DISEÑO DE RUTAS DE TRANSPORTE ESCOLAR CON VENTANAS TEMPORALES MÓVILES

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1 DISEÑO DE RUTAS DE TRANSPORTE ESCOLAR CON VENTANAS TEMPORALES MÓVILES José Lus Moura, Ángel Ieas Departamento de Transporte y Tecnología de Proyectos y Procesos, Unversdad de Cantara, Avda. De los Castros s/n, Códgo 39005, Santander, España Tel: (34 942) 20734; Fax: (34 942) 20703; E-mal: mourajl@uncan.es Lug dell Olo Departamento de Ingenera Cvl, Unversdad de Burgos Campus San Amaro Edfco "La Mlanera" C/ Vlladego s/n 0900 Burgos, España Tel: (34 947) 2594; E-mal: ldell@uu.es RESUMEN En este artculo se presenta una metodología para el dseño de un sstema de transporte escolar donde, además de defnr las rutas, se determna la hora de entrada de cada colego. Tradconalmente los horaros de los colegos de una msma área son déntcos lo que mplca la utlzacón de un gran número de autouses. En este traajo se ha propuesto la posldad de escalonar estas horas de entrada, con el ojetvo de mnmzar el número de autouses y así reducr los enormes costes que actualmente supone para la admnstracón. La metodología se fundamenta en: una prmera fase donde se plantea un clásco prolema de ruteo a través de Programacón Lneal Entera Mxta y una segunda fase donde con un enfoque de programacón nvel se trata de encontrar el vector de horas de entrada en los colegos, que cumplendo las restrccones del prolema, mnmce los costes drectos del sstema. En el nvel superor del prolema de optmzacón nvel se evalúan los costes del sstema se plantea en ase a un modelo desarrollado por los autores de asgnacón de costes a servcos de transporte escolar. En el nvel nferor se optmza la comnacón de rutas óptma para un msmo autoús. Palaras clave: Ruteo de vehículos, Optmzacón, Costes de transporte escolar ABSTRACT Ths artcle puts forward a methodology for desgnng a system for school transport whch, apart from desgnng the routes, specfes the school openng tmes. Tradtonally school tme tales have always een dentcal n the same area meanng many uses have to e used at once. Ths wor suggests staggerng school openng tmes n order to mnmze the numer of uses and therey reduce the enormous costs nvolved n runnng them. The methodology s ased on: a frst phase whch addresses the classc routng prolem usng mxed nteger lneal programmng and a second phase whch uses -level programmng to fnd the vector for school openng tmes, whch, when stayng wthn the constrants of the prolem, mnmzes the drect costs of the system. At the upper level of the -level optmzaton prolem an evaluaton s made of the system costs ased on a model developed y the authors assgnng costs wthn school transport servces. The lower level fnds the est comnaton of optmum routes for the same us. Key words: Vehcle routng, Optmzaton, School transport costs XIII Congreso Chleno de Ingenería de Transporte, Santago, Octure 2007

2 2 José Lus Moura, Ángel Ieas, Lug dell Olo. INTRODUCCION Admnstratvamente el Transporte Escolar en España es un Transporte Púlco Regular Especal y es fnancado por las Comundades Autónomas medante lctacones púlcas por curso escolar. Los Goernos Regonales (a través de los Departamentos o Consejerías de Educacón) ponen a dsposcón de los estudantes, el correspondente transporte desde sus vvendas hasta los centros de educacón. Actualmente este servco supone una pesada carga económca para las admnstracones regonales, la cual ha llegado a extremos dfícles de asumr. En el caso de la Comundad Autónoma de Cantara los costes que ocasona este servco son altísmos. Para el curso la cfra total de gastos ascendó a ,59 euros, sendo el ncremento porcentual respecto al año anteror del 5 %, pese a que el número de contratos no varó sustancalmente. S esta cfra gloal se desglosa en gastos por jornada, este gasto daro es aproxmadamente de ,6 euros/día. Uno de los motvos que provocan este elevado coste es la dfcultad de explotar el autoús dedcado a servcos escolares en otros servcos a lo largo del día. A pesar de la corta duracón de los servcos escolares, muchos empresaros amparándose en este prolema asgnan todos los costes daros del autoús y del conductor a la concesón escolar. Además del anteror prolema, exsten otros como: la rgdez de los horaros de entrada en los colegos, la exstenca de rutas defndas hstórcamente sn ser sometdas a un proceso de optmzacón y la exstenca de lctacones púlcas donde úncamente se presenta una empresa (prevo acuerdo entre empresaros) forzando a la Admnstracón a aceptar una propuesta económca por encma del coste real del servco escolar. Por ello, en ase a ser conocedores de la prolemátca exstente, desde el punto de vsta de la admnstracón y del empresaro, se propone en este artículo un avance más haca la defncón de un sstema de transporte escolar que mnmce los elevados costes que actualmente presenta. Para ello se afronta la posldad de modfcar los horaros de entrada de los colegos, evtando que todos tengan la msma hora de entrada, tratando que un msmo autoús realce más de una ruta. El artículo se organza, además de esta ntroduccón, en un segundo capítulo donde se detalla el funconamento del sstema actual de transporte escolar en la Comundad Autónoma de Cantara y su prolemátca; un tercer capítulo donde se presenta el modelo de costes desarrollado y que será mplementado en el posteror modelo de optmzacón; un cuarto capítulo donde se presenta la metodología y el modelo de optmzacón propuesto para asstr en la defncón del sstema de transporte escolar (defncón de horas de cada colego y dseño de rutas); y fnalmente un qunto capítulo con las conclusones más nteresantes de la presente nvestgacón. 2. EL PROBLEMA El sstema concesonal actual de transporte escolar en la Comundad Autónoma de Cantara está asado en paquetes ndvduales defndos por una ruta y unas paradas donde el autoús recoge a los nños y los desplaza hasta el centro escolar. Este recorrdo lo puede hacer 2 o 4 veces al día,

3 DISEÑO DE RUTAS DE TRANSPORTE ESCOLAR CON VENTANAS TEMPORALES MÓVILES 3 dependendo s el centro tene un únco turno de mañana o dos turnos, mañana y tarde. En defntva por cada ruta se estalece una concesón y el concurso pertnente. Tal y como quedo reflejado en la ntroduccón, la organzacón y gestón del transporte escolar en la Comundad Autónoma de Cantara es claramente factle de ser optmzado en cuanto a mnmzar los altos costes que presenta, unos ,59 euros para el curso , sendo el ncremento porcentual respecto al año anteror del 5 %. Estos ncrementos prncpalmente son dedos a la asgnacón de los costes de toda la jornada a los servcos de transporte escolar, por parte de la empresa de transporte. Es decr, los costes drectos, áscamente los de personal (conductor), rodadura y fnanceros (autoús), generados cuando el autoús y su conductor están presuntamente nactvos durante la jornada, se asgnan a los pocos servcos de transporte escolar realzados durante el día, mputando a tales servcos costes que realmente no le son atrules. Otro de los motvos que nduce este elevado coste es la rgdez en los horaros de entrada en los colegos (hora estándar de entrada) mposltando que un autoús pueda realzar más de una ruta. Por esto últmo los contratos que la admnstracón lcta se referen a un autoús realzando una ruta específca para un colego determnado. Por lo tanto, el grado de aprovechamento de recursos está lejos de ser el optmo, agravándose aun más ante el hecho que n squera para el caso actual (horaros rígdos) no ha sdo optmzado el dseño de las rutas Por otro lado, se ha oservado que las empresas de transporte de vajeros por carretera que desean optar a las lctacones que peródcamente propone la Consejería de Educacón del Goerno de Cantara, reacconan estalecendo una sere de presuntos acuerdos entre ellas. En resumen, a cada lctacón que la admnstracón autonómca propone, exste una únca empresa que se presenta, evdencando por ello la falta de compettvdad de mercado, quedando este sustancalmente dstorsonado. Ante esta stuacón el papel de la admnstracón púlca es dfcultoso ya que son conscentes que una stuacón de conflctvdad del sector no es adecuado socalmente dado la especal sensldad ante prolemas referentes al transporte escolar, y todo ello concluye en una negocacón entre amas partes hasta lograr el acuerdo. Este grupo de nvestgacón de la Unversdad de Cantara desarrollo un modelo de asgnacón de costes para servcos de transporte escolar para proporconar a la Consejería de Educacón del Goerno de Cantara, un coste real, según dferentes escenaros, para la negocacón con el sector en la adjudcacón de estos servcos. (Ieas et al, 2006) En ase a todo lo anteror, y con el modelo de asgnacón de costes desarrollado, parece claro que modfcacones en las rutas y en los horaros de entradas de los colegos, puede ayudar a que un msmo autoús realce más de una ruta (pasando a ser concesones por Lote de Rutas), reducendo los costes totales del sstema. Por tanto, el ojetvo de esta nvestgacón es proponer un modelo de optmzacón que además de dseñar nuevas rutas reporte los horaros de entradas más adecuados de cada centro.

4 4 José Lus Moura, Ángel Ieas, Lug dell Olo 3. MODELO DE CÁLCULO DE COSTES. Como es conocdo, los costes de una empresa de Transporte pueden clasfcarse en Costes Drectos (Varales y Fjos), que son los más mportantes, más la parte correspondente a los Costes Indrectos atrudos al msmo y que en este caso se especfcan en un porcentaje sore los drectos. La clasfcacón de los costes drectos consderados es: Fjos: Seguro del autoús, amortzacón del autoús y fnancacón del autoús. Varales: Conductores (personal), comustle, lurcantes, neumátcos y mantenmento (materales y mano de ora). Para este modelo de determnacón de costes, se ha elegdo la undad temporal día o jornada, ya que el servco de transporte escolar está perfectamente defndo y su prestacón se repte cíclcamente a lo largo del año escolar durante 75 días y es la undad más hatual para la determnacón de costes de transporte escolar. Las prncpales fases del planteamento del modelo han sdo: ).- Defncón de los costes untaros de una empresa de transportes de vajeros por carretera: Los costes drectos totales de una empresa de transportes se dvden en tres prncpales epígrafes: los costes totales de rodadura, los costes totales de personal y resto de costes fjos asocados al vehículo. Una vez recoplado todos los costes anuales se procede a convertrlos en costes untaros (por undad de produccón) asgnando los costes de rodadura a los lómetros totales realzados, los costes de personal a las horas de servco producdas y los costes fjos al número de vehículos y horas, resultando una funcón de costes de la empresa de la sguente forma: - Número de lómetros totales recorrdos por la empresa = K - Número de horas-homre totales traajadas por la empresa = H - Número de días-us de la empresa = B Costes drectos asgnales a Kms. Z ( / m) = nº Kms realzados por la empresa = Costes drectos asgnales a horas Z ( / hora) = nº horas de servco 2 = CR K Costes drectos asgnales a vehículos Z 3 ( /us) = = nº de vehículos en la empresa CP H CF B () (2) (3) Estos costes untaros han sdo calculados desagregados por tpología de autoús, de tal manera que para los costes de rodadura y costes fjos exste un coste untaros por cada tpo de autoús. Los tpos de autoús han sdo prefjados como comnacón del tamaño y la edad del msmo.

5 DISEÑO DE RUTAS DE TRANSPORTE ESCOLAR CON VENTANAS TEMPORALES MÓVILES 5 2).- Asgnacón de los parámetros de coste que realza cada servco: Una vez que se dspone de los costes untaros, y ajo la hpótess de que cada contrato puede estar formado por varos servcos (llevar a los estudantes al colego, recogerlos, volverlos a llevar y volverlos a recoger, son cuatro servcos y todos ellos son realzados con un solo autoús) resulta que cada lctacón de cada contrato de transporte escolar se realza para un solo autoús, sendo precsamente el autoús el ojetvo de coste: Z = n CR CP CF + + h h s = K H B (4) donde: Z CR K CP H CF B h s : Coste drecto para contratos asgnados a un autoús. : Coste untaro de rodadura para el autoús del tpo. : Coste untaro de personal. : Coste untaro fjo para el autoús del tpo. : Klómetros en el contrato (de un solo servco) : Horas asgnadas en el contrato (de un solo servco) : Numero de servcos del contrato (número de veces que repte la ruta al día) El modelo desarrollado para la correcta determnacón de los costes para los servcos de transporte escolar, además de consderar los costes drectos anterormente ctados, consdera los costes ndrectos en ase a un porcentaje de los costes drectos y fnalmente añade el correspondente enefco ndustral (6%). 4. MODELO DE OPTIMIZACION PARA HORARIOS DE ENTRADAS Y RUTEO. 4.. Hpótess prevas. El ojetvo del modelo planteado es reorganzar las rutas de transporte escolar de un determnando área tenendo en cuenta la posldad de escalonar horaros de entrada en los colegos. Es por lo anteror, que para modelzar los costes se dee prefjar un posle rango de horas entre los cuales es factle que un colego fje su hora de entrada. Actualmente la nmensa mayoría de colegos tenen su entrada a las 8:30 de la mañana. Se ha consderado oportuno hacer la ventana temporal de posles horas de entrada entre las 8:00 y las 9:00 de la mañana.

6 6 José Lus Moura, Ángel Ieas, Lug dell Olo Este últmo aspecto será una de las restrccones al prolema de optmzacón, al gual que otras específcas de condcones a cumplr por normatva del transporte escolar: una prmera relatva al tempo máxmo de los nños en el autoús, fjada en una hora, y una segunda en relacón al tempo desde que el autoús llega al colego hasta la hora de entada. Respecto de este últmo aspecto no hay un valor prefjado por la normatva, pero quedara fjado que no supere los 0 mnutos y sea superor a los 2 mnutos (valor otendo de la oservacón del actual sstema). Otra hpótess mportante a tener en cuenta es que es conocdo el punto exacto donde se recoge a un nño y el colego de destno. Esto es un dato de entrada y por tanto su posle determnacón óptma es una de las posles líneas futuras de nvestgacón. Asmsmo, se consdera que cada autoús en una ruta determnada úncamente puede transportar nños con destno fnal el colego asocado a dcha ruta. Por últmo, consderar la hpótess de ndependenca del prolema de ruteo de cada colego con el prolema general de comnacón de horaros. Esta hpótess es tomada para asegurar la consstenca con la metodología que se propone a contnuacón Enfoque del modelo. Bajo la hpótess de traajar ndependentemente el prolema de ruteo con el prolema de determnacón de horaros de entrada en los colegos, la metodología se estructura en dos fases (ver fgura ): - Prmera fase, donde se resuelve para cada centro escolar el prolema de ruteo. Este prolema toma como datos ncales los puntos de recogda y la cantdad de nños a transportar hasta el colego y reporta el número de rutas y sus recorrdos. - Segunda fase, en la cual a través de un prolema de optmzacón nvel se otene la comnacón de horaros de entrada de los colegos optma, para mnmzar el número de autouses necesaro para satsfacer todas las rutas determnadas. En defntva consste en traajar en una prmera fase en ase a rutas y una segunda donde en funcón de una propuesta de horaros de entrada en los colegos (y cumplendo todas las restrccones de horaros comentadas en el punto 4..) se comnen rutas por autoús. El prolema de optmzacón de la prmera fase es de sora conocdo y no es ojetvo de este artículo profundzar en su descrpcón, s en en el sguente epígrafe se hace una reve descrpcón del msmo. El segundo prolema se aorda a través de un enfoque de optmzacón nvel, donde la funcón ojetvo evalúa los costes drectos totales del sstema. En el nvel superor, un agente admnstrador prefja las horas de entrada a los colegos. Estas horas de entrada a los colegos son datos para el nvel nferor, donde junto con la nformacón de las rutas de la prmera fase, el prolema reporta los autouses totales (que sempre será un número gual o nferor al número de rutas otendo en la prmera fase). Una vez conocdos los autouses necesaros y la nformacón relatva a lómetros y tempos en los desplazamentos entre rutas, se calcula un valor del coste total del sstema.

7 DISEÑO DE RUTAS DE TRANSPORTE ESCOLAR CON VENTANAS TEMPORALES MÓVILES 7 FASE: DEFINICION DE RUTAS POR COLEGIO Prolema de optmzacón resuelve las rutas de cada centro. Reporta todas las rutas por colego con sus característcas (Numero de autouses, Klómetros y tempos de recorrdos) 2 FASE: DEFINICION DE HORAS DE ENTRADA Prolema de optmzacón nvel. Klómetros y tempos de ruteo Numero máxmo de autouses Puntos de nco de cada ruta NIVEL SUPERIOR FO = COSTES DEL SISTEMA (numero de uses, lómetros y horas totales) Admnstracón fja las horas de entrada de los colegos. NIVEL INFERIOR Prolema de optmzacón para comnacón de varas rutas para un msmo autoús. Reporta el numero de uses-contratos necesaros y los lómetros y tempo extra en comnacones Buses, lómetros y horas de comnacón Fgura : Enfoque metodológco 4.3. Prmera fase: optmzacón de rutas. El prolema de ruteo o el prolema del vajante (tamén conocdo como Prolema del Vendedor Vajero PVV) es uno de los prolemas más famosos (y quzás el mejor estudado) en el campo de la optmzacón comnatora computaconal. En pocas palaras este prolema consste en: dado un conjunto de cudades o puntos, y unos costes de vaje entre todos los pares de cudades o puntos, encontrar la forma menos costosa de vstar todas las cudades o puntos exactamente una vez, y volver al punto de partda. Exsten multtud de autores que han traajado en relacón al prolema del ruteo (Vehcle Routng Prolem), prolema de drecta aplcacón al caso del transporte escolar, y que por su extensón no se ctan todos en este artculo (Fsher M. L. and Jaumar R., 98), (Solomon, M. et al, 988), (Laporte, G., 992) and (Cordeau, J.F et al, 200). Algunas referencas destacales relatvas a optmzacón de sstemas de transporte escolar son: (Letchford A., 996) donde se asgnan contratos de transporte escolar a través de un prolema de optmzacón entera, (Hanley P., 2007) donde se estuda la relacón entre el tamaño de zona de nfluenca del colego y los costes de operacón y (Delgado C., 200) que dseña rutas de transporte escolar con un prolema de optmzacón mnmax. El prolema de optmzacón se plantea de la sguente manera (Ahuja et al, 993); se dspone de vehículos (numero conocdo de antemano por conocer exactamente la demanda total del

8 8 José Lus Moura, Ángel Ieas, Lug dell Olo colego) con capacdad d C, que dee vstar n puntos (el punto es el colego) que demandan una cantdad. Por otro lado es conocdo el coste de vaje entre todos los puntos de la red. c, j K n n, j, j (5) = = j= Mn x c K s.a. x, j= y, j =, 2,..., n, j =,2,..., n (6) = n y, j= 2,..., j= n y, j= j 2,..., = = n (7) = n (8) n y, j = K (9) j= n = n y, n = K (0) d x, j C =,2,..., K () = 2 j= ( ) n n x, j c, j+ d tu 60, 2,..., = j= y, j Q Q { 2,..., } Q j Q y, j x, j 0 = (, j) 0 = (, j) = K (2) n (3) A (4) A, =,2,..., K (5) donde: x : varale muda que toma valor s el vehículo atende el punto j nmedatamente, j después del punto. c : coste de crculacón entre el punto y el punto j., j y, j : varale muda que toma valor s entre el punto y el punto j crcula algún vehículo. d : demanda de vajes en el punto con destno el colego (nños en la parada)

9 DISEÑO DE RUTAS DE TRANSPORTE ESCOLAR CON VENTANAS TEMPORALES MÓVILES 9 t u : tempo medo de suda por cada nño. C : capacdad del vehículo. La funcón ojetvo (5) de este prolema mnmza los costes totales de vaje del sstema de rutas para atender la demanda del colego. El conjunto de restrccones (7), (8), (9) y (0) garantzan que al colego (nodo ) llegan los autouses necesaros para satsfacer la demanda total mentras que por otro lado aseguran que cada punto dee ser vstado por un únco vehículo. Por otro lado, el grupo de restrccones () y (2) aseguran el no sorepasar la capacdad de los vehículos y los 60 mnutos de duracón de cada ruta, respectvamente. Las restrccones (3) aseguran la no creacón de surutas y es conocda como sutour reang constrants (Ahuja et al, 993). Fnalmente las restrccones (4) y (5) garantzan el carácter y j nara de las varales x, j y,. Este prolema de optmzacón planteado reporta como solucón fnal las rutas necesaras para atender a la demanda del colego cumplendo las restrccones de capacdad de los vehículos y las restrccones de máxmo tempo de crculacón y se aorda y se resuelve medante Programacón Lneal Entera Mxta, aunque tamén puede ser aordado con otras técncas de resolucón heurístcas o meta-heurístcas Segunda fase: comnacón de horaros. Dado que el ojetvo del prolema planteado es tratar que un msmo autoús realce más de una ruta, la funcón ojetvo será mnmzar el coste total de adjudcacón de un sstema dado de servcos de transporte escolar. Por este motvo, como funcón ojetvo, se utlzará la formula deducda en el modelo de costes. Se ha optado por tratar el prolema ajo un enfoque de programacón nvel, donde en un nvel superor la admnstracón prefja las horas de entrada de los dstntos colegos y en un nvel nferor se resuelve un prolema de optmzacón donde se otene la comnacón de rutas factle de que sean realzadas por un msmo vehículo. Este nvel nferor reporta el número de autouses necesaro y los lómetros y tempos extras en los desplazamentos entre rutas. El modelo propuesto es el sguente:

10 0 José Lus Moura, Ángel Ieas, Lug dell Olo Mn. C c = s = c S CR K CR K d c, s + + CP H CP H h c, s CF + B h n +,, c CF,, c ( H H ) + ( H H ) n fn c, s B c, s n fn x c, (6) H = ( H.. H ) c=,..., C (7) c s.a. e mn max c, c, (8) c Mn. x c s.a. x c,, c, ( ) s Hn H fn cc, = c=,..., C, =,..., M (9) 0 otro _ caso x c, =,2,..., x c, =,2,..., c = K, c=,..., C (20) = K, =,..., M (2) c, c c H = ( H 0, H 2) c=,..., C (22) fn e e H = H T =,..., K (23), c, n fn c donde: : lómetros del servco s en el contrato c. cs, h cs, : tempo del servco s en el contrato c. d : lómetros de desplazamento entre rutas. c H e : hora de entrada del colego c. H : hora mínma de entrada al colego (8:00 a.m.). mn H : hora máxma de entrada al colego (9:00 a.m.). c, max x : varale muda que toma valor s entre el colego c y el punto ncal de ruta el tempo de desplazamento es nferor a la ventana temporal entre la hora de llegada al colego c y la hora de nco de la ruta en el punto. c : tempo de desplazamento entre el colego c y el punto ncal de ruta. c, H : hora ncal de la ruta en el punto de nco., n

11 DISEÑO DE RUTAS DE TRANSPORTE ESCOLAR CON VENTANAS TEMPORALES MÓVILES H : hora fnal de la ruta en el colego c. c, fn T c : tempo de la ruta en el colego c. La funcón ojetvo (6) de este prolema de optmzacón nvel se compone de dos térmnos: ) la suma de todos los costes drectos de cada una de las concesones fnales (recordando que son por autoús, es decr por lote) con su número correspondente de servcos al día; y ) los costes por desplazamento entre dos rutas. Tanto el número de concesones (autouses fnales) como las dstancas lométrcas y tempos entre dos colegos son datos que devolverá el prolema de optmzacón del nvel nferor, una vez se prefjen las horas de entrada de cada colego. Estas horas deen estar entre una hora mínma y una hora máxma tal y como se plasma en la restrccón (7). El prolema del nvel nferor se fundamenta en la creacón de una red de arcos de posle potencales conexones entre colegos y puntos ncales de rutas. Es por esto que de la prmera fase, además de enumerar todas las rutas es mportante conocer el punto ncal de las rutas. La funcón ojetvo, es mnmzar los tempos de realzacón de estas comnacones de rutas (8). Esta red se creará en ase a la posldad de desplazar un vehículo entre un colego y un punto ncal de ruta permténdole realzar las dos rutas mplcadas. El conjunto de restrccones (9) asegura la creacón de esta red. El grupo de restrccones (20) y (2) garantzan que fnalmente de todas las posles conexones desde un colego c para una ruta haca puntos ncales de ruta, úncamente es posle tomar una. La restrccón (22) controla que los autouses o las rutas fnalcen sus rutas en los colegos entre 0 y 2 mnutos antes de la entrada al colego. Fnalmente la restrccón (23) asgna la hora de nco de todas las rutas como resta entre la hora de llegada al colego y el tempo de la ruta (dato de la prmera fase) 4.5. Resolucón del prolema. En cuanto a la forma de resolver el prolema planteado y dadas sus especales característcas, se ha decddo recurrr a métodos que no requeran cálculo de dervadas o hessanos de la funcón ojetvo. Dentro de estos métodos se encuentra el algortmo de Hooe-Jeeves, entre cuyas ventajas destacan el no exgr nngún atruto especal de la funcón ojetvo, lo que ha motvado su eleccón como algortmo de úsqueda de la solucón óptma (Barqun, M., 200) El algortmo no requere convexdad de dcha funcón n una expresón analítca explícta de sus dervadas con respecto a las varales de decsón del prolema. Sí requere que la funcón sea contnua y evaluale para cualquer valor factle de las varales. En defntva y tal como se refleja en la fgura 2, la resolucón del prolema anteror sgue los pasos:

12 2 José Lus Moura, Ángel Ieas, Lug dell Olo Paso Resolver el prolema de ruteo de cada colego, almacenando la nformacón de cada una de las rutas: lómetros, tempos y recorrdos. Paso 2 - Generar un vector de horas de entrada en colegos factles H c, que satsfaga las restrccones del prolema del nvel superor. Paso 3 Resolver el prolema de optmzacón del nvel nferor; otenendo el numero de concesones (autouses) y los tempos y dstancas extras de desplazamento entre rutas. Paso 4 Insertar los resultados del paso y del paso 3 en la funcón ojetvo del nvel superor y comparar en valor de la funcón ojetvo con el de ase. Paso 5 Repetr los pasos 2 a 4 hasta mnmzar la funcón ojetvo o alcanzar los crteros de parada del algortmo de Hooe-Jeeves. Prolema de optmzacón de ruteo de cada centro. FASE: DEFINICION DE RUTAS POR COLEGIO Base de datos con rutas. Recorrdos, lómetros y tempos. 2 FASE: DEFINICION DE HORAS DE ENTRADA Vector ncal de horas de entrada en los colegos Funcón ojetvo: Costes Drectos del Sstema Prolema de optmzacón para comnacón de varas rutas para un msmo autoús. Algortmo de Hooe-Jeeves propone otro vector de horas de entrada Numero de concesones (autouses) y lómetros y tempos de desplazamento entre rutas. NO Es mínmo el valor de FO SI Fgura 2: Resolucón del prolema. FIN 5. CONCLUSIONES La prncpal aportacón de este traajo es la posldad de modfcar horas de entrada en los colegos, con lo que además de optmzar los recorrdos de los autouses para cada colego se mnmza el número de estos, y por tanto se reducen los costes totales del sstema, al lograr que un autoús puede realzar más un contrato (servr más un colego). En cuanto a las hpótess adoptadas hay que destacar que es conocdo el punto exacto donde se recoge a un nño y el colego de destno. Esto es un dato de entrada y por tanto su posle determnacón óptma es una de las posles líneas futuras de nvestgacón. Asmsmo se ha consderado ndependenca entre el prolema de ruteo de cada colego con el prolema general de comnacón de horaros. Esta hpótess es tomada para asegurar la consstenca con la metodología utlzada. Esta se comprende de dos fases: una prmera fase

13 DISEÑO DE RUTAS DE TRANSPORTE ESCOLAR CON VENTANAS TEMPORALES MÓVILES 3 donde se plantea un clásco prolema de ruteo a través de Programacón Lneal Entera Mxta y una segunda fase donde con un enfoque de programacón nvel se trata de encontrar el vector de horas de entrada en los colegos, que cumplendo las restrccones del prolema, mnmce los costes drectos del sstema. En cuanto al camo horaro de entrada en los colegos, este grupo nvestgador, conscente de su posle dfcultad, está desarrollando paralelamente una nvestgacón enfocada a la valoracón de la dsposcón a recr compensacón económca, tanto los colegos como las asocacones de padres, por aceptar una modfcacón de sus horaros. Es de esperar, que amas nvestgacones converjan con conclusones sore los posles puntos de equlro entre amos puntos de vsta (admnstracón-colectvo de padres y maestros) Por últmo ndcar que actualmente se está completando la aplcacón del prolema planteado para un área específca de la comundad autónoma de Cantara. REFERENCIAS Ahuja, R.K., T.L. Magnant y J.B. Orln (993) Networ Flows: Theory, algorthms and applcatons. Prentce-Hall, New Jersey Barqun, M. (200) Dseño operaconal de redes de transporte púlco: formulacón matemátca y algortmos de solucón. Master os scence thess. Pontfca Unversdad Católca de Santago de Chle. Cordeau, J.F., G. Laporte y A. Mercer (200) A unfed tau search heurstc for vehcle routng prolems wth tme wndows. Journal of the operatonal research socety. Volume 52, Numer 8, Delgado, C. y J. Pacheco (200) Mnmax vehcle routng prolems: applcaton to school transport n the provnce of Burgos (Span). Lecture Notes n Economcs and Mathematcal Systems, 505, Fsher M. L. y R. Jaumar (98) A generalzed assgnment heurstcs for vehcle routng. Networs,, Hanley, P. (2007) Transportaton cost changes wth statewde school dstrct consoldaton. Soco-Economc Plannng Scences 4, Ieas, A., J.L. Moura, L. Dell Olo, J. de D. Ortuzar (2006) Costng School Transport n Span. Transportaton Plannng and Technology, 29, 6, Laporte, G. (992) The vehcle routng prolem: An overvew of exact and approxmate algorthms. European Journal of Operatonal Research, Volume 59, Issue 3, Letchford, A.N. (996) Allocaton of school us contracts y nteger programmng. Journal of the Operatonal Research Socety 47,

14 4 José Lus Moura, Ángel Ieas, Lug dell Olo Solomon, M., E. Baer, J.R. Schaffer (988). Vehcle routng and schedulng prolems wth tme wndow constrans: effcent mplementaton of soluton mprovement procedures, Vehcle Routng: Methods and studes,