OSCILACIONES 1.- INTRODUCCIÓN

Transcripción

1 OSCILACIONES 1.- INTRODUCCIÓN Una parte relevante de la asgnatura trata del estudo de las perturbacones, entenddas como varacones de alguna magntud mportante de un sstema respecto de su valor de equlbro. Algunas de las preguntas que habrá que contestar son del tpo, cómo se producen?, cómo se propagan?, cómo se detectan? Un suceso acaecdo en una zona del espaco y en un nstante de tempo S( r, t ) puede hacer cambar el valor de una propedad de dcha regón, Ψ, de modo que varíe su valor respecto del valor de equlbro Ψ( r, t ) Ψ ( r, t ) =Ψ ( r, t ) ±ΔΨ; este cambo local puede afectar a las zonas próxmas que camban a su vez el valor de la msma propedad, y a medda que pasa el tempo los cambos se rán producendo en lugares cada vez más dstantes de la zona ncal donde se ncó la perturbacón, dando lugar en los dferentes puntos del espaco a dstntos valores de la magntud en estudo Ψ ( r, t) / t > t ; para descrbr este proceso recurrmos al concepto de onda entendda como el medo o el mecansmo de transporte de energía o nformacón asocada a la magntud Ψ..- PERTURBACIÓN Entendemos por perturbacón cualquer varacón, en general transtora, que sufre un sstema respecto de su stuacón de equlbro y que puede descrbrse por el cambo que sufre alguna magntud físca, representatva del estado del sstema, respecto de su valor de equlbro. Las varacones pueden ser: a) Peródcas: en las cuales el patrón de varacón se repte cada certo ntervalo de tempo llamado perodo, y que a su vez se subdvden en dos grupos a 1) Armóncas o snusodales donde el patrón de varacón responde a funcones seno o coseno. a ) Inarmóncas o no snusodales cuando no responde a varacones tpo seno o coseno. b) Aperódcas: el patrón de varacón no se repte en el tempo. Para estudar los cambos que se producen en las magntudes físcas de un sstema concreto hemos de aplcar las leyes que rgen dchos sstemas. Estos pueden ser muy dspares y entre los más frecuentes tenemos: 1

2 Sstemas mecáncos: Se aplcarán las leyes de Newton, que se resumen en F = ma Traslacones τk = I α Gros k Ejemplos de sstemas mecáncos son a) el péndulo separado de su poscón de equlbro que al ser lberado oscla alrededor de dcha poscón de equlbro drgdo por la fuerza de la gravedad; b) el sstema masa muelle cuando se le saca del equlbro y se le lbera, la masa comenza a vbrar alrededor de su poscón de equlbro drgdo por las fuerzas elástcas que toman la forma Fe = F = k( x x ) s el cuerpo oscla según la dreccón del eje de las X s y donde k nos mde la resstenca que ofrece el muelle a los cambos en su longtud y se llama constante elástca del muelle, c) el osclador acústco drgdo por los cambos de presón. Sstemas electromagnétcos (S.E.M): Se aplcarán las ecuacones de Maxwell o cualquera de sus dervacones partculares como la teoría de crcutos. Ejemplos de sstemas electromagnétcos son los crcutos L C y las antenas donde a los electrones se les comunca energía y osclan gobernados por los prncpos del electromagnetsmo. Sstemas atómcos: En estos aplcamos dferentes leyes como la termodnámca, la físca estadístca y la físca cuántca. Como ejemplo ctar los átomos de un sóldo que no ocupan poscones fjas sno que vbran alrededor de sus poscones de equlbro debdo a la agtacón térmca causada por la temperatura. 3.- ANÁLISIS CUALITATIVO Para llevar a cabo un análss de este tpo convene recordar que como norma general los sstemas tenden espontáneamente a ocupar nveles mínmos de energía, es decr tenden al equlbro; en consecuenca para que un sstema realce una vbracón u osclacón (una magntud varía por encma y por debajo de su poscón de equlbro) se requeren dos condcones: C 1) Sacado el sstema de su estado de equlbro aparecen unos agentes (correntes eléctrcas, fuerzas, momentos, etc.) que tenden a restaurar el equlbro, es decr tenden a oponerse a que el sstema se aparte del equlbro. C ) El sstema debe poseer componentes nercales, para que no sólo se alcance el equlbro sno que se sobrepase en sentdo contraro al ncal para que el sstema pueda osclar por encma alcanzando estados por encma y por debajo del estado de equlbro. En térmnos de energía las condcones anterores son equvalentes a asocar a cada sstema de: C 1) Un almacén de energía relaconado con los agentes restauradores del equlbro tales que dotan al sstema de energía que puede ser energía potencal, energía eléctrca, etc. C ) Un transportador de energía relaconado con las componentes nercales y necesaro para sobrepasar en sentdo contraro el estado de equlbro. A estos elementos se les asoca energías tales como la energía cnétca, energía magnétca, etc. Vrtualmente todo sstema puede vbrar y puedo hacerlo de dferentes modos. En general, las vbracones naturales de objetos suelen ser, predomnantemente, rápdas, mentras que las de objetos grandes suelen ser lentas, así las alas de un mosquto vbran centenares de veces por segundo pero la Terra como un todo, después de un terremoto,

3 puede segur vbrando a un rtmo de una osclacón por hora. El msmo cuerpo humano es un fabuloso recpente de fenómenos vbratoros como mostró R. E. D. Bshop en Vbraton, Cambrdge Unversty Press, N. Y. 1965, escrbendo: Después de todo, nuestros corazones laten, nuestros pulmones osclan, trtamos cuando tenemos frío, a veces roncamos, podemos oír y hablar gracas a que vbran nuestros tímpanos y larnges. Las ondas lumnosas que nos permten ver son generadas por vbracones. Nos movemos porque hacemos osclar las pernas. N squera podemos decr correctamente vbracón sn que oscle la punta de nuestra lengua. Incluso los átomos que componen nuestro cuerpo vbran. Además de los sstemas naturales la humandad ha dseñado y estudado dversos sstemas artfcales como los que se ctan a contnuacón. Sstemas masa muelle, cuerpos que flotan, varllas que gran, amortguadores de gas, oscladores por torsón, resonador acústco de Helmholtz, crcutos L C, etc. La experenca nos dce que las osclacones lbres no se mantenen en el tempo y el sstema acaba por volver al equlbro; esto se debe a que el ntercambo de energía entre el almacén y el transportador no es perfecto y algo sempre se perde en el proceso debdo a la exstenca de unos agentes dspatvos (rozamento, radacón, etc.) que hacen que la energía ncal del sstema vaya dsmnuyendo contnuamente. 4.- ANÁLISIS CUANTITATIVO En el estudo de las osclacones abordaremos en prmer lugar los sstemas en los que no ntervenen elementos dspatvos n agentes externos a los que se les saca de su estado de equlbro y se lberan en un nstante de tempo dado (el osclador lbre), al anteror sstema le ncorporaremos agentes dspatvos para descrbr lo más felmente posble la realdad (el osclador lbre amortguado) y fnalmente ntroducremos los agentes externos que comuncan energía al sstema de modo contnuo (el osclador forzado). Todo ello lo haremos desde la perspectva de los sstemas electromagnétcos y mecáncos más sencllos, trabajando en paralelo Sstema masa muelle Esta formado por un muelle que tene un extremo fjo estando el otro undo a una masa m. El sstema deal consdera que el muelle carece de masa (el supuesto más realsta es consderar que la masa del muelle es mucho menor que la masa que realza las osclacones) y está defndo por la constante elástca k. S la osclacón tene lugar a lo largo de la dreccón marcada como X, y la masa en el equlbro ocupa la poscón de coordenada x entonces al separar la masa de la poscón de equlbro (ya sea estrando o comprmendo el muelle) hasta alcanzar una poscón de coordenada x, aparece una fuerza restauradora del equlbro que depende de la poscón F(x) y que puede expresarse por una sere de potencas alrededor de la poscón de equlbro x en la forma F ( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) d F x F x = F x + x x / F ( x ) = [4.1].! d x x= x 3

4 Como en el equlbro no exste fuerza recuperadora pues el muelle no está estrado n comprmdo tenemos que F ( x ) F( x) = y F( x) = k( x x) / k = [4.]! S los desplazamentos respecto del equlbro son pequeños, x x < 1, entonces ( x x) ( x x) F( x) k1( x x) desplazamento tenen sentdos contraros podemos poner ( ) ( ) <<, y tenendo en cuenta que la fuerza y el F x = k x x / k > Por últmo elgendo orgen de referenca en la poscón de equlbro la anteror expresón se transforma defntvamente en la fuerza elástca o restauradora que vamos a F x = F x = k x [4.3] utlzar en lo sucesvo, pudendo escrbr ( ) ( ) e Una aproxmacón como la descrta se denomna lneal o armónca y el sstema que vbra debdo a esta fuerza se llama osclador lneal o armónco. Defnendo las varables poscón, velocdad y aceleracón por dr dx dv d x r = x ; v = = = x ; a = = = x respectvamente, la segunda ley de dt dt dt dt Newton permte escrbr d x d x F = ma F = e k x = m m kx dt dt + = d x + = d x + k = + ω = / ω k = m kx x x x [4.4] dt dt m m La relacón [4.4] es una ecuacón dferencal de segundo orden que goberna la evolucón del sstema y que tenemos que resolver. 4

5 4..- Crcuto L C Supongamos un condensador de capacdad C, cargado con una carga Q y en un nstante t = cerramos el nterruptor S que le une a una bobna de autonduccón L; la pregunta que debemos hacernos es qué sucede en el crcuto a medda que pasa el tempo? Una vez que cerramos el crcuto comenza a descargarse el condensador generándose una corrente en el crcuto, así que en un nstante t cualquera la corrente en el crcuto será (t), y la carga en el condensador será q(t) de manera que con la notacón de la dq fgura =. dt Las leyes de Krchoff permten escrbr q d q d q Vc = ε = L + L = L C dt C dt dq 1 dq 1 1 L q q q q [4.5] + dt C = + dt LC = + ω = / ω = LC Las ecuacones dferencales [4.4] y [4.5] tenen la msma estructura y por lo tanto tenen la msma solucón. 5.- SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES TIPO [4.4] O [4.5] Dada la ecuacón dferencal k 1ψ + k3ψ = / k1 y k3 son constantes > [5.1], su solucón se halla a partr de las raíces de su polnomo característco construdo a través de una varable λ cuyos monomos se forman con el producto de un coefcente, que es el factor que multplca a cada uno de los térmnos de la ecuacón dferencal, y la varable elevada a una potenca que concde con el orden de la dervada del térmno correspondente; así k P 3 ( λ) = k1λ + k3λ = k1λ + k3 = λ1, =± j. k1 k S llamamos ω = ω 3 = que debe medrse en undades de nverso de k1 tempo, a la vsta de la ecuacón dferencal, la solucón más general, que pertenece al campo de los números complejos, se escrbe ˆ λ1t ˆ λt ˆ jω t ˆ jωt j ( ωt α) j( ωt β) ˆ / ˆ jα y ˆ jβ ψ t = Ae + Be = Ae + Be = Ae + Be A= Ae B= Be () La solucón físca se obtene elgendo ben sea la parte real ψ () t ˆ e ψ () t la parte magnara ψ () t =I ψˆ ( t) =R o m En el prmer caso, operando con las relacones de cosenos se llega a la solucón ψ () t = ψ cos C ( ωt+ δ ), donde las constantes ψ y C δ se determnan por medo de las 5

6 condcones ncales del problema concreto a tratar, que generalmente se determnan conocendo { ψ ( t = ) y ψ ( t = ) }. En el segundo caso, operando sobre las relacones de senos se llega a la solucón ψ () t = ψ sn S ( ωt+ δ ' ), donde al gual que antes, las constantesψ y ' S δ se determnan por medo de las condcones ncales del problema. A partr de ahora voy a elegr una funcón tpo coseno para hablar de la solucón de nuestra ecuacón dferencal [5.1] por lo que podemos escrbr de forma general que ψ k3 k3 () t = Acos ( ω t+ δ ) / ω = k ω = = 1 k ω 1 De la ecuacón dferencal se deduce que el parámetro ω = ω se mde en 1/ 1/ k 3 1/ [ ψ ] / ( T ) 1 1/ [ ψ ] [ T] S.E. [ ] [ ] 1 1 ω T segundo ( s 1 ) rad/s y se le k1 llama frecuenca angular de osclacón (frecuenca angular natural de osclacón). Los valores de A y δ se llaman respectvamente ampltud (o valor máxmo de la magntud) y constante de fase (o fase ncal) que representa el estado del sstema en el nstante t =, es decr { ψ ( t = ) y ψ ( t = ) } 5.1 CARACTERÍSTICAS 1.- ψ [ A, A]..- Perodo (T). Se defne como el mínmo ntervalo temporal transcurrdo entre dos nstantes que representen el msmo estado de osclacón { ψ, ψ }. Al ser funcones armóncas los valores volverán a concdr cuando la dferenca de argumentos sea exactamente π. ψ ( t+ T) = ψ ( t) y ψ ( t+ T) = ψ ( t) ω( t+ T) + δ ( ωt+ = π ωt = π π T = ( s) ω 3.- Frecuenca lneal de osclacón (f υ) como el nº de veces que se repte la osclacón en la undad de tempo (segundo). Se mde en cclos / s o Hercos (Hz) 1 f υ = (cclos/segundo [ c/s ] o Hercos [ Hz ] ) T 1 π f = ; T = ; ω = π f T ω 6

7 4.- Las constantes de ntegracón A y δ se determnan por medo de las condcones ψ t = = ψ y ψ t = = ψ entonces ncales, así s { ( ) ( ) } 1/ ψ ψ ψ y δ arctan ω ωψ A = + = 5.- Prmera y segunda dervada dψ ψ = = Aωsn ( ωt+ [1D] dt d ψ ψ = = Aω cos ( ωt + = ω ψ ψα ψ [D] dt Sempre que se verfque la condcón [D], que es equvalente a la propa ecuacón dferencal podemos asegurar que estamos ante un osclador armónco. 6.- ENERGÍAS EN EL OSCILADOR LINEAL 6.1 El sstema masa muelle Vamos a razonar sobre el osclador mecánco básco, para después generalzarlo al resto de los sstemas. La fuerza elástca es conservatva por lo que podemos hablar de la energía potencal asocada y además la energía total del sstema, la potencal más la cnétca, debe conservarse. du Fe ( x) = F( x) = k x F( x) = y EM = Ec + U = constante dx La solucón de nuestro osclador mecánco, ecuacón [4.4], tenendo en cuenta lo expuesto en el apartado anteror, y su dervada son 1/ k d x x() t = Acos ( ωt+ / ω = y x () t = = v= Aωsn ( ωt+ m dt La energía cnétca que lleva la masa vene dado por Ec = mv = mx = ma ω sn ( ωt+ = k A sn ( ωt+ [6.1] La energía potencal asocada a la masa, elgendo orgen de energías potencales en la poscón de equlbro será 7

8 = = = = + x x 1 1 U F dr k x dx k x k A cos t ( ω δ ) [6.] La energía total, tenendo en cuenta [6.1] y [6.], resulta ser 1 ET = Ec + U = k A = constante 6. El crcuto L - C Razonando del msmo modo para el crcuto L C tenemos que la solucón de [4.5] nos da la carga en el condensador, y su dervada temporal la corrente eléctrca 1/ 1 dq q() t = Qcos ( ωt+ / ω = y q () t = = = Qωsn ( ωt+ LC d t Por analogía, la energía cnétca anteror se converte en energía magnétca en la bobna, Q EM = L = Lq = LQ ω sn ( ωt+ = sn ( ωt+ [6.3] C Por analogía, la energía potencal anteror se converte en energía eléctrca en el condensador, 11 1Q UE = q = cos ( ωt+ δ ) [6.4] C C La energía total, tenendo en cuenta [6.3] y [6.4], resulta ser 1 Q ET = EM + UE = = constante C 6.3 El sstema general Razonando del msmo modo para el sstema genérco tenemos que la solucón de [5.1] nos da la varable ψ, y su dervada temporal la varableψ, por lo que obtenemos 1/ k dψ ψ ω δ ω ψ ω ω δ k1 dt Por analogía, la energía cnétca anteror se converte en E C = k1ψ = k1 A ω sn ( ωt+ = k3 A sn ( ωt+ [6.5] Por analogía, la energía potencal anteror se converte en 1 1 U = k3ψ = k3 A cos ( ωt+ [6.6] La energía total, tenendo en cuenta [6.5] y [6.6], resulta ser 1 ET = EC + U = k3 A = constante 3 () t = Acos ( t+ ) / = y () t = = A sn ( t+ ) En la sguente fgura se muestra la analogía entre los sstemas electromagnétco y mecánco. En ella se ponen de manfesto las equvalencas entre poscones y cargas, velocdades y correntes eléctrcas en dferentes nstantes de tempo que corresponden a certos valores de las energías nvolucradas, energía cnétca frente a energía magnétca mostrando la exstenca o no de campo magnétco en la bobna, energía potencal frente a energía eléctrca mostrando la exstenca o no de campo eléctrco en el condensador. 8

9 9

10 Como se ha vsto en los párrafos precedentes exste una total analogía entre los sstemas mecáncos y los sstemas eléctrcos, pudendo asocar a cada magntud o varable mecánca su correspondente magntud o varable eléctrca. Todo ello es una consecuenca de que ambos sstemas responden a la msma ecuacón dferencal. En el sguente cuadro se muestran las equvalencas entre varables. 1