DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS B A C H I L L E R A T O
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- Patricia Giménez Guzmán
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1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS B A C H I L L E R A T O FUNDACIÓN VEDRUNA S E V I L L A COLEGIO SANTA JOAQUINA DE VEDRUNA MATEMÁTICAS I LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite finito de una función en un unto finito (idea intuitiva): Un número real L es el límite de una función en un unto a si al tomar valores de x suficientemente róximos a a, entonces los valores de las imágenes fx ( ), están tan róximas a L como se desee. Se escribe Proiedad: lim fx ( ) = L. La condición necesaria y suficiente ara que una función f tenga límite en un unto a es que sus límites laterales en dicho unto existan (sean finitos) y coincidan. Es decir: lim fx ( ) = L lim fx ( ) = L lim fx ( ) = L + Otros tios de límites: Límite infinito de una función en un unto finito. lim fx ( ) = ó lim fx ( ) =+ ó lim fx ( ) =± (a uede ser solo a ó a + ) (Se dice que x= a es una asíntota vertical) Límite finito de una función en el infinito. lim fx ( ) = k ó lim fx ( ) = k x + (Se dice que y= k es una asíntota horizontal) Límite infinito de una función en el infinito. lim fx ( ) =+ ó lim fx ( ) = ó lim fx ( ) =+ ó lim fx ( ) = x + x +
2 Oeraciones con límites de funciones: Cálculo de límites (indeterminaciones): En algunas ocasiones, al intentar calcular los límites usando las oeraciones anteriores, ueden aarecer exresiones de la forma:,,,, 1,, En estos casos diremos que el límite es una forma o exresión indeterminada y tendremos que utilizar otras herramientas ara calcularlo. Si f es racional, desaarece dividiendo numerador y denominador or la otencia máxima del denominador o del numerador. Hay una forma intuitiva de ver el resultado del límite a estudiar (sólo debe usarse como medio de comrobación): si n> n n1 ax + a x a a n n1 n lim = si n= x ± 1 bx + b x b b 1 si n< Otra forma de resolver esta indeterminación es quedarnos en el numerador y en el denominador con los monomios de mayor grado, simlificamos y obtenemos el valor del límite.
3 Si f es irracional, desaarece dividiendo numerador y denominador or la mayor otencia efectiva de x que aarezca en cualquiera de las exresiones. El adjetivo efectiva alude al hecho de que hay que tener en cuenta que, or ejemlo, en la exresión 2 2 x + 1, la x no se comorta como x sino, de forma efectiva, como x. Si f es racional, desaarece descomoniendo en factores el numerador y el denominador y simlificando. En funciones con radicales (raíces cuadradas) desaarece multilicando y dividiendo la función or la exresión radical conjugada. Para funciones racionales, se realizan oeraciones hasta convertirla en la forma. En funciones con radicales (raíces cuadradas), desaarece multilicando y dividiendo la función or la exresión radical conjugada. Para resolver este tio de indeterminación tendremos que convertirla en el tio o. k En el caso esecial, con k, calculamos los límites laterales; si son iguales la función tiene límite + o ; en caso contrario, no existe límite. HUMOR MATEMÁTICO X tendiendo a infinito
4 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Una función f es continua en un unto x si se verifican las tres condiciones siguientes: 1) fx ( ) [Es decir, x Dom( f) ] 2) 3) lim ( ) [Es decir, que existen los límites laterales (finitos) y coinciden] fx x x fx ( ) = lim fx ( ) x x Si no cumle alguna de estas condiciones, diremos que la función f es discontinua en x. OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS Sean f y g dos funciones continuas en un unto a y k R, entonces las funciones k fx ( ), fx ( ) + gx ( ), fx ( ) gx ( ), fx ( ) gx ( ) y son continuas en x= a. fx ( ) gx ( ) TIPOS DE DISCONTINUIDADES (cuando ga ( ) ) Según la condición de continuidad que no se cumla, las discontinuidades ueden clasificarse de la siguiente forma: Discontinuidad evitable: cuando existe lim fx ( ) y es finito, ero no coincide con fa ( ), bien orque no existe fa ( ) o orque tenga otro valor. Discontinuidad no evitable (inevitable) de 1ª esecie: Pueden resentarse tres situaciones: De salto finito: cuando los límites laterales existen y son finitos, ero son distintos. La función uede estar o no definida en x= a. El salto es lim fx ( ) lim fx ( ). +
5 De salto infinito: cuando uno de los límites laterales es finito y el otro infinito. Asintótica: cuando los límites laterales toman valores infinitos. Discontinuidad no evitable (inevitable) de 2ª esecie o esencial: cuando no existe alguno de los límites laterales (no es ni finito ni infinito). La función uede estar o no definida en x= a. Clasifica las discontinuidades que resenta la siguiente función:
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