Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Funciones I

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1 Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Funciones I Una función es una relación que se propone modelar matemáticamente una serie de fenómenos en los que una cantidad depende de otra, como estas cantidades no son fijas, reciben el nombre de variables. Es por esto que los nombres que reciben las componentes de una función son variable independiente y variable dependiente y se anotan como x e y, respectivamente. En términos simples, una función, a través del álgebra y operatoria, caracteriza la relación de dos conjuntos numéricos. De manera más formal, podemos definir función como lo siguiente: Definición : Una función f es un conjunto de pares ordenados que satisface la propiedad : (x,y),(x,y ) f = y = y Esta definición nos garantiza que para cada elemento de la primera componente del par ordenado, existe un único elemento en la segunda componente que le corresponde. Dominio y Recorrido Dominio de una función Se llama dominio de la función f al conjunto: Dom(f) := {x : y,(x,y) f} En palabras más simples, el dominio de una función es el conjunto de los valores para los cuales la función está definida. Ejemplo: Sea f(x) = 5x, determine el dominio de la función f. x 1 Analizando la definición, se tiene que para el único valor en que la función se indefine(donde el denominador se hace cero), es en x = 1, por lo tanto, este valor se descarta del conjunto del dominio. Luego, el dominio de la función f es el siguiente: Dom(f) = R {1} Material creado por word el área de Matemática PAIEP-revisado 10/07 1

2 Recorrido de una función Se llama recorrido de la función f al conjunto: Rec(f) := {y : x,(x,y) f} Podemos decir que el recorrido es el conjunto que contiene a los valores que efectivamente toma la variable dependiente. Ejemplo: Sea f(x) = (x 1) 2, determine el recorrido de la función f. Si se reemplaza x por cualquier número real, se podría llegar a concluir que no existe ninguna restricción en el dominio para f y por tanto, de todos los valores para los que f podría llegar en R, la función sólo toma el cero y todos los reales positivos, por lo que se tiene: Rec(f) = R + {0} Cuando no es evidente la obtención del recorrido de una función, una forma de obtener el recorrido es despejando la variable independiente y observar cuales son las restricciones para la variable dependiente (igualando f(x) = y y despejando x), una vez que se encuentran estas restricciones, se comprueba si existen puntos en el dominio que tengan esa imagen, ya que si no forman parte de las imágenes, se hace innecesario el descarte de este valor. Suma de funciones Operatoria de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f +g, a la función definida por: Ejemplo: Sea f(x) = (f +g)(x) = f(x)+g(x) ( x+ 3 2 ( ) 1 y g(x) = 2) 2 x 5, realice la operación (f +g)(x) (f +g)(x) = f(x)+g(x) ( = x+ 2) 3 2 ( ( )) x 5 ( = x 2 +3x+ 9 ) + ( 12 ) 4 x+5 = x 2 +3x x+5 = x x+ 2 4 Resta de funciones Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, y definidas en los mismos intervalos, como la función: (f g)(x) = f(x) g(x) Material creado por word el área de Matemática PAIEP-revisado 10/07 2

3 Ejemplo: Sea f(x) = 5(8x 3 +1) y g(x) = 6x 2 5, realice la operación (f g)(x) (f g)(x) = f(x) g(x) = (5(8x 3 +1)) (6x 2 5) = (40x 3 +5) (6x 2 5) = 40x x 2 +5 = 40x 3 6x 2 +10; factorizando = 2(20x 3 3x 2 +5) Producto de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama producto de ambas funciones, y se representa por f g, a la función definida por: (f g)(g) := f(x) g(x) Ejemplo: Sea f(x) = x 5 y g(x) = 7x 2, realice la operación (f g)(x) 4 (f g)(x) = f(x) g(x) ( x ) = 4 5 (7x 2) = x 4 7x x x+5 2 = 7x2 4 x 2 35x+10 = 7 4 x x+10 Cociente de funciones Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por: (x) = f(x) g g(x) Es importante destacar que la función f g (x) está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula, por lo tanto, hay que restringir del dominio estos puntos. Material creado por word el área de Matemática PAIEP-revisado 10/07 3

4 Ejemplo: Sea f(x) = ( 3x 3 +9x 2) y g(x) = x 2 +6x+9, realice la operación (x) = f(x) g g(x) = ( 3x 3 +9x 2) x 2 +6x+9 = 3x2 (x+3) (x+3) 2 = 3x2 (x+3) (x) g Tal como se dijo anteriormente, la función resultante de este cociente está definida para aquellos valores de x en que g no se anula, en este caso, g se anula cuando x = 3, luego, este punto es una restricción en el dominio de la función cociente. Material creado por word el área de Matemática PAIEP-revisado 10/07 4

5 Ejercicios Propuestos Realice las siguientes operaciones con funciones, expresando el resultado de la forma más simple posible. 1. Encuentre el dominio y recorrido de la función f(x) = 2x 3 (6x 5) 2 2. Encuentre el dominio y recorrido de la función f(x) = 3x 9x Sea f(x) = x2 +14x+48 x 2 +4x 21 y g(x) = x2 +4x 32 x 2 +3x 28, calcule de la función resultante (x) y determine el dominio y recorrido g 4. Dadas las funciones f(x) = x 3 +2x 2 1, g(x) = 2x y h(x) = 3x 2 2 Calcule (f g)(x) h(x) 5. Sean f(x) = 7x 4 3x 3 +5 y g(x) = x 4 3x 3 +2, Calcule (f+g)(x) y determine el dominio y recorrido de la función resultante 6. Dadas f(x) = 4x2 5 3 y g(x) = 5 21x2, Calcule (f g)(x) y determine su dominio y recorrido 5 Material creado por word el área de Matemática PAIEP-revisado 10/07 5

6 7. Sea f(x) = 5x x y g(x) = 42x2,Calcule (f g(x)) 3 Material creado por word el área de Matemática PAIEP-revisado 10/07 6