Tema 4.4: Teorema de Riemann de singularidades evitables. Ceros de una función holomorfa. Principio de identidad

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1 Tema 4.4: Teorema de Riema de sigularidades evitables. Ceros de ua fució holomorfa. Pricipio de idetidad Facultad de Ciecias Experimetales, Curso E. de Amo Comeamos e este tema extrayedo las primeras coclusioes a las que podemos llegar a partir del hecho de que toda fució holomorfa sea aalítica. Teorema (de Riema de sigularidades evitables). Sea u abierto del plao C, a 2 y f 2 H (fag). So equivaletes: i. 9g 2 H () : g() = f(); 8 2 fag: ii. 9 lim f() 2 C: iii. f está acotada e u etoro perforado de a: iv. 9 lim ( a) f() = 0: A tal puto lo llamaremos sigularidad evitable de f: Demostració. i. ) ii. ) iii. ) iv., so evidetes. iv. ) i. De amos la siguiete fució auxiliar: F :! C; F () := ( a) 2 f(a); 2 fag 0; = a : Dado que fag es u abierto, por el carácter local de la derivabilidad, F 2 H (fag). Además: lim F () F (a) a = lim ( a) f() = 0; luego F es holomorfa e todo. Desarrollemos F e serie de potecias e u etoro de a: F () = +X c ( a) ; 8 2 D(a; r)

2 para algú r > 0. Pero observemos que c 0 = F (a) = 0 y c = F 0 (a) = 0; luego: F () = ( De amos X+ a) 2 c +2 ( a) ; 8 2 D(a; r): ' : D(a; r)! C; ' () := Claramete, +X c +2 ( a) ; 8 2 D(a; r): ' 2 H (D(a; r)) : ' () = f(); 8 2 D(a; r)fag: Fialmete, sea la fució g :! C dada por: f(); g() := ' (a) ; 2 fag = a Esta fució g, así de ida, es holomorfa e fag y coicide co ' e el disco D(a; r); luego tambié será holomorfa e a. Cosecuetemete, g es la fució que buscamos e i. Q.E.D. Ya estamos e "codicioes de acabar" co las pseudo-extesioes: Corolario. Sea u abierto del plao C, a 2 y f 2 H (fag) \ C (). Etoces f 2 H () : Demostració. Por cotiuidad de f e a, teemos que existe lim f() = f(a). De ii. ) i., e el teorema aterior, se tiee lo deseado. Q.E.D. A cotiuació os vamos a pregutar por cuál ha de ser el tamaño del cojuto de los ceros de ua fució holomorfa; o bie, e cuátos putos de u domiio ha de coicidir dos fucioes para que sea idéticas? Como observaremos, la coexió del abierto pasa ya a cobrar ua importacia decisiva e este curso. Teorema. Sea u domiio del plao C, f 2 H () y A := f 2 : f() = 0g. So equivaletes: i. A 0 \ 6=?: ii. 9a 2 A : f ) (a) = 0; 8 2 N: iii. f() = 0; 8 2 : Demostració. i. ) ii. Por argumetos de cotiuidad, al ser a 2 A 0 \, será f(a) = 0. Raoemos por reducció al absurdo: 2 N : f ) (a) 6= 0 6=?: Llamemos k al míimo de tal cojuto ( por qué podemos a rmar que existe?). Sea, pues existe, r > 0 tal que D(a; r). Así, para 2 D(a; r): f() = +X =k X + c ( a) = ( a) k c +k ( a) +k =: ( a) k g(): 2

3 De este modo, hemos de ido, mediate ua serie de potecias, ua fució aalítica g e u disco cetrado e a. Pero esta fució g veri ca que g(a) = c k = f k) (a) k! 6= 0; de lo cual se sigue que E cosecuecia, 9 > 0 : 2 D(a; ) ) g() 6= 0: 2 D(a; )fag ) f() 6= 0 ) =2 A ) A \ D(a; ) = fag ) a 2 Ais (A) ; pero esto cotradice que a 2 A 0. ii. ) iii. Sea el cojuto o B := 2 : f ) () = 0; 8 2 N [ f0g : Es B 6=?. ( Por qué?) Pretedemos hacer uso del lema de coexió: sea b 2 B. Podemos supoer que, para cierto r > 0, D(b; r). Veamos que, de hecho, es D(b; r) B. E efecto: desarrollado la fució f e serie de potecias e toro de b, tedremos: f() = +X f ) (b)! ( b) ; 8 2 D(b; r): Pero, al ser b 2 B, se sigue que f ) (b) = 0 para 2 N [ f0g; y, e cosecuecia, f() = 0, para todo 2 D(b; r). Así, 2 B, sea quie sea e el disco D(b; r). Luego B = : iii. ) i. Es evidete, o? Q.E.D. Más adelate se verá que, co domiio y A := f 2 : f() = 0g subcojuto propio si putos de acumulació e, podemos ecotrar ua fució holomorfa e cuyo cojuto de ceros es, exactamete, A. O dicho de otro modo: o se puede decir más de lo que ya se dice e este resultado. Corolario (Pricipio de Idetidad). Sea u domiio del plao C, f; g 2 H () y A := f 2 : f() = g()g. Si A 0 \ 6=?, etoces f() = g(); para todo e. Cosecuecia imediata de este hecho: la expoecial compleja y el seo y coseo complejos so las úicas extesioes eteras de las correspodietes fucioes reales. Corolario. Sea u domiio del plao C y f 2 H (). Supogamos que f o sea idéticamete ula e. Etoces, el cojuto A := f 2 : f() = 0g es umerable. Para su demostració precisaremos del siguiete resultado (válido e espacios métricos): 3

4 Lema (de la sucesió exhaustiva de compactos). Para todo abierto C, existe ua sucesió de compactos (K ) tal que K K + ; 8 2 N y + [ K = : Demostració. Basta cosiderar, para cada atural, K := D(0; ), e el caso de que = C. E casocotrario, la sucesió de compactos o a cosiderar puede ser la dada por: K := 2 D(0; ) : dist (; C) : Q.E.D. Demostració (del Corolario). Co la otació del lema para la sucesió exhaustiva de compactos, y haciedo uso del teorema de Bolao-Weierstrass, el cojuto A\K es ito para cada. (Si fuese i ito habría acumulació de A e y, e cosecuecia, habría de ser f 0, lo cual es falso). E cosecuecia, como A = + [ (A \ K ) ; se sigue la umerabilidad de A: Q.E.D. De ició (de Orde de u cero de ua fució holomorfa). Sea f ua fució holomorfa e u puto a, dode f(a) = 0, pero supogamos que f o es idéticamete ula e u etoro del puto a. Llamamos orde del cero de la fució f e el puto a (e virtud de que k 2 N : f k) (a) 6= 0 6=?) al míimo atural k tal que f k) (a) 6= 0. Corolario. Sea u abierto del plao C; f 2 H (), a 2 y k 2 N. So equivaletes: i. f tiee u cero de orde k e a: ii. 9g 2 H () : f() = ( a) k g(); 8 2 co g(a) 6= 0: Demostració. i. ) ii. Cosideremos la fució auxiliar ' () := f() ; 8 2 fag: k ( a) Tal fució será holomorfa e fag, pero " ( a) ( a) k lim ( a)'() = lim ( a) k = lim " ( a) +X +X =k f ) (a) (! a) # k # f +k) (a) ( a) ( + k)! = 0: Así, aplicado el teorema de Riema de sigularidades evitables, tedremos que existe la fució g (que coicide co ' e, y que es la) pedida e ii. ii. ) i. Es cierto si más que derivar e la expresió de la hipótesis. Q.E.D. 4

5 EJERCICIOS PROPUESTOS.. Cuáles de las siguietes fucioes tiee sigularidades evitables e el orige? a. f() := si() ; b. g() := exp ; (exp() )2 c. h() := ; d. j() := si() 2 : 2. Prueba que la fució f : D(0; )! C de ida por f() := cot () (0 < jj < ) ; f(0) = es holomorfa e D(0; ). Obtega el desarrollo de Taylor de f cetrado e el orige haciedo uso de los úmeros de Beruilli. Deducir el desarrollo de Taylor de la fució tagete e u etoro del orige. (Idicació: si se 2 6=, se tiee 2 cot () = cot () ta():) 3. Sea u abierto del plao C y f ua fució cotiua e él. Supogamos que f 2 2 H () : Prueba que, etoces se tiee que f 2 H () : 4. Prueba que toda fució etera f para la que se veri que jf()j A + B jj k ; 8 2 C; dode A; B; k 2 R +, es u poliomio. Puedes cocretar algo sobre su grado? 5. Sea u domiio del plao complejo C tal que si 2 ; etoces 2. Sea, por otra parte, ua fució f holomorfa e tal que si 2 \ R; etoces f() 2 R. Prueba que, e este caso, se tiee f() = f(); para cualquiera que sea e : 6. Sea f y g dos fucioes holomorfas e u puto a tales que f(a) = g(a) = 0. Supogamos que igua de ellas es idéticamete ula e u etoro de a. Pruébese que el cociete f g tiee límite, posiblemete, e el puto a, y además f f 0 lim () = lim g g 0 (): 7. Sea u domiio de C y sea f y g dos fucioes folomorfas e. Dado u puto a 2 ; supogamos que existe ua sucesió de putos fa g fag covergete a a tal que f 0 (a )g(a ) = f(a )g 0 (a ); 8 2 N: Prueba que las fucioes f y g so dos fucioes liealmete depedietes. 8. Prueba que si f es ua fució etera o costate, etoces existe a 2 C tal que Re f(a) = 0: Prueba que o existe igua fució aalítica tal que sobre la sucesió, tome los valores a. ; 0; ; 0; :::; b. ; 0; 2 ; 0; 3 ; :::; c. ; 2 ; 3 ; 2 4 ; 5 ; 2 6 ; :::; d. f 2k 6= 0; f 2k = 0; 8k 2 N: 5

6 9. Sea u domiio de C y sea f y g dos fucioes folomorfas e. Supogamos que f 2 = g 2 e. Prueba que e este caso, o bie f = g, o bie f = g. 0. E cada uo de los siguietes casos, decídase si existe o o ua fució holomorfa e el orige y tal que f = a para todo atural su cietemete grade, cuado: a. a 2 = ; a 2 = 0; b. a 2 = a 2 = c. a = + :. Existe fucioes f aalíticas e el itervalo ] ; [, tales que para cada atural veri que la siguietes relacioes? a. f 2 = f 2+ = ; b. f = f = ; 2 c. f = f = : 3 2. Prueba que si el abierto es u domiio, etoces el aillo H () es u domiio de itegridad. 3. Dé u ejemplo de fució holomorfa e el disco uidad D, co i itos ceros y o idéticamete ula. 2 ; 6