17 MOMENTOS DE INERCIA Y TEOREMA DE STEINER

Transcripción

1 17 MOMENOS DE INERCIA Y EOREMA DE SEINER OBJEIVOS Determnacón e la constante recuperaora e un muelle espral. Comprobacón el teorema e Stener. Determnacón expermental el momento e nerca e ferentes cuerpos y su comparacón con los corresponentes valores teórcos. MAERIAL Soporte con resorte espral Barra con os masas móvles Esfera Clnro maczo Clnro metálco hueco Dsco Dsco con agujeros Regla Cronómetro y célula fotoeléctrca Dnamómetro e 1 N Dnamómetro e 3 N FUNDAMENO Muelle espral El muelle o resorte espral es un sstema elástco que cumple la ley e Hooke. Cuano el sstema sufre un esplazamento ese la poscón e equlbro, aparece un par recuperaor que tene a llevarlo e nuevo a la poscón ncal. Para pequeñas osclacones, se puee conserar, aplcano la ley e Hooke, que el par recuperaor es proporconal al ángulo grao: Γ = Rϕ [1] one R se enomna constante recuperaora el muelle espral. El períoo e osclacón e un sstema físco sujeto al muelle espral vene ao, para pequeñas osclacones, por la expresón: I = π [] R seno I el momento e nerca el sstema respecto al eje e rotacón. Una vez conoco el valor e R, es fácl estmar el momento e nerca, I, e un sstema físco, con sólo mer el períoo e las osclacones como se euce e la ecuacón []. 89

2 90 écncas expermentales en Físca General eorema e Stener El teorema e Stener se enunca e la sguente manera: el momento e nerca e un cuerpo respecto e un eje cualquera, es gual al momento e nerca respecto a un eje, paralelo al ao, que pase por su centro e masas, más el proucto e la masa el cuerpo por el cuarao e la stanca que separa ambos ejes: I I m = CM + [3] seno I CM el momento e nerca respecto al eje que pasa por el centro e masas, y la stanca entre ambos ejes. Fgura 1.- Muelle espral y montaje e la barra con las masas móvles Varacón el momento e nerca e una cuerpo con la stanca al eje El momento e nerca el sstema, I, formao por una barra elgaa y os masas clínrcas movbles spuestas en forma smétrca sobre ella (Fgura 1), respecto a un eje perpencular a la barra que pase por su centro es: I = I + I + m [4] b ( c ) seno I b el momento e nerca e la barra respecto a cho eje, I c el momento e nerca e las masas clínrcas con respecto a un eje paralelo al anteror que pasa por su centro e masas, y la stanca ese éste al centro e caa una e las masas móvles. Para un sstema como éste el peroo e las osclacones valrá, susttuyeno [4] en []: 4π = Ib + Ic + m R [5]

3 Momentos e nerca y teorema e Stener 91 REALIZACIÓN Para la realzacón e esta práctca se va a utlzar el muelle espral con el montaje que se muestra en la Fgura 1 (las masas movbles no son necesaras). Ley e Hooke Una forma e etermnar la constante R el muelle espral que se emplea en la práctca, es usar la ley e Hooke (ecuacón [1]). Para ello, 1. Se monta smétrcamente la varlla en el muelle espral.. Meante un namómetro y empleano el soporte aconal para su correcta poscón π (horzontal y perpencularmente a la varlla), se hace grar la varlla un ángulo ϕ =, anotano la lectura e la fuerza que regstra el namómetro y el brazo al eje e gro ( ) en la abla 1. Préstese especal atencón para que el ángulo entre el namómetro y la varlla sea en toos los casos La operacón se repte para ángulos sucesvamente crecentes: π/, π, 3π/, π,..., 5π/. 4. Se representa gráfcamente Γ= f( ϕ) 5. Del ajuste e los atos a una recta por mínmos cuaraos se euce el valor e R. Brazo = = ± m Ángulo (Brazo, Fuerza) = 90 ± abla 1.- Cálculo e la constante el muelle R ϕ ϕ F ( ) (ra) (N) 1 ± ± ± ± ± ± 3 ± ± ± eorema e Stener Γ = Fsn(90 ) (N m) ε ( Γ ) (N m) Para comprobar el teorema e Stener y obtener e forma alternatva la constante el muelle espral, se emplea el sco con agujeros. El métoo a segur será hallar el momento e nerca con respecto a los ejes efnos por los orfcos y comprobar s sguen la expresón [3]. Para ello, meremos el peroo e osclacón para caa eje ya que combnano las expresones [] y [3]: 4π = ICM + m R [6] El procemento que se va a segur es el sguente:

4 9 écncas expermentales en Físca General 1. Se monta el sco con agujeros sobre el muelle espral.. Se gra el sco un ángulo pequeño (sempre el msmo), se suelta y se me el peroo e osclacón para too los ejes, anotano los atos en la abla 3. Se representa gráfcamente = f( ) que ebe segur un comportamento lneal. 4. Del ajuste e los atos a una recta por mínmos cuaraos e acuero con la ecuacón [6] se euce el valor e R y el el momento e nerca el sco con respecto al eje que pasa por el centro e masas. 5. Compárese este últmo con el valor teórco aproxmao. abla. Comprobacón el teorema e Stener para el sco con orfcos Masa el sco, m = ± g Dámetro el sco, φ = ± cm Orfco (cm) (cm ) 1 0 ± ± 3 ± ± 3 6 ± ± 4 9 ± ± 5 1 ± ± Varacón el momento e nerca e una cuerpo con la stanca al eje Para estuar cómo, para la msma masa, el momento e nerca epene e la stanca e ésta al eje, se emplea la varlla con las masas móvles con el montaje que se muestra en la Fgura 1, y se etermna el momento e nerca el sstema barra-masas para ferentes stancas e las masas móvles al eje (spuestas en forma smétrca respecto al eje). Para la realzacón e la práctca se procee como sgue: 1. Se monta el sstema como (Fgura 1) colocano las masas movbles cerca el eje.. Se hace osclar el sstema y se me el peroo e las osclacones,. 3. Se efectúan meas para stntos valores e (en pasos e cm) y se recoplan los atos en la abla Se llevan a una gráfca = f( ) que ebe presentar un comportamento lneal e acuero con la ecuacón [5]. 5. Del ajuste e los atos a una recta por mínmos cuaraos (ecuacón [5]) se euce el momento e nerca Ib + Ic (a partr e la orenaa en el orgen) y el valor e R (a partr e la penente). 6. Compárese el valor obteno para Ib + Ic con el valor teórco ao por la expresón [4] e la práctca 4 El pénulo e torsón. (s )

5 abla 3. Momento e nerca e una masa en funcón e la stanca al eje Momentos e nerca y teorema e Stener 93 Barra elgaa Masas móvles Masa, m = ± g Masas móvles, m = ± g b Longtu, L = ± cm Longtu, h = ± cm Dámetro,φ = ± cm Dámetro nteror φ nt = ± cm Dámetro exteror φ ex t = ± cm (cm) (cm ) 1 ± ± ± ± ± ± ± ± Determnacón e la constante elástca el muelle espral Como valor e la constante elástca el muelle espral, tomaremos la mea poneraa e los tres valores anterores. Momento e nerca e sólos e geometría senclla En este apartao se van a comparar los momentos e nerca teórcos con los expermentales para algunos sstemas físcos sencllos: una esfera, un sco, un clnro hueco, un clnro maczo y una varlla. Se procee e la sguente manera: 1. Se etermnan los valores teórcos empleano las expresones e la abla 4 y anotano en ésta los valores.. Se etermnan los valores expermentales usano el valor e R obteno en el apartao anteror y empleano la ecuacón []. Para ello: a) Se sujetan éstos, sucesvamente, al muelle espral. b) Se esplaza el sstema e su poscón e equlbro un ángulo pequeño, se lbera y se me el períoo e osclacón,. c) Se halla el momento e nerca expermental el objeto en cuestón, anotano los atos en la abla Se comparan los valores obtenos por ambos métoos y se estua su screpanca.

6 94 écncas expermentales en Físca General abla 4. Momentos e Inerca teórcos Sstema ámetro φ (cm) m (g) Momento e Inerca I (g cm ) Esfera ± ± 5 ) mr = ± Dsco ± ± 1 ) mr = ± Clnro hueco ± ± I = mr = ± Clnro maczo ± ± 1 ) mr = ± Varlla L = ± ± 1 1 ) ml = ± abla 5. Valores "expermentales" el momento e nerca Sstema I = R 4π (g cm ) Esfera ± ± Dsco ± ± Clnro hueco ± ± Clnro ± ± Varlla ± ± RESULADOS Y CONCLUSIONES a) Gráfca Γ= f( ϕ), y valor e la constante R el muelle espral euco el ajuste por mínmos cuaraos. b) Para el sco con orfcos, gráfca = f( ) y ajuste por mínmos cuaraos para verfcar que se cumple el teorema e Stener, y valor e la constante R el muelle espral. c) Gráfca = f( ), para las masas móvles en la varlla según varas poscones smétrcas, ajustaa por mínmos cuaraos. Valores obtenos para Ib + Ic y R. ) Mea poneraa e los valores e R obtenos. e) Valor teórco y expermental el momento e nerca e los versos objetos (esfera, sco, clnro maczo y clnro hueco y varlla) y su comparacón.