supuesto IIA, Hausman y McFadden (1984), es un contraste de tpo Hausman. El modelo sn restrccones es el que contene todas las alternatvas y el restrngdo el msmo modelo estmado sn una de las alternatvas. Bajo IIA ambos estmadores son consstentes y el del modelo restrngdo efcente. Bajo la alternatva sólo el del modelo sn restrccones es consstente. χ 2 ( )' ˆ ˆ [ ] 1( ˆ ˆ ) 2 β β V V β β ~ χ rest.. r sr r sr r sr H 0 Donde: r sgnfca modelo restrngdo; sr modelo sn restrccones; V matrz de varanzas y covaranzas de los modelos respectvos; rest. número de restrccones mplíctas en el supuesto IIA (ambos modelos proporconan los msmos resultados; nº parámetros del modelo restrngdo). Atrás J.Muro(14/4/2004) 26

61 Modelo logt andado. McFadden (1984). Relajacón del supuesto IIA. Modelo jerárquco. Construccón de un árbol de decsones. Planteamento del modelo. Estmacón. Contrastes de especfcacón (logt condconal). Ejemplo 1; ejemplo 2. Atrás J.Muro(14/4/2004) 27

62 Supongamos que la eleccón se produce entre J alternatvas, donde J 3. Ej. Mercado de trabajo: nactvdad, paro y empleo. Suponemos que la jerarquía (árbol de decsones) se establece de la forma sguente: Indvduo Actvo Parado Inactvo Ocupado Llamamos ramas a cada una de las alternatvas del prmer nvel. Alternatvas de cada rama a las que cuelgan de cada una de ellas. Se admte que las ramas del árbol sean heteroscedástcas. Atrás J.Muro(14/4/2004) 28

63 J.Muro(14/4/2004) 29 Como nformacón dsponemos de los atrbutos de las ramas Z l y de los atrbutos de las alternatvas ncludas en cada rama X jl. Para el caso de un modelo para dos nveles, con L ramas en el prmer nvel y con J l alternatvas en cada rama del segundo nvel, la probabldad no condconada de elegr la alternatva j que pertenece a la rama l es Sga Esta probabldad puede descomponerse en el producto de la condconal por la margnal. Es decr,. ' ' ' ' + + l j Z X Z X jl l jl l jl e e P γ β γ β. ' ' ' ' ' ' ' ' + + l Z l Z j X j X l j Z X Z X l l j jl l l jl jl l jl l jl e e e e e e P P P γ γ β β γ β γ β

64 J.Muro(14/4/2004) 30 Se defne el valor nclusvo, o de dentro de la rama, como Sga Y tambén la probabldad de la alternatva j condconada a encontrarse en la rama l como. ln ' j X l jl e I β. ' ' j X X l j jl jl e e P β β Y la probabldad margnal de la rama l como. ' ' + + l I Z I Z l l l l l l l e e P π γ π γ

65 En defntva, de las defncones anterores se derva que un modelo logt andado tene un doble comportamento: 1. Modelo logt condconal nterno para la eleccón de las alternatvas de la rama correspondente. 2. Modelo logt condconal para el conjunto de las ramas. En este logt condconal se consderan como atrbutos de las ramas no sólo las Z l sno tambén los valores nclusvos I l. Atrás J.Muro(14/4/2004) 31

66 1. Procedmento maxmoverosíml. Aplcacón drecta de la maxmzacón de la funcón de verosmltud (producto de la contrbucón de cada observacón de la muestra). 2. Procedmento en dos etapas. Estmacón del modelo logt condconal ntrarrama. Cálculo del (o de los) valor nclusvo. Estmacón del modelo logt condconal de las ramas. Atrás J.Muro(14/4/2004) 32

67 Cabe realzar un contraste de especfcacón que es equvalente al contraste del supuesto IIA. En efecto, s en un modelo andado la probabldad condconal de elegr una alternatva dentro de una rama concde con la no condconal el modelo se reduce a un modelo logt condconal de todas las alternatvas contempladas (al margen de su pertenenca o no a una rama concreta) Matemátcamente se reduce al contraste de que el parámetro, o parámetros, que afectan a los valores nclusvos son guales a 1. Atrás J.Muro(14/4/2004) 33

68 Otras especfcacones dstntas a las logístcas. Facldad de cálculo. Imposbldad de calcular ntegrales multdmensonales mplíctas en modelos probt. Máxmo J3. Probt multnomal. Smulacón. Nuevas nvestgacones. Atrás J.Muro(14/4/2004) 34

69 Probt multnomal Debería llamarse probt condconal. Alternatva al logt condconal que evta la IIA. Las J perturbacones aleatoras se dstrbuyen como una dstrbucón normal J- varante, que admte correlacones para j. Atrás. J.Muro(14/4/2004) 35

70 Modelos para un conjunto ordenado de alternatvas. Planteamento general. No se conocen los límtes de los ntervalos. Se conocen los límtes de los ntervalos: Varable dependente agrupada. Atrás J.Muro(14/4/2004) 36

71 Planteamento general. Los datos dan nformacón de dos cuestones: de la alternatva escogda; y de la ordenacón de las alternatvas posbles. Modelzacón de la nformacón dscreta y ordenada a través de una funcón índce nobservable. y * X' β + ε. Sga J.Muro(14/4/2004) 37

72 La conversón de los valores de la funcón índce en los valores dscretos ordenados sgue la regla sguente: y 0 s y y 1 s 0 < y y 2 s µ 1 y J s µ * * < y J - 1 0, * µ µ < y * 1. 2,, La conversón puede consderarse una censura de los datos. Sólo se conoce el ntervalo en el que está una observacón concreta. Sga J.Muro(14/4/2004) 38

73 En general, el modelo se representa como: Prob(y 0) Prob(y Prob(y 1) Prob(0< G( µ - 1 Xβ )-G(-Xβ ),... 0) G(-Xβ ), Cuando G(.) es la funcón de dstrbucón de una normal el modelo será un probt; cuando es la logístca será un logt. * y * µ ) 1 Atrás J.Muro(14/4/2004) 39

74 S los parámetros µ j son desconocdos, los modelos probt y logt ordenados son los oportunos. Modelo probt (logt) ordenado. Dado que los límtes del ntervalo son desconocdos podemos hacer estándar el modelo y suponer que las perturbacones aleatoras del modelo son N(0,1). Expresón formal del modelo. Para la estmacón empleamos el método de la máxma verosmltud. La funcón de verosmltud es ln L j j ln J [ ] d G( µ j - X ' β ) - G( µ j X ' β ). j 1 [ G( µ j - X ' β ) - G( µ - - X ' β )]. j L( N β, µ j ) j 1 d 1 Donde, d j d * j 1 s µ j -1 < y µ j 0 en el resto de los casos. Atrás J.Muro(14/4/2004) 40,

75 S los parámetros µ j son conocdos, el modelo apropado es el de varables dependentes agrupadas. Modelo de varable dependente agrupada. Al conocer los límtes del ntervalo, el modelo no se puede hacer estándar y los parámetros a estmar serán β y σ 2. Expresón formal del modelo. La funcón de verosmltud del modelo es ln L j d j ln G µ j j-1 β µ ' -X' σ -G -X σ Donde las equvalencas con la expresón anteror son nmedatas. β. Atrás J.Muro(14/4/2004) 41

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