SISTEMAS DE ECUACIONES

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1 Tema 3 SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Se consideran las matrices 1 2 λ A = y 1 3 B = λ 0, donde λ es cualquier número real. 0 2 a) Encontrar los valores de λ para los que AB es invertible b) Determinar los valores de λ para los que BA es invertible c) Dados a y b, números reales cualesquiera, puede ser el sistema a A y = compatible determinado? b z 2.- Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos, sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años 3.- En una tienda, un cliente se ha gastado 150 euros en la compra de 12 artículos, entre discos, libros y carpetas. Cada disco le ha costado 20 euros, cada libro 15 euros, y cada carpeta 5 euros. Se sabe que entre discos y carpetas hay el triple que de libros. a) Formula el sistema de ecuaciones asociado al enunciado anterior. b) Determina cuántos artículos ha comprado de cada tipo. 4.- En una reunión hay 60 personas entre altas, medias y bajas. Se sabe que entre las bajas y las medianas duplican el número de altas. También se sabe que las altas y el doble de las medianas son el doble de las bajas. Cuál es el número de personas altas, medianas y bajas? Justifica la respuesta. 5.- Dos kilos de naranjas, más un kilo de plátanos, más dos kilos de mangos, valen 16,75 euros. Dos kilos de naranjas, más dos kilos de plátanos, más 3 de mangos, valen 25 euros. Tres kilos de naranjas, más un kilo de plátanos, más dos kilos de mangos, valen 17,75 euros. Cuánto vale 1 kilo de naranjas? Cuánto vale 1 kilo de plátanos? Cuánto vale 1 kilo de mangos? 6.- (Modelo 2004) Discutir según los valores del parámetro λ, y resolver en los casos en que sea posible el sistema: 6x + 4y + 2λz = 2 λx + y z = 2 5x + 3y + 3z = 2λ Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 1

2 7.- (Modelo 2004) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a: x + 3y az = 4 x + ay + z = 2. x + 4y 5z = 6 Se pide: a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a b) Resolver el sistema cuando tenga infinitas soluciones 8.- (Modelo 2004) a) Discutir según los valores del parámetro m el sistema 2mx + 2y + mz x + my z 4x + 3y + z = 2m b) Resolver el sistema anterior en los casos en que sea compatible 9.- (Modelo 2004) Considerar el siguiente sistema de ecuaciones, en el que a es un parámetro real: ax + 4y + az = a 4x + ay az = a x y + z, Se pide: a) Discutir el sistema b) Resolver el sistema para a 10.- (Junio 2004) Dado el sistema ( 1 ax ) 2y+ 4z= 0 x ( 1+ ay ) + z= 0 x + ay z a) Estudiar la compatibilidad según los valores del parámetro a b) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado 11.- (Junio 2004) x + 2y a) Dado el sistema escribir una tercera ecuación de la forma ax+by=c (distinta de las dos anteriores) de 3x y = 2 manera que el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas resultante siga siendo compatible 2x + 2y z b) Dado el sistema, escribir una tercera ecuación de la forma ax + by + cz (distinta de las x + y + 2z dos anteriores) de manera que el sistema resultante sea compatible indeterminado. Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 2

3 12.- (Septiembre 2004) a) Discutir según los valores del parámetro real λ el sistema λx + 3y + z = λ x + λy + λz x + y z b) Resolverlo para el caso λ = (Junio 2005) Dado el sistema de ecuaciones: ( m 1) x + y + z = 3 mx + ( m 1) y + 3z = 2m 1 x + 2y + ( m 2) z = 4 a) Discutirlo según los distintos valores de m b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado 14.- (Junio 2005) a) Resolver el sistema de ecuaciones x + 2y + 3z 2x + y z = 2 b) Hallar dos constantes α y β de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación: 5x + y + αz = β el sistema resultante sea compatible indeterminado x + ky z 15.- (Junio 2006) Dado el sistema homogéneo: kx y + z ( k + 1) x + y distintas de x=y=z=0. Resolverlo en tales casos averiguar para qué valores de k tiene soluciones 16.- (Junio 2006) Dada la matriz 1 2 A = 0 1 encontrar todas las matrices a b P = c d tales que AP = PA 17.- (Septiembre 2006) a) Resolver el sistema de ecuaciones: x + y 3z 2x + 3y z = 5 b) Hallar la solución del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a cada una de las tres incógnitas sea igual a (Junio 2007) Sean las matrices A 2 0 = 0 1 y 8 9 B = 6 7. Hallar la matriz X tal que: XAX 1 = B Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 3

4 19.- (Septiembre 2007) Dado el sistema de ecuaciones lineales x+ ( k + 1) y + 2z = 1 kx + y + z = k ( k 1) x 2y z = k + 1 a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro k b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones 20.- (Junio 2008) Dado el sistema de ecuaciones lineales: x ay = 2 ax y = a + 1 a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la solución sea única. b) Determinar para qué valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y = (Septiembre 2008) Resolver el siguiente sistema: x 2y + z 3v = 4 x+ 2y + z+ 3v = 4 2x 4y + 2z 6v = 8 2x+ 2z 22.- (Septiembre 2008) El cajero automático de una determinada entidad bancaria sólo admite billetes de 50, de 20 y de 10 euros. Los viernes depositan en el cajero 225 billetes por un importe total de 7000 euros. Averiguar el número de billetes de cada valor depositados, sabiendo que la suma del número de billetes de 50 y de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20 euros (Modelo ) Dado el sistema de ecuaciones: x y = 3 2x 3y = 2k 3x 5y = k a) Discutirlo según los valores del parámetro k b) Resolverlo en los casos en que sea posible 24.- (Junio 2009) Dado el sistema 4x+ 4λy+ 2z = 2λ λx+ y λz = λ 4λx+ 4λy+ λz = 9 a) Discutir el sistema según los valores del parámetro λ b) Resolver el sistema para λ = 1 Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 4

5 25.- (Junio 2009) Dado el sistema: 2x y = λ λx 2y = 4 3x y = 2 a) Discutir el sistema según los valores del parámetro λ b) Resolver el sistema cuando sea posible 26.- (Septiembre 2009) Dado el sistema: λx+ 2y+ z λx y+ 2z x λ y + 2z a) Obtener los valores del parámetro λ para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de x=y=z=0 b) Resolver el sistema para λ = (Modelo ) Discutir razonadamente, en función del parámetro k, el siguiente sistema: x + ky + z = k + 2 kx + y + z = k x + y + kz = 2( k + 1) 28.- (Modelo ) Dado el sistema: x+ z = 2 x+ λ y z = 4 λx y z = 5 a) Discutirlo para los distintos valores del parámetro λ b) Resolverlo cuando el sistema sea compatible indeterminado c) Resolverlo para λ = (J 2010) (2) Dado el sistema homogéneo de ecuaciones: x + ky z 2x y+ 2z x 4y + kz a) (1) Determinar para qué valores del parámetro k el sistema tiene soluciones distintas de x=y=z=0 b) (1) Resolverlo para el caso k = 3 Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 5

6 30.- (J 2010) (2) Se considera el sistema de ecuaciones : 2x + my + 3z = 3 x+ y 2z 5 x+ ( m+ 1) y+ z = 9. Se pide: a) Discutir el sistema según los valores de m b) Resolver el sistema para el caso m x + ay z = a 31.- (J 2010) (3) Dado el sistema de ecuaciones: ax + 2z = 2 x+ z = 2 a) Discutirlo según los valores del parámetro a b) Resolverlo en el caso a 32.- (S 2010) (3) El sistema AX = B, donde matriz B A 2 0, a 5 a X = y z tiene diferentes soluciones según sea la a) Determinar, si existen, el valor o valores de a para los que el sistema es compatible determinado (independientemente del valor de B) b) Si a = 4 y 0 B = 1 b, determinar el valor o valores de b para los que el sistema es incompatible c) Si a = 4 y 0 B= c 10 indeterminado. Resolver el sistema, determinar, si existen, el valor o valores de c para los que el sistema es compatible 33.- (S 2010) (3) Dado el sistema de ecuaciones x + y + kz = k 2 x + ky + z = k kx + y + z a) Discutirlo según los valores del parámetro k b) Resolverlo para k Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 6

7 34.- (S 2010) (3) Dada la matriz: m 1 1 m 1 A m 1 m m 1 a) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro m b) En el caso m, resolver el sistema: 0 y A z 0 t 35.- (S 2010) (2) Dado el sistema: x+ 2y z 2x y+ z = 3 a) Estudiar la compatibilidad del sistema b) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta c) Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta 36.- (Modelo 2011) (3) Dado el sistema: λx+ λz = 2 x+ λ y z x + 3y + z = 2λ a) Discutir el sistema según los valores del parámetro λ b) Resolver el sistema para λ 37.- (J 2011) (3) Dada la matriz 2 2a 2 a A= 1 a a, a) Calcular el rango de A en función de los valores de a b) En el caso a = 2, discutir el sistema 2 A y = 1 z b en función de los valores de b, y resolverlo cuando sea posible c) En el caso a, resolver el sistema 1 A y = 2 z 2 Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 7

8 38.- (J 2011) (3) a) (2) Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde Según los valores de m. 0 1 m 1 m A m 1 1, X= y, B= m m z m+ 2 b) (1) Resolver el sistema en los casos m y m., 39.- (S 2011) Dado el sistema de ecuaciones lineales 2x + 4y = 4k 3 2 k x + k y + kz 2 x + ky = k a) (2)Discutirlo en función del valor del parámetro k b) (0,5)Resolver el sistema para k c) (0,5)Resolver el sistema para k = (M 2012) (3) Dado el sistema lineal de ecuaciones: x+ y+ 2z = 2 3x + 2y + 3z = 2 2x + my 5z = 4 a) (2) Discutir el sistema según los valores de m b) (1) Resolverlo para m 41.- (M 2012) (3) Dado el sistema x+ 2y 3x+ y = a 3x + 2ay = 7 a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a b) Resolver el sistema cuando sea compatible 42.- (J 2012) (3) Dadas las matrices 2 k k k 12 4 A= 1 1 k, B= 6, C= 3, X = y 2k z a) (1,5) Hallar el rango de A en función de los valores de k b) (0,75) Para k = 2, hallar, si existe, la solución del sistema AX = B c) (0,75) Para k, hallar, si existe, la solución del sistema AX = C Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 8

9 43.- (J 2012) (2) Dadas las matrices A= 2 1 0, B= a a 3+ a 3 a) Estudiar el rango de la matriz B en función de a b) Para a, calcular la matriz X que verifica AX = B (S 2012) (3) Dado el sistema de ecuaciones lineales 3x + ay + 4z = 6 x + ( a+ 1) y + z = 3 ( a 1) x ay 3z = 3 a) (2)Discutir el sistema según los valores de a b) (1) Resolverlo para a = (S 2012) (2) Dado el sistema de ecuaciones lineales: x 2z = 2 ax y + z = 8 2x + az = 4 a) (1,5) Discutir el sistema según los valores de a b) (0,5) Resolverlo para a = (M 2013) (3) Dado el sistema: x + 2 y + ( m+ 3) z = 3 x + y + + m m z = 2x + 4 y + 3( m+ 2) z = 8 2 (4 ) 3 a) (2)Discutirlo según los valores del parámetro m b) (1) Resolverlo para m = 2 Dpto. Matemáticas IES Juan Gris Página - 9