PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

Transcripción

1 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO CONVOCATORIA: Junio MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de.5 PRUEBA A 1.- El peso de las peras de una cosecha se distribuye según una normal de media 115 gramos y desviación típica igual a 5 gramos. i) Cuál es la probabilidad de que una pera elegida al azar pese más de 1 gramos? X = Peso de una pera ; X N 115,5 ( ) La probabilidad de que una pera elegida al azar pese más de 1 gramos es: X P( X > 1) = P > = P( Z >.) =, ii) Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una muestra de 64 peras esté entre 11 y 119 gramos? Sabemos que la variable peso medio, x, de una muestra de tamaño 64, se distribuye también como una normal con media 115 y desviación típica σ X 5 5 σ = = = =.15 X. n 64 8 Nos piden calcular: X P( 11 < X < 119) = P < < = P(.96 < Z < 1.8) = = 1 P Z <.96 P Z > 1.8 = =.71 ( ) ( )

2 .- En las últimas elecciones, celebradas hace un año, el 5 por ciento de los votantes de una ciudad estaban a favor del alcalde. Una encuesta, realizada recientemente, indica que, de 5 ciudadanos elegidos al azar, 198 están a favor del alcalde: i) Se puede afirmar, con un nivel de confianza del 9%, que el alcalde gana popularidad?. Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma: H : p = p H1 : p > p ( ) p 1 p Para este contraste la región de rechazo es R.R.= p + zα, n Si pˆ RR.. rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos. Datos del problema: 198 p ˆ =.5; n = 5; p = =,566; ; α =,1; zα = z,11 = 1, 8 5,5( 1,5) RR.. =,5 + 1,8, = (,55, ) 5 Como,566 (.55, ) rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que p >,5 por tanto que el alcalde ha aumentado su popularidad. La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el estadístico de prueba, z = p p p(1 p) y ver si cae en la región de rechazo para este n estadístico, que a un nivel de confianza α es, ( z α, ) = ( 1,8, ). z =,566,5,5(1,5) = 1.7 ; como 1,7 ( 1,8, ), rechazamos la hipótesis nula, es 5 decir, aceptamos que p >,5 por tanto que el alcalde ha aumentado su popularidad. ii) Se obtiene la misma respuesta que en el apartado anterior si el nivel de confianza es igual a.99?. El estadístico de prueba sigue siendo: p p,566,5 z = = = 1.7 p(1 p),5(1,5) n 5 la región de rechazo para este estadístico, a un nivel de confianza α =.1 es, z α, =,,. ( ) ( ) Como 1,7 (,, ) nula, p =,5., no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos la hipótesis

3 .- En un determinado mapa, un solar urbano está limitado por las gráficas de las funciones f( x) = x y gx ( ) = x+ 1 i) Hacer un dibujo del solar. f ( x ) es una parábola que tiene sus raíces en ± y su mínimo en x=. gx ( ) es una recta que paso por los puntos (,1) y (1,) Los puntos de corte de las dos funciones se obtienen de la ecuación: f( x) = g( x) x = x+ 1 x x = x = 1 o x = ii) Hallar el área del solar si la unidad de medida usada en el mapa es el decámetro. Dicha superficie se obtiene como la integral de la diferencia de las dos funciones, la superior menos la inferior, entre sus puntos de corte. x x x ( g( x) f ( x) ) dx = ( x x ) dx x x x = = + + = 1 1 ( ) ( 1) ( 1) + ( 1) = Dm Es decir, la superficie del solar es de m iii) Si el valor del metro cuadrado es de euros, Cuánto vale el solar?. Valor = = 1998

4 4.- Las pérdidas o ganancias de una empresa, expresadas en centenas de miles de euros t 4 cuando han transcurrido t años, siguen la función f() t = t + i) Determinar el año en que la empresa deja de tener pérdidas. Nos piden el valor de t a partir del cual la función empieza a ser positiva. t 4 f() t > > t + como el denominador es positivo, ya que el tiempo t es mayor que cero por tanto t+ también es positivo, el signo de t 4, lo determina solo el numerador. t + t 4 f() t > > t 4> t > 4 t > t + A los años deja de tener perdida y empieza a tener beneficios. ( t + ) ( t 4 ) 1 8 f '( t) = = > t t + t+ ( ) ( ) ii) Es creciente la ganancia?. Tenemos que hallar la derivada de f y ver si es positiva. ( t ) ( t + ) ( t + ) ( t + ) f '( t) = = > t con lo cual la ganancia es una función creciente con el tiempo. En qué año la ganancia supera los 1. euros?. Como la función f mide las ganancias o perdidas en cientos de miles de euros nos piden calcular el valor de t tal que t 4 f() t > 1 > 1 t 4> t+ t > 6 t + A partir de los 6 años la ganancia supera los 1 euros. iii) Existe límite para la ganancia?. En caso afirmativo, cuál es ese límite?. t 4 4 t 4 lim ( ) lim lim t t lim t f t = = = = = t t t + t t t t t t Si existe límite y está en euros.

5 5.- Carla compra tres pantalones, dos blusas y un sombrero por 15 euros. Nuria adquiere un pantalón, tres blusas y un sombrero por 1 euros Por su parte, Paula compra dos pantalones, tres blusas y dos sombreros por 155 euros. Si se supone que los artículos de un mismo tipo cuestan lo mismo, determinar el precio de cada una de las prendas. P+ B+ S = 15 P+ B+ S = 1 P+ B+ S = 1 P+ B+ S = 1 P+ B+ S = 15 B = 45 P+ B+ S = 155 P+ B+ S = 155 7B S = 165 P+ B+ S = 1 P = 5 B = 45 B= 15 S = 6 S =

6 PRUEBA B 1.- Se sabe que el consumo semanal de refrescos (en litros) entre los jóvenes de una ciudad es una variable normal con desviación típica igual a.6 litros. Se pregunta a 1 jóvenes sobre su consumo semanal de refrescos y se obtiene una media muestral de 1.5 litros. i) Hallar el intervalo de confianza de nivel.95 para la media de consumo semanal de refrescos de la población de jóvenes. Datos del problema: σ =.6; n = 1; x = 1,5; α =, 5; z = z = 1,96 α /,5 σ σ,6,6 X zα /, X + zα / = 1,5 1,96,1,5 + 1,96 = 1,8, 1, 6 n n 1 1 ( ) ii) Si se acepta un error de.1 litros y se toma un nivel de confianza del 99%, cuál es el tamaño de la muestra de jóvenes que habría que considerar?. Datos del problema: σ =, 6; E =,1; α =, 1; α / =.5; z = z =, 58 α /,5 σ,6,6 zα / < E z,5 <,1,58 <,1 n n n 1,548 1,548 <.1 < n,1 n n > 15, 48 n > 9, 6 4

7 .- Se sabe que la edad (en años) de los aspirantes a un puesto de trabajo en un determinado organismo oficial es una variable normal con desviación típica igual a 5. Se observa una muestra de 15 personas que se presentan a una prueba para optar a un puesto de trabajo en el citado organismo, obteniéndose una edad media igual a. años: i) Se puede afirmar, con un nivel de significación del 5%, que es igual a 1 la edad media de los que optan a un puesto de trabajo en el organismo oficial? Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma: H : µ = µ H : µ = 1 H1 : µ µ H1 : µ 1 σ Para este contraste, la región de rechazo es R.A.= µ zα /, µ + zα / n Si x RA.. aceptamos la hipótesis nula y en caso contrario la rechazamos. σ n Datos del problema: x =,; n = 15; µ = 1; σ = 5; α =, 5; α/ =, 5; z = 1.96,5 RA = , = (,1, 1,87) Como, (,1, 1,87) rechazamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos que µ = 1. La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el x µ estadístico de prueba, z = y ver si cae en la región de aceptación que es: σ n z, z = 1,96, 1,96. R.A.=( ) ( ) α z, 1 5,9 15 rechazamos que µ = 1. α = = ; como,9 ( 1,96, 1,96 ), rechazamos la hipótesis nula, es decir, Nota: también se daría por valida un contraste unilateral por la derecha. ii) Se puede afirmar, si el nivel de significación es del 1%, que dicha edad media es menor o igual que? Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma: H : µ µ H : µ H1 : µ > µ H1 : µ > σ Para este contraste, la región de rechazo es R.R.= µ + zα, n Si x RR.. rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos. Datos del problema:

8 x =,; n = 15; µ = ; σ = 5; α =, 1; z =,,1 RR 5.. = +., = (.4, ) 15 Como, (,4, ) no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que µ =. La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el x µ estadístico de prueba, z = y ver si cae en la región de rechazo que es: σ n R.R.=( z α, ) = (,, ). z, decir, aceptamos que µ =. = = ; como,67 (., ), no rechazamos la hipótesis nula, es

9 .- En una empresa que fabrica microcircuitos se ha comprobado que el 1% de estos son defectuosos. Si se compra un paquete de microcircuitos procedentes de la fábrica, determinar: i) Número esperado de microcircuitos no defectuosos. X = nº de microcircuitos NO defectuosos en un paquete de La probabilidad de que un microcircuito sea no defectuoso es p=,9 X B(,,9) Para una variable binomial de parámetros n y p, su valor medio esperado es n p=,9=7. ii) Probabilidad de que se encuentre más de 7 microcircuitos defectuosos. X = nº de microcircuitos defectuosos en un paquete de La probabilidad de que un microcircuito sea no defectuoso es p=,1 X B(,,1) Se dan las condiciones para aproximar una binomial por una normal ya que: i) np> 5;,1 = > 5 ii) n (1 p) > 5; (1,1) = 7 > 5 La variable X se puede aproximar por una normal, (, (1 ) ) (, 5,196) Y N np np p = N Con lo cual, aplicando la Corrección de Yates Y 7,5 P( X > 7) P( Y > 7,5) = P > 5,196 5,196 = = P Z >,48 = 1 P Z >,48 = 1,156 =,6844 ( ) ( ) Si no se hubiese aplicado la Corrección de Yates P X > 7 P Y > 7 = P Z >,58 =,719 ( ) ( ) ( ) iii) Probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos esté entre y. P X. Nos piden calcular ( ) Aplicando la Corrección de Yates sería 19,5 Y,5 P( X ) P( 19,5 < Y <,5) = P < < 5,196 5,196 5,196 = = P(, < Z <,9) = 1 P( Z >,) P( Z >,9) = = 1, 17, 4641 =,514 Si no se hubiese aplicado la Corrección de Yates Y P( X ) P( < Y < ) = P < < 5,196 5,196 5,196 = = P( 1,9 < Z < ) = 1 P( Z > 1,9) P( Z > ) = = 1, 17,5 =, 478

10 4.- El número de personas que acuden a una exposición en un día viene dado por la función f () t = 1t t, siendo "t" el tiempo en horas transcurrido desde la apertura. Si el horario de exposición es de 15 a 1 horas: i) A qué hora es máximo el número de personas que acuden a la exposición?. Cuál es el número?. f() t = 1t t, t 6 Tenemos que resolver la ecuación f '( t) = 1 4t = t = Como f ''( t ) = <, f ( t ) tiene un máximo en t =, es decir, a las 15+=18 horas. f () = 1 = 18, es el número máximo de visitantes. ii) Cuántas personas visitan la exposición al día?. El número de visitas es: 6 ( ) 6 6 t t t 6 1t t dt = 1 6t = = = = personas

11 5.- Una empresa piensa invertir hasta 6 millones de pesetas en una urbanización para construir viviendas de cuatro dormitorios (tipo A), cuyo costo unitario es de 4 millones de pesetas, y viviendas de dos dormitorios (tipo B) que cuestan cada una millones de pesetas. Las normativa vigente limita el número total de viviendas a 1 de las que, como máximo, 8 pueden ser de dos dormitorios. Si la empresa obtiene un beneficio de 4 millones de pesetas por la venta de cada vivienda tipo A y de millones de pesetas por la venta de cada vivienda tipo B, determinar cuántas viviendas de cada tipo debe construir para maximizar los beneficios. Se trata de maximizar la función de beneficios de la urbanización. Esta función es: f ( xy, ) = 4x+ y Con las siguientes restricciones de presupuesto, limitaciones por normativa y de no negatividad de las variables : Presupuesto 4x+ y 6 Nº total x+ y 1 Tipo B y 8 x ; y Max f ( x, y) = 4x + y sa.. : r 4x+ y 6 1 r x+ y 1 r y 8 x ; y r 1 r r Los puntos extremos que se obtienen son: x+ y = 1 x = 6 f (6,4) = = 6 4x+ y = 6 y = 4 (,8) f (,8) = = 4 (,8) f (6,4) = = (9,) f (9,) = = 6 El beneficio máximo se consigue construyendo o bien 6 tipo A y 4 tipo B o bien construyendo 9 del tipo A y ninguna del tipo B.