CAPITULO 7. METODOLOGÍA DEL PLAN DE PENSIONES ALTERNATIVO. Como se explica en el capítulo 4, una anualidad es una serie de pagos que se realizan

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1 CAPITULO 7. METODOLOGÍA DEL PLAN DE PENSIONES ALTERNATIVO 7. Anualdad de Vda Como se elca en el caítulo 4, una anualdad es una sere de agos que se realzan durante un temo determnado, nombrándose a esta anualdad temoral o de manera vtalca. En éste caso, el monto de los agos deben ser guales así como haber unformdad en los erodos de ago. Una anualdad de vda, es una anualdad contemlando la robabldad de sobrevvenca de una ersona en el temo, erodo en el cual se le aga el monto determnado. Hay dos formas de calcular estas anualdades de vda y la dferenca entre ellas es la fecha en que se hace el rmer ago de la sere que la conforman. La rmera forma se llama anualdad de vda antcada, en esta el ago se encuentra stuado al rnco de cada erodo de ago; en cuanto a la segunda forma se denomna anualdad de vda vencda que se refere a que el ago se encuentra al fnal de cada erodo de ago de la sere que la conforman. Para realzar los cálculos necesaros en este dseño la fórmula emleada es de manera antcada y se eresa de la sguente manera: k 0 a& & ( ) (7. ) k k

2 a& & Notacón actuaral del valor resente de una anualdad antcada vtalca. ( ) k Valor resente de $ que está en el erodo k. Tasa de nterés. Edad actual de una ersona. k Probabldad de llegar con vda de edad () a edad (k). 7.2 Vdas Conjuntas En este nuevo lan alternatvo se contemla al cónyuge al momento en que fallece el trabajador, de la msma forma que en lan anteror, es or eso que se utlzan anualdades del últmo sobrevvente y ara calcularla es mortante menconar nuevamente la fórmula de la anualdad de vdas conjuntas, la cual reresenta el valor resente de una sere de agos hechos al fnal de cada año mentras todos los ntegrantes del gruo, (), (y), sgan con vda. El valor resente de este benefco se defne de la sguente manera:

3 k a& & ( ) k y y (7.2) k 0 a& & Notacón actuaral del valor resente de una anualdad antcada sobre vdas y conjuntas. ( ) k Valor resente de $ que está en el erodo k. Tasa de nterés. k y Probabldad de que dadas dos vdas de edades () y (y), ambas lleguen con vda k erodos desués. 7.3 Últmo sobrevvente La robabldad de que dadas dos vdas () y (y) or lo menos una de ellas quede con vda n erodos desués se denota de la sguente manera: n y (7.3) n n y n y

4 n Probabldad de que el últmo sobrevvente del gruo () y (y) llegue con y vda n erodos desués n Probabldad de llegar con vda de edad () a edad (n). n y Probabldad de llegar con vda de edad (y) a edad (yn). n y Probabldad de que dadas dos vdas () y (y) ambas lleguen con vda n erodos desués. Enfocadas las robabldades anterormente vstas en anualdades, la relacón quedaría de la sguente manera: a&& a&& a&& a& ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) y (7.4) y y Bajo la hótess de lnealdad de las D se uede escrbr: && a m m & (7.5) 2 a 2 && m a a y y 2m & (7.6) 2

5 && m a a y y 2m & (7.7) 2 ay & 2 Valor resente de una anualdad antcada que aga $/2 al rnco de cada mes, de manera vtalca, hasta que muera el últmo sobrevvente. a & 2 Valor resente de una anualdad antcada que aga $/2 al rnco de cada mes, de manera vtalca hasta que muera (). a& 2 y Valor resente de una anualdad antcada que aga $/2 al rnco de cada mes, de manera vtalca hasta que muera (y). ay & 2 Valor resente de una anualdad antcada que aga $/2 al rnco de cada mes, de manera vtalca hasta la rmera muerte entre () o (y). m El erodo es mensual or lo que es Anualdad Temoral Una anualdad temoral es el valor resente actuaral de agos que se realzan eródcamente mentras () sobrevva durante los n años sguentes. Hay dos tos de anualdades y se dferencan en la forma en que se realzan los agos; la rmera se

6 denomna anualdad temoral vencda y en esta se realzan los agos al fnal del erodo en que se esta evaluando; a la segunda forma de anualdad se denomna anualdad temoral antcada y en este caso se realzan los agos al rnco de cada erodo. Para realzar los cálculos de este dseño se hace uso del segundo caso y la manera de realzarlo es la sguente: n k a& & ( ) : k n (7.8) k 0 ( ) k Valor resente de $ que esta k erodos desués. Tasa de nterés. k Probabldad de que una ersona de edad () llegue con vda k erodos desués. n Perodo en que termnan los agos de $ y vara entre 20 y los años que le faltan ara llegar a la edad de algún to de retro.

7 7.5 Teoría de Decrementos Múltles En la estructura de este nuevo lan de ensones alternatvo tambén se toman en cuenta las saldas del gruo or retro, muerte, nvaldez y las osbldades de que un trabajador salga or cualquera de esas causas. Se toma nuevamente la Teoría de Decremento Múltle ara analzar a este gruo de ersonas que están sujetas a varas causas ndeendentes de decrementos. De la msma manera que en el caítulo 4, se consdera a un número determnado de ersonas sn osbldad de nuevas entradas o rengresos or lo que el modelo se denomna de Gruo Cerrado. Para realzar los cálculos que nvolucra esta teoría, las formulas emleadas son las sguentes: ( T ) q (7.9) ( T ) ( T ) q q j (7.0) (T ) Probabldad de que una ersona de edad () ermanezca en el gruo a edad ().

8 (T ) q Probabldad de que una ersona de edad () salga del gruo or cualquera causa (j). ( j) q La robabldad de que una ersona abandona el gruo or la causa (j) entre las edades () y (). 7.6 Cálculo de la Aortacón del Patrón A dferenca del lan euesto en el caítulo 4, esta metodología se enfoca al dseño de un lan rvado de ensón de contrbucón defnda. En este caso, la aortacón del atrón se fja en un 5% del sueldo anual del trabajador ncluyendo restacones que le corresonden or ley. Marcando nuevamente la dferenca con el caítulo 4, las aortacones que forman el monto de la ensón son varables de modo que aún cuando el atrón semre aorte el 5% del salaro anual del trabajador, esta contrbucón va a cambar cada año ues el salaro del emleado se ncrementa a razón de 2% anual. Para la realzacón de estas contrbucones se han marcado tres formas de saldas del lan or ensón y la forma de calcular estas contrbucones se defne ara cada caso de la sguente forma:

9 Retro Normal Es mortante recordar que el retro normal se da a artr de que el trabajador cuenta con 65 años de edad y se le da la cantdad acumulada corresondente al 5% de su salaro anual or cada año laborado desués de haber cumldo dos años en la emresa. La fórmula que se utlza ara el cálculo de estas aortacones es la sguente: Prmera arte: ( ) ( ) ( k ) SA sal ) a k 0 65 k ( (7.) Segunda arte: k 65 2 SA sal ) a k 65 k ( ) ( ) k ( (7.2) Por lo tanto, la cantdad total acumulada or el atrón es de la sguente forma: total 2 (7.3)

10 El valor futuro de las aortacones anuales, evaluadas en la edad de retro (65), del atrón a artr de que el trabajador cuenta con 2 años de antgüedad calculados artendo el salaro a edad actual. 2 El valor futuro de las aortacones anuales, evaluadas en la edad de retro (65), del atrón a artr de la edad actual del trabajador. SA Salaro Anual del trabajador. Edad actual del trabajador. 0 Edad de alta del trabajador. sal Incremento Salaral real. a Porcentaje de contrbucón or arte del atrón. Tasa de nterés real. k Probabldad de que de edad sobrevva a 65 años La fórmula ndca la manera en que se calculan las aortacones que debe realzar el atrón de modo que acumule el monto, el cual que osterormente se reartrá al trabajador de forma mensual, medante benefcos o ensón. La suma muestra que el

11 fondo se junta de manera anual a razón de un orcentaje del salaro vgente del trabajador a artr de que éste cumle con 2 años de antgüedad. A artr de ese año y hasta que el trabajador cumla 65 años de edad se recolarán estas aortacones y dcho monto esta evaluado al momento en que el trabajador cumle 65 años de edad. Retro Antcado Hay que recordar tambén que el trabajador se uede retrar de manera antcada s cuenta con 60 años de edad. De la msma manera que en el retro normal, el fondo se acumula a razón del 5% del salaro vgente del trabajador or los años que labore, en este caso, un mínmo de 0 años más los 2 años que son requsto ara que ueda entrar al lan y ser canddato a ensonarse de esta forma. Prmera arte: ( ) ( ) ( k ) SA sal ) a k 0 60 k ( (7.4) Segunda arte: k 60 2 sal ) a k 60 k ( ) ( ) k SA ( (7.5) Por lo tanto, la cantdad total acumulada or el atrón es de la sguente forma:

12 total 2 (7.6) El valor futuro de las aortacones anuales, evaluadas en la edad de retro (60), del atrón a artr de que el trabajador cuenta con 2 años de antgüedad calculados artendo el salaro a edad actual. 2 El valor futuro de las aortacones anuales, evaluadas en la edad de retro (60), del atrón a artr de la edad actual del trabajador. SA Salaro Anual del trabajador. Edad actual del trabajador. 0 Edad ncal del trabajador. sal Incremento Salaral real. a Porcentaje de contrbucón or arte del atrón. Tasa de nterés real. k Probabldad de que de edad sobrevva a 60 años.

13 En esta fórmula se muestra la forma en que se calculan las aortacones que el atrón debe realzar ara obtener el monto de la ensón. En esta ocasón la suma de estas aortacones nca a artr de que el trabajador entra al lan de ensones y fnalza cuando el trabajador cumle 60 años de edad. Este cúmulo de las aortacones esta evaluado al momento el trabajador cumla 60 años. Retro Dferdo Es mortante recordar que el trabajador se uede retrar de manera dferda, s tene 70 años cumldos de edad. Así msmo, el fondo se va a r acumulando a razón del 5% del salaro vgente del trabajador or los años que labore, en este caso un mínmo de 0 años más los 2 años que son requsto ara que ueda entrar al lan y ser canddato a ensonarse de esta forma. retro dferdo: La sguente formula muestra la forma en que se van a calcular las aortacones del Prmera arte: ( ) ( ) ( k ) SA sal ) a k 0 70 k ( (7.7) Segunda arte:

14 k 70 2 sal ) a k 70 k ( ) ( ) k SA ( (7.8) Por lo tanto, la cantdad total acumulada or el atrón es de la sguente forma: total 2 (7.9) El valor futuro de las aortacones anuales, evaluadas en la edad de retro (70), del atrón a artr de que el trabajador cuenta con 2 años de antgüedad calculados artendo el salaro a edad actual. 2 El valor futuro de las aortacones anuales, evaluadas en la edad de retro (70), del atrón a artr de la edad actual del trabajador. SA Salaro Anual del trabajador. Edad actual del trabajador. 0 Edad ncal del trabajador. sal Incremento Salaral real.

15 a Porcentaje de contrbucón or arte del atrón. Tasa de nterés real. k Probabldad de que de edad sobrevva a 70 años. El cálculo de estas aortacones es smlar a la de las anterores formas de retro a dferenca que en este caso se realza la suma que nca desde que el trabajador entra al lan de ensones y fnalza cuando el trabajador cumle 70 años de edad. Este cúmulo de las aortacones esta evaluado al momento en que el trabajador cumle los 70 años de edad. 7.7 Valor Presente Actuaral Para realzar el Valor Presente Actuaral (VPA) de este dseño alternatvo se utlzan tres fórmulas dferentes ya que hay que defnrlo ara cada forma de retro del trabajador. Como se defne en el caítulo 4 de la resente tess, el VPA es evaluar en una determnada fecha las oblgacones futuras del atrón. En este caso, se regresa a la fecha de hoy el monto de la ensón que se le dará al trabajador que se encuentra en la edad de 60, 65 o 70 años según sea retro normal, antcado o dferdo resectvamente. Retro Normal VPA v 65 total 65 (7.20)

16 VPA Valor resente Actuaral del de las aortacones anuales. v 65 ( (65 ) ) Factor de descuento. Tasa de nterés real. 65 Probabldad de que de edad sobrevva a 65 años. La formula (6.7) reresenta el valor resente actuaral de los benefcos que recbrá el trabajador a artr de que cuente con 65 años de edad. Lo anteror evalúa en el momento en que se este evaluando el lan de ensones y es el cúmulo de las aortacones. Retro Antcado VPA v 60 total 60 (7.2) VPA Valor resente Actuaral del de las aortacones anuales. v 60 ( (60 ) ) Factor de descuento.

17 Tasa de nterés real. 60 Probabldad de que de edad sobrevva a 60 años. Retro Dferdo VPA v 70 total 70 (7.22) VPA Valor resente Actuaral del de las aortacones anuales. v 70 ( (70 ) ) Factor de descuento. Tasa de nterés real. 70 Probabldad de que de edad sobrevva a 70 años. 7.8 Cálculo de los Benefcos La contrbucón del atrón se refere a lo que, en este caso, el munco de Atlco, tendrá que r aortando a la nsttucón fnancera que manejará el fdecomso.

18 Retro Normal total & 2 65: y (65 ) a Benefco (7.23) Desejando de la fórmula anteror, benefco queda en funcón de las aortacones y una anualdad temoral hasta que el trabajador cumla 65 años de edad.t total Benefco (7.23.) & 2 65: y (65 ) a & 2 65: y (65 ) a Anualdad temoral antcada que aga $/2 al rnco de cada mes. Retro Antcado total & 2 60: y (60 ) a Benefco (7.24) Desejando el Benefco de la fórmula anteror tenemos: total Benefco (7.24.) & 2 60: y (60 ) a

19 & 2 60: y (60 ) a Anualdad temoral antcada que aga $/2 al rnco de cada mes. Retro Dferdo total & 2 70: y (70 ) a Benefco (7.25) Desejando de la fórmula anteror tenemos que el benefco queda en funcón de las aortacones y una anualdad temoral hasta que el trabajador cumla 70 años de edad. total Benefco (7.25.) & 2 70: y (70 ) a & 2 70: y (70 ) a Anualdad temoral antcada que aga $/2 al rnco de cada erodo de ago.

20 7.9 Metodología en Números 7.9. Retro Normal Con la fnaldad de lustrar aso a aso la utldad de las formulas anterormente resentadas se toma un trabajador de la base de datos cuyos datos se muestran a contnuacón: INFORMACIÓN TÉCNICA Tasa de nterés técnco () Tasa de ncremento salaral ( sal ) 0.02 % de Aortacón del Patrón ( a ) 0.5 Tabla 7. Informacón del Trabajador Fuente: Elaboracón Proa INFORMACION TRABAJADOR Sueldo anual Edades a la fecha de hoy () 5 Antgüedad 7 Edad de alta ( 0 ) 34 Género del Trabajador F Tabla Informacón Técnca ara los Cálculos Fuente: Elaboracón roa tene esosa. Un dato mortante a resaltar en esta ocasón es que se toma un trabajador que no lo sguente: Las aortacones de este dseño alternatvo. Al desarrollar la fórmula 7. se tene

21 Prmera arte: 5 k 34 ( 5 k ) ( 0.5 ) ( 0.02 ) ( 0. ) 50, k ,628,628, ( 0. 5 ) ( ( 5 34 ) ) ( ) ( 0. 5 ) ( ( 5 35 ) ) ( ) ( 0. 5 ) ( ( 5 36 ) ) ( ) , ( 5 5 ) 65 5 ( 0. 5 ) ( ) ( ) 5,756 5,527 5,302 2,293 25,225 Segunda arte: 65 k 5 (5 k ) 65 k ( 0.5) ( 0.02) ( 0. ) k , , , , , , (5 52 ) ( 0.5) ( 0.02) ( ) (5 53 ) ( 0.5) ( 0.02) ( ) (5 54 ) ( 0.5) ( 0.02) ( ) (5 65 ) ( 0.5) ( 0.02) ( ) 4, , , ,

22 De acuerdo a lo anteror el total es la suma de ambos montos or lo que: total 25, , ,492.2 de la ensón: Una vez que se obtene el monto total de la ensón se calcula el VPA de ese monto VPA 65 total v 65 VPA 459, ,93.9 Ahora necestamos calcular una anualdad vtalca a artr de la edad de retro del trabajador que en este caso es 65 años ara calcular el benefco de la ensón. La manera de hacerlo es la sguente: a&& : y (65 ) k 0 ( 0.035) k k a&& ( 2) 65: y (65 ) a&& 65: y (65 )

23 El sguente aso ara calcular el benefco del trabajador de este ejemlo es realzar una anualdad temoral. Para ello se utlza la formula 7.8 que es la que se muestra a contnuacón. Benefco total a&& ( 2) 65: y (65 ) 459, , A manera de conclusón es mortante resaltar los resultados obtendos de la sguente manera: Resultados Fnales de la ensón $ 459, Benefco a edad de retro $ 39, Aortacón del atrón %5 Los cálculos ara el retro antcado y el Retro Dferdo se realzan de manera análoga a los resentados en este aartado del caítulo.