; En el caso de fuerzas conservativas, de donde:

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1 MECÁNICA DE FLUIDOS. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Ecuación diferencial de la estática de fluidos en el caso particular de fuerzas conservativas. Analizar la relación entre las superficies equipotenciales y las isobaras. ; En el caso de fuerzas conservativas, de donde: ; resultando Si, superficie equipotencial, se cumple que, superficie isóbara Por tanto, las superficies equipotenciales son también isobaras. 2. El teorema de Bernoulli y la ecuación de continuidad representan principios de conservación. Indicar cuál es la magnitud que se conserva en ambos casos. SOLUCIÓN El Teorema de Bernoulli representa un Principio de Conservación de la Energía y la ecuación de continuidad representa un Principio de Conservación de masa. 3. Por la tubería horizontal representada en la figura circula agua. El diámetro de las secciones 1 y 3 es Ø = 20 cm, reduciéndose en la sección 2 a la mitad. Considere g = 10m/s a) Ordenar presiones y velocidades en los puntos 1,2,3 de mayor a menor b) Calcular el caudal, expresado en litros por segundo, si la diferencia de presiones entre ambas secciones es 0,3 kp/cm 2 c) Representar la línea de altura total y la línea de altura piezométrica cuando la presión en la sección ancha es 1kp/cm 2 a) Considerando el agua como un fluido ideal, se cumple: P 1 =P 3 >P 2 ; v 1 =v 3 <v 2 b) Considerando la diferencia de presión: Teniendo en cuenta que: 1,033 atm. técnica = 10,33 m.c.a, resulta Ecuación de continuidad, de donde: Teorema de Bernoulli para tubería horizontal z 1 = z 2 = z 3 = 0,1 m

2 El caudal es: c) Línea de Altura Total, teniendo en cuenta que 10,3 m 10,1 m 7,1 m LAT LAP En la pared lateral de un depósito de agua para riego hay una compuerta circular de radio r= 20cm, situada a un metro del fondo. Calcular la fuerza de empuje sobre la compuerta y la coordenada del centro de empuje, a) cuando el agua alcanza una altura de 8 m, b) cuando el agua alcanza una altura de 6 m, a) Cuando el agua alcanza una altura de 8 m, la fuerza de empuje se obtiene a partir de la expresión Donde es la densidad, la gravedad, la coordenada del centro de gravedad o profundidad del c.d.g. respecto a la superficie libre del líquido y A la superficie de la compuerta. ; La coordenada del centro de empuje se obtiene a partir de la expresión: Donde la coordenada del centro de gravedad, el momento de inercia de la compuerta circular respecto a un eje que pasa por el c.d.g. paralelo a la superficie libre del líquido y A la superficie de la compuerta.

3 b) Cuando el agua alcanza una altura de 6 m, la coordenada del centro de gravedad o profundidad del c.d.g. respecto a la superficie libre del líquido se obtiene: ; La superficie de la compuerta es la misma: 5. En el sistema de la figura el agua vierte a la atmosfera en el punto 4 a través de una tubería de 20 cm de diámetro. El nivel de agua en el depósito es H= 8m, la cota del punto 3 es y de los puntos 2 y 4 es. Considerando el agua como fluido ideal y, calcular: a) Velocidad del agua en los puntos de la tubería y caudal expresado en. b) Presiones manométricas en los puntos 1, 2, 3 y 4, expresando el resultado en m.c.a y en pascales. c) Representación de la línea de altura total y línea de altura piezométrica. 1 H=8m a) Teniendo en cuenta la expresión de Torricelli, la velocidad de vertido del punto 4 es: La sección de todos los puntos de la tubería es la misma y la velocidad también, b) Caudal: c) Los puntos 1, 2 y 4 están a presión atmosférica: = ; Aplicando el Teorema Bernoulli entre los puntos 1 y 3, se obtiene: d) Representación de la línea de altura total: 8 m.c.a= Cte 8 m L.A.T 6,2 m L.A.P

4 La altura piezométrica del punto 1 coincide con la altura total por estar en reposo. Los puntos 2, 3 y 4 tienen la misma altura piezométrica: 6. Por la tubería de la figura circula agua con un caudal que vierte a la atmósfera en el punto 3. El radio de la tubería es de 8 cm y se reduce a 5 cm en la boquilla de salida. La diferencia de altura es de 12m. Suponiendo el agua como un fluido ideal y tomando g=10m/s 2, Calcular: a) Velocidad del fluido en los puntos 1, 2 y 3 b) Presión manométrica en los puntos 1, 2 y 3 expresada en m.c.a. y Pascales c) Representación de la Línea de Altura Total y Línea de Altura Piezométrica m 3 a) Velocidad del fluido en los puntos 1, 2 y 3 Aplicando la ecuación de continuidad, se obtienen las velocidades: b) Presión manométrica en los puntos 1, 2 y 3 expresada en m.c.a. y Pascales Aplicando Bernoulli entre los puntos 2 y 3, considerando que : ; ; Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2, considerando que : ; Como el punto 3 vierte a la atmósfera su presión manométrica es nula. ; c) Representación de la Línea de Altura Total y Línea de Altura Piezométrica La altura total es constante e igual Cálculo de las alturas piezométricas:

5 H (m) 12,45 L.A.T. 12,38 12 L.A.P Por una tubería horizontal fluye agua a velocidad con una presión de. La tubería se estrecha hasta la mitad de su diámetro. a) Considerando el agua como un fluido ideal, indicar si la velocidad, presión y caudal disminuyen o aumentan al pasar de 1 (sección ancha) a 2 (sección estrecha) b) Calcular la velocidad y la presión en la sección estrecha de la tubería expresada en pascales (Pa) y metros de columna de agua (m.c.a). c) Representar la línea de altura total y la línea de alturas piezométricas de ambas secciones. Datos: g=10 m/s2; z 1 = z 2 = 0,3 m a) Considerando el agua como un fluido ideal, se cumple que al reducirse la sección la presión disminuye, la velocidad aumenta y el caudal permanece constante. Es decir: P 1 >P 2 ; v 1 <v 2; Q 1 = Q b) Si el diámetro, y en consecuencia el radio, se reduce a la mitad, la sección se reduce a la cuarta parte: ; Según la ecuación de continuidad La presión en el punto 1:, de donde: La presión en el punto 2 se obtiene a partir del Teorema de Bernoulli para una tubería horizontal con z 1 = z 2 = 0,3 m c) Línea de Altura Total,

6 Línea de Altura Piezométrica 16,35 m H m 16,30 m m 15,55 m m LAT LAP 8. El depósito de la figura se abastece del agua de lluvia y tiene una compuerta que se abre cuando el nivel alcanzado por el agua es de 6 m. La compuerta tiene forma cuadrada, de 1m de lado, y tiene su base situada 0,5 m por encima del fondo del depósito. Calcular: H=6 m x G =5 m 1 m a) La fuerza de presión sobre la compuerta. b) El centro de presiones c) Velocidad con que sale el agua d) Caudal que sale por la compuerta. 0,5 m a) Cuando el agua alcanza una altura de 6 m, el centro de gravedad de la compuesta está a una profundidad de la sección de la compuerta cuadrada es, por lo que la fuerza de presión sobre la compuerta resulta: b) El centro de presiones se obtiene a partir de la expresión: c) La velocidad con que sale el agua se calcula aplicando la ecuación de Torricelli:

7 d) El caudal se obtiene por la ecuación de continuidad: 9. Los depósitos A y B, de grandes dimensiones, están conectados por una tubería de sección variable. El nivel de agua en el depósito A es de 2m y el desnivel entre ambos depósitos es de 3m. El radio en el tramo de tubería 1 es 3 cm, reduciéndose a la mitad en el punto 2 y a un tercio en el punto 3. Considere g=10m/s 2 ; z 1 = 2,8m; z 2 = 1,5 m; z 3 =0 m y P 3 = P 0. Calcular: a) Presión manométrica en el fondo del depósito A, expresada en pascales y m.c.a. b) Velocidad con que vierte el agua en el depósito B (punto 3) y caudal expresado en l/s. c) Velocidad en los puntos 1 y 2. d) Representar la línea de altura total y línea de altura piezométrica e) Diferencia de altura h entre los piezómetros situados en los puntos 1 y 2. 2 m A h m 2,8 m 1,5m B 3 a) La presión manométrica en el fondo del depósito coincide con la altura de agua del mismo b) Para obtener la velocidad en el punto 3, velocidad con el agua vierte al depósito B, se aplica la ecuación de Torricelli, considerando la diferencia de altura 5 metros. El caudal se obtiene aplicando la ecuación de continuidad. c) Aplicando la ecuación de continuidad, se obtienen las velocidades en los puntos 1 y 2. d) La línea de altura total se mantiene constante e igual a 5 m para todos los puntos ; La línea de altura piezométrica se obtiene restando a la altura total la componente de la velocidad:

8 La altura piezométrica del punto 3 es nula ya que se ha considerado como plano de referencia la superficie libre del depósito B. e) La diferencia de altura h entre los piezómetros situados en los puntos 1 y 2, se calcula por diferencia de altura piezométrica. Representación de la Línea de Altura Total y Línea de Altura Piezométrica 5m 4,94m 4,03m LAT LAP A B