UNIDAD 3 Números reales

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1 . Curiosiddes sobre lgunos Pág. 1 de 4 Hy tres números de grn importnci en mtemátics y que, prdójicmente, nombrmos con un letr: El número designdo con l letr grieg π = 3,14159 (pi) relcion l longitud de l circunferenci con su rdio (longitud = π r ). El número e =,7188, inicil del pellido de su descubridor Leonhrd Euler (mtemático suizo del siglo XVIII). El número designdo con l letr grieg F = 1,61803 (fi), llmdo número de oro, es l inicil del nombre del escultor griego Fidis, que lo utilizó en sus obrs. Los tres números tienen infinits cifrs decimles y no son periódicos (sus cifrs decimles no se repiten periódicmente). Son, por tnto,. Desde el punto de vist mtemático, existe un diferenci importnte entre los dos primeros y el tercero: mientrs que π y e no son solución de ningun ecución polinómic, el número de oro, F =, es un de ls soluciones de l ecución de segundo grdo x x 1 = 0. Compruéblo. EL NÚMERO π Y en l ntigüedd, los clculists notron que todos los círculos conservbn un estrech relción entre su perímetro y su rdio. En el siglo XVII l relción se convirtió en un número, y fue identificdo con el nombre de pi, de peripherei, nombre que los griegos dbn l perímetro de un círculo. A lo lrgo de l Histori, el vlor del número π h tenido muchs vriciones: En el ntiguo Egipto, se tomb π = 3,1605 y en l ntigu Bbiloni, er π = 3. En Chin, ls proximciones pr π fueron vris: 3,1447; 3,10; 3,14. En el siglo V d.c., un strónomo chino llmdo Tsu Cheng clculó que π se cercb En Europ, Arquímedes sbí que π cumplí l siguiente relción: En l Bibli, π es < π < Los árbes, trbjndo con polígonos inscritos en un circunferenci, obtuvieron hst 17 decimles exctos de π. Así, el número de decimles hlldos pr π fue umentndo hst llegr l siglo XX. L prición de los ordendores permitió trbjr con más rpidez y, en el momento ctul, el récord de cifrs decimles encontrds pr este número sobreps los mil millones. 1 7

2 . Curiosiddes sobre lgunos Pág. de 4 EL NÚMERO e El número e es un número rel cuyo vlor es, Leonhrd Euler, mtemático del siglo XVIII, fue el primero en estudir este número (clculó hst 3 de sus cifrs decimles) y en utilizr l letr e pr nombrrlo. Con l llegd de los ordendores, el cálculo se simplificó y rápidmente los progresos fueron enormes. Así, por ejemplo, en el ño 000, utilizndo un progrm de cálculo en un ordendor Pentium III 800, se obtuvieron cifrs decimles de este número, pr lo que se necesitron 167 hors. Son muchs ls plicciones que tiene este número: Un cden o un cble colgdos por sus extremos, tienden doptr l form de un curv muy conocid cuy expresión nlític es: f (x) = No obstnte, fueron los griegos quienes explotron l máximo este número, usándolo en tods ls fcets del rte. Concretmente, los seguidores de Pitágors tenín l estrell regulr de cinco punts (obtenid con ls die x + e x Pr determinr de un mner proximd l ntigüedd de un objeto que está formdo por mteri orgánic, se mide l cntidd de crbono 14 que contiene. Los seres vivos tienen un cntidd de crbono 14 constnte. Cundo un ser vivo muere, est cntidd se v desintegrndo. L función que regul l desintegrción se determin con l siguiente fórmul: Q = Q 0 e 0,00014 t donde Q es l cntidd finl de crbono 14, Q 0 es l cntidd inicil y t es el tiempo trnscurrido. Un de ls numeross plicciones del número e en biologí es el crecimiento exponencil de poblciones. Este tipo de crecimiento surge cundo no hy fctores que limiten el crecimiento. En esos csos se plic l fórmul: P = P 0 e t que permite verigur cuál será l poblción P en un tiempo t prtir de l poblción inicil P 0. EL NÚMERO DE ORO, F Aunque no fue hst el siglo XX cundo el mtemático Mrk Borr designó l número áureo con su símbolo F (fi, sext letr del becedrio griego) en honor Fidis, sus comienzos se sitún en Egipto por su prición en construcciones de pirámides que dtn del 600.C.

3 . Curiosiddes sobre lgunos Pág. 3 de 4 gonles de un pentágono regulr y en l que F precí como proporción entre l digonl del pentágono y su ldo) como figur emblem de su sociedd, hst el punto de llevrl ttud en el dorso de sus mnos. Est estrell representb l vid y, puest con el vértice superior hci bjo, lo mléfico. Est figur les fscinb por lo que en ell se puede encontrr (segmentos proporcionles, triángulos semejntes ), pero, sobre todo, por su crácter de utorreproductividd hst el infinito: Si se prolongn los ldos del pentágono hst que se encuentren, se obtiene un estrell proporcionlmente myor l del interior del pentágono. En el hueco interno que dejn ls digonles, prece un pentágono menor que, su vez, origin un estrell proporcionlmente más pequeñ. Y sí hst el infinito. Tmbién los pitgóricos dorbn el dodecedro regulr; tnto, que en l fórmul de su volumen precí el número de oro: siendo l rist del poliedro. Volumen = Pr ellos, el dodecedro representb l propio universo y un proporción que se utiliz pr l construcción del universo h de ser, necesrimente, divin. El número áureo tmbién se usó mucho en l époc del Rencimiento, especilmente en ls rtes plástics y en rquitectur. Se considerb que er l proporción perfect entre los ldos de un rectángulo (rectángulo áureo), y con él se conseguí el equilibrio y l bellez. Hoy en dí, dicho número se puede ver en multitud de diseños: trjets de crédito, nuestro DNI L rquitectur modern sigue vliéndose, en sus edificciones, de l proporción áure. Está presente, por ejemplo, en el edificio de l ONU en Nuev York (prism rectngulr cuy cr myor sigue ls citds proporciones). ( ) 4 3

4 . Curiosiddes sobre lgunos Pág. 4 de 4 L fscinción que el número áureo h provocdo lo lrgo de l Histori, se h visto plsmd tmbién en l litertur. Rfel Alberti escribió un soneto dedicdo dicho número: A ti, mrvillos disciplin Medi, extrem rzón de l hermosur, Que clrmente ct l clusur Viv en l mll de tu ley divin. A ti, cárcel feliz de l retin, Áure sección, celeste cudrtur Misterios fontn de mesur, Que el universo rmónico origin. A ti, mr de los sueños ngulres, Flor de ls cinco forms regulres, dodecedro zul, rco sonoro. Luces por ls un compás rdiente. Tu cnto es un esfer trnsprente. A ti, divin proporción de oro. ACTIVIDADES 1 Comprueb que los DNI y ls trjets de crédito son rectángulos áureos. = b b = b Comprueb que el número de oro, F, es solución de l ecución x x 1 = 0.

5 . Curiosiddes sobre lgunos Soluciones Pág. 1 de 4 Hy tres números de grn importnci en mtemátics y que, prdójicmente, nombrmos con un letr: El número designdo con l letr grieg π = 3,14159 (pi) relcion l longitud de l circunferenci con su rdio (longitud = π r ). El número e =,7188, inicil del pellido de su descubridor Leonhrd Euler (mtemático suizo del siglo XVIII). El número designdo con l letr grieg F = 1,61803 (fi), llmdo número de oro, es l inicil del nombre del escultor griego Fidis, que lo utilizó en sus obrs. Los tres números tienen infinits cifrs decimles y no son periódicos (sus cifrs decimles no se repiten periódicmente). Son, por tnto,. Desde el punto de vist mtemático, existe un diferenci importnte entre los dos primeros y el tercero: mientrs que π y e no son solución de ningun ecución polinómic, el número de oro, F =, es un de ls soluciones de l ecución de segundo grdo x x 1 = 0. Compruéblo. EL NÚMERO π Y en l ntigüedd, los clculists notron que todos los círculos conservbn un estrech relción entre su perímetro y su rdio. En el siglo XVII l relción se convirtió en un número, y fue identificdo con el nombre de pi, de peripherei, nombre que los griegos dbn l perímetro de un círculo. A lo lrgo de l Histori, el vlor del número π h tenido muchs vriciones: En el ntiguo Egipto, se tomb π = 3,1605 y en l ntigu Bbiloni, er π = 3. En Chin, ls proximciones pr π fueron vris: 3,1447; 3,10; 3,14. En el siglo V d.c., un strónomo chino llmdo Tsu Cheng clculó que π se cercb En Europ, Arquímedes sbí que π cumplí l siguiente relción: En l Bibli, π es < π < Los árbes, trbjndo con polígonos inscritos en un circunferenci, obtuvieron hst 17 decimles exctos de π. Así, el número de decimles hlldos pr π fue umentndo hst llegr l siglo XX. L prición de los ordendores permitió trbjr con más rpidez y, en el momento ctul, el récord de cifrs decimles encontrds pr este número sobreps los mil millones. 1 7

6 . Curiosiddes sobre lgunos Soluciones Pág. de 4 EL NÚMERO e El número e es un número rel cuyo vlor es, Leonhrd Euler, mtemático del siglo XVIII, fue el primero en estudir este número (clculó hst 3 de sus cifrs decimles) y en utilizr l letr e pr nombrrlo. Con l llegd de los ordendores, el cálculo se simplificó y rápidmente los progresos fueron enormes. Así, por ejemplo, en el ño 000, utilizndo un progrm de cálculo en un ordendor Pentium III 800, se obtuvieron cifrs decimles de este número, pr lo que se necesitron 167 hors. Son muchs ls plicciones que tiene este número: Un cden o un cble colgdos por sus extremos, tienden doptr l form de un curv muy conocid cuy expresión nlític es: f (x) = No obstnte, fueron los griegos quienes explotron l máximo este número, usándolo en tods ls fcets del rte. Concretmente, los seguidores de Pitágors tenín l estrell regulr de cinco punts (obtenid con ls die x + e x Pr determinr de un mner proximd l ntigüedd de un objeto que está formdo por mteri orgánic, se mide l cntidd de crbono 14 que contiene. Los seres vivos tienen un cntidd de crbono 14 constnte. Cundo un ser vivo muere, est cntidd se v desintegrndo. L función que regul l desintegrción se determin con l siguiente fórmul: Q = Q 0 e 0,00014 t donde Q es l cntidd finl de crbono 14, Q 0 es l cntidd inicil y t es el tiempo trnscurrido. Un de ls numeross plicciones del número e en biologí es el crecimiento exponencil de poblciones. Este tipo de crecimiento surge cundo no hy fctores que limiten el crecimiento. En esos csos se plic l fórmul: P = P 0 e t que permite verigur cuál será l poblción P en un tiempo t prtir de l poblción inicil P 0. EL NÚMERO DE ORO, F Aunque no fue hst el siglo XX cundo el mtemático Mrk Borr designó l número áureo con su símbolo F (fi, sext letr del becedrio griego) en honor Fidis, sus comienzos se sitún en Egipto por su prición en construcciones de pirámides que dtn del 600.C.

7 . Curiosiddes sobre lgunos Soluciones Pág. 3 de 4 gonles de un pentágono regulr y en l que F precí como proporción entre l digonl del pentágono y su ldo) como figur emblem de su sociedd, hst el punto de llevrl ttud en el dorso de sus mnos. Est estrell representb l vid y, puest con el vértice superior hci bjo, lo mléfico. Est figur les fscinb por lo que en ell se puede encontrr (segmentos proporcionles, triángulos semejntes ), pero, sobre todo, por su crácter de utorreproductividd hst el infinito: Si se prolongn los ldos del pentágono hst que se encuentren, se obtiene un estrell proporcionlmente myor l del interior del pentágono. En el hueco interno que dejn ls digonles, prece un pentágono menor que, su vez, origin un estrell proporcionlmente más pequeñ. Y sí hst el infinito. Tmbién los pitgóricos dorbn el dodecedro regulr; tnto, que en l fórmul de su volumen precí el número de oro: siendo l rist del poliedro. Volumen = Pr ellos, el dodecedro representb l propio universo y un proporción que se utiliz pr l construcción del universo h de ser, necesrimente, divin. El número áureo tmbién se usó mucho en l époc del Rencimiento, especilmente en ls rtes plástics y en rquitectur. Se considerb que er l proporción perfect entre los ldos de un rectángulo (rectángulo áureo), y con él se conseguí el equilibrio y l bellez. Hoy en dí, dicho número se puede ver en multitud de diseños: trjets de crédito, nuestro DNI L rquitectur modern sigue vliéndose, en sus edificciones, de l proporción áure. Está presente, por ejemplo, en el edificio de l ONU en Nuev York (prism rectngulr cuy cr myor sigue ls citds proporciones). ( ) 4 3

8 . Curiosiddes sobre lgunos Soluciones Pág. 4 de 4 L fscinción que el número áureo h provocdo lo lrgo de l Histori, se h visto plsmd tmbién en l litertur. Rfel Alberti escribió un soneto dedicdo dicho número: A ti, mrvillos disciplin Medi, extrem rzón de l hermosur, Que clrmente ct l clusur Viv en l mll de tu ley divin. A ti, cárcel feliz de l retin, Áure sección, celeste cudrtur Misterios fontn de mesur, Que el universo rmónico origin. A ti, mr de los sueños ngulres, Flor de ls cinco forms regulres, dodecedro zul, rco sonoro. Luces por ls un compás rdiente. Tu cnto es un esfer trnsprente. A ti, divin proporción de oro. ACTIVIDADES 1 Comprueb que los DNI y ls trjets de crédito son rectángulos áureos. = 8,6 cm b b = b 5,3 cm 1,6 F Comprueb que el número de oro, F, es solución de l ecución x x 1 = 0. 1 ± x = = = F 1 5

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