TEMA 2 EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Transcripción

1 TEMA 2 EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES

2 EXPERIMENTOS: EJEMPLOS Deterministas Calentar agua a 100ºC vapor Soltar objeto cae Aleatorios Lanzar un dado puntos Resultado fútbol quiniela Respuesta en una encuesta Sí/No

3 EXPERIMENTO ALEATORIO Los experimentos determinísticos son modelizados mediante ecuaciones que ponen en relación la respuesta con las variables causales Un experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado. El desconocimiento de las causas que provocan una respuesta tiene como consecuencia que sea más fácil modelizar un experimento como aleatorio.

4 ESPACIO MUESTRAL Aunque no se conozca el resultado particular de un experimento aleatorio, sí es posible conocer el conjunto de todos los posibles resultados. ESPACIO MUESTRAL Ω

5 ESPACIO MUESTRAL El espacio muestral es un conjunto no vacío que puede ser: Finito numerable Lanzamiento de un dado: Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} Infinito numerable Contar el número de lanzamientos de un dado hasta que salga cara por primera vez: Ω={1, 2,...} Infinito no numerable Escoger al azar un punto en el intervalo unidad: Ω=[0,1]

6 SUCESOS Un elemento cualquiera ω perteneciente a Ω se denomina suceso elemental Un suceso es cualquier subconjunto A de Ω Un suceso A ocurre si el resultado del experimento aleatorio es un elemento ω perteneciente a A

7 SUCESOS ALEATORIOS. EJEMPLOS EJEMPLOS: Dado: A= puntuación par ={2, 4, 6} B= puntuación mayor que 5 ={6} Número al azar en intervalo [0,1]: A= mayor que 0.5 =(0.5,1] B= racional =Q [0,1 ]

8 SUCESOS ELEMENTALES Y COMPUESTOS (II) EJEMPLOS: Dado: A= Obtener puntuación par B= Obtener múltiplo de 3 Quiniela: A= Empatar B= No ganar en casa C= Obtener múltiplo de 5 Elemental Compuesto C A,B Elemental Compuesto A B

9 SUCESOS SEGURO E IMPOSIBLE (I) Ω es el suceso seguro es el suceso imposible

10 SUCESOS SEGURO E IMPOSIBLE (II) Dado: A= Obtener puntuación menor que 7 B= Obtener múltiplo de 7 A es suceso seguro, B es suceso imposible Futbol: A= Algún equipo obtenga puntos B= Ningún equipo obtenga puntos A es suceso seguro, B es suceso imposible

11 OPERACIONES CON SUCESOS Los sucesos son conjuntos y por lo tanto pueden ser manipulados con las operaciones: UNIÓN Ocurre el suceso A o el B: A B INTERSECCIÓN Ocurren los sucesos A y B: A B COMPLEMENTARIO No ocurre el suceso A: A c

12 OPERACIONES CON SUCESOS: PROPIEDADES UNIÓN A B=B A (A B) C=A (B C) A A c =W A =A INTERSECCIÓN A B=B A (A B) C=A (B C) A A c = A = A (B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C) COMPLEMENTARIO W c = c = W (A c ) c =A (A B) c =A c B c (A B) c =A c B c

13 ÁLGEBRAS

14 ÁLGEBRAS. PROPIEDADES

15 ÁLGEBRAS. EJEMPLOS

16 s-álgebras

17 CÁLCULO DE PROBABILIDADES

18 INTRODUCCIÓN La idea de probabilidad surge por la necesidad de medir la incertidumbre o verosimilitud que posee cada suceso asociado a un experimento aleatorio.

19 DEFINICIÓN EMPÍRICA (I) EJEMPLO:Anotamos el número de caras en N lanzamientos de una moneda y calculamos su frecuencia relativa Interpretación frecuentista de la probabilidad 1 frecuencia relativa 0, N

20 DEFINICIÓN EMPÍRICA (II) Supongamos que se repite un experimento n veces y se observa que el suceso A ocurre k veces, entonces: No es posible desarrollar una teoría coherente con esta definición

21 PROPIEDADES DE LA DEFINICIÓN EMPÍRICA. La frecuencia relativa del suceso seguro es 1. La frecuencia relativa de cualquier suceso es no negativa La frecuencia relativa de la unión de dos sucesos incompatibles es la suma de las frecuencias de ambos.

22 ESPACIOS DE PROBABILIDAD

23 PROPIEDADES BÁSICAS

24 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Ω={ω 1, ω 2,...} NUMERABLE Una función de probabilidad es una aplicación, p, que a cada ω k le asigna un valor p k =p(ω k ), tal que: 1. p k 0 2. Σ k p k =1

25 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Dada una función de probabilidad p sobre un espacio muestral Ω={ω 1, ω 2,...} NUMERABLE se define: Entonces es un espacio de probabilidad

26 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Si Ω={ω 1, ω 2,..., ω Ν } es finito y p 1 =p 2 =...=p N =1/N REGLA DE LAPLACE

27 TÉCNICAS PARA CONTAR. Exhaustivas: Escribir todos los resultados posibles. A veces son útiles los diagramas de árbol. No exhaustivas: Contar los resultados sabiendo la característica que cumplen. A veces es muy útil la Combinatoria: permutaciones, variaciones,...

28 TÉCNICAS PARA CONTAR.

29 PROBABILIDAD DEL SUCESO COMPLEMENTARIO Ejemplo: Probabilidad de que en una clase de n personas haya al menos 2 con la misma fecha de cumpleaños. n p Para n=22, p=0.476, para n=23, p=0.507

30 PROBABILIDAD CONDICIONADA (I) Probabilidad de un suceso, sabiendo que otro ha ocurrido. Ejemplo: Dado Supongamos que sale un múltiplo de 3. Cuál es la probabilidad de obtener el 3? A=obtener el 3 B=múltiplo de 3 P(A B)=1/2 Sin embargo: P(A)=1/6

31 PROBABILIDAD CONDICIONADA (II) La probabilidad de que ocurra un suceso A condicionado a que otro suceso B con probabilidad no nula haya ocurrido es PA ( / B) = P( A B) PB ( ) La probabilidad de la intersección de sucesos es: P( A B) = P( A/ B) P( B)

32 PROBABILIDAD CONDICIONADA. EJEMPLO Sorteo no equitativo: En una clase de 27 alumnos, el AMPA sortea un premio en la fiesta de fin de curso. Cada alumno tiene un número asignado. Se coge una bolsa con 27 bolas y se extrae una al azar. Se cogen bolas numeradas del 0 al 9 y se realiza una extracción en dos pasos. En el primero se extraen una de las bolas 0, 1 y 2. En el segundo se extrae una de entre todas las bolas.

33 INDEPENDENCIA DE SUCESOS Dados dos sucesos A y B con probabilidades no nulas, decimos que son independientes si PA ( / B) = PA ( ) y PB ( / A) = PB ( ) En estos sucesos se puede calcular cómodamente la probabilidad de la intersección. P( A B) = P( A) P( B)

34 INDEPENDENCIA DE SUCESOS. EJEMPLOS Ejemplo: Calcular la probabilidad de que al sumar la puntuación obtenida en el lanzamiento de dos dados, obtengamos un 10.

35 INTERSECCIÓN DE MÁS DE DOS SUCESOS Sucesos no independientes: PA ( A A) = 1 2 n = PA ( / A A A ) PA ( / A) PA ( ) n 1 2 n Regla de la multiplicación. Sucesos independientes: PA ( A A) = PA ( ) PA ( ) PA ( ) 1 2 n 1 2 n

36 SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS Los conjuntos A 1, A 2,... A n forman un sistema completo de sucesos si ( A A = i j) i j A A A =Ω 1 2 n Encuesta: A= ningún hijo B= un hijo C= dos hijos D= más de dos hijos Los sucesos A, B, C y D forman un sistema completo de sucesos

37 PROBABILIDAD TOTAL (I) Dado un sistema completo de sucesos A 1, A 2,...,A n la probabilidad de un suceso S es P( S) = P( A) P( S/ A) + P( A ) P( S/ A ) + + P( A ) P( S/ A n n

38 PROBABILIDAD TOTAL (II) Ejemplo: Supongamos que en un centro educativo la altura del 4% de alumnos y del 1% de las alumnas es superior a 1.80 metros. Además el 60% de estudiantes es mujer. Encontrar la probabilidad de coger a un estudiante de altura superior a 1.80 metros. S= altura superior a 1.80 M= ser mujer H= ser hombre P(S M)=0.01 P(S H)=0.04 P(M)=0.6 P(S)=P(S M)P(M)+P(S H)P(H)=0.022

39 TEOREMA DE BAYES (I) Dado un sistema completo de sucesos A 1, A 2,...,A n y un suceso cualquiera S con probabilidad no nula PA ( / S) i PA ( i S) PS ( / Ai) PA ( i) = = n PS ( ) PS ( / A) PA ( ) j= 1 j j con P(A i ) la probabilidad a priori de A i y P(A i S) la probabilidad a posteriori de A i.

40 TEOREMA DE BAYES (II) En el ejemplo anterior, calcular la probabilidad de que el estudiante escogido fuera mujer sabiendo que medía más de PS ( / M) PM ( ) 3 PM ( / S) = = = 0.27 PS ( ) 11

41 Ejemplo TEOREMA DE BAYES (III) Se administra una prueba para detectar usuarios de drogas. Prevalencia en la población: 3% Detecta el 95% de los usuarios (sensitividad) Cuando se administra a alguien que no la usa, da negativa en el 98% de los casos (especificidad). La prueba dio positiva, cuál es la probabilidad de que la persona use drogas?

42 TEOREMA DE BAYES (IV) P( Usa) =.03 P( Prueba + Usa) =.95 P( Prueba - No usa) =.98 Queremos saber P( Usa Prueba +)

43 TEOREMA DE BAYES (V) Diagrama de árbol Usa.03 Selecciono una persona.97 No Usa Prueba + Prueba - Prueba + Prueba - cuál es la probabilidad de haber pasado por aquí? Si estoy aquí o aquí,

44 TEOREMA DE BAYES (VI) PUsay ( Pr ueba+ ) PUsa ( /Pr ueba+ ) = = P(Pr ueba+ ) P(Pr ueba + / Usa) ip( Usa) = P(Pr ueba + / Usa) ip( Usa) + P(Pr ueba + / No Usa) ip( No Usa =