Una función es una relación entre dos conjuntos de tal manera que para cada elemento del primer conjunto corresponde un solo elemento del segundo

Transcripción

1 Una función es una relación entre dos conjuntos de tal manera que para cada elemento del primer conjunto corresponde un solo elemento del segundo conjunto.

2 Ejemplos reales de relaciones que envuelven funciones: Un individuo y su seguro social Un vehículo de motor y su tablilla. Por lo contrario, no es una función la relación de madre e hijos. Explica por qué.

3 Al primer conjunto, de donde tomamos los elementos para la regla, se le llama Dominio y al segundo conjunto se le llama Recorrido o Campo de Valores. a c b avión carro barco DOMINIO RECORRIDO

4 Ejemplo 1 a c b avión casa barco Cómo describes esta relación? Cómo se relacionan los dos conjuntos?

5 Observa que la relación anterior produce un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, éstos son: { ( a, avión), (b, barco), ( c, carro ) } Cuál es el Dominio en esta relación? Cuál es el Recorrido?

6 RESPUESTAS Ejemplo 1 DOMINO { a, b, c } Recorrido {avión, barco, carro}

7 Ejemplo a. Cuál es el Dominio en esta relación? b. Cuál es el Recorrido?

8 RESPUESTAS Ejemplo 2 a. { 1, 2, 3, 4 } Dominio b. { 2, 4, 6, 8 } Recorrido

9 Continuamos - Ejemplo Indica cuáles son los elementos de esta relación.

10 RESPUESTAS- Ejemplo 2 c. { ( 1,2), ( 2,4), ( 3,6 ), ( 4,8) } Observa que los elementos de este conjunto son pares ordenados donde el primer elemento corresponde a un elemento del DOMINIO y el segundo elemento corresponde a uno del RECORRIDO.

11 Continuamos - Ejemplo Cómo describirías esta relación? Qué regla la describe?

12 RESPUESTAS- Ejemplo 2 Observamos que en esta relación multiplicamos cada elemento del Dominio por dos. 2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8

13 Si representamos a los elementos del DOMINIO con una x, y a los elementos del RECORRIDO con una y, entonces podemos representar la relación dada de la siguiente forma: y = 2x

14 Decimos que y = 2x es la regla que describe la relación dada en el Ejemplo 2. Observa, que esta ecuación nos indica que de acuerdo al valor que se le asigne a la variable x, será el valor que se obtiene para y.

15 Práctica Según la definición de función, cuáles de los siguientes dibujos representan a una función. a b c a b c I II I II 1 2 3

16 RESPUESTAS SI SI a b c a b c I II I II NO 1 2 3

17 RESPUESTA Observa que para el elemento I en el DOMINIO corresponden dos elementos distintos en el RECORRIDO, por lo tanto no responde a la definición de funciones. I II NO 1 2 3

18 Práctica Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su Dominio y su Recorrido. a. { (2,6), (4,12), (6,18), (8,24) } b. { (1,1), (2,2), (3,3) } c. { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} d. { (4, 1), (1,4), ( 2, 5), (5, 3), (1, 4) }

19 Respuestas a la Práctica Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su Dominio y su Recorrido. a) { (2,6), (4,12), (6,18), (8,24) } SI Dominio { 2,4,6,8} Recorrido { 6,12,18,24 } b) { (1,1), (2,2), (3,3) } SI Dominio {1,2,3} Recorrido {1,2,3} c) { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} NO Observa que el 3 tiene dos elementos distintos en el RECORRIDO d) { (4, 1), (1,4), ( 2, 5), (5, 3), (1, 4) SI Dominio { 4, 1, 2, 5 } Recorrido {1,4,5,3}

20 Identificar funciones mediante la observación de tabla de valores Identifica cuáles de las siguientes tablas de valores representa a una función. En las siguientes tablas la primera columna representa a la variable independiente y la segunda columna a la variable dependiente. a b c d e f

21 Notación de Funciones f X > Y Dominio Recorrido y = f(x) f es el nombre que se le asignó a la función, se lee "y es función f de x, las variables son x y y.

22 Ejemplos y 3x 8 f ( x) 3x 8 y x 2 3x 1 h( x) x 2 3x 1 y x 1 2x g( x) x 1 2x

23 Importante Observa: El valor de y, depende del valor que se le asigne a x, en la regla correspondiente. Llamamos a y,la variable dependiente y a x la variable independiente.

24 Aplicación Identifica para cada situación la variable dependiente y la variable independiente. Se investiga la relación entre el diametro del tronco de un árbol y la edad de éste en términos de años de vida.

25 CONTINUACION -Aplicación Se desea conocer cómo se reproducen los mosquitos durante los doce meses del año. La relación entre la estatura de las mujeres y el tamaño de sus pies. La cantidad de horas que dedican los estudiantes a estudiar para un examen y la puntuación que obtienen en éste.

26 EVALUAR UNA FUNCIÓN Evaluar una función consiste en seleccionar un valor del Dominio de esa función y sustituírlo en la regla de la función.

27 Ejemplo 1 Sea f(x) = 2x +1, una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }. Hallar f(3) consiste en evaluar la función f en este valor en la regla de la siguiente forma f(3) = 2 ( 3 ) + 1 = 7. x = 3, sustituimos Luego de evaluar la función decimos que f(3)=7.

28 Cada vez que evaluamos una función obtenemos dos valores, uno para la variable independiente y el valor correspondiente para la variable dependiente. Por tanto, obtenemos un par ordenado de la forma ( x, y). Para el Ejemplo 1, tenemos que f(3) =7, por tanto el par ordenado es ( 3, 7).

29 Continuamos con el Ejemplo 1 Sea f(x) = 2x +1, una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }. Evalúa la función f, en los valores indicados f(5) = 2 ( 5 ) + 1 = 11 par ordenado ( 5, 11) Práctica f(1) = f(7) = f(4) =

30 Respuesta f(1) = 3 ( 1, 3 ) f(7) = 15 ( 7, 15 ) f(4) = No existe El 4 no pertenece al Dominio de esta función.

31 Cuáles son los elementos de esta relación? Cuál es el RECORRIDO?

32 Sea f(x) = 2x +1, una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }. Cuáles son los elementos que describen a la función f? { ( 1,3), (3,7), (5,11), (7,15) } Cuál es el RECORRIDO? { 3, 7, 11, 15 }

33 Ejemplo 2 Sea h(x) = x y su Dominio dado por {1,2,3} a) Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta relación? b) Indica cuáles son los elementos de esta relación. c) Indica el Recorrido

34 Respuesta - Ejemplo 2 Sea h(x) = x y su Dominio dado por { 1, 2, 3 } a. Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta relación. NO h(2) = 6 b. Halla los elementos de esta relación. { (1,3), (2,6), (3,11) } c. Indica el Recorrido { 3, 6, 11 }

35 Práctica Sean f(x) = 5x, g(x) = x - 3, h(x) =x 2 + 2x, q(x) = -x ; funciones cuyo Dominio es dado por el conjunto que incluye a todo número real que produzca numeros reales en el Recorrido. Evalúa en los valores indicados: a) f(-3) = f(0) = b) g(15) = g(-5)= c) h( 3) = h( -2) = d) q(4) = q(-7) =

36 Respuestas - Práctica f(x) = 5x, g(x) = x - 3, h(x) =x 2 + 2x, q(x) = -x a. f(-3) = -15 f(0) = 0 b. g(15) = 12 g(-5)=-8 c. h( 3) = 15 h( -2) = 0 d.. q(4) = -4 q(-7) = 7

37 Cuando no nos indican cuál es el Dominio de la función entonces es implícito que consiste en el conjunto de todo número real para el cual esté definida la función en los números reales. Al evaluar una función el resultado obtenido en y, debe ser un número real.

38 Ejemplo en el que se debe tener cuidado: g ( x) x g(1) = 1 g(16) = 4 g(-4) = 2i El resultado NO es un número real por lo tanto -4 no puede ser parte del DOMINIO.

39 Dada una gráfica identificar si la relación corresponde a una función. PRUEBA DE LA LINEA VERTICAL Dada una gráfica, si para toda línea vertical que pase por cada uno de los valores del Dominio de la relación ésta toca (cruza) sólo un punto de la gráfica, entonces corresponde a una función.

40 Para cada gráfica indica si ésta es una función

41 FUNCIONES BASICAS

42 FUNCION IDENTIDAD DOMINIO RECORRIDO x y x y = x y

43 FUNCION CON VALOR ABSOLUTO DOMINIO RECORRIDO x y 0 x y y x

44 FUNCION CUADRATICA DOMINIO RECORRIDO x y 0 x y y x 2

45 FUNCION CUBICA DOMINIO RECORRIDO x y x y y x 3

46 FUNCIONES QUE ENVUELVEN RADICALES DOMINIO RECORRIDO x 0 y 0 y x

47 FUNCION RACIONAL f ( x) 1 x Do min io Re corrido { x { y R y x R y y 0} 0}

48 FUNCION EXPONENCIAL DOMINIO x RECORRIDO y 0 CASO b>1 CASO 0<b<1 x 1 x 1 y b x donde b 0 y b 1 y y

49 FUNCION LOGARITMICA DOMINIO x 0 RECORRIDO y 1 y log b x, donde b 0 y b 1

50 Ecuaciones lineales en dos variables: lineas rectas Forma general ax+by +c = 0 Cuales de las siguientes graficas corresponden a una función?