Apéndice V. Ing. José Cruz Toledo M. Vectores tridimensionales

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Emilia Piñeiro Cabrera
hace 7 años
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1 Apéndie V Ing. José Cruz Toledo M. Vetores tridimensionles En este péndie se present un resúmen de ls reliones vetoriles que son referenidos en este liro. y(j) (x,y,z) y Simologí (Ver Fig. V-1): ( x i + y j + z k) z(k) x x(i) z ( x i + y j + z k) Donde: ( x, y, z) ( i, j, k) son ntiddes vetoriles son ls oordends en los ejes "X", "Y" y "Z" son los vetores unitrios en los ejes "X", "Y" y "Z" es l mgnitud del vetor. Fig. V-1 Vetores unitrios: i x j y k z Mgnitud del vetor: 1.- Primero, lulr "" trigonométrimente: x + z.- Luego, lulr trigonométrimente. + y

2 3.- Al último, Sustituyendo "": x + z + y Ángulos respeto los ejes: Respeto l eje "X": θx Respeto l eje "Y": θy Respeto l eje "Z": θz Cos( θx) Cos( θy) Cos( θz) x i y j z k Coordends del vetor: x y z Cos ( θx ) Cos ( θy ) Cos ( θz ) Sum y rest de vetores Se sumn o se restn ls oordends que se enuentrn en el mismo eje: + x i ( + y j + z k) x i + y j + z k + Coordend en el eje "X": Coordend en el eje "Y": Coordend en el eje "Z": (i): (j): (k): x + x y + y z + z + x + x i j + y + y + ( z + z)k Además si: + ( x + x) x ( y + y) y

o se restn ls oordends que se enuentrn en el mismo eje: + x i ( + y j + z k) x i + y j + z k + Coordend en el eje "X": Coordend en

3 ( z + z) z x i + y j + z k Multipliión de vetores A) Produto Punto (Produto eslr): B) Produto Cruz (Produto vetoril): A) Produto Punto (Produto eslr).- El resultdo que se otiene de este produto es un vlor eslr. L operión se puede efetur prtir de los dtos disponiles de los vetores: 1.- Conoiendo ls mgnitudes y el ángulo (θ) entre los dos vetores, se puede usr l siguiente expresión: Donde: ( Cos ( θ )) Cos ( θ ) Fig. V- Es el omponente del vetor () en l direión del vetor (); o se l proyeión de uno de los vetores sore el otro. El resultdo eslr que se otiene tendrá su signo según el vlor del ángulo (θ). Ver. Fig. V-. θ θ < El resultdo es positivo 180o θ > El resultdo es negtivo θ El resultdo es ero.- Conoiendo ls oordends (x,y,z), (x,y,z) de los vetores () y () respetivmente, se puede usr l siguiente expresión: ( x i + y j + z k) x i + y j + z k

- Conoiendo ls mgnitudes y el ángulo (θ) entre los dos vetores, se puede usr l siguiente expresión: Donde: ( Cos ( θ )) Cos ( θ ) Fig.

4 Desrrollndo el produto y plindo ls regls de los vetores unitrios siguientes: i i 1 i j 0 i k 0 Se otiene: j j 1 j j 0 j k 0 k k 1 k j 0 k k 0 ( x x) + ( y y) z z + Además dee oservrse l pliión de ls siguientes propieddes: Conmuttiv: Distriutiv: No Asoitiv: + + Apliiones: Tiene su pliión en el desrrollo de ls siguientes mgnitudes físis: Trjo (W).- Es el produto punto de dos vetores: Fuerz (F) y desplzmiento (ds) en l direión del movimiento: W F ds ds F Cos( θ) Gsto volumétrio (Q).- Es el produto punto de dos vetores: Elemento de áre (da) y veloidd de flujo (v) en l direión del movimiento: Q da v v da Cos ( θ ) B) Produto Cruz (Produto vetoril).- El resultdo que se otiene de este produto es otro vetor, perpendiulr l plno de los vetores multiplindos, y su sentido se determin on l regl de l mno dereh. L operión se puede efetur prtir de los dtos disponiles de los vetores: 1.- Conoiendo ls mgnitudes de los vetores () y () y el ángulo (θ) entre los dos vetores, se puede usr l siguiente expresión:

- Es el produto punto de dos vetores: Fuerz (F) y desplzmiento (ds) en l direión del movimiento: W F ds ds F Cos( θ) Gsto volumétrio (Q).

5 Donde: Sen( θ) Sen ( θ ) Es el omponente del vetor ( ) en l direión del vetor (); o se l proyeión de uno de los vetores sore el otro. El resultdo es otro vetor perpendiulr l plno de los vetores multiplindos y su sentido se determin on l regl de l mno dereh. θ El resultdo es ero 180o θ El resultdo es ero O se que el resultdo es ero undo los vetores son olineles..- Conoiendo ls oordends (x,y,z), (x,y,z) de los vetores () y () respetivmente, se puede usr l siguiente expresión: j i k k j i k j j i x i i 0 j j 0 k k 0 Se otiene: ( + y j + z k) x i + y j + z k Desrrollndo el produto y plindo ls regls de los vetores unitrios siguientes (Ver. Fig. V-3): i j k j k i k i j k j i ( x x) i i i i + x y j + x z k +. ( y x) j i + ( y y) j j + ( y z) j k +. ( z x) k i + ( z y) k j + z y k k Fig. V-3 Simplifindo: ( x y) ( k) + ( x z) ( j) + ( y x) ( k) y z z x + ( j) ( z y) i Agrupndo o sumndo los del mismo eje: Coordend en el eje "X": (i): y z ( i) + +. z y

θ El resultdo es ero 180o θ El resultdo es ero O se que el resultdo es ero undo los vetores son olineles.

6 Coordend en el eje "Y": Coordend en el eje "Z": Finlmente: (j): (k): z x x y x z y x ( y z z y) i + ( z x x z) j + x y y x k Tmién se puede otener el produto ruz por el método de determinntes: i x x j y y k z z Se otiene el mismo resultdo: ( y z z y) i + ( z x x z) j + x y y x k Además, ulquier que se el método de multipliión, dee oservrse l pliión de ls siguientes propieddes: No Conmuttiv: Distriutiv: No Asoitiv: Apliión: + + Tiene su pliión en el desrrollo de l siguiente mgnitud físi: Momento de fuerz (Mo).- Es el produto ruz de dos vetores: vetor fuerz (F) y vetor de posiión (r): * Mo F r r F Sen ( θ )

el método de multipliión, dee oservrse l pliión de ls siguientes propieddes: No Conmuttiv: Distriutiv: No Asoitiv: Apliión: + + Tiene su pliión en el

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