Ejemplos y ejercicios de. Análisis Exploratorio de Datos. 2 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios.

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1 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS Ejemplos y ejercicios de Aálisis Exploratorio de Datos Descripció estadística de ua variable. Ejemplos y ejercicios..1 Ejemplos. Ejemplo.1 Se ha medido el grupo saguíeo de 40 idividuos y se ha observado las siguietes frecuecias absolutas para cada categoría: 1 para x 1 = A, 11para x = B, 8 para x 3 = AB y 9 para x 4 = O. a) De qué tipo es la variable estudiada? Costruir la tabla de frecuecias correspodiete. b) Qué porcetaje de idividuos so del grupo A? c) Qué porcetaje de idividuos o so del grupo O? d) Cuátos idividuos o so del grupo B? Respuestas: a) Categórica omial. grupo i f i A B AB 8 0. O Total 40 1 b) El 30%, c)el100.5 =77.5%, d)40 11 = 9 obie1+8+9=9. Grado e Estadística y Empresa. Curso 009/10 Aurea Graé Dpto. Estadística, Uiversidad Carlos III de Madrid Ejemplo. La siguiete tabla muestra la clasificació de 901 idividuos segú la variable satisfacció e el trabajo x i i muy isatisfecho 6 moderamademte isatisfecho 108 moderadamete satisfecho 319 muy satisfecho 41 Total 901 a) De qué tipo es la variable de estudio? Calcular la tabla de frecuecias correspodiete. b) Qué porcetaje de idividuos está moderadamete satisfechos? c) Cuátos idividuos está a lo sumo moderadamete isatisfechos? Qué porcetaje represeta? d) Cuátos idividuos está por lo meos moderadamete satisfechos? Qué porcetaje represeta? Respuestas: a) Categórica ordial,

2 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 3 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 4 x i i f i N i F i muy isatisfecho moderamademte isatisfecho moderadamete satisfecho muy satisfecho Total b) El 35%, c)170 y represeta el 19%, d) = 731 obie = 731, que represeta el = 81% (o bie = 81%). Ejemplo.3 Se quiere estudiar la eficacia de u uevo isecticida para platas de iterior. Se seleccioa 50 platas y se cueta el úmero de hojas que ha sido atacadas después de haber tratado la plata co el uevo producto. Los resultados so: Hojas atacadas i a) De qué tipo es la variable de estudio? Costruir la tabla de frecuecias correspodiete. b) Qué porcetaje de platas tiee sólo 3 hojas atacadas? c) Cuátas platas tiee como máximo 3 hojas atacadas? d) Cuátas platas tiee como míimo 6 hojas atacadas? e) Qué porcetaje de platas tiee etre 3 y 5 hojas atacadas? f) Qué porcetaje de platas tiee al meos 8 hojas atacadas? g) Qué porcetaje de platas tiee a lo sumo hojas atacadas? b) el 16%, c)36, d)3+1+1=5 obie50 45 = 5, e)el = 34% obie (8+5+4)/ = 34%, f)el+=4% obie = 4%, g)el56%. Ejemplo.4 E veite vuelos de Barceloa a Madrid se ha cotado el úmero de asietos vacíos e cada vuelo. Se ha agrupado los datos e itervalos de logitud 4. asietos vacíos i a) De qué tipo es la variable estudiada? Costruir la tabla de frecuecias correspodiete. b) E cuátos vuelos hay meos de 8 asietos vacíos? Qué porcetaje represeta? c) E cuátos vuelos hay como míimo 10 asietos vacíos? Qué porcetaje represeta? Respuestas: a) Cuatitativa discreta, itervalos x i i f i N i F i [0, 4) 9 0,45 9 0,45 [4, 8) 6 5 0,5 14 0,70 [8, 1) ,0 18 0,90 [1, 16] 14 0,10 0 1,00 Total 0 1 b) E 14 vuelos, y represeta el 70% de los vuelos, c) Aproximadamete e +4 (10 8)/(1 8) = 4 vuelos, que represeta el 4/0 100 = 0% de los vuelos. Respuestas: a) Cuatitativa discreta, Hojas atacadas i f i N i F i 0 6 0,1 6 0, ,0 16 0,3 1 0,4 8 0, , , , , , , , , ,0 49 0, ,0 50 1

3 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 5 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 6 Ejemplos de represetacioes gráficas Figura 3: Histograma y polígoo de frecuecias. Datos del ejemplo.4. Figura 1: (a) Diagrama de sectores. Datos del ejemplo.1, (b) Gráfico de Pareto. Datos del ejemplo %.5 polígoo de frecuecias histograma 3% % 30% % % A B AB O % 44% 1 0% % % % 8% 0 0% muy satisfecho mod. satisfecho mod. isatisfecho muy isatisfecho (a) (b) Figura : Diagrama de barras y polígoo de frecuecias. Datos del ejemplo.3. 1 polígoo de frecuecias diagrama de barras Ejemplo.5 Co los siguietes datos costruir u diagrama de tallo y hojas. Datos recogidos (e cm): , 1.54, , 1.431, 14.1, 15.13, , , 17.06, 1.710, , , 1.16, 1.71, 13.40, Respuesta: Datos redodeados y expresados e mm: 114, 15, 114, 14, 14, 15, 133, 113, 17, 17, 135, 161, 1, 17, 134, 147. Diagrama de tallo y hojas (datos e mm): Ejemplo.6 U iversor tiee ahorros repartidos e 3 depósitos co 000, 5000 y euros, respectivamete. si el primero le ride u 5% aual, el segudo u 4% aual y el tercero u % aual, cuál es el tipo de iterés medio que recibe? Respuesta: La variable de estudio es el iterés aual. Los valores que toma esta variable so 5, 4, co pesos 000, 5000, 10000, respectivamete. El iterés medio es x P = = =.94. Ejemplo.7 Calcular la mediaa y la moda de los cojutos de datos siguietes: a) 18, 18, 19, 17, 3, 0, 1, 18

4 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 7 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 8 b) 0, 1, 18, 19, 18, 17, 18 Respuestas: a) Ordeados los datos e orde creciete, 17, 18, 18, 18, 19, 0, 1, 3, el valor de la mediaa es Me = ( )/ =18.5 ylamodaesmo =18. b) Ordeados los datos e orde creciete, 17, 18, 18, 18, 19, 0, 1, el valor de la mediaa es Me =18ylamodaesMo =18. Ejemplo.8 Co los datos del ejercicio. (habitates de las provicias españolas) calcular la media aritmética, la mediaa y la moda. Respuestas: Utilizado la tabla de frecuecias calculada e el apartado b) del ejercicio., itervalos x i i f i N i F i i /L i [0, ) [100000, 50000) [50000, ) [500000, ) [750000, ) [ , ) [000000, ) [ , ) [ , ) total 5 1 teemos que x = 1 k x i i = = , 5 que sigifica que, e promedio, hay habitates por provicia. Para el cálculo de la mediaa, buscamos primero el itervalo mediao. Puesto que / = 6, el itervalo mediao es [500000, ). Aplicado la fórmula de la mediaa: 6 4 Me = = , esto sigifica que el 50% de las provicias españolas tiee meos de habitates. Recordemos que la distribució de esta variable es bastate asimétrica como muestra el histograma de frecuecias de la figura 5 (véase el ejercicio.), por tato, resultará más fiable utilizar la mediaa y o la media como medida de tedecia cetral. Para el cálculo de la moda, buscamos primero el itervalo modal, que es el que preseta mayor i /L i. Este ietrvalo es [100000, 50000). Aplicado la fórmula de la moda: Mo = = , esto sigifica que el úmero de habitates más frecuete e las provicias españolas es de 1951 habitates, aproximadamete. Ejemplo.9 Co los datos del ejemplo.7, calcular la moda. Respuestas: a) Mo =18,b)Mo =18. Ejemplo.10 Calcular la media aritmética, la mediaa, la moda, el primer y tercer cuartiles, los percetiles 35%, 80% y 95%, la variaza y la desviació típica muestrales, el rago, el rago itercuartílico y la MEDA co los datos del ejemplo.3. Medidas de tedecia cetral: Medidas de posició: Medidas de dispersió: hojas atacadas i N i x i i x i i Total x = =.68, Me =, Mo =. Q 1 =1, Q 3 =4, P 35 =, P 80 =4, P 95 =6. s = =4.46, s = 4.46 =.11, R =10 0=10, RI =4 1=3. La mediaa de desviacioes absolutas, MEDA, se obtiee calculado la mediaa de los valores absolutos de x i Me(X). Empezamos calculado estas diferecias: x i Me(X) i

5 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 9 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 10 y i = x i Me(X) i (y) N i (y) = = Puesto que =50es par, la MEDA es la media aritmética etre el dato 5 y el dato 6, es decir: MEDA = y (5) + y (6) =1 Ejemplo.11 Calcular la media aritmética, la mediaa, la moda, el primer y tercer cuartiles, los percetiles 30% y 57%, la variaza y la desviació típica muestrales, el rago y el rago itercuartílico co los datos del ejemplo.4. Medidas de tedecia cetral: itervalo x i i N i x i i x i i i /L i [0, 4) [4, 8) [8, 1) [1, 16) Total x = =5.8, Me =4+(4 0) =4.8, 1.5 Mo =0+(4 0) =4. Medidas de posició: 4(5 0) 4(15 14) Q 1 =0+ =., Q 3 =8+ =9, (6 0) 4(11.4 9) P 30 =0+ =.67, P 57 =4+ = Medidas de dispersió: s = =16.76, s = = 4.09, R =16 0=16, RI =9. = Ejercicios. Ejercicio.1 Co los datos del ejemplo.4 trazar la curva de frecuecias relativas acumuladas. Determiar el úmero de vuelos que tiee como máximo 10 asietos vacíos. Respuesta: La figura 4 cotiee la curva de frecuecias acumuladas. E el eje horizotal se represeta los valores que toma la variable, e este caso el úmero de asietos vacíos, y e el eje vertical se represeta las frecuecias relativas acumuladas. Utilizado esta figura vemos que al valor 10 le correspode ua altura de 0.8. Por tato, el 80% de los vuelos tiee como máximo 10 asietos vacíos. Puesto que e total hay 0 vuelos, el 80% de los vuelos so 0 (0.8) = 16 vuelos. Este mismo Figura 4: Curva de frecuecias acumuladas o polígoo de frecuecias acumuladas. Datos del ejemplo cálculo puede realizarse utilizado la tabla de frecuecias del ejemplo.4. Recordemos cómo era la tabla: Itervalo x i i f i N i F i [0, 4) 9 0,45 9 0,45 [4, 8) 6 5 0,5 14 0,70 [8, 1) ,0 18 0,90 [1, 16] 14 0,10 0 1,00 Total 0 1 El úmero de vuelos que tiee a lo sumo 10 asietos vacíos lo obtedremos sumado las frecuecias observadas e el itervalo [0, 4) más las frecuecias observadas e el itervalo [4, 8) más ua parte de las frecuecias observadas e el itervalo [8, 1). Es decir, =16.

6 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 11 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 1 Ejercicio. Clasificadas las provicias españolas por su úmero de habitates e 001, se obtuviero los siguietes datos: Num. habitates Num. provicias de 1 a de a de a de a de a de a de a de a de a a) Costuir ua tabla estadística co las marcas de clase, las frecuecias absolutas y las frecuecias relativas. b) Cuátas provicias tiee meos de habitates? Qué porcetaje represeta? c) Cuátas provicias tiee etre y habitates? d) Costruir el histograma de frecuecias absolutas. Respuestas: a) La tabla de frecuecias co ua columa adicioal que será útil para la costrucció del histograma es la siguiete: itervalos x i i f i N i F i i /L i [0, ) [100000, 50000) [50000, ) [500000, ) [750000, ) [ , ) [000000, ) [ , ) [ , ) b) 4 provicias, que represeta el 46.%. c) El itervalo [800000, ] está situado ecima de dos itervalos de clase: Por tato, el úmero de provicias que tiee etre y habitates es aproximadamete = =8provicias. d) La figura 5 cotiee el histograma de frecuecias absolutas. Figura 5: Histograma de frecuecias absolutas. Datos del ejercicio milloes de habitates Ejercicio.3 Los siguietes datos correspode a las medidas de 15 idividuos sobre la variable cuatitativa peso: 6, 74, 86, 53, 49, 71, 68, 67, 69, 70, 58, 59, 73, 74, 78. a) Costruid ua tabla de frecuecias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas. b) Realizad u diagrama de tallo y hojas [ )[ ) [ ] Respuestas: a) Agrupamos los datos e k = 15 4 itervalos de clase: itervalos x i i f i N i F i [49, 59) [59, 69) [69, 79) [79, 89] b) El diagrama de tallo y hojas es:

7 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 13 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS Ejercicio.4 Obteer las desviacioes co respecto a la media e la siguiete distribució y comprobar que su suma es cero. itervalo frecuecia Respuesta: Primeramete costruimos la tabla de frecuecias. Co la tercera columa de la tabla calculamos la media aritmética, que es x =40/10 = 4. E la cuarta columa obteemos las desviacioes respecto de la media, y e la quita poderamos por la frecuecia observada e cada itervalo. [l i 1,l i ) x i i x i i x i x (x i x) i [0, 10) [10, 0) [0, 30) [30, 40] Total Ejercicio.5 Ua empresa está iteresada e seleccioar etre dos cadidatos para u puesto de trabajo. Las valoracioes que ha obteido e las etrevistas y pruebas a que ha sido sometidos so las siguiete: Aspecto Cadidato A Cadidato B experiecia 8 7 coocimietos 6 7 psicotécico 4 5 Si la empresa da ua importacia del 60% a la experiecia, del 5% a los coocimietos y del 15% a la habilidad psicotécica, cuál de los dos cadidatos va a escoger? Respuesta: Calculamos las medias poderadas para cada cadidato, co pesos 60, 5 y 15, respectivamete para cada categoría. El cadidato que obtega ua media poderada mayor será el cadidato escogido. x P (A) = x P (B) = =6.9, =6.7 Ejercicio.6 Dada la siguiete distribució e el úmero de hijos de cie familias, calcular sus cuartiles. Respuesta: Puesto que = 100 es par, x i i N i Me = x (50) + x (51) =3, que coicide co Q. Para calcular Q 1 y Q 3 debemos buscar los valores /4 y 3 /4 e la columa de las frecuecias acumuladas: 4 =5 Q 1 =, 3 4 =75 Q 3 =4. Ejercicio.7 Calcular la variaza y la desviació típica de las siguietes catidades e metros: 3, 3, 4, 4, 5. Respuesta: x i i x i i x i x i i total La media aritmética es x =19/5 =3.8 m, la media de cuadrados es x =75/5 = 15 m, la variaza muestral es s = x x =15 (3.8) =0.56 m y la desviació típica muestral es s = 0.56 = 0.75 m. Puesto que hay pocos valores, los cálculos de la media y de la variaza se podía haber hecho directamete: s = 1 x = 1 x i = =3.8, x i x = (3.8) =

8 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 15 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 16 Ejercicio.8 De los ocho empleados de ua oficia, se ha cosiderado las distribucioes de sus edades y sus añosdeatigüedad e la empresa: Edad Atigüedad Calcular lor ragos de estas dos distribucioes. Cuál de las dos tiee mayor grado de dispresió? Respuesta: R(edad) =6 19 = 43, R(atigüedad) =39 1=38. Auque el rago de la variable edad sea mayor que el rago de la variable atigüedad, esto o sigifica que el grado de dispersió de edad sea tambié mayor. Para decidir qué variable tiee u mayor grado de dispersió debemos calcular el coeficiete de variació. Así, para la variable edad teemos que: x = 1 x i = =37.6, s = x x = 1839 (37.6) =189.3, 8 s = = 13.8, CV = s = 100 = 36.7%, x 37.6 mietras que para la variable atigüedad: x = 1 x i = 10 8 =15, s = x x = 854 (15) =131.75, 8 s = = 11.48, CV = s = 100 = 76.5%. x 15 Por tato, la variable atigüedad tiee ua mayor dispresió, a pesar de que su rago es meor. Ejercicio.9 Ua empresa imobiliaria ofrece apartametos e régime de alquiler co los siguietes precios (e euors): precio alquiler (mesual) úmero de apartametos a) Obteer el alquiler medio por apartameto, el precio más frecuete y el precio que se situa e medio de la oferta. b) Si ua persoa está dispuesta a gastarse e alquiler etre 150 y 1350 euros al mes, a qué porcetaje de apartametos tiee opció? c) Por debajo de qué precio está el 80% de los apartametos? d) Etre qué precios está el 50% cetral de los apartametos? Respuestas: a) Empezamos costruyedo la tabla de frecuecias, y las columas auxiliares para realizar los cálculos: [l i 1,l i ) x i i N i f i x i i i /L i [700, 1000) [1000, 1100) [1100, 1300) [1300, 1500) [1500, 1800) [1800, 000) [000, 100] Total El alquiler medio por apartameto lo obtedremos mediate el cálculo de la media aritmética: x = 1 x i i = = euros/mes 15 El precio más frecuete lo obtedremos mediate el itervalo modal, o bie, si queremos ser más precisos, mediate la moda. Puesto que todos los itervalos o tiee la misma amplitud, para saber cuál es el itervalo modal debemos fijaros e la columa que cotiee los valores de i /L i yoeladelas i.así pues, el itervalo modal es [1000, 1100), o sea que el precio más frecuete de los apartametos está etre 1000 y 1100 euros mesuales. La siguiete fórmula permite situar el valor de la moda detro del itervalo modal [l i 1,l i ): i+1 L Mo = l i 1 + L i+1 i i 1. L i 1 + i+1 L i+1 E uestro caso, el itervalo modal es [1000, 1100) y substituyedo obteemos: 0.17 Mo = = euros/mes El precio que se situa e medio de la oferta viee dado por la mediaa. El itervalo mediao es [1100, 1300), puesto que e él se situa / =15/ =6.5. Utilizado la fórmula de la mediaa, obteemos: Me = ( ) = euros/mes b) Primero debemos ver detro de qué itervalos de clase se situa el itervalo de precios que os pide, esto es, [150, 1350].

9 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 17 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 18 [l i 1,l i ) x i i N i f i x i i i /L i [1100, 1300) [1300, 1500) Observado la tabla vemos que el extremo iferior del itervalo [150, 1350] está detro de [1100, 1300) y el extremo superior detro de [1300, 1500). Así pues, el úmero de apartametos co u precio etre 150 y 1350 euros es = = 1, 4 1 que represeta el = 9.6% del total de apartametos. c) El precio por debajo del cual está el 80% de los apartametos viee dado por el percetil P 80. Este percetil está detro del itervalo [1500, 1800), puesto que e él se ecuetra el valor 80 /100 = 80 15/100 = 100. Utilizado la fórmula para el cálculo de los percetiles, obteemos: P 80 = ( ) = 1650 euros/mes d) El 50% cetral de los apartametos viee determiado por el primer y tercer cuartiles. 4 = 15 4 =31.5 Q 1 [1000, 1100), Q 1 = ( ) = euros/mes = 315 =93.75 Q 3 [1300, 1500), Q 3 = ( ) = euros/mes Ejercicio.10 Co los datos del ejemplo.3, calcular los coeficietes de asimetría de Pearso y de Fisher. Respuesta: E el ejemplo.10 hemos calculado hojas atacadas i x i x (x i x) 3 i x =.68, s =.11, Mo =, por tato, el coeficiete de asimetría de Pearso es: As P = x Mo =.68 =0.33. s.11 A partir de la tabla aterior podemos obteer el coeficiete de asimetría de Fisher: 1 As F = (x i x) 3 i s 3 = / = E este caso, el uso de As P o es muy recomedable, puesto que el polígoo de frecuecias de esta distribució o tiee forma acampaada (véase figura ). E cambio, el coeficiete As F idica que hay ua mayor asimetría positiva.