Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

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1 Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: Fucioes de ua variable Elea Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computació Uiversidad de Catabria

2 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable E el siguiete gráfico se cosidera ua fució y= f. Represeta la derivada e el puto, el icremeto de y= f para u icremeto de,, y la diferecial de y = f e para. Calcula estos dos valores para y= e el puto =. f(+ ) f() α f(+ )-f() α + Solució: = y log= logy Derivado implícitamete Para = y ' log + = y ' = y log+ y ' = log+ y y ' = log+ dy = log + Deduce la derivada de la fució y= arcse Solució: Sea y = arcse etoces Profesora: Elea Álvarez Sáiz

3 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I sey = Derivado respecto a : cos y y ' = y ' = = = cosy se y Hallar la derivada eésima de f se cos águlo doble) = e =0 (utilizar fórmula del seo del Solució: Teiedo e cueta que: f = se cos = se( 4) se tiee: Luego, para todo = f ' cos 4 = f '' 4se 4 = f ''' 4 cos 4 iv = 4 ( 4 ) f se = ( ) 4 ( 4 ) ( f se + = 4 cos( 4 ) ( f Otra forma: Teiedo e cueta que: se tiee que: π cos( α) = se α+ π f ' = cos( 4) = se 4+ f '' 4cos 4 π π π = + = 4 se 4+ + π π f ''' = 4 cos 4+ = 4 se 4+ Profesora: Elea Álvarez Sáiz S

4 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable Fórmula que se demuestra por iducció sobre. - 4 Se cosidera la ecuació: d y dy 4 6y d d + = t y se realiza el cambio = e. Escribir la ecuació después de haber realizado el cambio cosiderado la variable y depediete de t. Solució: Se tiee el siguiete árbol de depedecia: y t Aplicado la regla de la cadea: dy dy d dy dy t = = e () dt d dt d dt Aplicado uevamete la regla de la cadea derivado respecto de sabiedo que -----t d y d dy d dy dt dy d y d d d dt dt d dt d t t t t t = e e e = = + e t= log dt t = = e d () Sustituyedo e la ecuació dada: 4 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

5 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I e e e e e y e dt d t dt t t dy t d y t t dy t = dy d y dy + dt + = d t dt t 4 6y e d y dy t 5 6y e d t dt + = 5 Sea g = f( se), sabiedo que f '( 0) = 0 calcular g '( π ). Comprueba además el resultado obteido para ua fució f cocreta. Solució: Aplicado la regla de la cadea, ( π) ( π) π g ' = f ' se cos g ' = f ' se cos = f ' 0 = 0 Por ejemplo, podemos cosiderar f = g = f( se) = ( se) Se tedría para este ejemplo ( π) g ' = se cos g ' = seπ cosπ= 0 6 Dada la curva + y + 6y+ 6= 0, se pide represetarla y calcular la recta tagete y ormal a dicha curva e el puto P(, + ). Solució: Completado cuadrados ( ) ( + ) + y + 6y+ 6= + y + 6y + 6= + y 9+ 6 Se tiee que Profesora: Elea Álvarez Sáiz S 5

6 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable + y + 6 y+ 6 = 0 + y+ = 4 luego la curva es ua circuferecia cetrada e el puto (, -) y de radio. Para calcular la pediete de la recta tagete calculamos la derivada e el puto P. Derivado implícitamete: e el puto P + yy ' + 6 y ' = 0 y ' = y + 6 y ' la ecuació de la recta tagete es: P = = y la de la recta ormal y = + ( ) ( ) y ( ) ( ) = + + y recta ormal recta tagete P Profesora: Elea Álvarez Sáiz

7 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I 7 U puto P se mueve sobre la parábola = y situada e el primer cuadrate de forma que su coordeada está aumetado a razó de 5 cm/seg. Calcular la velocidad a la que el puto P se aleja del orige cuado =9. Solució: Se trata de u problema de razó de cambio relacioadas. La fució distacia de u puto situado e las coordeadas (, y) al orige es: = + d t t y t Si el puto (, y) está e la parábola = y será: = + d t t t Profesora: Elea Álvarez Sáiz S 7

8 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable y =y - y(t) d(t) (t) La velocidad a la que se aleja del orige aplicado la regla de la cadea es: d '( t) = ( t) + ( t) t ' t + ' t / E el istate e que =9 y teiedo e cueta que '( t) = 5 cm / seg se cocluye que la velocidad a la que el puto P se aleja del orige es: / ( 9 + 9) ( ) = = Determia el puto de corte de la recta tagete a la gráfica de log co el eje X. f = e el puto =e 8 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

9 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Utilizado la regla de la cadea (derivació logarítmica) ' f log log log f = log( ) = ( log) = f f ' luego la recta tagete es: e ' = = e log log loge log = f ( e) e y e= ( e) que corta al eje X e el puto e e 0 e= e =,0 9 E ua empresa la fuerza laboral L se mide e horas-trabajador y es ua fució del tiempo, L= f( t). Sea M= g( t) la producció media por persoa. Supoga que la producció Q está dada por el producto LM. E cierto mometo la fuerza laboral L está creciedo a u ritmo de 4% aual y la producció media está creciedo a ua razó de 5% al año. Ecotrar la razó de cambio de la producció total cuado Q=0. Solució: Datos del problema: Se pide: Q= LM= f( t) g( t) dl = 0'04 L dt dm = 0'05 M dt Profesora: Elea Álvarez Sáiz S 9

10 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable dq dl dm = M+ L dt dt dt dq = 0'04 L M+ L 0'05M = 0'09 L M= 0'09 Q= 0,9 dt = Q 0 0 Calcular dy d arctgy supoiedo que y() está dada implícitamete por la ecuació = ych. Solució: Tomado logaritmos a ambos lados de la epresió: arctgy = ych se obtiee arctgy log= log y+ log( Ch ) Derivado implícitamete respecto de : Reagrupado los térmios e y : y 'log arctgy y ' Sh + = + + y y Ch y 'log y ' Sh arctgy = + y y Ch Despejado y ( + y ) dy Th arctgy y y ' = = d y log y 0 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

11 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Nota: El ejercicio se puede resolver derivado respecto de a ambos lados de la igualdad implícitamete: d d arctgy ( ) = ( ych) d d Derivació implícita del térmio de la izquierda: arctgy ( ) h = log h = arctgy log y + y h ' ' = log+ arctgy h arctgy y ' ' log h = + arctgy + y Derivado implícitamete el térmio de la derecha: y ' Ch y Sh y + Etoces se tedrá: Despejado y : arctgy y ' log + arctgy = y ' Ch+ y Sh y + y arctgy log arctgy y ' Ch = y Sh y y + arctgy y ' = arctgy arctgy y Sh log Ch + y y arctgy Operado se puede llegar al resultado: Profesora: Elea Álvarez Sáiz S

12 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable ( + y ) dy Th arctgy y y ' = = d y log y U depósito de agua es cóico, co el vértice hacia arriba, y tiee 40 m. de alto y 0 m. de radio e la base. El depósito se llea a 80 m / mi. A qué velocidad se eleva el ivel de agua cuado la profudidad del agua es de m.? Nota: El volume de u coo de altura h y radio de la base r es: V = π r h Solució: E cualquier istate de tiempo el volume V es V = π 0 40 π r 40 h dode r y h so fucioes del tiempo. Además estás dos fucioes está relacioadas de la maera siguiete: h = r= 40 h r 40- h h r 40 0 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

13 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I E cosecuecia el volume e u istate t es: 40 h t V t π 0 40 π = 4 Derivado respecto de t e ambos lados de la igualdad dv dt = π 40 h t 4 dh dt E el istate e el que h= m el deposito se llea a 80 m / mi luego, π dh dh 0 80= 40 0' m / mi 4 = dt dt 49π Ejemplo: f = se( ) + log( + ) Poliomio de Taylor de grado (recta tagete) e =0 ( ) T f,0 = 0 Profesora: Elea Álvarez Sáiz S

14 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable Poliomio de Taylor de grado : ( ) = T f,0 ( ) f = + R f,0 R f,0 =Ο para = 0 4 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

15 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Poliomio de Taylor de grado 4: T4 f 4 (,0) = f = 4 + R ( ) ( ) ( 4 4 f,0 R4 f,0 =Ο ) para = 0 Profesora: Elea Álvarez Sáiz S 5

16 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable Se cosidera la fució f = + (a) Calcula ua estimació del error de la aproimació de f = + por su poliomio de Taylor de grado e el puto a= 0 cuado perteece al itervalo 0 (b) Calcula para esta fució la diferecial e 0 fució y represeta el valor obteido. a= e 0.5 =. Haz u bosquejo de esta (c) Puedes dar ua cota del error que se comete al aproimar por? Solució 6 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

17 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I (a) Cosideramos la fució f = derivado + / f = + f 0 = / f ' = ( + ) f '( 0) = 5/ f '' = ( + ) f ''( 0) = 4 El poliomio de Taylor de grado es: Utilizado el resto de Lagrage el error es T f 8 (,0) = + ( ) ( c) ''' f 5 7/ f T f ; 0 = = + c c puto itermedio a 0 y a!! Si 0 el error ua estimació del error es 5 7/ 5 5 ( + c) 6 = c + c + 7/ 7/ + + ( c) (b) La diferecial es: dy= f '( 0) = 0,5= 0,5 Profesora: Elea Álvarez Sáiz S 7

18 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable.5 Recta tagete Diferecial 0.5 (o,f(o) alfa y=f() h y=f(o+h)-f(o) (o+h,f(o+h) dy Para que se vea mejor la gráfica correspode a u icremeto de valor. (c) Se está pidiedo calcular ua cota del error de sustituir f = = + que sabemos que para icremetos pequeños se por f ( 0) =. Es decir acotar y puede aproimar por la diferecial, luego, y 0.5. Otra forma es utilizar el resto de Lagrage es decir, '( c) f y= f f( 0) = co 0< c<! f f( 0) ( c) / co 0 c = + < < Por el mismo razoamieto que ates f f 0 ( c) / = + = 0, 5 Sea f ( ) = log( + ). Se pide: (a) Escribir la fórmula de Taylor para f() e =0 de orde co el resto de Lagrage. 8 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

19 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I 0 0 (b) Dar ua cota del error al aproimar log de grado. mediate el poliomio de Taylor Solució: (a) = log( + ) f E primer lugar calculamos la derivada -ésima. Método : Calculamos las derivadas sucesivas f ' = log( + ) + + ( ) + f '' = + = iv = ( )( + ) + ( )( + ) f ''' = ( )( )( + ) + ( )( )( + ) 4 f ( ) ( f =! + +! + = ( + )! + = ( ) ( )! + = ( ) ( + + ) ( + ) = ( ) ( ) ( f 0! ( ) = ( ) ( f 0! Método : Aplicado la fórmula de Leibiz Profesora: Elea Álvarez Sáiz S 9

20 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable ( f = log( ) log( ) ( ( Calculamos etoces la derivada -ésima de g = log( + ) g ' + = = ( + ) = ( )( + ) g '' = ( )( )( + ) g ''' + ( g =! + + E el orige g '( 0) =, ( g 0 =! Nota: E esta última epresió si cosideramos = se obtiee la derivada primera e el orige por lo que puede cosiderarse válida para + ( g 0 =! Por lo tato, + ( ) ( )!! ( f = + = ( + ) ( + ) ( ( ) ( ) )!! + = + + = + + = ( ) ( ) ( f 0! ( ) = ( ) ( f 0! La fórmula de Taylor será: ( + ( ) f ( t ) ( + )! + log + = co t etre 0 y 0 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

21 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Como el resto es: f ( + = ( + + ( ) ( )(! + + ) ( + ) + + ( ) ( + + ) f t t R = = +! + + t Apartado (b) Si cosideramos = la aproimació por este poliomio es 0 ( ) log cometiédose por error, ( ) ( t ) Error= R = co t etre 0 y ( + ) ( + t) Ua cota del error para = es: Error ( t ) = 4 ( ) 0 + t t 4 0 = < < Dode se ha teido e cueta que: 4 0< < + 4 < + 4= Si t ( t ) < < < + < 0 0 Si 0 t ( t) 4 4 < ( + t) < < < ( + t) 0 Profesora: Elea Álvarez Sáiz S

22 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable Por lo tato ua cota del error podría ser: 4 Error Cosidera la fució f = +. (a) Determia la epresió del resto -ésimo del poliomio de Taylor de la fució e =0 (b) Determia el grado del poliomio de Taylor de la fució f e =0 que permite aproimar co u error meor que ua décima. Solució: (a) Aplicado la fórmula de Leibiz para obteer la derivada -ésima de f = + Se tiee que ( ( ( f g g siedo g 0 = + = + = ( + ) / Por iducció puede probarse que g ( Podemos cosiderar que la derivada... ( ) ( ) + = ( + ) = ( )... ( ) ( g = + N tomado como coveio que e la fórmula aterior se tomará Luego, ( ) si ( )... < Profesora: Elea Álvarez Sáiz

23 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I ( ) + + ( ) ( f = La epresió del resto -ésimo es: (, ) ( + f ( t) ( + )! R f = + co t u puto itermedio etre 0 y sustituyedo f t ( ) ( ) ( t) ( t ) ( = t + +! + + +! + + co t u puto itermedio etre 0 y. (b) Se tiee que f que = luego se trata de determiar el valor de de forma R ( f ) ( + f ( t) ( + ) +, = <! 0 siedo t u puto itermedio a 0 y a. Se tiee, aplicado la desigualdad triagular, ( ) + + ( t) ( ) R( f,) = t + ( + )! ( t) t ( ) ( t) ( ) ( t) ! + +! siedo t u puto itermedio a 0 y a. k Como 0< t< < + t < < + t < si k es atural k k Profesora: Elea Álvarez Sáiz S

24 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable k k k = < + < si k es atural < ( t) ( + t) k Luego, R ( f,) + ( ) ( ) ! +! Para resolver el problema basta ecotrar el úmero que hace que: + ( ) ( ) ! +! 0 Dado valores a vemos que se cumple para =, es decir, R ( f,) 5 + 4! 4! 0 4 y el poliomio que se ha de tomar es de grado. 5 Calcular mediate el poliomio de Taylor co u error meor que ua décima el valor de Represetar de forma aproimada la gráfica de la fució y del poliomio de e Taylor obteido e el apartado aterior. Solució: / (a) Observamos que = e. Ua posibilidad para hacer el ejercicio es e f = e. El puto dode desarrollaremos será a=0 y tomar como fució el puto dode aproimaremos la fució por el poliomio de Taylor será = Como ( ( f = e N f 0 = N es secillo ver que la fórmula de Taylor es 4 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

25 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I f R f!! = (, ) dode R ( f, ) = t + e ( + )! siedo t u puto itermedio a 0 y a / Haciedo = se tiee que el error al sustituir f = e poliomio de Taylor de grado e el puto / es por el + t e R f, = +! ( ) siedo < t< 0 Como + + t e + R f, = = +! +! +! Hay que ecotrar el valor de que hace ( ) ( + ) ( ) << t 0 t 0 e< e = < 0 < ( + )! +! 0 ( + ) (I) ya que así se tedrá: Dado valores a e la desigualdad (I) + R f, < +! ( ) + 0 = 0 <! NO = 0 <! SI Luego el poliomio buscado es el segudo / 5 = e + + = + = e! 9 9 Profesora: Elea Álvarez Sáiz S 5

26 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable 6 La fórmula de Machi π= 4arctg arctg puede usarse para aproimar los valores de π. Utilizar el desarrollo de Taylor de la fució arctg( ) hasta tercer orde y la fórmula de Machi para calcular el valor de π. Dar ua cota para el error de la aproimació justificado adecuadamete la respuesta. Nota: E el caso de cálculos fiales se puede dejar idicada la operació. Solució: Se cosidera la fució f = arctg a= 0 Las derivadas ecesarias so: f ' = f '( 0) = + f '' = f '' 0 = 0 ( + ) ( + ) 4( ) 4 ( + ) 6 f ''' = f ''' 0 = f iv = El poliomio de Taylor e a=0 es: P = El error: 6 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

27 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I t t ( + t ) 4 f P = R = + 4! siedo t u puto itermedio etre 0 y. 4 4 (*) El valor aproimado es: π= 6arctg 4arctg 6P 4P = y ua estimació del error es: error = Luego: π=.406± Observació: E la acotació (*) se ha utilizado la desigualdad triagular. Podía haberse obteido otra cota por ejemplo, cosiderado la t t fució g( t) = y observado que es creciete e el itervalo [0, /5]. + ( t ) Para valores de e este itervalo se podrá acotar: g t t t = g ( + t ) 0< t< E este caso, para valores de e el itervalo [0, /5] se tedrá: ( ) ( ) ( ) 5 4 f P = R = + + Profesora: Elea Álvarez Sáiz S 7

28 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable De esta maera para =/5, =/ arctg P = f P = R = arctg P = f P = = R = ( ) (a) Calcular la derivada eésima de la fució f log ( ) =. (b) Calcular el cojuto de úmeros reales de maera que el poliomio de MacLauri 5 4 de f = log ( ) de grado permita aproimar f() co u error meor que 0 5 (c) Calcular de forma aproimada el valor de log( ' ) co la aproimació de la ordeada de la recta tagete dado ua estimació del error Solució: (a) Derivado 5 f = log = 5 log f 0 = 0 5 f ' = = 5( ) f '( 0) = 5 ' f '' = 5( ) = 5( ) f ''( 0) = 5 f ''' = 5 f ''' 0 = 0 ( ( f = 5! f 0 = 5! 8 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

29 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I (a) El poliomio de Taylor de grado es: f = ( t) siedo t itermedio a 0 y : 5 error = f T = < Para que ( t) 4 4 basta que: Si >0. Como el logaritmo solo está defiido para valores positivos se tiee que se deberá cumplir: > 0 <. Por lo tato supodremos que 0< < Etoces 0<t<< 0<-<-t< como error= < = ( t) ( ) 4 Basta hacer < < < < < = A Es decir, A < A < ( ) A < + A Si <0 etoces <t<0 <-t<- como Basta hacer 5 5 error= < ( t) < 0 < < Profesora: Elea Álvarez Sáiz S 9

30 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable (b) Si se aproima por la recta tagete: Se tiee que: ( ) 5 log = 5 5 ( t) co t itermedio etre 0 y Luego ( ) 5 5 log ' = log '= = 0' 5 5log( ') = 5 ( 0') 0' t El valor aproimado es: ( ) co t itermedio etre 0 y -0 y ua cota del error: 5log( ') 0'5 error '<< t 0 t = 5log ' 0'5 = 0'0 < 0< < t 0' t ' < < < t 8 Sea f log( ) = +. Se pide: (a) Escribir la fórmula de Taylor para f() e =0 de orde co el resto de Lagrage. 0 0 (b) Dar ua cota del error al aproimar log grado. mediate el poliomio de Taylor de Solució: Apartado (a) = log( + ) f 0 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

31 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I E primer lugar calculamos la derivada -ésima. Método : Calculamos las derivadas sucesivas f ' = log( + ) + + ( ) + f '' = + = iv = ( )( + ) + ( )( + ) f ''' = ( )( )( + ) + ( )( )( + ) 4 f ( ) ( f =! + +! + = ( + )! + = ( ) ( )! + = ( ) ( + + ) ( + ) = ( ) ( ) ( f 0! ( ) = ( ) ( f 0! Método : Aplicado la fórmula de Leibiz ( f = log( ) log( ) ( ( Calculamos etoces la derivada -ésima de g = log( + ) g ' + = = ( + ) = ( )( + ) g '' = ( )( )( + ) g ''' Profesora: Elea Álvarez Sáiz S

32 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable + ( g =! + + E el orige g '( 0) =, ( g 0 =! Nota: E esta última epresió si cosideramos = se obtiee la derivada primera e el orige por lo que puede cosiderarse válida para + ( g 0 =! Por lo tato, + ( ) ( )!! ( f = + = ( + ) ( + ) ( ( ) ( ) )!! + = + + = + + = ( ) ( ) ( f 0! ( ) = ( ) ( f 0! La fórmula de Taylor será: ( + ( ) f ( t ) ( + )! + log + = co t etre 0 y Como el resto es: f ( + = ( + + ( ) ( )(! + + ) ( + ) + + ( ) ( + + ) f t t R = = +! + + t Profesora: Elea Álvarez Sáiz

33 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Apartado (b) Si cosideramos = la aproimació por este poliomio es 0 ( ) log cometiédose por error, ( ) ( t ) Error= R = co t etre 0 y ( + ) ( + t) Ua cota del error para = es: Error ( t ) = 4 ( ) 0 + t = 0 t 4 0 < < Dode se ha teido e cueta que: 4 0< < + 4 < + 4= Si t ( t ) < < < + < 0 0 Si 0 t ( t) 4 4 < ( + t) < < < ( + t) 0 Por lo tato ua cota del error podría ser: 4 Error 0 5 se 9 Ecuetra u ifiitésimo equivalete a la fució f = e e e =0 Solució: Profesora: Elea Álvarez Sáiz S

34 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable Utilizado poliomios de Taylor aalizamos el orde de la primera derivada o ula e =0. Se tiee que: se f ' = e e cos f ' 0 = 0 se se f '' = e e cos + e se f '' 0 = 0 se se se se f ''' = e e cos + e cosse+ e se cos+ e cos f ''' = 0 Aplicado la fórmula de Taylor: f ' 0 f '' 0 f f = f ''' 0 + R = + R!!! 6 dode el resto es u ifiitésimo de orde superior a tres. Por lo tato f() es u ifiitésimo de orde. Poliomio de Taylor f = e e se Poliomio de Taylor de grado 5 e =0 T5 f (,0) = Profesora: Elea Álvarez Sáiz

35 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I 0 Calcular la parte pricipal de los ifiitésimos: (a) arctg (b) se cos Solució: Poliomio de Taylor: Apartado (a) f = arctg Poliomio de Taylor de grado 4 e =0 T4 f 4 4 ( ( 4 ),0) = Profesora: Elea Álvarez Sáiz S 5

36 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable Poliomio de Taylor: Apartado (b) f = se cos Poliomio de Taylor de grado 5 e =0 T5 f 0 5 ( ( 4 ),0) = 6 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

37 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Utilizado poliomios de Taylor calcular los siguietes límites: (a) arctg lim cos se 0 = (b) 8 se cos lim = cos 0 ( ) ( c) lim e = e + se 0 Solució: Fució f = arctg ( ) cos se El poliomio de Taylor e =0 es: Profesora: Elea Álvarez Sáiz S 7

38 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable Fució: f = arctg Fució: f = ( se ) cos 8 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

39 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Fució f se cos = ( cos) Profesora: Elea Álvarez Sáiz S 9

40 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable Fució: f = se cos Fució: f = ( ) cos 40 Profesora: Elea Álvarez Sáiz

41 Ejercicios: Fucioes ua variable Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Fució f se = Las derivadas so: f ' f se 0 = lim = 0 cos se = f ( 0+ ) ( 0) f f f ' 0 = lim = 0 h 0 h se cos se f ' 0 + f f ' 0 f ' = + f ''( 0) = lim h 0 h cos se cos se f ''' = El poliomio de Taylor de orde es T = 6 Profesora: Elea Álvarez Sáiz S 4

42 Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios: Fucioes ua variable Nota: Si e la solució de algú ejercicio crees que hay algú error pote e cotacto co la profesora para su correcció. 4 Profesora: Elea Álvarez Sáiz