IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

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1 SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 2015 MODELO 3 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea las matrices A = -1 2, B = , C = (0 5 putos) Calcule A 2. (1 7 putos) Resuelva la ecuació matricial A X + 4B = C t Sea las matrices A = -1 2, B = , C = Calcule A A 2 = A A = = Resuelva la ecuació matricial A X + 4B = C t. Como det(a) = A = = = 4 0, existe su matriz iversa A-1 = (1/ A ) Adj(A t ). Multiplicado la expresió A X + 4B = C t por A -1 por la izquierda teemos: A -1 A X + A -1 4B = A -1 Ct I X + 4A -1 B = A -1 Ct X + 4A -1 B = A -1 Ct X = A -1 Ct - 4A -1 B X = A -1 (Ct - 4B) Calculamos la matriz iversa A A t = 2 2 ; 2-2 Adj(At ) = 1 1, luego A = (1/ A ) Adj(A t ) = (1/4) 1 1 = = 1 1 1/4 1/4 4 4 Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss A tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (A I2), a la expresió (I2 B), dode B = A F1-2F (A I2) = por tato F 2+ F F 2: /4 1/ /4 1/4 1-1 A -1 = 1/4 1/4. X = A -1 (C 2-2 t - 4B) = (1/4) = = (1/4) = (1/4) = (1/4) = = EJERCICIO 2 (A) (1 puto) Determie el valor de a para que sea cotiua e x = -1 la fució ax si x -1 f(x) = x x - 3x + 6x - 2 si x > -1 (1 5 putos) Calcule los coeficietes b y c de la fució g(x) = x 3 + bx 2 + cx - 2 para que (1,2) sea u puto de iflexió de g. germa.jss@gmail.com 1

2 Determie el valor de a para que sea cotiua e x = -1 la fució f(x) = f(x) es cotiua e x = -1 si f(-1) = f(-1) = lim f(x) = x 1 + lim f(x) = x 1 lim x 1 ax x - 1 = lim f(x) = x 1 a(-1) (-1) - 1 = a; lim f(x). x 1 + ax x - 1 si x x - 3x + 6x - 2 si x > -1 lim (x 3-3x 2 +6x-2) = ((-1) 3-3(-1) 2 +6(-1)-2) = = -12, como tiee que ser iguales teemos x 1 + a = -12, de dode a = -24 para que f sea cotiua e x = -1. Calcule los coeficietes b y c de la fució g(x) = x 3 + bx 2 + cx - 2 para que (1,2) sea u puto de iflexió de g. Sabemos los putos de iflexió aula la seguda derivada, como (1,2) es u puto de iflexió de g, teemos que g (1) = 0. Como (1,2) es u puto de g, teemos que g (1) = 2. g(x) = x 3 + bx 2 + cx - 2; g (x) = 3x 2 + 2bx + c; g (x) = 6x + 2b. De g (1) = 0, teemos 6(1) + 2b = 0, de dode b = -3. De g(1) = 2, teemos (1) 3-3(1) 2 + c(1) - 2 = 2, de dode c = 6. EJERCICIO 3 (A) Lucía quiere ir de vacacioes a la costa. E su guía de viajes lee que e esa época del año llueve dos días a la semaa y que hace vieto el 25% de los días que llueve y el 40% de los días que o llueve. Elegido u día de esa época, (1 puto) Cuál es la probabilidad de que haga vieto? (0 75 putos) Si hace vieto, cuál es la probabilidad de que esté lloviedo? c) (0 25 putos) Cuál es la probabilidad de que o llueva y o haga vieto? Lucía quiere ir de vacacioes a la costa. E su guía de viajes lee que e esa época del año llueve dos días a la semaa y que hace vieto el 25% de los días que llueve y el 40% de los días que o llueve. Elegido u día de esa época, Llamemos L, L C, V y V C, a los sucesos siguietes, llueve, "o llueve", "hace vieto" y "o hace vieto", respectivamete. Datos del problema p(l) = 2/7; p(v/l) = 25% = 0 25; p(v/l C ) = 40% = 0 4,. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Cuál es la probabilidad de que haga vieto? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que haga vieto es: p(hace vieto) = p(v) = p(l).p(v/l) + p(l C ).p(v/l C ) = (2/7) (0 25) + (5/7) (0 4) = 5/ Si hace vieto, cuál es la probabilidad de que esté lloviedo? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( L V ) p( L).p(V/L ) (2/7) (0'25) p(l/v) = = = = (1/5) = 0 2. p(v) p(v) (5/14) germa.jss@gmail.com 2

3 c) Cuál es la probabilidad de que o llueva y o haga vieto? p(o llueve y o hace vieto) = p(l C V C ) = p(l C ).p(v C /L C ) = (5/7) (0 6) = 3/ EJERCICIO 4 (A) (1 5 putos) E ua muestra aleatoria de 100 botellas de agua mieral se ecotró u coteido medio de 48 cl. Sabiedo que la variable coteido de agua de ua botella sigue ua ley Normal co desviació típica 5 cl, determie u itervalo de cofiaza para la media poblacioal, co u ivel de cofiaza del 95%. (1 puto) Qué tamaño muestral míimo debería cosiderase para estimar esta media co el mismo ivel de cofiaza y u error iferior a 0 5 cl? σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = (a, dode z1-α y zα = - z1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z1-α) = 1 - α σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α = (b -, para el itervalo de la z 1- α. σ media, de dode el tamaño míimo de la muestra es = E. E ua muestra aleatoria de 100 botellas de agua mieral se ecotró u coteido medio de 48 cl. Sabiedo que la variable coteido de agua de ua botella sigue ua ley Normal co desviació típica 5 cl, determie u itervalo de cofiaza para la media poblacioal, co u ivel de cofiaza del 95%. Datos del problema: = 100; x = 48; σ = 5; ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dode α = 0 05, co la cual α = 0 05 = De p(z z1-α) = 1 - α = = 0 975, mirado e las tablas de la N(0,1)v vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z1-α = 1 96, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C.(µ) = x z 1 α,x + z1 α = ' 96,48 + 1' = (47 02,48 98) Qué tamaño muestral míimo debería cosiderase para estimar esta media co el mismo ivel de cofiaza y u error iferior a 0 5 cl? 2 Datos del problema: Error = E = 0 5, σ = 5, igual ivel de cofiaza = 95% os da z1-α = σ z 1- α. σ De error = E z1 α = 0 5, teemos que el tamaño míimo de la muestra es E 1' 96 5 = 0'5 2 = , es decir el tamaño míimo es de = 385 botellas de agua. 2 = germa.jss@gmail.com 3

4 OPCION B EJERCICIO 1 (B) Se dispoe de 160 m de tejido de paa y 240 m de tejido de laa para hacer trajes y abrigos. Se usa 1 m de paa y 2 m de laa para cada traje, y 2 m de paa y 2 m de laa para cada abrigo. Cada traje se vede a 250 y cada abrigo a 350. (2 putos) Cuátos trajes y abrigos se debe cofeccioar para obteer el máximo beeficio? A cuáto asciede dicho beeficio? (0 5 putos) Puede hacerse 60 trajes y 50 abrigos co esas catidades de tejido? E caso afirmativo, obtedría el máximo beeficio al vederlo todo? Se dispoe de 160 m de tejido de paa y 240 m de tejido de laa para hacer trajes y abrigos. Se usa 1 m de paa y 2 m de laa para cada traje, y 2 m de paa y 2 m de laa para cada abrigo. Cada traje se vede a 250 y cada abrigo a 350. (2 putos) Cuátos trajes y abrigos se debe cofeccioar para obteer el máximo beeficio? A cuáto asciede dicho beeficio? (0 5 putos) Puede hacerse 60 trajes y 50 abrigos co esas catidades de tejido? E caso afirmativo, obtedría el máximo beeficio al vederlo todo? Es u problema de programació lieal. Sea x = º de trajes. Sea y = º de abrigos. Para determiar las iecuacioes y la fució objetivo F(x,y), poemos u cuadro de doble etrada que os lo simplificará. Tejido de Tejido de Precios paa laa Trajes (x) Abrigos (y) Total 160 m 240 m Teiedo e cueta lo aterior teemos las siguietes iecuacioes, y la fució beeficio: De Se usa 1 m de paa para cada traje y 2 m de paa para cada abrigo 1x + 2y 160. De Se usa 2 m de laa para cada traje y 2 m de laa para cada abrigo 2x + 2y 240. De se fabrica algú traje y algú abrigo x 0, y 0. De Cuátos trajes y abrigos se debe cofeccioar para obteer el máximo beeficio? A cuáto asciede dicho beeficio?, teemos la fució a optimizar es B(x,y) = F(x,y) = 250x + 350y. Resumiedo: Fució a optimizar es F(x,y) = 250x + 350y. Restriccioes: x + 2y 160; 2x + 2y 240; x 0; y 0 Las desigualdades x + 2y 160; 2x + 2y 240; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, x + 2y = 160; 2x + 2y = 240; x = 0; y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x + 80; y = -x + 120; x = 0; y = 0 Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0, teemos el vértice A(0,0). De y = 0 e y = -x+120, teemos 0 = - x+120 x = 120, y el vértice es B(120,0). De y = -x+120 e y = -x+80, teemos -x+120 = -x x+240 = -x = x, co lo cual y = -(80)+120 = 40, y el vértice es C(80,40). De x = 0 e y = -x + 80, teemos y = 80, y el vértice es D(0,80). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A(0,0), B(120,0), C(80,40) y D(0,80). Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, que es el polígoo covexo limitado germa.jss@gmail.com 4

5 por los vértices A, B, C, y D de los cortes de dichas rectas, cuyos lados so los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Veamos la solució óptima de la fució F(x,y) = 250x + 350y e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(120,0), C(80,40) y D(0,80). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 250(0) + 350(0) = 0; F(120,0) = 250(120) + 350(0) = 30000; F(80,40) = 250(80) + 350(40) = 34000; F(0,50) = 250(0) + 350(50) = Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(80,40), por tato el máximo beeficio es de 34000, y se obtiee fabricado 80 trajes y 40 abrigos. Puede hacerse 60 trajes y 50 abrigos co esas catidades de tejido? E caso afirmativo, obtedría el máximo beeficio al vederlo todo? Hay que ver si el puto (x,y) = (60,50) está e el recito limitado por las iecuacioes, verificado todas las iecuacioes. x + 2y 160 (60) + 2(50) , lo cual es cierto. 2x + 2y 240 2(60) + 2(50) , lo cual es cierto. x , lo cual es cierto y , lo cual es cierto Por tato si se puede fabricar 60 trajes y 50 abrigos co esas catidades de tejido. E este caso el beeficio es F(60,50) = 250(60) + 350(50) = 32500, que o es el máximo beeficio que era EJERCICIO 2 (B) Sea la fució f(x) = x 3-9x (1 7 putos) Halle las coordeadas de sus extremos relativos y de su puto de iflexió, si existe. (0 8 putos) Determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x = 1. Sea la fució f(x) = x 3-9x Halle las coordeadas de sus extremos relativos y de su puto de iflexió, si existe. Sabemos que los extremos relativos aula la 1ª derivada y o aula la 2ª derivada, e cocreto: Si f ( = 0 y f ( > 0, x = a es u míimo relativo de f. Si f ( = 0 y f ( < 0, x = a es u máximo relativo de f. Sabemos que los putos de iflexió aula la 2ª derivada y o aula la 3ª derivada, e cocreto: Si f ( = 0 y f ( 0, x = b es u puto de iflexió de f. f(x) = x 3-9x 2 + 8; f (x) = 3x 2-18x; f (x) = 6x 18; f (x) = -18. De f (x) = 0, teemos 3x 2 18x = 0 = x(3x 18), de dode x = 0 y x = 6, que so los posibles extremos germa.jss@gmail.com 5

6 relativos de f. Como f (0) = 0 y f (0) = 6(0) 18 = -18 < 0, f(x) tiee u máximo relativo e x = 0, que vale f(0) = 8. Como f (6) = 0 y f (6) = 6(6) 18 = 18 > 0, f(x) tiee u míimo relativo e x = 6, que vale f(6) = De f (x) = 0, teemos 6x 18 = 0, de dode x = 3 que será el posible puto de iflexió de f. Como f (3) = 0 y f (3) = 18 = -18 0, x = 3 es puto de iflexió de f que vale f(3) = -46. Determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x = 1. La recta tagete e x = 1 es y - f(1) = f (1) (x - 1) f(x) = x 3-9x f(1) = (1) 3 9(1) = 9-9 = 0. f (x) = 3x 2-18x f (x) = 3(1) 2 18(1) = -15. La recta tagete e x = 1 es y - (0) = -15 (x - 1), de dode y = -15x EJERCICIO 3 (B) E ua ura A hay 8 bolas verdes y 6 rojas. E otra ura B hay 4 bolas verdes, 5 rojas y 1 egra. Se laza u dado, si sale u úmero meor que 3 se saca ua bola de la ura A, y si sale mayor o igual que 3 se saca ua bola de la ura B. (0 5 putos) Calcule la probabilidad de que la bola sea verde si ha salido u 4. (1 puto) Calcule la probabilidad de que la bola elegida sea roja. c) (1 puto) Sabiedo que ha salido ua bola verde, cuál es la probabilidad de que sea de la ura A? E ua ura A hay 8 bolas verdes y 6 rojas. E otra ura B hay 4 bolas verdes, 5 rojas y 1 egra. Se laza u dado, si sale u úmero meor que 3 se saca ua bola de la ura A, y si sale mayor o igual que 3 se saca ua bola de la ura B. Llamemos A, B, V, R y N, a los sucesos siguietes, elegir la ura A, "elegir la ura B", "sacar bola verde", "sacar bola roja" y "sacar bola egra", respectivamete. Datos del problema p(a) = 2/6 = 1/3; p(b) = 4/6 = 2/3; p(v/a) = 8/14 = 4/7 ; p(v/b) = 4/10 = 2/5, p(r/a) = 6/14 = 3/7; p(r/b) = 5/10 = 1; p(n/b) = 1/10... Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). Calcule la probabilidad de que la bola sea verde si ha salido u 4. Me pide p(verde e la ura B) = p(v/b) = 4/10 = 2/5. Calcule la probabilidad de que la bola elegida sea roja. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de sacar bola roja es: p(r) = p(a).p(r/a) + p(b).p(r/b) = (1/3) (3/7) + (2/3) (1) = 101 = c) Sabiedo que ha salido ua bola verde, cuál es la probabilidad de que sea de la ura A? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de sacar bola verde es: p(v) = p(a).p(v/a) + p(b).p(v/b) = (1/3) (4/7) + (2/3) (2/5) = 101 = 16/35. Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( A V ) p( A).p(V/A ) (1/3) (4/7) p(a/v) = = = = (5/12) = p(v) p(v) (16/35) EJERCICIO 4 (B) germa.jss@gmail.com 6

7 La cocetració de arséico e los moluscos de ua zoa costera sigue ua ley Normal de desviació típica 6 mg/kg. Para verificar la calidad de estos moluscos se toma ua muestra aleatoria de tamaño 36 para cotrastar si la media poblacioal o supera el límite máximo de 80 mg/kg permitido por la ormativa saitaria (Ho : µ 80). (1 5 putos) Determie la regió crítica de este cotraste a u ivel de sigificació del 5%. (1 puto) Debe rechazarse esta hipótesis ula, al ivel del 5%, si e esa muestra de 36 moluscos se ecuetra ua cocetració media de arséico de 82 mg/kg? La cocetració de arséico e los moluscos de ua zoa costera sigue ua ley Normal de desviació típica 6 mg/kg. Para verificar la calidad de estos moluscos se toma ua muestra aleatoria de tamaño 36 para cotrastar si la media poblacioal o supera el límite máximo de 80 mg/kg permitido por la ormativa saitaria (Ho : µ 80). y Determie la regió crítica de este cotraste a u ivel de sigificació del 5%. Debe rechazarse esta hipótesis ula, al ivel del 5%, si e esa muestra de 36 moluscos se ecuetra ua cocetració media de arséico de 82 mg/kg? Del problema teemos desviació típica poblacioal = σ = 6, tamaño de la muestra = 36, media = µ = x = = 82, luego X N(µ,6), y la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: σ 5 N( x, ) = N(82, 36 ) Trabajaremos co lo ormal N(0,1), tipificada de la ormal muestral. Tambié os dice que H0 : µ0 80, co u ivel de sigificació de α = 5% = Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H0 : µ0 80 (la media poblacioal o supera el límite máximo de 80 mg/kg) y H1 : µ0 > 80, lo cual os idica la direcció del cotraste, es u cotraste uilateral por la derecha, por tato la regió crítica está a la derecha del puto crítico z 1-α. Etapa 2: Calculamos el puto o putos críticos que os dará las regioes críticas y de aceptació. Para el ivel de sigificació es α = 0 05, luego teemos u ivel de cofiaza o probabilidad = 1 - α = De p(z z1-α) = 1 - α = = 0 95, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que dicha probabilidad o viee e la tabla, y los valores más próximos es y que correspode a 1 64 y 1 65, por tato el valor crítico es la media de ambos z 1-α = ( ) = 1 645, que separa las zoas de aceptació y rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. X - µ 0 E este caso el estadístico de prueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(0,1), y σ / x - µ el valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = = = 2. σ / 6/ 36 Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = 2 está a la derecha del puto crítico z 1-α = 1 645, estamos e la zoa de rechazo o regió crítica. germa.jss@gmail.com 7

8 Resumiedo, rechazamos la hipótesis ula H 0: µ 0 80 para u ivel de sigificació α = 0 05 y aceptamos la hipótesis alterativa H 1 : µ 0 > 80 Co lo cual, co u ivel de sigificació del 5%, afirmamos que la media poblacioal supera el límite máximo de 80 mg/kg permitido por la ormativa saitaria. germa.jss@gmail.com 8