4. SEGUNDO MÓDULO. 4.1 Resumen de Datos

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1 4. SEGUNDO MÓDULO 4. Resume de Datos E estadístca descrptva, a partr de u cojuto de datos, se busca ecotrar resumes secllos, que permta vsualzar las característcas esecales de éstos. E ua expereca, u dato por s sólo, es formatvo del resultado de u esayo e partcular, pero para obteer u patró de esta expereca, es ecesaro cotar co u cojuto de datos, que por sí solos o etrega formacó, de ahí la ecesdad de ecotrar resúmees apropados que muestre, de exstr, patroes e los datos. E el resume de datos se sgue dos efoques: el prmero, más oretado al aálss exploratoro de datos, co u cojuto de téccas ecamadas a la vsualzacó de los datos medate tablas o gráfcos que permta realzar u dagóstco de ellos; el segudo desarrolla u cojuto de dcadores descrptvos de dversas característcas mportates de los datos, cuyo f es complemetar el dagóstco de éstos. 4. Orgazacó de Datos La orgazacó de datos trata de acomodar éstos, para que pueda revelar sus característcas formatvas fudametales y de esta maera smplfcar los aálss para la obtecó de coclusoes. Los datos o orgazados també se deoma datos o agrupados, del msmo modo, los datos ya orgazados so llamados datos agrupados. Ua maera de acomodar los datos es costrur u arreglo ordeado; esto es, orgazado los datos co u orde atural- cuado la escala de medcó lo permte. S el úmero de datos es grade, el arreglo puede ser dfícl de maejar y poco útl e cuato a la formacó que pueda etregar; por eso a meudo se utlza tablas de frecueca como ua prmera aproxmacó geeral a la orgazacó de datos. El uso de frecueca es más atural e datos cualtatvos o dscretos, pues e estos casos es secllo cotar el úmero de veces que aparece u msmo dato e la poblacó (muestra) de éstos, e este caso se habla de tablas de frecueca o agrupadas. S embargo, cuado se trabaja co datos cuattatvos e escala cotua, es muy posble que exsta u cojuto de úmeros dsttos lo sufcetemete grade, como para hacer mpractcable lo ateror, e este últmo caso se procede a crear agrupacoes coveetes para los datos observados, este caso se habla de tablas de frecueca agrupadas.

2 4.. Tablas de Frecueca E las tablas de frecuecas cada categoría tee ua frecueca observada, este cálculo es sempre posble e datos cualtatvos, s embargo, s la catdad de categorías dsttas es grade, deja de ser u resume adecuado para los datos. Las respuestas observadas e la poblacó (muestra), se deomara clases, las cuales se smbolza por: C, C,, C k, dode k es la catdad de categorías (respuestas) dsttas. E la costruccó de tablas se utlza las clases juto co dos frecuecas asocadas a éstas, estas so: Frecueca Absoluta: Se llama frecueca absoluta de la clase C, al úmero de elemetos e la poblacó (muestra) que perteece a la clase C. Este úmero lo deotaremos por y cumple la propedad: k = = Frecueca Relatva: Se llama frecueca relatva de la clase C, a la catdad de elemetos e la poblacó (muestra) que perteece a la clase C, relatvo al total de elemetos e la poblacó (muestra).este úmero lo deotaremos por f y cumple la propedad: k k f = f = = = =.0 APLICACIÓN 4. Supoga el caso que es de terés determar la frecueca de las facturas que llega a la empresa producto de trabajos realzado por los cotratstas de obras meores, dode los datos so: Ems Ltda. Baker & Joes Smth y CIA. Ems Ltda. Ems Ltda. Baker & Joes Baker & Joes Smth y CIA. Brow e Hjos Ems Ltda. Smth y CIA. Baker & Joes Ems Ltda. Baker & Joes Smth y CIA. Brow e Hjos Baker & Joes Smth y CIA. Brow e Hjos Baker & Joes Baker & Joes Ems Ltda. Baker & Joes Ems Ltda. Smth y CIA. Ems Ltda. Baker & Joes Ems Ltda. Brow e Hjos Ems Ltda. Ems Ltda. Ems Ltda. Tabla 4. Frecuecas de facturas etregadas por empresas cotratstas Empresa Frecuecas Absoluta Frecuecas Relatva Baker & Joes 0 3,5% Brow e Hjos 4,50% Ems Ltda. 37,50% Smth y CIA. 6 8,75%

3 Estas dos frecuecas asocadas a la orgazacó (resume) de datos so comues e depedetes de la escala de medcó, es lo mímo que ua tabla de frecueca puede teer, s embargo, cuado se trabaja co datos e escala al meos ordal, se puede agregar otras frecuecas adcoales, a saber: Frecueca Absoluta Acumulada: Se llama frecueca absoluta acumulada hasta la clase C, al úmero total de elemetos e la poblacó (muestra) que perteece a las clases C, C,, C. Este úmero lo deotaremos por N y cumple la propedad: N = = j, j =,,,, =,,, k j = N k = k = Frecueca Relatva Acumulada: Se llama frecueca relatva acumulada hasta la clase C, a la catdad de elemetos e la poblacó (muestra) que perteece a las clases C, C,, C, co respecto al total de elemetos e la poblacó (muestra). Este úmero lo deotaremos por F y cumple la propedad: F = f + f + + f = j = f j, j =,,,, =,,, k F k = f + f + + f + + f k =.0 APLICACIÓN 4. E u cojuto de cletes, el terés es determar la clasfcacó de éstos segú su cumplmeto e el pago. Estos so clasfcados como: Malos (M), Regulares (R), Bueos (B) y exceletes (E). Los datos so : B R B E E E M B E R R M M R R M R B B B B B E B B B E B E R E M B B E B B B B B M R M B B B B E M R Tabla 4. Clasfcacó de cletes por su cumplmeto e el pago. Frecuecas Frecuecas Acumuladas Clasfcacó Absoluta Relatva Absoluta Relatva Malo 8 6% 8 6% Regular 9 8% 7 34% Bueos 3 46% 40 80% Exceletes 0 0% 50 00% 3

4 Las aplcacoes aterores está oretadas a la orgazacó de varables cualtatvas, e ua prmera aplcacó e datos omales, y e u segudo caso, a datos e escala ordal. S embargo, estos msmos coceptos puede ser aplcados a varables dscretas, sempre que e úmero de datos tomado dsttos valores o sea excesvamete grade. APLICACIÓN 4.3 Supoga que e u cojuto de cletes, el terés es determar el úmero de veces que éstos se ha atrasado e el pago de su cueta. Los datos so los sguetes: Tabla 4.3 Número de veces que u clete se ha atrasado e el pago de su cueta. Número de Frecuecas Frecuecas Acumuladas Atrasos Absoluta Relatva Absoluta Relatva ,4% 3 53,4% 5 8,3% 37 6,7% 4 6,7% 4 68,4% 3 8 3,3% 49 8,7% 4 5 8,3% 54 90,0% 5 0 0,0% 54 90,0% 6 0 0,0% 54 90,0% 7 4 6,7% 58 96,7% 8 3,3% 60 00,0% E varables cotuas, la orgazacó de datos es u poco más compleja, se dvde los datos e k grupos o segmetos dsjutos, como se muestra Fgura 4.. Estos grupos represeta las clases y se determa la frecueca de datos asocado a cada grupo, coformado ua tabla de frecueca agrupada. Fgura 4. Segmetacó e grupos de datos cotuos. 4

5 E este tpo de datos las clases está compuestas por tervalos, luego es ecesaro buscar u represetate de la frecueca asocada a este tervalo, el cual se cooce como marca de clase. Es comú utlzar como marca de clase al valor medo del segmeto (tervalo). Costruccó de la Tabla de Frecueca E la costruccó de ua tabla de frecueca, lo prmero que se tee que teer claro es la catdad de segmetos (tervalos) a cosderar. Lo más comú es utlzar como ua prmera aproxmacó la regla de Sturges. Regla de Sturges: El úmero de clases k = 3,3 log() +, dode es la catdad de datos que se desea orgazar. Nosotros recomedamos utlzar u úmero mpar de clases, por cosderacoes que se explcará más adelate. Ampltud: Para determar a, la ampltud de las clases, se debe calcular el rago (R D ), que es la dfereca etre el dato mayor (máx. {x }) y el meor (m. {x }). També es ecesaro determar u, la udad míma de coteo de los datos. La ampltud está dada por: Ampltud (a) = R D + u k Rago de la Tabla: Ua vez determada la ampltud a, la cual se recomeda co u decmal más que los datos orgales, se procede a determar el rago de la tabla (R T ), que es la multplcacó etre la catdad de clases que se está utlzado y la ampltud. La clusó de u e el cálculo de a, puede que o garatce que el R T sea mayor que el R D, es por esta razó que se recomeda utlzar ua aproxmacó coveete e a. Para la determacó de los límtes teórcos de las clases, se comeza co el límte Iferor de la prmera clase, LI, el cual se calcula como: LI = Mímo {x } D dode la dfereca, D= R T - R D, e el caso que el últmo dgto de D o sea par, sea realza u ajuste coveete. 5

6 Posterormete, se suma la ampltud a LI obteédose el límte superor de esta clase, LS, el que també será el límte feror de la seguda clase, LI = LS. LS se cosdera aberto para su clase y cerrado para la seguda clase. Los sguetes límtes se obtee sumado la ampltud hasta completar las k clases a utlzar. La tabla de frecueca geérca resultate queda: Tabla 4.4 Tabla de frecueca geérca. Frecuecas Frecueca Acumulada Clases Absoluta Relatva Absoluta Relatva [ LI LS [ f N F [ LI LS [ f N F [ LI 3 LS 3 [ 3 f 3 N 3 F [ LI k LS k [ k f k N k F k APLICACIÓN 4.4 Supoga que los datos represeta tempos de espera (e segudos) para la líea telefóca de atecó al clete. Tempos (Segudos) N de Clases (k): + 3,3 x log () = + 3,3 x log (7) 8 (Impar cercao 7) Rago de la Muestra: R M= Máxmo {x } Mímo {x } = 70 = 59 Ampltud: a = R M = 7 7 8,6 Rago de la Tabla : R T : k x a = 7 x 8.6 = 60. Dfereca : D = R T R M = =. 6

7 Límte Iferor y Superor de la prmera clase: LI = Mímo {x } D = 0,6 = 0,4 LS = LI + a = 0,4 + 8,6 = 9,0 Tabla 4.5 Tempo de espera ates de ser ateddo. Frecueca Frecueca Acumulada Tempos (seg.) Marca de Clase Absoluta Relatva Absoluta Relatva [ 0,4 9,0 [ 4,7 0,85% 0,85% [ 9,0 7,6 [ 3,3 4 3,4% 5 4,7% [ 7,6 36, [ 3,9 9,40% 6 3,67% [ 36, 44,8 [ 40,5 8,80% 38 3,47% [ 44,8 53,4 [ 49, 39 33,33% 77 65,80% [ 53,4 6,0 [ 57,7 30 5,64% 07 9,44% [ 6,0 70,6 ] 66,3 0 8,56% 7 00,00% 4.. Dagramas de Tallo y Hoja El uso de tablas de frecuecas agrupadas tee ua desvetaja bastate obva, los datos orgales se perde e el proceso de orgazacó. La Fgura 4. muestra alguas stuacoes que puede darse: Fgura 4. Represetacó de la dstrbucó de los datos e ragos de tervalos. Otra forma de presetar tablas de frecuecas agrupadas, es la utlzacó de u dagrama de Tallo y Hoja, que ofrece ua forma seclla de exhbr los datos, s que e éstos se perda la ocó de dstaca. E el dagrama de tallo y hoja, el tallo -la prmera parte de úmero-, es el que preseta meor varacó, metras que la hoja, esta formado los dígtos restates. A modo de ejemplo, supogamos el dato es 548, etoces se puede descompoer e u tallo y ua hoja de las sguete maera: tallo hoja tallo hoja 7

8 La utlzacó de dagramas de tallo y hoja es de gra utldad cuado se cueta co u úmero pequeño de datos, dgamos meos de 30, pues la costruccó de u hstograma de frecueca e este caso es de poca ayuda. APLICACIÓN 4.5 Los datos observados represeta la proporcó de reclamos, por pagos correctos, e las cuetas del cosumo mesual de electrcdad, e los dos últmos años: 7, 7,89 0, 8,88 0,0 9,9 9,95 9,90 0,3 9, 9,99,40 8,65 0,05 0,50 9,87 8,54 9,7,09,5,30,53 6,40 3,4 Los datos se mueve etre 7, a 6,40. E esta aplcacó se usa como tallo 7, 8, 6, y el dagrama resultate es: Tallo Hoja Otra forma de represetar los datos, destaca su carácter decmal y omte los tallos de frecueca cero que se ecuetre cercaos a los extremos, mostrado la dscotudad que se ha creado, como se muestra e la fgura sguete. Tallo Hoja 7, 89 8, , , , , , 4 === ========= 6, 40 8

9 Certas característcas relevates de los datos puede volverse más evdetes, s cada tallo puede dvdrse e dos o más tallos, llamado subtallos que cotee e su cojuto el msmo úmero de valores correspodetes a su hoja. El dagrama de tallo, dode el tallo se ha dvdo e: dos, tres, etc., es coocdo como dagrama de tallo y hoja de; doble, trple, etc. tallo. E el caso ateror, s se realza u dagrama de doble tallo y hoja, dode el tallo se dfereca por a, cuado la parte decmal es meor a 50, y b, cuado la parte decmal es mayor o gual que 50, el dagrama resultate es: Tallo Hoja 7,a 7,b 89 8,a 8,b ,a 9,b ,a ,b 50,a 09,b 5 53,a 03 40,b 3,a 4 === ========= 6,a 40 Ua utldad adcoal de los dagramas de tallo y hoja es que permte comparar, cuado tee setdo hacerlo, como e el caso de la aplcacó ateror s deseamos comparar etre los dos años, como se muestra e el dagrama: Hoja (Año ) Tallo Hoja (Año )

10 4..3 Gráfcos U gráfco es otra forma de represetar y resumr datos, e el gráfco se puede se hacer evdetes certas característcas que e ua tabla de frecuecas puede pasar advertdas. La represetacó gráfca de los datos ha logrado u uso crecete e los medos de comucacó y eso se debe e gra parte, a la populardad y uso de software co amplas represetacoes gráfcas. Hay dspobldad de gráfcas de muchos tpos, desde aquellas para datos agrupados e tablas de frecuecas hasta datos o agrupados, dode su uso depede e gra medda del tpo de escala empleada. E adelate se lustra dsttos tpos de gráfcos comúmete utlzados. Gráfcos de barras y la gráfca de pastel (crcular), so los gráfcos más comues y secllos, usualmete utlzados e datos categórcos. Cuado los datos se preseta e escala omal, la secueca e que se preseta las clases es totalmete arbtrara, s embargo, cuado los datos se preseta e escala ordal, las clases debe mateer el orde de la escala. A cotuacó se preseta dos aplcacoes que expoe ua sere de gráfcos y varacoes de estos. APLICACIÓN 4.6 ubcacó.. La tabla muestra la proporcó de cletes asocados sector de Tabla 4.6 Sector de ubcacó del clete. Sector Proporcó(%) 0% 5% 40% 0% 0% 5% Sector de Clete 40% 6 5 5% 0% Sector de Clete Porcetaje 0% 5% 0% 0% 5% Sector 4 0% 5% 0% Sector 3 Porcetaje 40% Fgura 4.3: Gráfcas de barra asocada de ubcacó del clete. Las gráfcas de barras aterores so dos varates, la prmera (de zquerda a derecha), es u gráfco de barra habtual dode se sgue la secueca del 30

11 sector, e la seguda forma, ahora escrto e el eje de las abscsas, se escrbe los sectores de acuerdo a su mportaca relatva. Los gráfcos crculares, so otra opcó para los datos aterores, E estos gráfcos, el más comú es el prmero (de zquerda a derecha), por su secllez y fácl terpretacó, s embargo e los últmos tempos, partcularmete e peródcos de ecoomía y egocos se ha popularzado el segudo, por su atractvo vsual, posee la desvetaja que e la tercera dmesó, sobredmesoa los sectores frotales y subdmesoa los sectores del fodo de la gráfca. Sector de Clete Sector de Clete 8% 5% 0% 4% % 5% 4% 8% 9% 4% 4% 9% Fgura 4.4: Gráfcas crculares asocadas al sector del clete APLICACIÓN 4.7 Supoga que estamos teresados e el grado de satsfaccó de los cletes co respecto a los servcos adcoales que presta la empresa. E este caso a ua muestra de 77 cletes se pde que calfque el grado de satsfaccó como: Isatsfecho (I), Idferete (II), Normal (N), Satsfecho co reparos (SR) y Totalmete Satsfecho (TS). Los datos so: Tabla 4.7 Grado de satsfaccó por servcos adcoales de la empresa. Frecueca Grado Absoluta Absoluta Acumulada Isatsfecho (I) 9 9 Idferete (II) 40 Normal (N) Satsfecho co Reparos (SR) 75 Totalmete Satsfecho (STS) 4 77 E la Fgura 4.5, se muestra dos gráfcas asocadas, co la partculardad que la varable cualtatva bajo estudo está e escala ordal, razó por la cuál, exste u 3

12 orde e la dstrbucó del grado de satsfaccó. TS SR N II I Grado de Satsfaccó Frecueca Grado de Satsfaccó 3% 5% 4% I II N 4% SR TS 7% Fgura 4.5: Gráfcas crculares asocadas al sector del clete. E la represetacó gráfca de la tabla de frecueca de datos cuattatvos (cotuos), exste cuatro gráfcos habtuales El prmero, los costtuye el hstograma de frecueca juto co el polígoo de frecueca, el segudo, lo Polígoo de Frecueca Hstograma de Frecueca Frecueca ,4-9,0 9,0-7,6 7,6-36, 36, - 44,8 44,8-53,4 53,4-6,0 6,0-70,6 Tempos [seg.] Fgura 4.6: Hstograma de frecueca y polígoo de frecueca para los tempos de espera. costtuye gráfca de frecuecas acumuladas juto co la ojva. Se muestra a cotuacó estas grafcas para los datos de tempos de espera (Tabla 4.5). La últma represetacó gráfca es utlzada e partcular cuado la varable bajo estudo se ha meddo e el tempo (datos logtudales). Está gráfca, llamada dagrama de dspersó, es de gra utldad e seres de tempo y cotrol estadístco de la caldad, tee la partculardad que puede mostrar tedecas de los datos e el 3

13 Frecueca Acumulada Frecueca Ojva 0,4-9,0 9,0-7,6 7,6-36, 36, - 44,8 44,8-53,4 53,4-6,0 6,0-70,6 Tempos [seg.] Fgura 4.7: Gráfca de frecueca acumulada y ojva para los tempos de espera ates de su atecó. tempo. Cosderemos los datos de la aplcacó 4.5, pero además agreguemos el tempo como refereca. Año Mes Eero 7, 8,65 Febrero 7,89 0,05 Marzo 0, 0,5 Abrl 8,88 9,87 Mayo 0,0 8,54 Juo 9,9 9,7 Julo 9,95,09 Agosto 9,9,5 Septembre 0,3,3 Octubre 9,,53 Novembre 9,99 6,4 Dcembre,4 3,4 Porcetaje de Reclamos Dagrama de Dspersó Tempo Fgura 4.8: Dagrama de Dspersó Porcetaje de reclamos el tempo. 4.3 Meddas de Desempeño Los dcadores de desempeño ha adqurdo gra mportaca a partr del establecmeto de la flosofía de gestó, caldad total y la aplcacó de ormas acoales o teracoales. So herrametas para la evaluacó de la gestó, que provee valores de refereca co el cual se pueda comparar o propoer metas. Las meddas de desempeño so otro medo co el cual se resume los datos, ya que a través de ellos se establece ua medda resume de algua partculardad e los datos. Estos dcadores se dvde e tres tpos: meddas de poscó, resume de 33

14 los datos que represeta u lugar defdo mportate detro de ellos; meddas de varabldad o resgo, que como se podrá aprecar so muy mportates ;y meddas de forma, que tee ua mportate relacó co u grupo de meddas de poscó Meddas de Poscó Ua medda de poscó es u valor smple que se calcula para u grupo de datos y que se utlza como ua maera de resumr a estos u valor detro del rago de los datos. Normalmete se desea que el valor sea represetatvo de todos los valores cludos e el grupo, estos valores puede estar relacoados co poscoes de partcular terés como los extremos, los cuales se asoca a cuatles, o valores del cetro, llamados de tedeca cetral. La Meda Artmétca: La meda artmétca, o promedo, se defe como el cocete de la suma de todos los valores etre el úmero total de valores. E estadístca, u "promedo es ua medda de Tedeca cetral para u cojuto de datos. E estadístca es ormal represetar ua medda descrptva de ua poblacó, (o parámetro poblacoal), medate letras gregas, e tato que se utlza letras romaas para las meddas descrptvas de estadístcas muestrales. Así, la meda artmétca para ua poblacó de valores se preseta medate el símbolo µ, e tato que la meda artmétca de ua muestra se represeta medate el símbolo X. Las expresoes para el cálculo de la meda de ua poblacó y de ua muestra so: N µ = = N X X = = X APLICACIÓN 4.8: Los pagos de cosumo, e ua muestra de 5 cuetas e u restaurate, fuero: $000, 000, 500, 500, 500, 3500, 4000, 5300, 9000,500, 3500, 4500, 7500, 30900, y El promedo muestral es: X 5 X = = 5 = $.080. Cuado se agrupa datos e ua dstrbucó de frecuecas, se utlza el puto medo de cada clase como aproxmacó de todos los valores cotedos e ella. El puto medo o marca de clase se represeta co el símbolo m, e dode el subídce dca la "clase ", y se utlza la letra para represetar la frecueca absoluta observada e la clase respectva. 34

15 Las fórmulas para la meda de la poblacó y de la muestra para datos agrupados so: µ = k = m N X = k = m APLICACIÓN 4.9: Cosderado los datos del tempo de espera (e segudos) ates de ser ateddo se tee: Frecueca Tempos (seg.) Marca de Clase Absoluta Relatva [ 0,4 9,0 [ 4,7 0,85% [ 9,0 7,6 [ 3,3 4 3,4% [ 7,6 36, [ 3,9 9,40% [ 36, 44,8 [ 40,5 8,80% [ 44,8 53,4 [ 49, 39 33,33% [ 53,4 6,0 [ 57,7 30 5,64% [ 6,0 70,6 ] 66,3 0 8,56% X = k = m 4,7 + 3, ,3 0 = = 48,4 [segudos] 7 La gra desvetaja de este dcador es su gra sesbldad a la preseca de datos extremos. U dato extremo se mafesta medatamete e el promedo, poedo e duda el ser u valor represetatvo del cetro de los datos. La Medaa: La medaa de u cojuto de datos es el valor que ocupa el lugar cetral de estos cuado se ordea e orde de magtud. Para cojuto de datos, co u úmero par de elemetos, la medaa se calcula como el promedo de los valores cetrales. E el caso de estar trabajado co datos dspersos, la expresó para determar la poscó de la medaa e el cojuto (ordeado) es: Me = X + (X X ( ) ( + ) s es mpar + ) s es par E las expresoes aterores, X, represeta el valor de dato, metras que el parétess e el subídce, muestra el lugar que ocupa la medaa detro del cojuto 35

16 de datos ordeados. APLICACIÓN 4.0: Cosderado los pagos de cosumo, e ua muestra de 5 cuetas e u restaurate: $000, 000, 500, 500, 500, 3500, 4000, 5300, 9000,500, 3500, 4500, 7500, 30900, y Me = X = + X = $ Para datos agrupados, e prmer lugar es ecesaro determar la clase que cotee el valor de la medaa, para después determar la poscó de la medaa detro de la clase medate terpolacó. La clase que cotee la medaa es la prmera clase cuya frecueca acumulada es mayor o gual a la mtad de los datos. Ua vez que se detfca esta clase, se determa el valor terpolado de la medaa, empleado la sguete expresó: N Me L = + a L = Límte feror de la clase que cotee la medaa. = úmero total de observacoes e la dstrbucó de frecuecas. a = Ampltud de clase. N - = La frecueca acumulada ateror a la clase que cotee la medaa. = Número de observacoes e la clase que cotee la medaa. Los fudametos de esta expresó está e la ojva y la terpolacó leal. APLICACIÓN 4.: Para los datos agrupados de la Tabla 4.5, la medaa del tempo de espera (e segudos) ates de ser ateddo es: Tempos (seg.) Marca de Frecueca Clase Absoluta Acumulada [ [ 4.7 [ [ Clase Medaa 7 38 M e 44,8 = + 8,6 = 49,3 [segudos] 39 36

17 La medaa es otra medda de tedeca cetral, este dcador o es afectado por datos extremos (dcador robusto). La Moda: Medda de tedeca cetral, que está dada por el valor o clase que se preseta co mayor frecueca. A ua dstrbucó que tee ua sola moda se le deoma umodal. Cuado dos valores o adyacetes tee frecuecas máxmas smlares, se dce que la dstrbucó es bmodal. Para datos agrupados, prmero se detfca la clase que cotee la moda, determado la clase que tee el mayor úmero de observacoes (clase modal). Alguos autores cosdera que la moda es el puto medo de la clase modal (marca de clase), otros, terpola detro de la clase modal, de acuerdo co la sguete expresó: d Mo = L + a d d, dode + d d + d es u factor de poderacó. L = d = d = a = Límte feror de la clase que cotee la moda. Dfereca etre la frecueca de la clase modal y la frecueca de la clase que le precede. Dfereca etre la frecueca de la clase modal y la frecueca de la clase que le sgue. Ampltud del tervalo de clase. La deduccó de la expresó es clara co la ayuda de la Fgura 4.9. Como se puede aprecar e esta fgura d es meor que d, por esta razó el factor de poderacó es mayor que 0.5, que multplcado por la ampltud permte que la moda se ecuetre más cerca del lmte superor de la clase modal. Fgura 4.9. Esquema de localzacó de la moda. E caso que d sea mayor que d, el factor de poderacó es meor que 0.5, que multplcado a la ampltud permte que la moda se ecuetre más cerca del lmte feror. Cuado d es gual a d, el factor de poderacó es 0.5, que multplcado a 37

18 la ampltud permte que la moda se ecuetre justo e la marca de clase modal. E tablas de frecueca es posble ecotrar dos o más clases co gual máxma frecueca, e este caso se dce que la poblacó es: bmodal, trmodal, etc. APLICACIÓN 4.: Para los datos agrupados de la Tabla 4.5, la moda de los tempos de espera (e segudos) es: Tempos (seg.) Marca de Frecueca Clase Absoluta Acumulada [ 36, 44,8 [ 40,5 38 [ 44,8 53,4 [ 49, Clase Modal [ 53,4 6,0 [ 57, M o = 44,8 + 8,6 = [segudos] Exste otras meddas de tedeca cetral, utlzadas e stuacoes más específcas como ua solucó al problema de la alta sesbldad del promedo artmétco, algua de ellas so: Meda Geométrca: Se utlza prcpalmete para promedar proporcoes de varacoes, e datos ecoómcos y se defe como la raíz -ésma del producto de los valores. M G = x x x Meda Armóca: Se defe como el recíproco de la meda de los recíprocos de las medas, es decr: M H = = x Meda Recortada: Se defe como el valor medo excluyedo u porcetaje de datos e el extremo feror y superor del cojuto de observacoes. Exste medas recortadas al 90%, 80%, etc. Por ejemplo, e la meda recortada al 90%, o se cosdera e el cálculo de la meda el 5% de los datos más pequeños y el 5% de los datos más grades. 38

19 Cuatles: Los cuatles so meddas de poscó que dvde los datos e grupos bajo los cuales se ecuetra ua determada proporcó de éstos, por lo se requere que los datos se ecuetre e al meos escala La medaa es u cuatl que dvde la dstrbucó de los datos e dos partes de gual frecueca acumulada, y luego bajo/sobre la medaa se ecuetra acumulado el 50% de los datos. Los cuartles, la dvde e cuatro cuartos; los qutles, dvde la poblacó e cco; los decles, la dvde e dez décmos; y los putos percetles, la dvde e ce partes. Estos, e el caso de datos dspersos, so expresados por: Q ( cuartl ) = X :,,, 4 ( + ) 4 K ( qutl ) = X :,,, 5 ( + ) 5 D :,,, 0 ( decl ) = X ( + ) 0 P :,,, 00 ( percetl ) = X ( + ) 00 Estas expresoes so exactas e la medda que los factores de proporcó: ( + ) ( + ) ( + ) ; ; sea úmeros eteros, e caso cotraro ua buea aproxmacó (auque o la úca) la etrega el promedo etre el etero superor e feror de la respectva fraccó, tal como se preseta e la aplcacó sguete. APLICACIÓN 4.3: Cosderado los pagos de cosumo: $000, 000, 500, 500, 500, 3500, 4000, 5300, 9000,500, 3500, 4500, 7500, 30900, y Q3 = X 3(5 + ) = X() = $ Luego, el 75% de los pagos por cosumo so meores o guales a $ Alguos casos e que el factor de proporcó o resulta u úmero etero, como por ejemplo, el decl 4 ó el percetl 68. E el prmero, el valor se ecuetra etre los valores sexto y séptmo del grupo ordeado, cuya terpretacó sería que el 40% de los mportes de cosumo de las 5 cuetas del restaurate so meores o 39

20 guales a $ D4 = X 4(5 + ) = X(6,4) = 0 X (6) + X(7) = $ E el segudo cuatl, el valor se ecuetra etre los valores 0 y del grupo ordeado. P 68 = X 68(5 + ) = X(0,88) = 00 X X() (0) + = $ Para datos agrupados, la fórmula se modfca de acuerdo co el puto fraccoaro de terés. Para utlzar esta expresó modfcada, e prmer lugar se determa la clase que cotee el puto de terés, de acuerdo co las frecuecas acumuladas, y después se lleva a cabo ua terpolacó como e el caso ateror de la medaa. Ahora u aálss más exhaustvo de estas expresoes se obtee a través del segmeto de la líea recta e la ojva, recordemos la Fgura 4.4 de los tempos de espera, dode a partr de 7 datos, se costruye la gráfca, de la Fgura 4.0 y supogamos que estamos teresados e el percetl 78, por lo tato debemos determar, de acuerdo co las frecuecas acumuladas la clase que cotee el puto de terés, como se muestra e la Fgura 4.0, este puto se ecuetra e la peúltma clase. Frecueca 0 y y y 60 Frecueca Acumulada 0 Tempos [seg.] x P 78 x Fgura 4.0: Gráfca para la determacó de percetles. S se recuerda la ecuacó de la líea de la recta, dada por: y y y y = x x x x 40

21 E este caso se observa que:. y = y. x = P x x = Ls LI = a 4. y y = N N = Luego despejado x = P 78, se obtee ua expresó para el cálculo de percetles e datos agrupados: x = P 78 = x + y y y y (x x ) = LI + y N a j E el futuro se debe otar que y o es otra cosa que 00 percetl j-ésmo., dode j es el Luego, la expresó geeral para el cálculo de percetles, utlzado frecuecas absolutas como relatvas está dada por: j N P j = LI + 00 a = LI + j F 00 a f Esta expresó claramete permte el cálculo de decles, qutles o cuartles. APLICACIÓN 4.4: Para los datos agrupados e Tabla 4.5, el percetl 80 de los tempos de espera (e segudos) es: Tempos (seg.) Marca de Frecueca Clase Absoluta Acumulada [ 44,8 53,4 [ 49, [ 53,4 6,0 [ 57, Clase Percetl 80 [ 6,0 70,6 [ 66, P 80 = 53, ,6 = 58, [segudos] 4

22 Luego, el 80% de los tempos de espera es meor o gual a los 58, segudos. Otra utldad, de la expresó ateror, permte determar que porcetaje de los datos se ecuetra bajo (o por defecto sobre) u determado valor, como por ejemplo, Qué porcetaje de las veces, los tempos de espera fuero superores a 47 segudos?. E este caso se cooce el percetl, pero o el porcetaje, luego: 7 j 47 = 44, x 8,6 j = 4,0 % Por lo tato, el (00 40,0)%= 58,99%. so superores a 47 segudos. També se puede determar el porcetaje de tempos de servco que se ecuetra e el tervalo [47; 63] segudos. Como se sabe el porcetaje que se ecuetra bajo los 47 segudos (40,0%),y determado el % que está bajo los 63 segudos. 7 j 63 = 6, x 8,6 j = 9,45 % Obteédose que el porcetaje de tempos de servco e el tervalo deseado es de (9,45 40,0)% = 5,44% Meddas de Varabldad Las meddas de tedeca cetral ó de poscó que se presetaro so útles para detfcar u valor típco ó partcular de u cojuto de datos, las meddas de varabldad se ocupa de descrbr la dspersó (resgo, precsó) de los datos co respecto a ua medda del cetro o u valor partcular. A modo de ejemplo, supoga que dos máquas empacadoras da como resultado productos co u peso promedo de 0 gramos, pero que e u caso los productos se ecuetra detro de u rago de 0, gramos co respecto a este peso promedo, e tato que e el otro los pesos puede varar hasta e u gramo. Como se observa e la Fgura 4., e el prmer caso los datos so meos dspersos respecto al Fgura 4.: Vsualzacó de la varabldad e u cojuto de datos 4

23 valor de 0 gramos que e el segudo caso, lo que mplcaría que suposcoes realzadas al prmer caso sería de meor resgo que las del segudo. Exste varos dcadores para medr la magtud de la varabldad e cojutos de datos. Las que se descrbe a cotuacó so: rago, rago modfcado, desvacó meda, varaza, desvacó estádar y coefcete de varacó. El Rago: El rago (R), es la dfereca etre el mayor y meor valor del cojuto de datos. Sí Máx.{x} represeta el mayor, y M.{x} represeta el meor, el rago de los datos está dado por: R = Max{ x } M{ x } LS k LI datos dspersos datos agrupados APLICACIÓN 4.5: Cosderado los pagos de cosumo, e ua muestra de 5 cuetas e u restaurate: $000, 000, 500, 500, 500, 3500, 4000, 5300, 9000,500, 3500, 4500, 7500, 30900, y 4000, el rago está dado por: R = Máx.{x} M.{x} = = $ APLICACIÓN 4.6: Para los datos agrupados de la Tabla 4.5, el rago de los tempos de espera (e segudos) es: Tempos (seg.) Marca de Frecueca Clase Absoluta Acumulada [ 0,4 9,0 [ 4,7 [ 6,0 70,6 [ 66,3 0 7 R = LS 7 LI = 70,6 0,4 = 60, [segudos] Ragos Modfcados: U rago modfcado es u rago para el cual se elma certo porcetaje de los valores e cada uo de los extremos de la dstrbucó y es smbolzado por R Mod (j% cetral). Alguos ragos modfcados típcos so: el 50% cetral, el 80% cetral y el 90% cetral. Para determar el rago modfcado, prmero se debe ubcar los dos putos percetles de terés para, después, calcular el rago etre ellos. Por ejemplo, para el rago del 80% cetral, los putos percetles de terés so el décmo percetl y el oagésmo percetl, porque el 80% cetral de esos valores se ubca etre esos dos putos. 43

24 APLICACIÓN 4.7: Cosderado los pagos de cosumo, e ua muestra de 5 cuetas e u restaurate: $000, 000, 500, 500, 500, 3500, 4000, 5300, 9000,500, 3500, 4500, 7500, 30900, y 4000, el rago modfcado al 50% cetral está dado por: P 75 = P 5 = X = X () = $ ( + ) 00 X = X (4) = $ ( + ) 00 R Mod (50% cetral) = P 75 - P 5 = = $.000. El rago modfcado al 50% cetral, també es coocdo como rago tercuartlco, metras que el rago modfcado al 80% es coocdo como rago terdecl. Los ragos modfcados, e geeral, busca aular el efecto de valores extremos de los datos, que producría u fuerte efecto e el rago tradcoal, como medda de varabldad. APLICACIÓN 4.8: Para los datos agrupados de la Tabla 4.5, el rago modfcado al 90% cetral de los tempos de espera (e segudos) es: 7 5 P 5 = 7, x 8,6 = 8,3 [seg.] 7 95 P 95 = 6, x 8,6 = 65,6 [seg.] R Mod (90% cetral) = P 95 - P 5 = 65,6 8,3 = 37,3 [segudos]. La Desvaco Meda: La desvacó meda (DM) es la meda (promedo) del valor absoluto de la dfereca etre cada uo de los datos y el promedo del grupo. DM = = k = x x f m x datos dspersos datos agrupados 44

25 Nota: Alguos autores utlza la dfereca etre cada valor y la medaa). Es comú també utlzar dcadores como la desvacó medaa (DMe) o la desvacó modal (DMo), como dcadores de varabldad alteratvos a la desvacó meda. La utlzacó de estos dcadores, es debdo a la alta sesbldad del promedo a valores extremos, que també se hereda e dcadores que utlza este dcador, como es el caso de la desvacó meda. També debe otarse, que la desvacó modal, sólo es posble cuado la moda se determa a partr de datos cuattatvos, ya que es ua medda de dspersó que o tee setdo e datos cualtatvos dode o exste la ocó de dstaca. APLICACIÓN 4.9: Cosdere que las vetas (por vededor) de aparatos eléctrcos fuero las sguetes: La meda artmétca es 0,5. y la desvacó meda es: x x x x x 5-5,5 5,5 8 -,5,5 8 -,5,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4 3,5 3,5 6 3,5 3,5 Total,0 DM = 8 = x x = / 8 =,65 =,6 udades Así, puede decrse que, e promedo, las vetas de aparatos eléctrcos por vededor dfere e,6 udades de la meda del grupo, APLICACIÓN 4.0: Para los datos agrupados de la Tabla 4.5, para los tempos de espera, la meda artmétca es 48,4 segudos, la desvacó meda está dada por: f m m x m x f m x 0,009 4,7-33,7 33,7 0,3033 0,034 3,3-5, 5, 0,8534 0,094 3,9-6,5 6,5,55 0,88 40,5-7,9 7,9,485 0,333 49, 0,7 0,7 0,33 0,56 57,7 9,3 9,3,3808 0,086 66,3 7,9 7,9,5394 Total 8,346 45

26 DM = k = f m x = 8,4 [segudos]. La Varaza y la Desvacó Estádar: La varaza es smlar a la desvacó meda porque se basa e la dfereca etre cada uo de los valores del cojuto de datos y la meda del grupo, La dfereca cosste e que, ates de sumarlas, se eleva al cuadrado cada ua de las dferecas, Para ua poblacó, se represeta la varaza medate V(X) o, típcamete por la letra σ ; la fórmula de cálculo es: V(X) = σ = N = ( x µ ) N A dfereca de otras estadístcas muestrales que se ha aalzado, la varaza de ua muestra o es, e térmos de cálculo, completamete equvalete a la varaza de la poblacó, La varaza muestral se represeta medate S, y está dada por: S = = ( x x) Se utlza co mayor frecueca la raíz cuadrada de la varaza, represetada medate la letra grega σ para el caso poblacoal y S para ua muestra, y se le deomada desvacó estádar, Las fórmulas so: σ = V(X) S = Varaza muestral Estas meddas (muestrales) també tee su represetacó e datos agrupados, la cual está dada por: k S = = ( m - x) = k = fm - x La desvacó estádar, además de ser ua medda de dspersó que utlza toda la formacó (e cotraposcó co los ragos) y ser expresada e gual udad de medda que los datos orgales, es especalmete útl cuado se le utlza juto co la deomada dstrbucó ormal. APLICACIÓN 4.: Para los datos de vetas de aparatos eléctrcos: , la meda artmétca es 0,5 udades. Cosderado estos datos mesuales de vetas como la poblacó estadístca de terés, se determa la 46

27 desvacó estádar: σ = V(X) = 86 / 8 = 0,75 =3,3 udades APLICACIÓN 4.: Para los datos agrupados de la Tabla 4.5 (tempos de espera), la meda artmétca es 48,4 segudos, la desvacó estádar es: f m m x (m x ) f (m x ) 0,009 4,7-33,7 35,7 0, 0,034 3,3-5, 630,0,403 0,094 3,9-6,5 7,3 5,595 0,88 40,5-7,9 6,4,733 0,333 49, 0,7 0,5 0,63 0,56 57,7 9,3 86,5,44 0,086 66,3 7,9 30,4 7,5553 Total 8,86 S = V(X) = 8,86 = 0, Meddas de Forma Los dcadores de forma de las dstrbucoes de frecuecas asocadas a u cojuto de datos, so meddas que se agrupa e : asmetría y curtoss. Las meddas de asmetría cetra su terés e la tedeca de los datos a cocetrarse e los valores más pequeños, que se cooce como asmetría postva; valores más grades, que cooce como asmetría egatva; o smplemete e el cetro, que se deoma como smétrca. E la Fgura 4., se observa las posbldades de asmetría, e cojutos de datos que preseta sólo ua cma. E estos casos observar tedeca de los datos resulta fácl, s embargo cuado se preseta más de ua cma e ua gráfca (o ecesaramete más de ua moda), determar la asmetría de los datos es más resgoso, co lo cual se recomeda el uso de dcadores para ua mayor certeza de la stuacó. La fgura muestra además, el caso de datos smétrcos de u cojuto de datos bmodales. Las meddas de curtoss cetra su atecó e la tedeca de los datos e el grado de cocetracó que estos posee alrededor de putos cetrales, e este caso se dce que los datos tee ua cocetracó mesocúrtca cuado el grado de cocetracó se acerca a lo deal, metras que, se habla de letocúrtca o platcúrtca, s el grado de cocetracó es meor o mayor a lo deal, respectvamete. El cocepto de deal asocado a esta medda, tee su fudameto e la 47

28 comparacó de la curtoss muestral (medate el uso de dcadores), co el de u modelo de probabldad muy mportate e estadístca clásca que posee u valor teórco fjo co el cual es comparado. Asmetría Postva Asmetría Negatva Smetría Smetría Fgura 4.: Represetacó de smetría e cojuto de datos. E la Fgura 4.3, se muestra las tres stuacoes de curtoss, e cojutos de datos que preseta ta sólo ua cma. Se puede aprecar, que e el caso de dstrbucoes leptocúrtcas, la meor varabldad es evdete e comparacó a las otras formas. La dstrbucó mesocúrtca, represeta el caso de ua dstrbucó co varabldad deal, e comparacó co el modelo probablístco Normal. Falmete Fgura 4.3: Represetacoes de curtoss e cojuto de datos. 48

29 la dstrbucó platcúrtca, represeta la mayor varabldad e comparacó co la dstrbucó deal. S embargo, medate u aálss gráfco es muy dfícl poder vsualzar que u cojuto de datos posee alguo de estos patroes., Los dcadores asocados a curtoss, ayuda a la comparacó de la varabldad e los datos, pues justamete la varabldad mde el grado de o cocetracó de estos. Adcoalmete, se puede emplear como u crtero para determar la exsteca de datos extremos, es decr, muy grades ó muy pequeños, co respecto al comú de los datos observados, que causaría u efecto devastador e alguos dcadores, ó be, como ua señal de la exsteca de dos estratos detro de los datos que se aalza, como e el caso de la Fgura 4., dode se muestra u cojuto de datos bmodales, dode perfectamete, se podría supoer que e la característca de la poblacó e estudo se preseta cocetrada e dos grupos, que afectaría los resultados de alguos dcadores. A cotuacó se preseta ua sere de dcadores asocados a característcas de forma, e el prmer caso se muestra dcadores de asmetría dados por los coefcetes de: Yule, Smetría, Pearso y Fsher; para falzar co les coefcetes de curtoss: K y Fsher. Coefcete de Yule y Smetría: Estos so dos dcadores de smetría, que se basa e cuatles cetrales, como lo so: cuartl, cuartl 3 y la medaa. Las expresoes de cálculo de Yule y Smetría so: I Y = Q 3 + Q Q Q I S = + Q3 Q Q3 Q Q Estos dcadores (admesoales) so de fácl cálculo, tato para datos dspersos como agrupados, tee la vetaja de o ser afectados por observacoes aberrates, que sempre se ecuetra sobre Q 3 o bajo Q, razó por la cuál se puede aprecar que ambos dcadores muestra la smetría e el cetro de los datos y o e la totaldad de éstos. Coefcete de Pearso: El coefcete de Pearso, se basa e tres dcadores de usual uso e estadístca y mde la asmetría, como la dfereca etre la meda y la medaa co respecto a la desvacó estádar. Este coefcete poblacoal y muestral se ecuetra dados respectvamete por: 3( x - M ) As = e A S S = x 3 e ( µ M ) σ El promedo y la medaa, que so dos meddas de tedeca cetral, que cuado hay smetría sempre so guales, y la desvacó estádar, que es ua medda de resgo que estadarza el dcador, hace de éste, u dcador más completo. 49

30 Coefcete de Smetría de Fsher: Es el dcador de smetría más fable de los presetados aterormete, se basa e el tercer mometo de la dstrbucó de los datos, y que para datos dspersos y agrupados se obtee medate: m 3 = = ( x x) 3 k m3 = f ( m x) = 3 Estas meddas se ve fuertemete afectadas por las udades de medda de los datos e estudo, por lo tato se estadarza para medr la asmetría estadarzada, cuya expresó queda: α 3 = m 3 3 S x E su cálculo poblacoal, al gual que e el coefcete de Pearso, basta co el reemplazo de los dcadores muestrales: x y s, por sus respectvos cálculos poblacoes µ y σ. El puto de comparacó teórco de estos dcadores es el cero, pues e dstrbucoes smétrcas todos los dcadores resulta ser cero, metras que s el dcador e egatvo o postvo, se dce que la asmetría es egatva o postva, respectvamete. S embargo, e la práctca e el aálss de datos reales, uca se obtee coefcetes cero, por lo cual es bueo recomedar u tervalo e toro al cual se aceptará la smetría. Para ua dstrbucó smétrca el valor del coefcete de asmetría es cero, porque el promedo y la medaa so guales, metras que para ua dstrbucó co asmetría postva la meda es sempre mayor que la medaa y, por ello el valor del coefcete es postvo, como se muestra e la Fgura 4.4, dode además se muestra el caso de que e ua dstrbucó co u coefcete de asmetría egatva, la meda es sempre meor que la medaa. Fgura 4.4: dstrbucó de las meddas de tedeca cetral e curvas umodales. 50

31 APLICACIÓN 4.3: Para los datos de vetas de aparatos eléctrcos: La meda artmétca, la medaa, el prmer y tercer cuartl, además de la desvacó estádar está dadas por: 0.5;.0; 8.0;.5 y 3.3 udades, respectvamete. Cosderado que estos datos mesuales de vetas so la poblacó estadístca de terés, se tee que: I Y = Q Q 3 + Q Q = -0,07. I S = Q Q 3 + Q3 Q Q = As = 3(0.5.0) = m 3 = Luego, s cosderamos I Y, I S y As, la dstrbucó tee ua lgera asmetría egatva es decr, esta sesgada haca la zquerda, s embargo s usamos m 3 muestra el caso cotraro. Esto se debe que tato I Y, I S y As, a perddo formacó al resumr los datos, por esta razó el m 3 u coefcete más cofable e establecer el tpo de asmetría de los datos. APLICACIÓN 4.4: Para los datos agrupados de la Tabla 4.5 (tempos de espera), la meda artmétca es 48,4 segudos, se obtee los sguetes resultados: f m m x (m x ) 3 f (m x ) 3 0,009 4,7-33,7-387,75-344,45 0,034 3,3-5, -583,5-537,65 0,094 3,9-6,5-449,3-4,6 0,88 40,5-7,9-493,04-9,69 0,333 49, 0,7 0,34 0, 0,56 57,7 9,3 804,36 05,9 0,086 66,3 7,9 5735,34 493,4 Total 697,79 Utlzado las meddas calculadas aterormete como:. x = 48.4 [segudos]. Me = 49.3 [segudos] 3. s = 8.3 [segudos] s = 0.9 [segudos] 4. Q = 4.4 [segudos] 5. Q 3 = 56.5 [segudos] Por lo tato se tee: I Y = 0.0 I S = 0.05 A s = 0.5 m 3 = α 3 =

32 Coefcete K : Este dcador de curtoss, que se basa e cuatles extremos, como lo so: decl y decl 9. Las expresoes de cálculo está dadas por: D K = 9 D.9 ( Q Q ) Estos dcador de fácl cálculo, tato para datos dspersos como agrupados, tee la vetaja de o ser afectados por observacoes aberrates, que e la mayor parte de los casos se sempre se ecuetra sobre el D 9 o bajo el D. K, se ecuetra dvdo por el factor,9 veces el rago tercuartílco que es la dstaca que exste teórcamete etre los decles 9 y, e la curva deal estadarzada. Coefcete de Curtoss de Fsher: Es el dcador de curtoss más, que se base e el cuarto mometo de la dstrbucó de los datos, que se ecuetra dado para datos dspersos y agrupados por: m 4 = = ( x x) 4 k m4 = f ( m x) = 4 Al gual que e el caso de m 3, esta medda se ve fuertemete fluecadas por las udades de medda de los datos e estudo, por lo tato, esta medda de desempeño para medr la curtoss se estadarza, cuya expresó queda de la sguete maera: m α = S x E su cálculo poblacoal, basta co el reemplazo de los dcadores muestrales: x y s, por sus respectvos cálculos poblacoes µ y σ. El puto de comparacó teórco de estos dcadores es el cero, pues e dstrbucoes absolutamete mesocurtcas todos los dcadores resulta ser cero, metras que s el dcador e egatvo o postvo, se dce que la curtoss es platcurtca o leptocurtca, respectvamete. S embargo, e aálss de datos cotuos e la práctca, uca se obtee coefcetes cero, por lo cual es bueo recomedar u tervalo e toro al cual se acepta la dstrbucó de los datos como mesocurtca. APLICACIÓN 4.5: Para los datos de vetas de aparatos eléctrcos que fuero: Dode el prmer y oveo decl, juto co el prmer y tercer cuartl está dados por: 5; 6; 8 y.5 udades, respectvamete. 5

33 Cosderado que estos datos mesuales de vetas so la poblacó estadístca de terés, se determa los coefcetes de curtoss: K = 6 5 = 0.9 m 4 = 57.3 α 4 = (.5 8) Luego, s cosderamos K, la dstrbucó tee u agudameto que se podría cosderar mesocúrtco, s embargo s usamos m 4 muestra ua clara tedeca platcúrtca. Esto se debe que K, a perddo formacó al resumr los datos, por esta razó el m 4 u coefcete más cofable e establecer el tpo de curtoss de los datos. APLICACIÓN 4.6: Para los datos agrupados de la Tabla 4.5, para los tempos de espera, dode la meda artmétca es 48,4 segudos, la desvacó estádar está dada por: f m m x (m x ) 4 f (m x ) 4 0,009 4,7-33,7 8979,78 608,3 0,034 3,3-5, 3969, ,03 0,094 3,9-6,5 740, ,9 0,88 40,5-7,9 3895,0 73,6 0,333 49, 0,7 0,4 0,08 0,56 57,7 9,3 7480,5 95,0 0,086 66,3 7,9 066,57 888,98 Total 43546,78 Utlzado las meddas calculadas aterormete como:. Q = 4.4 [segudos]. Q 3 = 56.5 [segudos] 3. D = 3.8 [segudos] 4. D 9 = 70. [segudos] Por lo tato se tee: K = 0.30 m 4 = α 4 =