FIABILIDAD (V): COMPARACIÓN (NO PARAMÉTRICA) DE MUESTRAS

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1 FIABILIDAD (V): COMPARACIÓN (NO PARAMÉTRICA) DE MUESTRAS Autores: Ángel A Juan Pérez (ajuanp@uocedu), Rafael García Martín (rgarcamart@uocedu) RELACIÓN CON OTROS MATH-BLOCS Este math-block forma parte de una sere de 8 documentos relaconados todos ellos con la Fabldad de componentes desde un punto de vsta estadístco: Conceptos Báscos (I) Identfcacón y descrpcón gráfca de los datos (II) Análss paramétrco de los tempos de fallo (III) Análss no paramétrco de los tempos de fallo (IV) Comparacón no paramétrca de muestras (V) Tests de vda acelerada (VI) Modelos de regresón para observacones censuradas (VII) Análss Probt (Éxto / fracaso) (VIII) ESQUEMA DE CONTENIDOS Comparacón de grupos Fabldad (V): Comparacón (no paramétrca) de muestras Ejemplo comparacón grupos (Statstca) Comparacón de n grupos (n > ) Proyecto e-math 1

2 INTRODUCCIÓN A menudo, puede resultar convenente usar métodos no paramétrcos para comparar los tempos de fallo procedentes de dferentes muestras Así, por ejemplo, en el caso de los portátles (vsto en el capítulo anteror), podríamos estar nteresados en comparar los tempos de supervvenca de los tres grupos determnados según el taller de reparacón al que corresponde cada observacón A pror, cuando los tempos de fallo no se dstrbuyan según una normal, podría pensarse en utlzar los métodos no paramétrcos cláscos, tales como los métodos Wlcoxon o Mann-Whtney para comparar dos muestras, o el Kruskal-Walls para varas muestras Sn embargo, estos métodos tradconales no son váldos cuando las muestras contenen observacones censuradas, debendo recurrr en tales casos a alguno de los métodos no paramétrcos específcos que se enuncan en el sguente cuadro: MÉTODOS PARA COMPARAR GRUPOS CON OBSERVACIONES CENSURADAS Comparacón de grupos Wlcoxon-Gehan Cox-Mantel F-Cox Log-rank Wlcoxon-Peto Comparacón de múltples grupos Wlcoxon-Gehan generalzado Cox-Mantel generalzado La mayoría de estos métodos proporconarán valores de una va Z que sgue una dstrbucón normal tpfcada (e, una N(,1)); dchos valores se usarán para hacer un contraste de hpótess sobre la smltud o no de los grupos A fn de que los resultados sean estadístcamente fables, será necesaro dsponer de muestras sufcentemente numerosas Es mportante observar además que, cuando se queran comparar dos o más grupos resulta fundamental examnar prmero la proporcón de observacones censuradas en cada uno de ellos, dado que s dcha proporcón dfere de forma notable según el grupo, los resultados podrían resultar bastante sesgados S ben no hay un crtero general sobre qué método es mejor, a la hora de comparar dos grupos, s las muestras provenen de una poblacón con dstrbucón Exponencal o Webull, los métodos Cox- Mantel y log-rank parecen ofrecer resultados más fables El test Wlcoxon-Gehan para múltples grupos es una generalzacón de los métodos Wlcoxon-Gehan De hecho, cuando se utlza este test con sólo dos grupos de muestras, los resultados que se obtenen son los msmos que con el Wlcoxon-Gehan Proyecto e-math

3 COMPARACIÓN DE GRUPOS Supongamos que se dspone de n 1 y n observacones pertenecentes a los grupos 1 y : n {( 1, 1) } 1 1 t = ( t n, δ ) = δ y { j j } j 1 donde: δ = 1 shay censura en t 1 1 y shay fallo en t1 δ j = 1 shay censura en t shay fallo en t j j Sea d = número total de fallos en ambas muestras, () Se unen las observacones procedentes de ambos grupos, y se consderan m nstantes (ordenados) en los cuales se haya producdo al menos 1 fallo: t m + 1 < t < < t con m d n1 n () En cada uno de los nstantes anterores, t, 1 m, se podrán resumr los datos en una tabla x: Nº de observ del grupo 1 que estaban en resgo justo antes del nstante t: n = n + d ESTADO MUESTRA Fallo (d) En Resgo (d + n) Supervventes (n) 1 d 1 n 1 n 1 d n n Total d n n Nº de observ del grupo 1 que han fallado justo en el nstante t Nº de observ del grupo 1 supervventes tras el nstante t Tendremos así que la hpótess nula H : probabldad de supervvenca es la msma en ambas muestras mplca la ndependenca de las categorías muestra y estado de la tabla x anteror Por tanto, bajo la hpótess nula, el valor esperado de d 1 (nº de fallos del grupo 1 en el nstante t ) será: E[d 1 /H ] E [d 1 ] = n 1 * d / n Usando las propedades de la dstrbucón Hpergeométrca, tambén se tene que: Var[d 1 /H ] Var [d 1 ] = [n 1 * n * n * d ] / [n * (n 1)] Proyecto e-math 3

4 Por su parte, es posble representar la evdenca en contra de la hpótess nula con el sguente estadístco de contraste, el cual es una suma ponderada de las dferencas entre el número de fallos observados y el número de fallos esperados en el grupo 1: θ = m = 1 donde w es el peso asocado al nstante t w [ d E [ d ] Se puede demostrar que el estadístco anteror sgue una dstrbucón normal Calculemos su meda y varanza: Bajo H, se cumplrá: 1 E[θ/H ] E [θ] = Var[θ/H ] Var [θ] = Σ w Var [d 1 ] = Σ [w * n 1 * n * n * d ] / [n * (n 1)] Estandarzando θ se obtendrá un estadístco de contraste que se dstrbuye según una normal tpfcada, e: 1 Z = θ Var ( θ) N(,1) o, equvalentemente, se tene que Z sgue una Ch-cuadrado con 1 grado de lbertad: Z θ = Var ( θ) 1) Tomando w = n estaremos en el método Wlcoxon-Gehan, el cual se reduce al test clásco de Wlcoxon cuando no hay observacones censuradas ) Tomando w = 1 estaremos en el método Log-rank o Cox-Mantel 3) Tomando w = n estaremos en el método Tarone-Ware 4) Tomando w = estmacón de S(t) en t = t estaremos en el método Wlcoxon-Peto Observacones: El test Wlcoxon-Gehan pone más peso en las observacones ncales, por tanto es más sensble a la hora de detectar la exstenca de dferencas a corto plazo entre grupos El test Log-rank pone el msmo peso en todas las observacones, por lo tanto resulta más sensble a la hora de detectar la exstenca de dferencas a largo plazo entre grupos Debdo a la forma en que los tests se formulan (los térmnos del sumatoro en la expresón de θ no están elevados al cuadrado), éstos sólo serán potentes cuando la tasa de resgo de un grupo sempre sea menor que la del otro (e, al representar sus respectvas funcones tasa de resgo, éstas no se crucen) En caso contraro, podría ocurrr que algunos térmnos del sumatoro anteror postvos y otros negatvos, cancelándose mutuamente χ 1 Proyecto e-math 4

5 COMPARACIÓN DE VARIOS GRUPOS Los métodos anterores para comparar grupos se pueden generalzar al caso de k grupos: Se ordenan los tempos de fallo: t < < < t t m con m d n1 nk y para cada t se construye la sguente tabla xk: ESTADO Muestra Fallo (d) En Resgo (d + n) Supervventes (n) 1 d 1 n 1 n 1 k d k n k n k Total d n n Por tanto, bajo la hpótess nula, el valor esperado de d j (nº de fallos del grupo j-ésmo en el nstante t ) será: y los componentes de la matrz de covaranza serán: E[d j /H ] E [d j ] = n j * d / n n' j ( n' n' j ) d n Var [ d ] = y Cov [ d, d ] j n' ( n' 1) j l = n' n' n' d j l n ( n' 1) La evdenca contra H vendrá representada por el estadístco de contraste: θ = m = 1 w D donde w es el peso asocado a las observacones en el nstante t, y D d = d 1 k E E [ d ] 1 [ ] dk A efectos práctcos, se usará el estadístco de contraste χ construdo a partr de θ: χ = θ V 1 w el cual sgue una dstrbucón χ con (k-1) grados de lbertad En la expresón anteror, V w = w V, sendo w el vector de pesos w Tomando w = n se obtene el método de Wlcoxon-Gehan generalzado mentras que tomando w = 1 tendremos el test de Log-rank o Cox-Mantel generalzado θ Proyecto e-math 5

6 EJEMPLO COMPARACIÓN DE GRUPOS Usando el programa STATISTICA y, nuevamente, el ejemplo de los portátles (consderando tres grupos, uno por cada taller de reparacón) se mostrará cómo es posble aplcar en la práctca los métodos anterores de comparacón: Entrada de datos (nput): Selecconamos la opcón Comparng multple samples en el menú ncal del módulo Pulsar sobre el botón Varables para selecconar los tempos de fallo, el ndcador de censura, y la varable que determna los grupos (Taller ) Comprobar que la opcón Code for censored responses muestra los códgos correctos de las varables censuradas Dentro de la opcón Codes (for groups), pulsar sobre el botón All : Proyecto e-math 6

7 Salda de datos (output): El programa mostrará los sguentes resultados: Comparacón no paramétrca de muestras Notar que el test Ch-Cuadrado es cas sgnfcatvo en este caso (p-valor =,567), por lo que estaríamos tentados de rechazar la hpótess nula (no hay dferencas mportantes entre los tres grupos) en favor de la hpótess alternatva (la duracón de los portátles depende del taller donde fueron arreglados) A fn de poder aprecar mejor estas más que posbles dferencas, se podrían representar en un msmo gráfco las funcones de supervvenca de cada grupo Para ello se debe pulsar sobre la opcón Cumul prop survvng by group (Kaplan-Meer) : Cumulatve Proporton Survvng (Kaplan-Meer) Complete Censored 1,,9 Cumulatve Proporton Survvng,8,7,6,5,4,3, Tme A B C Claramente, la funcón de supervvenca correspondente al taller C muestra una dsmnucón ncal menos acusada que la del resto de talleres Por tanto, deberíamos conclur que los portátles reparados en el taller C tenen una mayor probabldad de sobrevvr, en especal durante los prmeros 1 días crítcos posterores a la reparacón Proyecto e-math 7

8 Pulsando sobre el botón Percent survvng by group se obtendrán las tablas de supervvenca para cada grupo: Entrada de datos (nput): Ahora que ya se ha comprobado que no todos los grupos son smlares, sería convenente comparar dos de ellos, el A y el C, para comprobar nuestra observacón anteror de que el taller C parece tener unos resultados dferentes a los del resto, en partcular a los del taller A Para ello, se deberá selecconar la opcón Comparng two samples en el menú ncal del módulo Pulsando sobre el botón Varables ndcaremos las varables que contenen los tempos de fallo, el ndcador de censura, y los grupos (Taller ) Comprobar que la opcón Code for censored responses muestra los códgos correctos de las varables censuradas, y selecconar los códgos de los grupos: Proyecto e-math 8

9 Salda de datos (output): a contnuacón se muestran los resultados: Comparacón no paramétrca de muestras Selecconando cada uno de los métodos se rán obtenendo, entre otras, las sguentes ventanas: Observar que, en este ejemplo, algunos de los tests dan p-valores cercanos al,5 (como el Wlcoxon-Gehan), mentras que otros no son estadístcamente sgnfcatvos (como el F-Cox) Por tanto, se podría conclur, aunque sn excesva segurdad, que los resultados obtendos en ambos talleres son dferentes, proporconando el taller C mayor fabldad en las reparacones de portátles Proyecto e-math 9

10 BIBLIOGRAFÍA [1] Conover, WJ (198) Practcal nonparametrc statstcs Wley New York [] D Agostno, RB y Stephens, MA (eds) (1986) Goodness-of-ft technques Marcel Dekker New York [3] Gbbons,JD (1971) Nonparametrc Statstcal Inference McGraw Hll San Francsco [4] Kendall, MG y Gbbons, JD (1991) Rank Correlaton Methods (5a edcón) Grffn: Londres [5] Koopmans, L (1987) Introducton to Contemporary Statstcal Methods (a edcón) PWS Publshers [6] Lehmann, EL (1975) Nonparametrcs: Statstcal Methods Based on Ranks McGraw Hll San Francsco [7] Leach, C (1989) Fundamentos de estadístca: Enfoque no paramétrco Lmusa Méxco, D F [8] Pur, ML y Sen, PK (1971) Nonparametrc methods n multvarate analyss Wley Nueva York [9] Randles, RH y Wolfe, DA (1979) Introducton to the Theory of Nonparametrc Statstcs Wley Nueva York [1] Slvermann, BW (1986) Densty Estmaton Chapman and Hall: Londres ENLACES [W1] Lbro electrónco de StatsoftInc (creadores del programa Statstca) [W] Lbro electrónco edtado por el profesor Rossn Proyecto e-math 1