Taller Matemático. Lógica. Cristóbal Pareja Flores antares.sip.ucm.es/cpareja Facultad de Estadística Universidad Complutense de Madrid

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1 Taller Matemático Lógica Cristóbal Pareja Flores antares.sip.ucm.es/cpareja Facultad de Estadística Universidad Complutense de Madrid

2 1. Lógica 14 amigos aportan la misma cantidad de dinero, sobre un fondo de 15, para comprar un balón de bolsitas de azúcar y cincuenta y 15 gramos pesan en total 71 gramos. 14 x + 15 = x = 4 Todos los hombres son mortales; Sócrates es un hombre.... Todos los perros tienen pelo; Milú es un perro. p(x) q(x) p(x) q(x) x = 4 x = 4 gramos Sócrates es mortal Milú tiene pelo Lógica: sistema formal que estudia la deducción válida, la validez de los razonamientos, la inferencia; esto es, el proceso de obtener conclusiones a partir de premisas. 2 / 10

3 1. Lógica Oraciones declarativas Todos los números impares son primos Morir es dormir, y tal vez soñar Todos los días de invierno llueve = 5 Proposiciones o enunciados Hoy llueve 15 es un número primo 2 no es un número par pero es primo Predicados Llueve(d) EsPar(n) y EsPrimo(n) No Llueve(d) Oraciones no declarativas Feliz cumpleaños Lázaro, levántate y anda Dime la fecha en que naciste Ay! O es de día o de noche De noche, no se ve el sol Si se ve el sol, es de día Si está nublado, no se ve el sol Representación abreviada P(x) P(x) Q(x) P(d) 3 / 10

4 2. Lógica proposicional Proposiciones o fórmulas proposicionales son fórmula basada en afirmaciones atómicas, que pueden ser verdaderas o falsas. Átomos: P, Q, R, Representan afirmaciones. Pueden ser verdaderas (T) o falsas (F): P Llueve Q El suelo se moja R 3 > 5 Operaciones lógicas principales (conectores, conectivas): Conjunción lógica: y and & && P Q Llueve y el suelo se moja Disyunción lógica: o or P Q Llueve o el suelo se moja Negación lógica: no! P No llueve Ejercicios Interpreta las siguientes proposiciones con el significado atribuido y calcúlalas P Q P Q P Q P Q P R P P P P P (Q R) Inventa algunas fórmulas, y di cuáles de ellas son equivalentes a las anteriores. 4 / 10

5 3. Operaciones lógicas básicas Negación lógica: no! P No llueve P será verdadero cuando P sea falso P será falso cuando P sea verdadero Conjunción lógica: y and & && P Q Llueve y el suelo se moja Disyunción lógica: o or P Q Llueve o el suelo se moja (Ojo: no excluyente) Ejercicios Completa: P Q será verdadero cuando P Q será falso cuando P Q P Q P Q T T T T T F F T F T F T F F F F Calcula: T (F T) T (F T) (F T) (P P) (P P) 5 / 10 P T P P Q será verdadero cuando P Q será falso cuando F F T

6 4. Combinación de operaciones lógicas Efecto de la negación sobre la conjunción: (De Morgan 1) P Q = P Q P Q será verdadero cuando y será falso cuando (completa) Efecto de la negación sobre la disyunción: (De Morgan 2) P Q = P Q P Q será verdadero cuando y será falso cuando (completa) Ejercicios Forma la tabla de verdad siguiente: Usa las tablas de verdad para simplificar: P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q T T T T T F F T F T F T F F F F P P P P P P P P P P Q P P Q Muestra que P Q R = (P Q) (P R). Muestra que P Q R = (P Q) (P R). 6 / 10

7 5. Otras operaciones lógicas O bien (o exclusivo): xor P Q P Q Esta tarde iremos al cine o bien al teatro (pero no a ambos). es cierto justamente cuando lo es P o Q, pero no ambos. Implicación: P Q P Q Ejercicios Si te portas bien, (entonces) iremos hoy al teatro. es cierto justamente cuando lo es Q, independientemente de P, y también cuando ambos, P o Q, son falsos. Forma tablas de verdad para las proposiciones siguientes: P P P P P Q P P P P Q P P Q y simplifica lo que puedas. P Q P Q P Q T T T T T F F F F T F T F F F T 7 / 10

8 6. Algunas reglas de deducción (1/2) Modus ponens p q p q Cuando llueve, soy feliz. Llueve. Soy feliz. p : llueve q : soy feliz Silogismo disyuntivo p q p q Modus tollens p q q p Iremos al cine o al teatro. No iremos al cine. Si tengo dinero, hago lo que quiero No hago lo que quiero. p :... q :... p :... q :... r :... 8 / 10

9 6. Algunas reglas de deducción (2/2) Definición del condicional Ejercicio p q 9 / 10 def Demuestra la equivalencia siguiente, p q q p p q mediante aplicación de reglas conocidas y mediante tablas de verdad. Transitividad del condicional Ejercicio Demuestra la transitividad del condicional mediante tablas de verdad. Ejercicio p q q r r Si tengo dinero, hago lo que quiero Si hago lo que quiero, soy feliz. Demuestra el modus tollens mediante tablas de verdad. p :... q :... r :...

10 7. Deducción de una fórmula lógica Simplificando: P Q R? T T T F T T F F T F T T T F F F F T T F F T F F F F T T F F F T (p q r) ( p q r) ( p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r) q ( (p r) ( p r) ( p r) ) q ( r ( p r) ) q ( r p) 10 / 10

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