26 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

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1 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

2 Unidad. Funciones.Continuidad TEMA FUNCIONES. CONTINUIDAD. 1. Definición de Continuidad. Tipos de discontinuidades 3. Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas 4. Teoremas de continuidad 4.1. Teorema de conservación del gno 4.. Teorema de Bolzano 4.3. Teorema de Darboux José Luis Lorente Aragón 7

3 Contexto con la P.A.U. Unidad. Funciones.Continuidad Los problemas que aparecen en el examen de la PAU relativos a este tema son de dos tipos: 1. Aplicaciones del teorema de Bolzano. Estudiar la continuidad de funciones 1) En muchos de los exámenes de la PAU aparecen cuestiones donde tenemos que aplicar el teorema de Bolzano. La forma de plantearnos el problema en el examen varía: Nos dan una ecuación y nos piden demostrar que existe al menos una solución (pueden darnos o no un intervalo) para tal ecuación Nos dan una función y nos piden demostrar que esa función toma un valor determinado (pueden darnos o no un intervalo) Nos dan dos funciones f( y g(, nos piden demostrar que estas funciones se cortan (pueden darnos o no un intervalo), es decir f(=g(. Todos estos problemas se resuelven operando con las igualdades de forma que obtengamos una expreón de la forma F(=, a dicha función, F(, tendremos que aplicar Bolzano, bien en el intervalo que nos dan o buscar nosotros el intervalo. En alguna de estas cuestiones se nos pide demostrar que la solución es única, para lo cual debemos probar que en ese intervalo la función es sólo creciente o decreciente, para lo cual necetamos la derivada de la función y aplicar su relación con el crecimiento que veremos en el tema 4. ) Otro problema típico de selectividad es el estudio de la continuidad y derivabilidad de una función (generalmente definida a trozos o un valor absoluto), o bien determinar el valor de unos parámetros para que la función sea continua o derivable. En este tema veremos cómo estudiar la continuidad de tales funciones, la derivabilidad se verá en el tema guiente. 8 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

4 Unidad. Funciones.Continuidad 1. Definición de Continuidad Veamos la definición de la continuidad: Definición: Una función f( es continua en un punto x en dicho punto se cumplen las guientes tres condiciones: 1. Existe lim f ( x x. La función definida en x, es decir x Dom(f() 3. Los dos valores anteriores coinciden: lim f ( =f(x ). Ejemplo: x x 1) Dom(f()=(-,3) [5, ) Continua en todos los puntos del dominio menos en a) x=-3 lim f ( =3 f(3)= x 3 b) x=1 lim f ( no existe pues los límites laterales son distintos x 1 c) x=5 lim f ( no existe pues no existe el límite por la izquierda x 5 ) Dom(g()=(-,) (,1] (,3) (3, ) Continua en todos los puntos del dominio menos en a) x= lim g( no existe pues los límites laterales son distintos x b) x=1 lim g( no existe pues no existe el límite por la derecha x 1 c) x=3 lim g( = x 3 pero 3 Dom(g() José Luis Lorente Aragón 9

5 Unidad. Funciones.Continuidad Definición: Una función f( es continua en un intervalo (a,b) en todos los puntos del intervalo es continua. Esto ocurre cuando al dibujar la gráfica no levantamos el boli de la hoja para dibujarla En el ejemplo anterior f( continua en (-,-3) (-3,1) (1,3) (5, ). La función g( en (-,) (,1) (,3) (3, ).. Tipos de discontinuidades Definición: Una función f( es discontinua en un punto x no es continua en dicho punto. Existen dos tipos de discontinuidades: a) Discontinuidad evitable b) Discontinuidad no evitable Discontinuidad evitable: Una función f( presenta una discontinuidad evitable en el punto x se cumple las guientes condiciones: 1. El límite de la función en x existe,. El límite no coincide con f(x ) o bien la función no está definida en x (es decir x Dom(f() Ejemplos: 1) lim f ( = 4 f () = 1. Esta discontinuidad se evita redefiniendo la función en x=, x haciendo que en este punto la función tome el mismo valor que el límite es decir f()=4 x 4 Así la función f( = x x = x es continua pues lim f ( = 4 = f () x 4 x = 3 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

6 Unidad. Funciones.Continuidad ) g(= lim g( = x pero Don(g(). Esta discontinuidad se evitaría redefinimos la e función tal que en x= esta valga lo mismo que el límite: g(= 1/ x x x = Discontinuidad no evitable: Es aquella en la que el límite en el punto o no existe o es infinito. Pueden ser a su vez de tipos: 1) Salto finito en x : los límites laterales no coinciden lim f ( lim f ( x x x x José Luis Lorente Aragón 31

7 Unidad. Funciones.Continuidad ) Salto infinito en x : cuando los dos límites laterales en x o al menos uno de ellos es o Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas. Las funciones elementales, por lo general, son continuas en todos los puntos del dominio. Las discontinuidades más importantes aparecen en funciones definidas a trozos (discontinuidades evitables o de salto finito), y en funciones con denominador en el valor donde se anula éste (discontinuidad de salto infinito). Operaciones de funciones continuas: Sean f( y g( funciones continuas en x 1) Las funciones suma y resta (f ± g)( son continua en x ) La función producto (f g)( es continua en x 3) La función divión (f/g)( es continua en x g(x ) 4) Si g( es continua en x y f( es continua en g(x ) entonces la función compuesta (f g)( es continua en x. 4. Teoremas de Continuidad 4.1. Teorema de conservación del gno Teorema de conservación del gno: una función f( es continua en el punto x de manera que f(x ), se cumple que en un entorno del punto la función conserva el gno, Esto es f(x )> se cumple que en un entorno de x la función potiva, y f(x )< entonces en un entorno de x la función es negativa. Veamos un ejemplo gráfico: x x 3 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

8 Unidad. Funciones.Continuidad 4. Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano: Si una función f( es continua en un intervalo [a,b] tal que f(a) y f(b) tienen distinto gno (f(a) f(b)<), entonces existe al menos un punto c (a,b) tal que f(c)=. Veámoslo gráficamente: a c b a c 1 c c 3 b Vemos que el teorema de Bolzano nos asegura al menos una valor c tal que f(c)=, pero como vemos puede ocurrir que este valor de x no sea único. Para asegurar que sólo es único debemos además de aplicar Bolzano ver que la función en el intervalo (a,b) es empre creciente o decreciente José Luis Lorente Aragón 33

9 Unidad. Funciones.Continuidad Ejercicio1: encontrar un intervalo donde la función f(= decir f(x )= corte al eje x, es Tenemos que la función es continua en R-{3}. Busquemos un intervalo, que no contenga x=3, tal que el gno de sus extremos sea diferente. f()= 1/3> f(1)=-1/< Así la función f( cumple Bolzano en [,1]: - es continua en este intervalo - f() f(1)< Luego c (,1) : f(c)=. Veamos la gráfica de la función: 4.3 Teorema de Darboux El teorema de Darboux es un corolario del teorema de Bolzano: Teorema de Darboux: Si f( es una función continua en un intervalo [a,b], se cumple que para todo valor M [f(a), f(b)] existe c (a,b) tal que f(c)=m. Demostración: sea g(=f(-m, esta función cumple Bolzano en [a,b]: 1) es continua en [a,b] al serlo f( y ) g(a) g(b)<, y por lo tanto, existe al menos un valor c: g(c)=f(c)-m= f(c)=m. f(b) M=f(c) f(a) a c b 34 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

10 Unidad. Funciones.Continuidad Ejercicio : Decir un intervalo de x donde la función f(=x -x3 valga 5. Esta función es continua en R, luego podemos aplicar el teorema de Darboux. Tenemos que buscar un intervalo [a,b] tal que 5 esté comprendido entre f(a) y f(b). Sea [1,3] se cumple f(1)=3 y f(3)=9 luego como 5 (f(1),f(3)) existe c (1,3) tal que f(c)=5. También podemos hacer este problema aplicando Bolzano: Si f(=5 entonces x -x3=5 x -x-=. Llamando g(=x -x-, veamos que cumple Bolzano en [1,3]: - Es continua en este intervalo - g(1)=-, g(3)=4, luego g(1) g(3)< Existe c (1,3) donde g(c)=, y por tanto f(c)-5=, y por tanto f(c)=5 José Luis Lorente Aragón 35

11 Unidad. Funciones.Continuidad Ejercicios Ejercicio 3: Estudia la continuidad de las guientes funciones x 5 a) f(= x 5 x x = El valor absoluto puede dividirse en dos partes: cuando lo que está dentro del valor es negativo este cambia de gno, y es potivo no se cambia. f(= x 5 x < 6 x = 5 x = = 5 x 5 x > 4 x lim x o lim f ( = x o lim f ( = 4 f ( = 6 x o f( es por tanto continua en R-{} x < x = x > no existe, discontinuidad de salto finito b) g(= x 1 x 1 x x > Es una función definida a trozos, donde cada uno de ellos es un polinomio, que son continuos en R; El único punto que tenemos que estudiar la continuidad es en x=, donde g( cambia de expreón analítica: lim x 1 = 3 x lim g( = = 3 =g(). x lim x 1 = 3 x Luego g( continua en R. c) h(= x 9 x 3 6 x 3 x = 3 Es una función definida a trozos, uno de ellos es una fracción algebraica, así que en los puntos donde se anule el denominador puede no ser continua. Como coincide el punto donde se anula el denominador con el cambio de expreón analítica (x=3) sólo hay que estudiar la continuidad en este punto. x 9 limh( = lim = x 3 x 3 x 3 La función h( es continua en R ( x 3)( x 3) = lim = lim( x 3) = 6=f(3)=6 x 3 ( x 3) x 3 36 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

12 Unidad. Funciones.Continuidad d) l(= x 1 3 x > 1 x 1 Es una función definida a trozos, en cada uno de ello la función es un polinomio, así que el único punto donde hay que estudiar la continuidad es en x=-1, allí donde cambia de expreón analítica: lim l( = x 1 salto finito. lim l( = 3 x 1 lim l( = lim x 1 = 3 x 1 x 1 De esta forma l( continua en R-{-1}. No existe, luego no es continua en x=-1, de Ejercicio 4: Calcula el valor de k para que las guientes funciones sean continuas en todo R a) f(= sen(3 k cos( x π / x > π / Es una función definida a trozos; en cada uno de ellos las funciones son expreones trigonométricas, continuas en R. Luego el único punto donde puede existir discontinuidad es en x=π/, allí donde la función cambia de expreón analítica. Veamos f( es continua en π/ lim f ( = lim k cos( = k 1 ` π π x x lim f ( = π lim f ( = lim sen(3 = 1 x π π x x El límite existe los límites laterales son iguales, esto ocurre k=. Además cuando k= se cumple f(π/)=-1,y por tanto la función es continua en x=π/ De esta forma la función es continua en R k= b) g(= k x x x x = Es una función definida a trozos, en uno de ellos la función es una fracción algebraica que puede no ser continua en los puntos donde se anual el denominador (x=). Como este punto coincide con el punto donde la función cambia de expreón analítica, es el único punto donde tenemos que estudiar la continuidad de g(. x 4 x 4 lim = = x lim g( = lim = x el límite no existe, así que x x x x 4 lim = = x x independientemente del valor de k la función g( no es continua en x= José Luis Lorente Aragón 37

13 Unidad. Funciones.Continuidad c) k(= 1 x k 3 x 1 x < x = x > Como x está definido para valores negativos (x<), es equivalente a sustituir x por x: k(= 1 x k 3 x 1 x < x = x > Es una función definida a trozos; en cada uno de ellos las funciones son polinomios, y estos son continuos en R. El único punto donde puede presentar discontinuidad es en x=, allí donde la función cambia de expreón analítica. lim 1 x = 1 lim k( = 3 lim x 1 = 1 = 1 Para que sea continua ha de cumplir que k()= lim k(. Por tanto k( será continua x k()=k=1 k=1 e) x x > 3 m ( = x x 3 k x 3 x 4 Es una función definida a trozos, en cada uno de ellos las funciones son fracciones algebraicas, que no son continuas en los puntos donde se anulan el denominador. En la primera de ellas ocurre en x=, pero como esa expreón analítica sólo existe para x>3, nuca tomará ese valor. La segunda se anula para x=4, pero como la expreón definida para x 3 nunca tomará ese valor. Así que sólo hay que estudiar la continuidad en x=3, donde la función cambia de expreón analítica: x 3 lim k = 6 k x 3 limm( = x 4 El límite existe k=17. Además k=17 m(3)=11 x 3 x 11 lim = = 11 x 3 x 1 y por tanto continua en 3 y en todo R. Ejercicio 5: Hallar el dominio y la continuidad de las guientes funciones: a) f(= x -6x5 El dominio de la función f(= x -6x5 y su continuidad es todo R, ya que el valor absoluto de f( es continuo en los mismos puntos en los que sea continua la función x -6x5, que es un polinomio. 38 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

14 Unidad. Funciones.Continuidad b) g ( = 4 x 4 x. El dominio de una raíz cuadrada son todos los puntos donde el radicando es potivo o cero. Como g( está definida a partir de suma la de tres funciones, el dominio será la intersección de los tres dominios. Veamos uno a uno por separado: 4 x Dom=[-4, ) 4 x Dom=(-,4] Dom=R Dom(g()= [-4, ) (-,4] R=[-4,4] En los puntos del dominio la función es continua menos en -4 y 4 De esta manera g( continua en (-4,4) En -4 no es continua pues En 4 no es continua pues lim g( = no existe x 4 lim g( = no existe x 4 Ejercicio 6: Determinar los parámetros a y b para que la guiente función sea continua en todo R x xe x f ( = ax b < x 1 1 xln( x 1 Es una función definida a trozos, y en cada trozo la función es continua en su dominio de definición, ya que el único que no es continua en todo R es 1 x ln(, pero como está definida para x 1 en este intervalo es continua. Tendremos que ver la continuidad en x= y x=1 para asegurar que la función f( continua en todo R. Continuidad en x= x lim f ( = lim xe = 1 = lim f ( = x lim f ( = ax b = b lim El límite existe b=, además para este valor de b f()= y por tanto la función será continua Continuidad en x=1 lim f ( = lim(1 x ln( ) = 1 1 = 1 x 1 x 1 lim f ( = El límite existe a=1, x 1 lim f ( = lim ax = a x 1 x 1 además para este valor f(a)=1 y por tanto la función será continua Si a=1 y b= la función será continua en R José Luis Lorente Aragón 39

15 Ejercicio 7: Sean las funciones,, Unidad. Funciones.Continuidad,, estudiar la continuidad de fg, f g, f/g Estudiemos la continuidad de las funciones f( y g( Fácilmente se puede comprobar que f( es continua en todo el dominio de definición [, ), y g( continua en todos los puntos de definición menos en x=, donde los límites laterales no coinciden, es decir en [,) (, ). a) (fg)( por las propiedades de continuidad será continua en [, ) ( [,) (, ))= =[,) (, ) b) (f g)( por las propiedades de continuidad será continua en [, ) ( [,) (, ))= =[,) (, ) c) (f/g)( por las propiedades de continuidad será continua en [, ) ( [,) (, ))= =[,) (, ), ya que g( no se anula para ningún valor de x y Ejercicio 8: Hallar y claficar las discontinuidades de las guientes funciones a) f( = x 4 x x Será continua en R menos en los puntos donde se anula el denominador es decir x= y x=, por tanto, Dom(f(). Veamos el límite en estos puntos para discernir el tipo de discontinuidad. En x= x 4 4 lim 4 4 = x x( x ) lim = = x x x 4 4 lim = x( x ) En x= x lim x x 4 = x ( x )( x ) = lim = x x( x ) 4 = salto inf inito en = = evitable x = b) g( x x x e x > = Tanto -x como e -x son continuas para todo R, luego la única poble discontinuidad puede ocurrir en x=. x lim g( = lim e = 1 lim g( = x lim g( = lim = x Discontinuidad de salto finito. 4 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

16 Unidad. Funciones.Continuidad c) f ( e = x lim f ( = lime x = x x = 1 f () = Salto finito Ejercicio9: Estudiar la continuidad de f( ln( sen( π f ( = x 1 x < x < x < 4 x 4 Función definida a trozos y en cada uno de ellos la función es continua en su dominio de definición, (ln(- es continua x<). Veamos la continuidad en los puntos donde cambia la expreón analítica: En x=- lim lim f ( = sen( π ) = x f ( = lim f ( ) = ln( x x x ) Discontinua de salto finito En x= En x=4 lim f ( = x lim f ( = x lim f ( = sen( x ) = π lim f ( = 16 1 = 4 x 4 lim f ( = x 4 lim f ( = x 4 Continua en x= Discontinua de salto finito Ejercicio 1: Demuestra: a) x=xs en(cos( tiene solución en [-π,π]: Definimos f(= x sen(cos(-x tal que 1. Es continua en R y por tanto en [-π,π].. f(-π)=-1π>, f(π)=-1-π<. De esta forma cumple Bolzano c (-π,π): f(c)=, es decir, la ecuación tiene solución en este entorno. b) 3 sen(=e -x cos( en algún valor de x. Definimos f(=e -x cos(-3sen( tal que 1. es continua en R.. Tomamos el intervalo [,π/] f()=1> f(π/)=-3<. Cumple Bolzano c (,π/): f(c)=, es decir la ecuación solución en este entorno. Ejercicio 11: La función cotg( tiene distintos gnos en los extremos del intervalo [3π/4, 5π/4] y n embargo no corta el eje x. Entonces contradice esto Bolzano? No contradice Bolzano pues cotag( no es continua en π [3π/4, 5π/4] José Luis Lorente Aragón 41

17 Unidad. Funciones.Continuidad Ejercicio 1: Demostrar f(=x 3-8x corta al eje OX en (,). se puede decir lo mismo de? f( cumple: 1. Continua en (,). f()=>, f()=-6< Luego cumple Bolzano c (,): f(c)= No podemos decir lo mismo de x 3, pues en x=1 (,) no es continua. x 1 Ejercicio 13: Sea f( una función que cumple f(-)< y f()> Es empre cierto que existe un valor c en (-,) tal que f(c)= Si f( es continua en el intervalo [-,] podemos asegurar que se cumple dicha afirmación (por el teorema de Bolzano). Sino no es así no podemos asegurar tal afirmación. Lo cual no contradice que alguna función discontinua en donde f(a) f(b)< esta corte al eje x en (a,b) Ejercicio 14: Estudiar el dominio y discontinuidad de f(=ln((x)/x ) Pasos: 1) Dominio de (x)/x R-{} ) Al ser un logaritmo (x)/x >: Como x empre potivo tenemos que ver cuándo (x)>, esto ocurre en el intervalo (-, ) - - (x) De esta forma el dominio será (-, ) menos el punto x= Dom(f()=(-,) (, ). En todos los puntos del dominio la función es continua pues, el límite existe y coincide con el valor de la función en el punto. Ejercicio 15: Hallar a y b para que f( cumpla Bolzano en [-π,π]. Hallar c que cumple Bolzano cos( f ( = a x b x π x < x < 1 1 x π Para que cumpla Bolzano tenemos que obligar a la función a que sea continua en [-π,π], y por tanto en x= y x=1 4 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

18 Unidad. Funciones.Continuidad En x= : lim f ( = cos() = 1 lim f ( = lim f ( = a = a a=1 En x=1: lim f ( = x 1 lim f x 1 lim x 1 ( = 1 1 = b f ( = = b 1 b= Si a=1 y b= la función es continua en [-π,π], veamos ahora que cumple la segunda condición: f(-π)=-1< f(π)=/π> Luego cumple Bolzano c (-π,π): f(c)= Busquemos el valor c: a) Veamos c [-π,] cos(c)= c=-π/ b) Veamos c (,1) 1x = no solución c) Veamos c [1,π] /x= no solución Ejercicio 16: Demuestra que la ecuación π x =e tiene solución en (,1), lo cumple también φ x =e? a) π x =e solución en (,1) definimos f(=π x -e, se cumple: a) Continua en [,1] b) Además f()=1-e< y f(1)=π-e> Al cumplir Bolzano c: (,1): f(c)=, y por tanto la ecuación tiene solución en (,1) b) φ x =e solución en (,1) definimos f(= φ x -e, se cumple: a) continua en [,1] b) pero f()=1-e< y f(1)= φ-e< Luego no cumple Bolzano y no podemos asegurar que la ecuación tenga solución. José Luis Lorente Aragón 43

19 Unidad. Funciones.Continuidad Ejercicios de la P.A.U. Junio de 4.Prueba A C-: Demuéstrese que las gráficas de las funciones f(=e x y g(= se cortan en un punto x> Si se cortan las dos funciones cumplen entonces que f(=g(. Definimos h(=f(-g(=e x -1/x. Si h(= entonces f(=g( y las funciones se cortarán. Veamos que h( cumple Bolzano, y por tanto h(=: a) Es continua para x> (no se anula el denominador). b) Busquemos un intervalo donde cumpla Bolzano, por ejemplo [.1,1]: h(.1)=e.1-1< ; h(1)=e-1> Luego cumple Bolzano c (.1,1): h(c)=, y por tanto f(c)=g(c), cortándose en c estas dos funciones Junio de 5. Prueba B C-3.- Estúdiese, según los valores de los números reales α y β, la continuidad de la función f definida por f x α = 1 x 1 e β ( / x. x = x α La función 1/ x es continua en R-{}, pues 1e 1/x nunca se anula. El único problema 1 e está en x=, al anularse el denominador del exponente. Por otro lado en x= la función cambia de expreón analítica, luego es el único punto donde tenemos que estudiar la continuidad: Continua en x= lim f ( = x x α α lim f ( = lim = x 1/ x 1 e 1 e f () = β x α α lim = 1/ x 1/ = ( ind ) = 1 e 1 e x α α lim = 1/ x 1/ 1 e 1 e α = = 1/ α Para que exista el límite α=. Si α= lim f ( =. x = 1 Por otro lado para ser continua f()= lim f ( x β= Luego β= y α= la función será continua en x=, y por lo tanto en todo R. 44 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

20 Unidad. Funciones.Continuidad Septiembre de 6. Prueba A PR. b) Pruébese que la ecuación 3x = e x tiene alguna solución en (,1] Definamos la función f(=3x-e x ; demostramos que f(= en (-,1], entonces se cumplirá la ecuación. Para esto apliquemos Bolzano: a) f( es continua en R y por tanto continua en todo el intervalo b) busquemos el intervalo [a,b] comprendido en (,1] y tal que f(a) f(b)<. Por ejemplo [.5, 1]: f(1)=3-e<, f(.5)=1.5-e.5 >. Así f( cumplirá Bolzano en [.5, 1], y por lo tanto, existe al menos un valor c (.5,1), luego c (-,1] tal que f(c)=, y por tanto se cumple la ecuación. Junio de 7.Prueba A C-4. Demostrar que las curva f(=sen( y g(=1/x se cortan en algún punto del intervalo (π, 5π/) Si f( y g( se cortan en algún punto se cumple que f(=g(, es decir sen(=1/x. 1 Para poder aplicar Bolzano pasamos 1/x al otro miembro sen ( =. De esta 1443 x forma resolver la ecuación es lo mismo que ver que h(=. Apliquemos Bolzano a h( en el intervalo marcado (π,5π/): a) Continua en [π,5π/], ya que h( es continua en todos los reales menos en el, y [π,5π/]. b) h(π)=sen(π)-1/(π)=-1/(π)<, h(5π/)=sen(5π/)-1/(5π/)=1-/(5π)> Luego cumple Bolzano, y por lo tanto, existe un punto c (π,5π/) tal que h(c)=, y por ello en este punto se cumple la igualdad f(c)=g(c), cortándose las dos curvas h( Junio de 7.Prueba B PR- (b) Demostrar que existe algún número real c tal que ce -c = 4. Si modificamos la igualdad x 14 x e 43 4 = tendremos que la ecuación solución f ( existe un punto c tal que f(=,es decir podemos aplica Bolzano: a) Continua en R, luego podemos tomar cualquier intervalo para aplicar Bolzano b) Busquemos el intervalo f()=1-4<. Si tomamos x=4, como e -x empre es potivo entonces f(4)=4e -4-4>. Luego cumple Bolzano en [.4], y por lo tanto, existe c (,4) tal que f(c)=, y entonces ce -c =4 solución en (,4). José Luis Lorente Aragón 45

21 Unidad. Funciones.Continuidad C1. Hallar a y b para que f( continua en todo R a x ln( x > f ( = b x = sen( π x < x sen (π La función x ln( es continua x> y es continua en x<, pues no toma el x valor x=. De esta forma, en cada trozo las funciones son continuas en los dominios de definición. Por esta razón sólo hay que estudiar la continuidad en x= Continuidad en x=. Será continua lim f ( = f () x lim f ( = (*) = π lim f ( = el límite existe a=π y valdrá lim f ( x ) =π x lim f ( = (*) = a x (*) Calcularemos estos límites en el tema 4 (Teorema de L Hopital) f()=b, como lim f ( = f () b=π x De esta forma a=π y b=π la función es continua en x=, y por lo tanto en todo R. 46 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

22 Unidad. Funciones.Continuidad José Luis Lorente Aragón 47