CONTENIDO MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE DISPERSIÓN OTRAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS INTRODUCCIÓN

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1 INTRODUCCIÓN CONTENIDO DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA CONCEPTOS BÁSICOS POBLACIÓN VARIABLE: Cualtatvas o Categórcas y Cuattatvas (Dscretas y Cotuas) MUESTRA TAMAÑO MUESTRAL DATO DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA FRECUENCIA ACUMULADA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS AGRUPADAS MÉTODOS GRÁFICOS DIAGRAMA DE BARRAS DIAGRAMA DE SECTORES O DE PASTEL HISTOGRAMA MEDIDAS DESCRIPTIVAS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL MEDIA ARITMÉTICA MEDIANA MODA MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRALES PERCENTILES CUARTILES MEDIDAS DE DISPERSIÓN MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS VARIANZA DESVIACIÓN TÍPICA RECORRIDO INTERCUARTÍLICO MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVAS COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON OTRAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS TIPIFICACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

2 INTRODUCCION 1.1 DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA: es u cojuto de teorías y métodos desarrollados para la recoplacó, represetacó y el uso de datos sobre ua o varas característcas de terés co el objeto de tomar decsoes, extraer coclusoes o empreder accoes. 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: es la parte de la estadístca que se ecarga de orgazar, resumr y descrbr las característcas prcpales de los datos. Geeralmete se resume e forma tabular, grafca o umérca. El aálss se lmta e s msmo a los datos coleccoados y o se realza fereca algua o geeralzacoes acerca de la totaldad de dode provee esas observacoes. 1.3 ESTADÍSTICA INFERENCIAL: Es la que trata de estmar las característcas de ua poblacó a través del estudo de ua muestra. 1.4 CONCEPTOS BÁSICOS: POBLACIÓN: Es ua coleccó fta o fta de elemetos co característcas comues. Ejemplo: las persoas, lbros de ua bbloteca, etc. Alguas poblacoes so ftas y puede coocerse; otras puede ser ftas y abstractas: Ej. el cojuto de hoteles, establecmetos comercales de ua cudad o el cojuto de todas las pezas fabrcadas por ua máqua. VARIABLE: Toda característca que puede tomar dferetes valores (Ej. úmero de hjos, preco de la habtacó) Las varables se suele deotar por letras mayúsculas:, Y,... Tpos de varables: 1. Cualtatvas o Categórcas: aquellas que o so medbles, es decr, aquellas cuyas observacoes o tee carácter umérco. Expresa cualdades o categorías. Ej. estado cvl, sexo o profesó.(a las varables cualtatvas també se les llama atrbutos).. Cuattatvas: aquellas que so medbles, es decr sus observacoes tee carácter umérco. Estas se dvde a su vez e: Dscretas: toma valores eteros e u cojuto umerable. Ej. Número de habtacoes de u hotel, úmero de hjos de ua famla, úmero de obreros de ua fábrca. Cotuas: toma valores e u cojuto o umerable (los úmeros reales o u tervalo). Ej. peso, estatura. MUESTRA: Es u subcojuto de la poblacó. Se deota por. DATO: cada valor observado de la varable. S represetamos por a la varable, represetaremos por x cada dato dferete observado e la muestra, el subídce dca el lugar que ocupa s los ordeamos de meor a mayor. Prof. Smó Cabrera pága de 3

3 MEDICIÓN: La asgacó o magtud que se aplca a las categorías o clases de acuerdo a certas reglas o símbolos. Ua medcó se puede defr como la maera de obteer símbolos para represetar propedades de persoas, objetos, evetos o estados cuyos símbolos tee la msma relacó relevate etre s gual a las etdades que represeta. ESCALAS DE MEDICIÓN DE LAS VARIABLES Las escalas de medcó so el cojuto de los posbles valores que determada varable puede tomar. Por tal razó, los tpos de escala de medcó está ítmamete lgadas co los tpos de varables a estudar. Las magtudes de las observacoes cuattatvas se cooce como los valores que ua varable puede asumr. Depededo de la medcó y de la eseca de las varables, se obtee dversas clases de datos que orga dferetes escalas. Resulta mprescdble coocer el tpo de escala que represeta los datos, debdo a que, de su eseca depede las téccas estadístcas que se deberá aplcar para su aálss. Al elaborar estadístcas co datos y su característca es ecesaro cotarlas, jerarquzarlas y medrlas, es por ello que, se utlza las escalas de medcó como el proceso de asgar úmeros o establecer ua correspodeca uo a uo etre objetvos y observacoes. Las escalas de medcó sé clasfca de la sguete forma: Escala Nomal, Escala Ordal, Escala de Itervalos y Escalas de razó o Proporcó. Escala de Medcó Nomal: Cosste e clasfcar a los elemetos, persoas, amales, etc, asgádoles símbolos o ombres. Los datos que se obtee para ua varable cualtatva se mde e ua escala omal y smplemete se clasfca e dsttas categorías que o mplca orde. La escala omal es la forma más débl de medcó porque o se puede aplcar operacoes artmétcas tetar el coteo de las dferecas detro de ua categoría determada o especfcar cualquer orde o dreccó a lo largo de las dversas categorías. Propedades de la Escala Nomal 1. No tervee medcoes, escala, e vez de esto solo hay cuetas o coteos.. No exste u orde específco para esta categoría. 3. No preseta el cero. 4. No se basa e dfereca cuattatva. Ejemplos: Ua muestra de persoas puede clasfcarse co base e la relgó profesada: (1) Crstaos; () Judíos; (3) Musulmaes; (4) Otros; y (5) S Creeca algua. O be podría clasfcarse segú el sexo, el color de los ojos, algú partdo polítco, etcétera. Otros ejemplos de escala omal puede ser el umero de placa de los vehículos, los úmeros de los teléfoos de ua cudad, la Cedula de Idetdad de los habtates de u país, etcétera. Prof. Smó Cabrera pága 3 de 3

4 El tpo de operacó estadístca más utlzada e la escala omal es el coteo de las frecuecas (dstrbucoes de frecuecas), co que se preseta las característcas e las udades de las respectvas subclases. Estas frecuecas puede ser presetadas co úmeros absolutos, porcetajes y proporcoes. Además, puede calcularse la moda, razoes, tasas de cremeto, y el coefcete de cotgeca. Tpos de gráfcos: Dagrama de Barras. Escala de Medcó Ordal: Establece ua relacó de orde etre los elemetos (persoas, amales, objetos, etc.), e atecó a ua característca, s que refleje dstaca etre ellos. La dfereca etre dos úmeros ordales o tee sgfcado cuattatvo, sólo expresa, por ejemplo, que ua stuacó es mejor que otra, pero o dce cuato es uo que el otro. La escala ordal sgue sedo ua forma de medcó débl porque o se puede hacer plateametos umércos sgfcatvos co respecto a las dferecas etre las categorías. Es decr, la ordeacó establece sólo cuál categoría es mayor, mejor o preferda ; y o se habla cuáto es mayor, mejor o más preferda. Esta escala se emplea, cuado u estudo esta basado e certas ormas que se asga a u cojuto de objetos, persoas o característcas o a u cojuto de categorías ordeadas. Las categorías de la escala se ordea dé acuerdo co la catdad de rasgos o característcas que represeta cada ua de ellas ya que la escala ordal dstgue los dferetes valores de la varable, ubcado las característcas e orde, desde la más alta hasta la más baja. La dfereca fudametal etre ua escala omal y ua ordal es que e la ordal rge o sólo la relacó de gualdad, de detdad, so també la relacó de mayor que. Propedades de la Escala Ordal 1. Las observacoes o elemetos se les ordea e ragos o categorías dferetes.. Las categorías so mayores o meores que otras categorías, es decr, que exste ua clasfcacó de mayor a meor (jerarquía). 3. Las categorías so mutuamete excluyetes y exhaustvas. 4. No preseta el cero. Ejemplos: Calfcacoes de Estudates de Estadístca e el Semestre Calfcacoes Nº de calfcacoes Excelete 3 Sobresalete 6 Dstgudo 10 Bueo 38 Satsfactoro 5 Defcete 50 Muy Defcete 0 Prof. Smó Cabrera pága 4 de 3

5 Se puede clasfcar los habtates de ua cudad de acuerdo a su stuacó ecoómca, a los estudates tomado e cueta a su redmeto académco, el orde jerárquco de los mltares (Subteete, Teete, Captá, Mayor, Teete Coroel, Coroel, Geeral) y la clasfcacó académca de los profesores uverstaros (Istructor, Asstete, Agregado, Asocado, Ttular), etcétera. Auque la escala ordal resulta e certa forma más precsa que la omal, o alcaza el grado de precsó deseado e ua vestgacó. El tpo de operacó estadístca más utlzada e la escala ordal es la medaa, percetles, cuartles, mímo y máxmo. Tpos de gráfcos: Dagrama de barras (co u orde) y gráfcos de caja. Escala de Medcó de Itervalos: Tee todas las característcas de ua escala ordal, además permte coocer la dstaca etre dos úmeros cualquera. Esta escala se caracterza por teer ua udad de medda y u orge (cero) arbtraro. La escala de tervalos a dfereca de la omal y ordal, es ua escala efectvamete cuattatvamete. Ua escala de tervalo es ua escala ordeada e la cual la dfereca etre las medcoes es ua catdad sgfcatva. La escala de tervalos posee además, de las característcas de la escala omal y ordal, la propedad de que la dstaca etre dos valores es de ua magtud coocda, lo que le permte a esta escala u mayor grado de perfeccó, ya que proporcoa úmeros que mafesta dferecas palpables etre dvduos, objetos o cosas. La razó etre dos tervalos es sempre depedete del puto cero y de la udad que se emplee e la medcó. E el caso de las escalas de tervalos las udades de medcó so guales. Propedades de la escala de Itervalo: 1. Esta escala mplca la cuatfcacó de los datos. E estás meddas se utlza udades costates de medcó (capacdad, peso, Cétmos, grados Fahrehet o cetígrados) los cuales produce tervalos guales etre putos de la escala. 3. Proporcoa úmeros que mafesta dferecas palpables etre dvduos, objetos o cosas. 4. E esta escala de tervalos el puto cero (0) y la udad de medda es arbtraro. 5. Se puede aplcar todas las meddas estadístcas más coocdas, co excepcó del coefcete de varacó. 6. So mutuamete exclusvas y exhaustvas. Prof. Smó Cabrera pága 5 de 3

6 Ejemplos: Calfcacó de ua prueba de Estadístca realzada e la UCV Putuacó Nº de Estudates Meos de Otro ejemplo de esta escala lo costtuye las escalas utlzadas para medr temperatura, be sea e grados Cetígrados o Fahrehet. E estas escalas la dfereca etre 80º y 85º es gual a la que exste etre 90º y 95º o etre dos putos cualesquera de la escala. Las estadístcas apropadas para esta escala so: meda, desvacó estádar, rago, varaza, coefcete de varacó, asmetría y kurtoss. Tpos de gráfcos: hstograma, polígoo de frecuecas y gráfco de tallos y hojas. Escala de Medcó de Razó o Proporcó: Esta costtuye el vel más alto de medcó, posee todas las característcas de las escalas omales, ordales y de tervalos; además tee u cero absoluto o atural que tee sgfcado físco. S e ella la medcó es cero, sgfca auseca o exsteca total de la propedad cosderada. So posbles todas las operacoes artmétcas. Los úmeros dca los valores cocretos de la propedad que sé esta mdedo; peso, estatura, gresos moetaros y gastos drectos, so ejemplos de meddas co ua escala de razó. Cuado se emplea este tpo de escala, los úmeros dca razoes o cocetes etre certas magtudes de los objetos, y los datos obtedos co tales escalas puede ser sometdos a los tratametos más elaborados. Propedades de la escala a razó: 1. La dstaca etre los úmeros es u tamaño coocdo y costate.. Los datos tee u puto cero sgfcatvo. 3. Puede utlzarse cualquer prueba de tpo estadístco, cluyedo el coefcete de varacó. 4. Permte hacer comparacoes etre los úmeros verdaderos co u cero artmétco sedo arbtraro úcamete la udad de medda. Ejemplo de escala a razó: Computadores veddos e el últmo trmestres del año 006 Meses Nº de computadores Octubre Novembre Dcembre Prof. Smó Cabrera pága 6 de 3

7 Otros ejemplos de esta escala so: la medcó del peso o altura de u grupo de persoas, el greso famlar, la tesdad de correte eléctrca de u cable, la edad de u grupo de persoas, etc. Geeralmete, se supoe que los datos que se obtee para ua varable cuattatva se mde e escalas de tervalo o de razó. Estas escalas costtuye los veles más elevados de medcó. So formas más fuertes de medcó que la escala omal y ordal, porque permte compreder o sólo cuál de los valores de u estudo es mayor o meor, so por cuátas udades de medda. Las escalas de razó so meddas de Logtud, peso, capacdad, etc., los úmeros refleja razoes etre partculardades y los datos obtedos segú tales escalas puede ser sometdas a cualquer tratameto estadístco Prof. Smó Cabrera pága 7 de 3

8 ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS La dstrbucó de frecueca es ua dsposcó tabular de datos estadístcos, ordeados ascedete o descedetemete, de acuerdo a la frecueca de cada dato. Las frecuecas puede ser:.1 FRECUENCIA ABSOLUTA (f ): Es el úmero de veces que se repte u determado valor de la varable (x ). Se desga por f. PROPIEDAD: la suma de todas las frecuecas absolutas es gual al total de observacoes ().. FRECUENCIA ACUMULADA (F ): Las frecuecas acumuladas de ua dstrbucó de frecuecas so aquellas que se obtee de las sumas sucesvas de las f que tegra cada ua de las flas de ua dstrbucó de frecueca, esto se logra cuado la acumulacó de las frecuecas se realza tomado e cueta la prmera fla hasta alcazar la ultma. Las frecuecas acumuladas se desga co las letras F. Se calcula: F j 1 f F j + 1 f PROPIEDAD: La últma frecueca acumulada absoluta es gual al total de observacoes..3 FRECUENCIA RELATIVA (h ): Es aquella que resulta de dvdr cada ua de las frecuecas absolutas etre el úmero total de datos. Las frecuecas relatvas se desga co las letras h. f Se calcula, h PROPIEDAD: la suma de todas las frecuecas relatvas es gual a la udad...4 FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (H ): Es aquella que resulta de dvdr cada ua de las frecuecas acumuladas etre F úmero total de datos. Se desga co las letras H. Se calcula; H PROPIEDAD: La últma frecueca relatva acumulada es la udad. Prof. Smó Cabrera pága 8 de 3

9 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS Es la represetacó estructurada e forma de tabla de toda la formacó que se ha recogdo sobre la varable que se estuda, es decr, es ua tabla que preseta de maera ordeada los dsttos valores de ua varable y sus correspodetes frecuecas. Su forma mas comú es la sguete: Varable (x ) f F h H x 1 f 1 F 1 h 1 f 1 / h 1 x f f 1 +f h f / h 1 +h x f f 1 +f + + f h f / h 1 +h + + h Σf Σh 1 Ejemplo 1: El gobero desea averguar s el úmero medo de hjos por famla ha desceddo respecto de la década ateror. Para ello ha ecuestado a 50 famlas respecto al úmero de hjos, y ha obtedo los sguetes datos: Se pde: a. Costrur la tabla de frecuecas absolutas b. Cuál es el úmero de famlas que tee como máxmo dos hjos? c. Cuátas famlas tee más de 1 hjo pero como máxmo 3? d. Qué porcetaje de famlas tee más de 3 hjos? Solucó: a. Para costrur la tabla de frecuecas hay que teer e cueta que la varable e estudo es el úmero de hjos (dscreta), que toma los valores exstetes etre 0 y 6 hjos y las frecuecas so el cojuto de famlas, de esta forma teemos: x f F h H b. E la columa de las f : ó e la columa de las F : F 7 c. E la columa de las f : ó e la columa de las F : d. E la columa de las h j : , que supoe u 16% ó e la columa de las H : , 16% Prof. Smó Cabrera pága 9 de 3

10 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS AGRUPADAS Es aquella dstrbucó e la que la dsposcó tabular de los datos estadístcos se ecuetra ordeados e clases y co la frecueca e cada clase; es decr, los datos orgales de varos valores adyacetes del cojuto se comba para formar u tervalo de clase. No exste ormas establecdas para determar cuádo es apropado utlzar datos agrupados o datos o agrupados; s embargo, se sugere que cuado el úmero total de datos (N) es gual o superor 50 y además el rago o recorrdo de la sere de datos es mayor de 0, etoces, se utlzará la dstrbucó de frecueca para datos agrupados, també se utlzará este tpo de dstrbucó cuado se requera elaborar gráfcos leales como el hstograma, el polígoo de frecueca o la ojva. La razó fudametal para utlzar la dstrbucó de frecueca de clases es proporcoar mejor comucacó acerca del patró establecdo e los datos y facltar la mapulacó de los msmos. Los datos se agrupa e clases co el f de stetzar, resumr, codesar o hacer que la formacó obteda de ua vestgacó sea maejable co mayor facldad. Al agrupar los datos e ua dstrbucó de frecueca de clase se perde parte de la formacó. La reduccó o agrupameto a que so sometdos los datos de ua sere de valores cuado exste muchos valores dferetes, orga los deomados errores de agrupameto; s embargo, estos errores so e geeral muy pequeños, razó por la cual la dstrbucó de frecueca de clase tee ua valdez estadístca práctca. Para agrupar los datos e tervalos de clase se debe segur las sguetes reglas geerales: El umero de tervalos de clase se toma etre 5 y 15 depededo de los datos. Cada observacó debe estar cluda e ua y solo ua clase o tervalo. El valor mas pequeño y mas grade debe etrar e la clasfcacó. No debe exstr brechas o vacíos etre clases sucesvas. Los tervalos o se debe sobrepoer. E la medda de lo posble, se debe utlzar la msma ampltud para todos los tervalos. COMPONENTES DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE CLASES 1.- Clase o Itervalo de clase.- So dvsoes o categorías e las cuales se agrupa u cojuto de datos ordeados co característcas comues. Para orgazar los valores de la sere de datos hay que determar u úmero de clases que sea coveete. E otras palabras, que ese úmero de tervalos o orge u úmero pequeño de clases muy grade. U úmero de clases pequeño puede ocultar la aturaleza atural de los datos y u úmero muy alto puede provocar demasados detalles como para observar algua formacó de gra utldad e la vestgacó. A las froteras del tervalo, la llamaremos, límtes feror y superor de la clase y los deotaremos por L -1, L. Prof. Smó Cabrera pága 10 de 3

11 .- Puto medo o Marca de clase ( & ).- Es la semsuma del límte feror y L + L 1 superor de ua clase, tal como lo dca la sguete formula:. 3.- Ampltud, Logtud o Tamaño del Itervalo.- Los tervalos de clases puede ser de tres tpos: Clases de gual tamaño, clases de tamaños desguales y clases abertas. E térmos geerales, las clases de gual tamaño so los mas utlzados y recomedados para los cálculos estadístcos. Se desga por las letras Ic. Nota: Al úmero de observacoes de ua clase se le llama frecueca de clase, s dvdmos esta frecueca por el úmero total de observacoes, se llama frecueca relatva de clase, y del msmo modo que lo hacíamos para datos s agrupar defríamos H, y F. PROCEDIMIENTO PARA CONSTRUIR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADA EN INTERVALOS 1. Determar el máxmo y mímo etre los valores que teemos e la muestra y calcular el recorrdo de la varable o rago, es decr, R max - m. Calcular el úmero de clases a utlzar. Exste dversos crteros para determar el umero de clases, ate tata dversdad de crteros, se ha cosderado que lo mas mportate es dar u acho o logtud de clases a todos los tervalos de tal maera que respoda a la aturaleza de los datos y al objetvo que se persgue y esto se logra co la practca. Exste ua forma para determar el umero de clases y la msma puede lustrarse e el sguete cuadro: Numero de Datos Numero de Itervalos De 4 a De 8 a De 11 a 14 Cuado se tega dudas e determar el umero de tervalos de clases, es de gra utldad utlzar el método sugerdo por Hebert A. Sturges, el cual establece que: K 1+3,3 log() umero de tervalos. E este curso se utlzará este método sempre y cuado el msmo sea aplcable. 3. Determamos la ampltud o tamaño de los tervalos través de la R sguete formula: Ic N º de t ervalos acho o tamaño del tervalo. Prof. Smó Cabrera pága 11 de 3

12 Ejemplo U uevo hotel va abrr sus puertas e ua certa cudad. Ates de decdr el preco de sus habtacoes, el gerete vestga los precos por habtacó de 40 hoteles de la msma categoría de esta cudad. Los datos obtedos (e mles de pesetas) fuero: Procedmeto: 1.- El meor valor es 3.3 y el mayor 6.1, la dfereca es.8 y por tato R.8..- K 1+3,3 log(40) úmeros de tervalos 3.- Ic.8 / tamaño de los tervalos Así pues la tabla sería: CLASES f F C h H [3.3, 3.8) [3.8, 4.3) [4.3, 4.8) [4.8, 5.3) [5.3, 5.8) [5.8, 6.3) Cuatos hoteles tee u preco etre 3.3 y 3.8? 3 Cuatos hoteles tee u preco superor a 4.8? 15 Que porcetaje de hoteles cuesta como mucho 4.3? 7.5 % Prof. Smó Cabrera pága 1 de 3

13 MÉTODOS GRÁFICOS La forma de la dstrbucó de frecuecas se percbe más rápdamete s la represetamos gráfcamete. Se resume la formacó de la muestra de forma grafca co fes clarfcadores o para efatzar y descubrr determadas característcas que de otra maera sera muy dfícl de aprecar. U grafco sempre es mas medato de compreder que u cojuto de datos estadístcos. Las represetacoes grafcas varía segú el tpo de varable: a. Gráfcos para varables Dscretas y Categórcas DIAGRAMA DE BARRAS: Es la represetacó gráfca usual para varables cuattatvas dscretas o para varables cualtatvas. E el eje de ordeadas represetamos los dferetes valores de la varable (x ). Sobre cada valor levatamos ua barra de altura gual a la frecueca (absoluta o relatva). Ejemplo: er trm. do trm. 3er trm. 4to trm. DIAGRAMA DE SECTORES O DE PASTEL: Es el más usual e varables cualtatvas. Se represeta medate círculos. A cada valor de la varable se le asoca el sector crcular proporcoal a su frecueca. Ejemplo: Los sguetes datos correspode a ua ecuesta referete a eleccoes locales de u partdo polítco: x a favor 50% e cotra 40% abstecó 10% f Para costrur el dagrama de sectores partmos del hecho de que u crculo ecerra u total de 360 grados. Luego, medate ua regla de tres smple, repartmos los 360 grados e dsttos sectores, de acuerdo co cada porcetaje; teemos así que para determar el sector correspodete al 50%, resolvemos la ecuacó: 50* Prof. Smó Cabrera pága 13 de 3

14 Esto es, el 50% correspode a u sector crcular de medda 180 grados. A cotuacó, co ayuda de u trasportador, señalaremos el sector crcular de medda 180 grados. Igualmete, para el 40% se tee 144 grados y para el 10% se tee 36 grados. La sguete fgura muestra la represetacó grafca. Eleccoes Locales a favor e cotra absteco b. Gráfcos para varables cotuas HISTOGRAMA: Es la represetacó gráfca de las frecuecas agrupadas de ua varable cotua sobre tervalos. A dfereca de los dagramas de barras, los hstogramas dbuja rectágulos udos etre s, lo que sgfca que exste cotudad e la varable cuyos valores se represeta e el eje horzotal que se haya dvddo e tervalos de gual ampltud. Las áreas de los rectágulos so proporcoales a las frecuecas que represeta. Ejemplo: Hstograma correspodete a las horas extras laboradas por u grupo de obreros petroleros. 5 1 Frecuecas Clases Prof. Smó Cabrera pága 14 de 3

15 El hstograma o dagrama de barras proporcoa mucha formacó respecto a la estructura de los datos, os permte evdecar fudametalmete tres característcas: 1. Forma de la dstrbucó.. Acumulacó o tedeca poscoal (valor cetral de la dstrbucó). 3. Dspersó o varabldad. Cuado os ecotramos e dstrbucoes dode los tervalos o tee la msma ampltud, las barras del hstograma tee que teer u área proporcoal a la frecueca que queramos represetar EJERCICIOS 1.- Los sguetes datos represeta los gresos daros (e mles) de 0 obreros de certa compañía. 16, 16, 17, 18, 18, 19, 19, 19, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1,,, 3, 3, 4. a. Costruya ua tabla de frecuecas agrupadas utlzado la formula de Sturges. b. Costruya u hstograma de frecuecas. Comete. c. Cuátos obreros tee u greso daro meor de? d. Qué porcetaje de obreros tee u greso daro etre 16 y 19?.- Los sguetes datos correspode al tempo que ha ecestado 30 cletes de u baco para llevar a cabo ua trasaccó bacara: a. Costruya ua tabla de frecuecas agrupadas utlzado la formula de Sturges. b. Costruya u hstograma de frecuecas. Comete. 3.- Co el f de asgar vátcos, la compañía El Refacameto obtuvo uas estadístcas sobre le umero de klómetros recorrdos por sus vededores. A cotuacó se muestra los resultados. Costruya ua tabla de dstrbucó de frecuecas agrupadas a cco tervalos Prof. Smó Cabrera pága 15 de 3

16 MEDIDAS DE POSICIÓN INTRODUCCIÓN Después que los datos ha sdo reudos y tabulados, se ca el aálss co el f de calcular u úmero úco, que represete o resuma todos los datos. Las meddas de poscó forma parte del cojuto de meddas descrptvas umércas, las cuales se clasfca e parámetros cuado se calcula a partr de la poblacó total- y los estadígrafos - cuado se calcula a partr de los datos de ua muestra. Ua medda de poscó es u úmero que se toma como oretacó para referros a u cojuto de datos. Uo de los problemas fudametales que preseta u aálss estadístco, es el de buscar el valor más represetatvo de ua sere de valores. El prmer paso que hay que realzar para que se eteda ua larga sere de valores u observacoes, es el de resumr los datos e ua dstrbucó de frecueca; esto o es sufcete para fes practco, puesto que a meudo es ecesaro ua sola medda descrptva, y e especal cuado se requere comparar dos o más sere estadístcas. Es ecesaro cotuar el proceso de reduccó hasta susttur todos los valores observados por uo solo que sea represetatvo, de tal forma que permta ua terpretacó global del feómeo e estudo; para que ese valor sea represetatvo debe reflejar la tedeca de los datos dvduales de la sere de valores. U valor o dato de la sere co estas característcas recbe el ombre de promedo, meda o medda de poscó, esto es debdo a su ubcacó e la zoa cetral de la dstrbucó. Las meddas de poscó so de gra mportaca e el resume estadístco, ya que represeta u gra úmero de valores dvduales por uo solo. El valor más represetatvo de u cojuto de datos por lo geeral o es el valor más pequeño el más grade, es u úmero cuyo valor se ecuetra e u puto termedo de la sere de datos. Por lo tato u promedo es co frecueca u valor referdo que represetará la medda de poscó de la sere de valores. Las meddas de poscó se emplea co frecueca como mecasmo para resumr u gra úmero de datos o catdades co la faldad de obteer u valor que sea represetatvo de la sere. Las Prcpales Meddas de Poscó so: La Meda Artmétca, Medaa, Moda, los cuartles, Decles y Percetles. Todas ellas a su maera trata de dar ua dea del umero alrededor del cual se cetra a todo el cojuto de datos. CARACTERÍSTICAS DE LAS MEDIDAS DE POSICIÓN Debe ser defdas rgurosamete y o ser susceptbles de dversas terpretacoes. Debe depeder de todas las observacoes de la sere, de lo cotraro o sera ua característca de la dstrbucó. No debe teer u carácter matemátco demasado abstracto. Debe ser susceptbles de cálculo algebraco, rápdo y fácl. Prof. Smó Cabrera pága 16 de 3

17 MEDIA ARITMÉTICA La meda artmétca ( ) o smplemete la meda es la medda de poscó de más mportaca y utlzacó e las aplcacoes estadístcas por su fácl calculo e terpretacó. Se trata del valor medo de todos los valores que toma la varable estadístca de ua sere de datos. La meda es el valor más represetatvo de la sere de valores, es el puto de equlbro, el cetro de gravedad de la sere de datos. Por lo geeral se le desga co. La meda artmétca de ua sere de valores de ua varable 1,, 3 ; 4,..., es el cocete de dvdr la sumatora de todos los valores que toma la varable, etre 1 el úmero total de ellos. La formula se puede expresar así:. Desvacoes o desvíos.- So dferecas algebracas etre cada valor de la sere o cada puto medo y la meda artmétca de dcha sere, o u valor cualquera tomado arbtraramete. Los desvíos o desvacó se desga co la letra d. Dado ua sere de valores 1,, 3,..., se llama desvío a la dfereca etre u valor cualquera de la sere y u valor dcado k de esa msma sere. S el valor dcado k de la sere correspode precsamete a la meda artmétca de esos valores dados, se dce etoces que los desvíos so co respecto a la meda artmétca. E símbolo: d ( ). PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA 1. La suma de las desvacoes co respecto a la meda artmétca es gual a cero. d 0.. La suma de las desvacoes al cuadrado de los dversos valores co respecto a la meda artmétca es meor que la suma de las desvacoes al cuadrado de los dversos valores co respecto a cualquer puto K, que o sea la meda artmétca. < ( K ). ( ) 3. La meda artmétca total o cojuta de dos o más sere de datos, se puede calcular e fucó de las medas artmétcas parcales y del úmero de datos de cada ua de ellas, medate la sguete formula: t Dode: N k k k k, N k, e esta 1,, 3 y k es el úmero de datos de cada sere. Además, 1..,..,.,.. 3.,., y.. k.,.. so las medas de cada ua de las seres. Prof. Smó Cabrera pága 17 de 3

18 4. La meda del producto de ua costate por ua varable, es gual al producto de la costate por la meda de la varable. K K K. 5. La meda de la suma de ua costate más ua varable, es gual a la meda de la ( + K ) K varable más la costate. ( + K ) + + K.., de la msma forma se cumple esta propedad para la resta. CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LA MEDIA ARITMÉTICA El valor de la meda depede de cada ua de las meddas que forma la sere de datos, y se halla afectada excesvamete por los valores extremos de la sere de datos. La meda se calcula co facldad y es úca para cada caso y permte represetar medate u solo valor la poscó de la sere de valores. La meda es ua medda de poscó que se calcula co todos los datos de la sere de valores y es susceptble de operacoes algebracas. CÁLCULO DE LA MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS Para calcular la meda de datos o agrupados e clases se aplca la sguete formula:. E dode es el úmero total de datos y so los valores de la varable. Ejemplo: Calcule la meda artmétca de los sguetes valores: { 5, 7, 8, 9, 11, 14} Por lo tato la meda es 9. CÁLCULO DE LA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS Cuado se trabaja co la dstrbucó de frecueca agrupada, se parte del supuesto de que todos los datos compreddos e u tervalo de clase se dstrbuye uformemete a lo largo de este, etoces se puede tomar la marca de clase o puto medo ( & ) del tervalo como adecuada represetacó de los valores que coforma el mecoado tervalo. Para calcular la meda e estas codcoes se puede utlzar tres métodos: El método drecto o largo y dos métodos abrevados. E este curso utlzaremos el prmer método. Prof. Smó Cabrera pága 18 de 3

19 MÉTODO DIRECTO Este método se le cooce també como método largo; el msmo resulta demasado egorroso cuado las magtudes de los putos medos o de las frecuecas de clase so muy grades, debdo a que los cálculos so demasados extesos. Los pasos a segur para calcular la meda co este método so los sguetes: 1. Se agrupa los datos e clases y se lleva a ua columa, se calcula los putos medos de cada clase y se coloca e sus respectvas columas, se determa las frecuecas de cada clase y se ubca e sus respectvas columas.. Se multplca los putos medos de cada clase por sus respectvas frecuecas, luego se obtee la sumatora de las frecuecas (f ) multplcadas por el puto medo ( & ) así: f &. 3. Luego se calcula la meda artmétca aplcado la formula: f & f &... Dode.. es gual al úmero total de datos. f Ejemplo: Calcule la meda de la sguete dstrbucó de frecueca correspodete al peso e Kg. de u grupo de obreros. Realce los cálculos respectvos para completar el sguete cuadro. Solucó: CLASES f f 360 PESOS & Nº DE OBREROS f & f & 380 Aplcado la formula se tee: 380 f & N 360 Iterpretacó: El peso promedo del grupo de 360 obreros es de Kg. Prof. Smó Cabrera pága 19 de 3

20 LA MEDIANA La medaa es el valor que dvde e dos partes guales, al cojuto de observacoes ordeadas respecto de sus magtudes, de tal maera que el umero de datos por ecma de la medaa sea gual al umero de datos por debajo de la msma. Se desga por las letras Me. Tal como sucede co la meda, el método de determacó depede de s los datos so agrupados o o. CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS (Dscretos) Para ecotrar la medaa e ua sere de datos o agrupados, lo prmero que se hace es ordear los datos e ua forma crecete o decrecete y luego se ubca la poscó que esta ocupa e esa sere de datos; para ello hay que determar s la sere de datos es par o mpar. S el úmero es mpar, etoces la poscó de la medaa se determa por la formula: Me, luego el úmero que se obtee dca el lugar o poscó que + 1 ( ) ocupa la medaa e la sere de valores, luego la medaa será el úmero que ocupe el lugar de lo poscó ecotrada. ( / ) + ( + / ) S es par, se aplca la formula Me El resultado obtedo, es la poscó que ocupara la medaa, pero e este caso se ubca la poscó de la medaa por ambos extremos de la sere de valores y los dos valores que se obtega se le saca la meda y esta será la medaa buscada, por lo tato la medaa, e este caso, es u úmero que o se ecuetra detro de la sere de datos dados. Ejemplos: Sea los sguetes datos, 5, 1, 7, 8, 10, 6, y 9, los años de servcos de u grupo de trabajadores. Determe la medaa. Lo prmero que se hace es ordear los datos e forma crecete o decrecete; Los datos ordeados quedara así: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1. Luego, como se trata de u umero mpar de datos (7), se aplca la formula Me + +, para ubcar la poscó de la medaa. Esto dca que la 1 ( ) 7 1 ( ) (4) medaa ocupa la poscó 4, que e la sere de valores esa poscó correspode al úmero 8, etoces, Me 8. Tomemos ahora los datos: 5, 5, 7, 9, 11, 1, 15, 18. Como se trata de u umero par de datos ( 8), la medaa esta dada por: Me ( / ) + ( + / ) (4) + (5) Prof. Smó Cabrera pága 0 de 3

21 Cuado los valores de u cojuto de datos se agrupa e ua dstrbucó de frecueca de clase, cada valor perde su detdad, por tal motvo la medaa obteda de ua dstrbucó de frecueca de datos puede o ser la msma que la medaa obteda de los datos s arreglar e clases, pero el resultado será ua aproxmacó. Cuado se trata de datos agrupados, la medaa se obtee medate el método de terpolacó. La terpolacó parte del supuesto de que los datos de cada tervalo de la dstrbucó está gualmete dstrbudos. PASOS PARA DETERMINAR LA MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS 1. Se elabora la tabla de frecueca de datos co sus dferetes tervalos de clases, se ubca las frecuecas f y se calcula las frecuecas acumuladas F de esa dstrbucó.. Se determa la ubcacó o poscó de la medaa e el tervalo de la dstrbucó de frecueca, medate la formula. El resultado obtedo determará la clase dode se ecuetra ubcada la medaa, lo cual se cosegurá e la clase dode la frecueca acumulada F sea gual o superor a F( 1) este resultado. Luego se aplca la formula: Me L + Ic f Dode, poscó de la medaa L es el lmte feror de la clase dode se ecuetra ubcada la medaa. F (-1) es el valor de la frecueca acumulada ateror a la clase medaa. f es el valor de la frecueca de clase dode se ecuetra la medaa. Ic es el tamaño del tervalo de clase. es el úmero total de datos de la dstrbucó e estudo. Ejemplo: Dada la sguete dstrbucó de frecueca referda a las horas extras laboradas por u grupo de obreros. Calcule la medaa. Realce los cálculos respectvos para completar el sguete cuadro. N de horas Extras Obreros Prof. Smó Cabrera pága 1 de 3

22 Solucó: Cuadro co las frecuecas acumuladas: N de horas Extras Obreros F N 13 Clase Medaa 13 66, luego se busca e la frecueca acumulada F, u valor que sea gual o superor a 66, este se ecuetra e la clase 70-74, la cual llamaremos clase medaa. Por lo tato el lmte feror de esa clase es 70 L. La frecueca absoluta de esa clase es 50 f, F(-1) 44 y el Ic 5. Aplcado la formula se tee: Me Luego la medaa de esa dstrbucó es 7.. Esto quere decr que u 50 % de los obreros trabajaro horas extras por debajo de 7. horas y el otro 50 % trabajaro horas extras por ecma de 7. horas. CARACTERÍSTICAS DE LA MEDIANA La medaa o es afectada por los valores extremos de ua sere de valores, puesto que la msma o es calculada co todos los valores de la sere. La medaa o esta defda algebracamete, ya que para su cálculo o tervee todos los valores de la sere. La medaa e alguos casos o se puede calcular exactamete y esto ocurre cuado e ua sere de valores para datos o agrupados el úmero de datos es par, e este caso la medaa se calcula aproxmadamete. La medaa se puede calcular e aquellas dstrbucoes de frecueca de clases aberta, sempre y cuado los elemetos cetrales pueda ser determados. La suma de los valores absolutos de las desvacoes de los datos dvduales co respecto a la medaa sempre es míma. (propedad) Prof. Smó Cabrera pága de 3

23 LA MODA La moda es la medda de poscó que dca la magtud del valor que se preseta co más frecueca e ua sere de datos; es pues, el valor de la varable que más se repte e u cojuto de datos. De las meddas de poscó la moda es la que se determa co mayor facldad, ya que se puede obteer por ua smple observacó de los datos e estudo, puesto que es el dato que se observa co mayor frecueca. Se desga co las letras Mo. E las represetacoes gráfcas la moda es el puto más alto de la gráfca. La obtecó de la moda para datos agrupados o es u valor exacto, ya que varía co las dferetes formas de agrupar ua dstrbucó de frecueca. E alguas dstrbucoes de frecuecas o sere de datos o agrupados o agrupados se puede presetar dos o más modas, e estos casos se habla de sere de datos bmodales o multmodales respectvamete. Estos tpos de dstrbucoes o seres de valores se debe a la falta de homogeedad de los datos. Cuado ua sere de valores es smétrca, la meda, la medaa y el modo cocde, y s el grado de asmetría de la sere es moderada, la medaa estará stuada etre la meda y el modo co ua separacó de u terco etre ambas. Tomado e cueta esta relacó, cuado se tega dos de esta meddas se puede determar la tercera; s embargo es coveete utlzar esta relacó para calcular solamete la moda ya que para calcular la meda y la medaa exste formulas matemátcas que da resultados más exactos; la formula matemátca para calcular la moda por medo de la Mo 3 Me. relacó ates mecoada es: ( ) Cuado los datos se ecuetra o agrupados la determacó de la moda es seclla y exacta; pero para calcularla e datos agrupados exste varos métodos; cada uo de los cuales puede dar u valor dferete de la moda: E este curso se dará el método de la terpolacó por cosderarse uo de los más precsos e el cálculo de esta. Este método puede expresarse medate la sguete formula: Δ1 Mo L +. Ic Δ1 + Δ Dode, L es el lmte feror de la clase modal. Δ 1 es la dfereca etre la frecueca absoluta de la clase modal y la frecueca de la clase ateror a la modal. Δ es la dfereca etre la frecueca absoluta de la clase modal y la frecueca de la clase sguete a la modal. Ic es el tamaño del tervalo de clase. Prof. Smó Cabrera pága 3 de 3

24 Ejemplo: Dada la sguete dstrbucó de frecueca correspodete al peso e Kg. de u grupo de trabajadores de ua empresa, calcule la moda. Peso (Kg) Trabajadores TOTAL Clase modal La clase que preseta mayor frecueca absoluta es , etoces esta sera la clase modal, dode L 80 Δ ; Δ 16 14; Ic 10 Aplcado la formula se tee: Δ Mo L + Mo Δ1 + Δ Este resultado de la moda se terpreta así: La mayoría de los trabajadores tee u peso aproxmadamete de 8. Kg. CARACTERÍSTICAS DE LA MODA El valor de la moda puede ser afectado grademete por el método de elaboracó de los tervalos de clases. El valor de la moda o se halla afectado por la magtud de los valores extremos de ua sere de valores, como sucede e la meda artmétca. La moda se puede obteer e ua forma aproxmada muy fáclmete, puesto que la obtecó exacta es algo complcado. La moda tee poca utldad e ua dstrbucó de frecueca que o posea sufcetes datos y que o ofrezca ua marcada tedeca cetral. No es susceptble de operacoes algebracas posterores. La moda se utlza cuado se trabaja co escalas omales auque se puede utlzar co las otras escalas. La moda es útl cuado se esta teresado e teer ua dea aproxmada de la mayor cocetracó de ua sere de datos. Prof. Smó Cabrera pága 4 de 3

25 OTRAS MEDIDAS POSICIÓNALES Cuado se estudo la medaa se pudo detectar que esta dvde la sere de valores e dos partes guales, ua geeralzacó de esta medda da orge a uas uevas meddas de poscó deomadas: Cuartles; Decles y Percetles. Estas uevas meddas de poscó surge por la ecesdad de requerr de otras meddas que exprese dferetes stuacoes de orde, aparte de las señaladas por la medaa. Por lo tato es teresate ubcar otras meddas que fraccoe ua sere de datos e dferetes partes. Es bueo destacar que los cuartles, los Decles y los Percetles so uas varates de la medaa: De la msma forma los percetles abarca tato a los cuartles como a los Decles. LOS CUARTILES.- So meddas poscóales que dvde la dstrbucó de frecueca e cuatro partes guales. Se desga por el símbolo Q c e la que c correspode a los valores 1, y 3. El Q 1 es el valor debajo del cual queda el 5 % de los datos; Q 3 deja el 75 % de los datos y Q dvde la dstrbucó de frecueca e dos partes guales, u 50 % que esta por debajo de los valores de Q y otro 50 % que esta por ecma del valor de Q. El Q es gual a la medaa. CÁLCULO DE LOS CUARTILES.- Para datos o agrupados o tee gua utldad practca calcular los cuartles. Para el cálculo de los cuartles e datos agrupados e ua dstrbucó de frecueca exste u método por aálss gráfco y otro por determacó umérca, por fes práctcos e esta cátedra se utlzara él últmo método. Para calcular los cuartles por el método umérco se procede de la sguete maera: 1. Se localza la poscó del cuartl solctado aplcado la formula de poscó: c Q c, e dode c vee a ser el úmero del cuartl solctado, correspode al 4 úmero total de datos de la dstrbucó y 4 correspode al úmero de cuartles que preseta ua dstrbucó de frecueca. c. Se determa la poscó que ocupa el cuartl medate la formula: Q c, el 4 resultado obtedo determara la clase dode se ecuetra ubcado el cuartl, lo cual se cosegurá e la clase dode la frecueca acumulada F que sea gual o superor a este resultado. Luego se aplca la formula: Q c c F( L + 4 f 1) Ic. Dode, c Poscó que ocupa el cuartl e la dstrbucó de frecueca. 4 c correspode al úmero del cuartl solctado: 1, 3. L Lmte real feror de la clase dode se ecuetra ubcado el cuartl. F ( -1) Frecueca acumulada ateror a la clase dode se ecuetra el cuartl. f Frecueca absoluta de clase dode se ecuetra el cuartl. Prof. Smó Cabrera pága 5 de 3

26 LOS PERCENTILES So meddas posesóales que dvde la dstrbucó de frecueca e 100 partes guales. Co estos se puede calcular cualquer porcetaje de datos de la dstrbucó de frecueca. Los percetles so las meddas más utlzadas para propóstos de ubcacó de valor de ua sere de datos ubcados e ua dstrbucó de frecueca. El úmero de percetles de ua dstrbucó de frecueca es de 99. El percetl 50 es gual a la medaa y al cuartl, es decr: Me Q P 50% por ecma y 50 % por debajo de los datos de la dstrbucó. 50 El cálculo de los percetles es smlar al cálculo de los cuartles co ua varate e la poscó de ubcacó de estos, que vee expresada por la sguete formula: p p F( 1) P P. Co esta poscó se aplca la formula: Pp L Ic. 100 f Ejemplo: Dada la sguete dstrbucó correspodete al salaro semaal e dólares de u grupo de obreros de ua empresa petrolera trasacoal. Calcule: a) Q 1, b) Q, c) Compare los resultados co la medaa, d) P 5, f) P 50, g) P 70 SALARIO EN $ Obreros F Clase cuartl Clase medaa Clase percetl a) Para calcular Q 1 se determa prmero la poscó así: Q 1 x Q Co ese valor de la poscó ecotrado se busca e las frecuecas acumuladas para ver cual de esas es mayor o gual a ese valor. Observado las frecuecas acumuladas se puede detectar que la poscó se ecuetra e la clase , por lo tato el L 300, f 90, y la F(-1) 85 y Ic 100, aplcado la formula se tee: Q Este valor de Q 1 dca que el 5 % de los obreros e estudo, devega u salaro semaal por debajo de $ y el 75 % restate gaa u salaro por ecma de $. Prof. Smó Cabrera pága 6 de 3

27 b) Para calcular Q Me se determa prmero la poscó de este así. 463 Q x 31.5, ahora se ubca esta poscó e las frecuecas acumuladas 4 para determar la poscó de Q, se puede observar e la dstrbucó que esta poscó esta ubcada e la clase , etoces, L 400, f 10, F(-1) 175 y Ic 100, aplcado la formula se tee: Q Este resultado de Q establece que el 50 % de los obreros de este estudo, devega u salaro semaal por debajo de $ y el otro 50 % devega u sueldo por ecma de $. Calcule la medaa y compárela co este resultado. c) Calcular, Q P 50, además P 5 Q 1, la comprobacó de estos resultados se le deja como practca al estudate. g) Para calcular P 70 lo prmero que se hace es determar la poscó, 70x463 P Ahora se ubca este resultado e la columa de frecuecas 100 acumuladas para ecotrar la poscó de P 70 e la dstrbucó de frecueca. Como se puede observar e la tabla de dstrbucó de frecueca, P 70 se ecuetra ubcado e la clase , etoces, L 500, f 70, F(-1) 95 y Ic 100, aplcado la formula se tee: P Esto dca que el 70 % de los obreros devega u sueldo semaal que esta por debajo de $ y que el 30% de los restates obreros, gaa u salaro por ecma de $. Prof. Smó Cabrera pága 7 de 3

28 MEDIDAS DE DISPERSION INTRODUCCIÓN La utlzacó de ua medda de poscó escogda para represetar a los datos o dca otras característcas que el cojuto de observacoes que posee. No todas las observacoes so guales a la medda de poscó tomada o seleccoada; e geeral los datos dfere uos de otros, por lo tato se hace ecesaro ecotrar certos ídces o meddas que dque la varabldad o dspersó del cojuto de observacoes que se estuda. Ua medda de varabldad es u umero que os dca el grado de dspersó e u cojuto de datos. S el valor es pequeño (respecto de la udad de medda) etoces hay ua gra uformdad etre los datos (homogéea). Por el cotraro, u gra valor os dca poca uformdad (heterogéea). Cuado es cero quere decr que todos los datos so guales. Las meddas de dspersó se clasfca e dos grupos: Meddas de Dspersó Absoluta. So aquellas que vee expresadas e las msmas udades orgales que dca la sere de datos. Etre las meddas de dspersó absoluta se ecuetra: el rago, el rago tercuartlco, la desvacó meda, la varaza y la desvacó típca. Meddas de Dspersó Relatvas. Estas meddas vee expresadas e valores abstractos o porcetajes; su prcpal fucó es la de determar etre varas dstrbucoes la de mayor o meor dspersó. La medda de dspersó relatva de mayor mportaca es el coefcete de varacó. RANGO O RECORRIDO. Es la medda de dspersó mas seclla y se defe como la dfereca etre el valor mas alto meos el valor mas pequeño y se desga por R. Es decr, R max - m para datos o agrupados. S los datos está agrupados e K clases el rago será la dfereca etre el lmte superor de la K-esma clase meos el lmte feror de la prmera clase. El rago os dará ua prmera dea sobre las dspersó de los datos ya que s su valor es pequeño os dcará ua gra cocetracó de los datos, y s por el cotraro su valor es grade os puede dcar ua gra varabldad o dspersó de los datos. Prof. Smó Cabrera pága 8 de 3

29 RANGOS ESPECIALES El rago os da ua dea de la dspersó total de las observacoes, por lo tato puede estar afectada por valores extremos dado e cosecueca ua dea de alta dspersó. Por tal motvo, se ha defdo otros ragos que trata de subsaar este problema. RANGO ÍNTERCUARTILICO. Se defe como la dfereca etre el cuartl tres(q3) y el cuartl uo(q1) de ua dstrbucó de frecueca y se expresa así: RI Q3 Q1. RANGO SEMI-ÍNTERCUARTILICA. Es la dfereca etre el Q3 y el Q1 dvddo etre dos: Q 3 Q RSI 1. S los valores de la RI o RSI so pequeños dca ua alta cocetracó de los datos de la dstrbucó e los valores cetrales de la sere de datos. Estas meddas se utlza para comparar los grados de varacó de los valores cetrales e dferetes dstrbucoes de frecuecas. Los msmos o so afectados por los valores extremos, o se adapta a la mapulacó algebraca, por tal motvo so de poco utldad. DESVIACIÓN MEDIA. La desvacó meda de u cojuto de observacoes x 1, x, x 3,...x, es el promedo de los valores absolutos de las desvacoes (d) co respecto a la meda artmétca o la medaa. S se deoma como DM a la desvacó meda, etoces su formula matemátca será la sguete: DM N N 1 1 N N d Esta formula es para datos o agrupados. Se toma el valor absoluto e la ecuacó, debdo a que la prmera propedad de la meda artmétca establece que los desvíos (d) de ua sere co respecto a la meda artmétca sempre so guales a cero, es decr: d 0. Cuado los datos está e ua dstrbucó de clases o agrupados se aplca la sguete formula: DM & 1 1 f N f d E esta formula & es el puto medo de cada clase y f es la frecueca de cada clase. La Desvacó Meda a pesar de que para su cálculo se toma todas las observacoes de la sere, por el motvo de o tomar e cueta los sgos de las desvacoes (d), es de dfícl maejo algebraco. Su utlzacó e estadístca es muy reducda o cas ula, su mportaca es meramete hstórca, ya que de esta formula es la que da orge a la desvacó típca o estádar. Prof. Smó Cabrera pága 9 de 3

30 VARIANZA Ua maera de resolver el problema de los sgos de las desvacoes respecto de la meda artmétca es elevádolos al cuadrado y luego sumar todos los resultados obtedos. Esta suma se puede cosderar como ua medda de la dspersó total de los valores. Aquellos que esté mas alejados de la meda artmétca tedrá u aporte mayor a esta suma de cuadrados. Su mayor utldad se preseta e la estadístca ductva y se puede terpretar como ua medda de varacó promedo (o el promedo de la suma de los cuadrados). Se obtee dvdedo la varacó total etre el umero de udades o meddas. Se desga por la letra S su formula de calculo es al sguete: S ( )..,. para datos o agrupados S f ( ) f para datos agrupados DESVIACIÓN TIPICA Como la varaza es el promedo de los desvíos respecto de la meda elevados al cuadrado, vee etoces expresada e udades cuadradas. Para obteer ua medda de dspersó e las udades orgales se le extrae la raíz cuadrada (postva) a la varaza, obteedo así otra medda de dspersó deomada desvacó típca o estádar, la cual se desgara por S y será gual a : S ( & ) Para datos o agrupados S ( & ) f f Para datos agrupados INTERPRETACIÓN DE LA DESVIACIÓN TÍPICA La desvacó típca como medda absoluta de dspersó, es la que mejor os proporcoa la varacó de los datos co respecto a la meda artmétca, su valor se ecuetra e relacó drecta co la dspersó de los datos, a mayor dspersó de ellos, mayor desvacó típca, y a meor dspersó, meor desvacó típca. Su mayor utldad se preseta e ua dstrbucó ormal, ya que e dcha dstrbucó e el tervalo determado por ± σ se ecuetra el 68. 7% de los datos de la sere; e el tervalo determado por la ± σ se ecuetra el 95,45% de los datos y etre la ± 3σ se ecuetra la cas totaldad de los datos, es decr, el 99,73% de los datos; además, exste ua regla geeral de gra utldad para la comprobacó de los cálculos que dce: ua osclacó gual a ses veces la σ, cetrada e la meda comprede aproxmadamete el 99% de los datos. Prof. Smó Cabrera pága 30 de 3