SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 2012 (COMÚN MODELO 3) OPCIÓN A

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Septiembre Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 01 (COMÚN MODELO 3) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A ( 5 putos) U empresario fabrica camisas y pataloes para jóvees. Para hacer ua camisa se ecesita metros de tela y 5 botoes, y para hacer u pataló hace falta 3 metros de tela, botoes y 1 cremallera. La empresa dispoe de 1050 metros de tela, 150 botoes y 300 cremalleras. El beeficio que se obtiee por la veta de ua camisa es de 30 euros y el de u pataló es de 50 euros. Supoiedo que se vede todo lo que se fabrica, calcule el úmero de camisas y de pataloes que debe cofeccioar para obteer el máximo beeficio, y determie este beeficio máximo. Solució Llamamos x al úmero de uidades de camisas. Llamamos y al úmero de uidades de pataloes. Para determiar las iecuacioes y la fució Beeficio F(x,y), poemos u cuadro de doble etrada que os lo simplificará. Camisas Pataloes Máximo Tela Botoes Cremallera Beeficio x + 50y Teiedo e cueta lo aterior teemos las siguietes iecuacioes: La fució beeficio es F(x,y) = 30x + 50y x+3y 1050; 5x + y 150; y 300; Para dibujar la regió factible o recito, de cada iecuació despejamos la icógita y para dibujar la recta correspodiete, y después observado las iecuacioes tedremos la regió factible. Iecuacioes : x+3y 1050; 5x + y 150; ; x 0; 0 y 300; Rectas: y = -x/3+350; y = -5x/+65; x = 0; y = 0; y = 300 Dibujamos las rectas Si os fijamos e las desigualdades y -x/3+350; y -5x/+65; x 0; y 0; y 300, vemos que el recito factible, y los vértices A, B, C, D y E de dicha regió so: 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Septiembre Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua De x= 0 e y=0, Teemos el puto de corte A(0,0) De x= 0 e y=300, Teemos el puto de corte B(0,300) De y= 300 e y = -x/3+350, teemos 300 = -x/3+350, de dode x/3 = 50, luego x = 75, y el puto de corte C(75,300). De y= -x/3+350 e y = -5x/+65, teemos -x/3+350 = -5x/+65, de dode -4x+100 = -15x+3750, luego 11x = 1650, por tato x = 150 e y = -(150)/3+350 = 50, y el puto de corte D(150,50). De y= -5x/+65 e y = 0, teemos 0 = -5x/+65, de dode 5x = 150, luego x=50, y el puto de corte D(50,0) El recito tiee por vértices A(0,0), B(0,300), C(75,300), D(150,50) y E(50,0). Cosideremos la fució F(x,y) = 30x + 50y. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que la fució F alcaza su máximo y míimo absoluto e la regió acotada, y que este extremo debe estar situado e algú vértice del recito ( o e u segmeto, si coicide e dos vértices cosecutivos), por lo que evaluamos F e los putos ateriores: F(0,0) = 30(0) + 50(0) = 0, F(0,300) = 30(0) + 50(300) = 15000, F(75,300) = 30(75) + 50(300) = 1750, F(150,50) = 30(150) + 50(50) = 17000, F(50,0) = 30(50) + 50(0) = Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo beeficio de la fució F e la regió es 1750 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el puto (75,300). El mayor beeficio es 1750 y se obtiee elaborado 75 camisas y 300 pataloes. EJERCICIO _A ( 5 putos) Determie los valores que ha de tomar a y b para que la fució -x + ax 7 si x < 1 f(x) = sea derivable e R. 4x - b si x 1 Solució -x + ax 7 si x < 1 Determie los valores que ha de tomar a y b para que la fució f(x) = sea 4x - b si x 1 derivable. Si ua fució es derivable sabemos que tambié es cotiua. Calcularemos primero la cotiuidad y después la derivada. La fució x + ax - 7 es cotiua y derivable e R, e particular e (-,1). La fució 4x + b es cotiua y derivable e R, e particular e x > 1.

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Septiembre Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Estudiamos la cotiuidad e x = 1. f(x) es cotiua e x = 1 si f(1) = f(1) = 4(1) - b = 4 - b; f(x) = es cotiua e x = 1, teemos 4 - b = a - 8. Veamos la derivabilidad e x = 1. f(x) es derivable e x = 1 si -x + ax 7 si x < 1 f(x) =, f (x) = 4x - b si x 1 f (x) = (-x + = - + a; f(x) = f(x). ( x + ax - 7) = a 7 = a - 8; f(x) = f (x) = f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. f (x) = (4x - b) = 4 - b. Como f -x + a si x < 1. 4 si x 1 (4) = 4, Como f es derivable e x = 1, teemos - + a = 4, de dode a = 6. Etrado e la otra ecuació teemos 4 - b = 6 8, de dode b = 6. Para que f sea derivable e R, a = 6 y b = 6. EJERCICIO 3_A U pescador tiee tres tipos de carada de las que sólo ua es adecuada para pescar salmó. Si utiliza la carada correcta la probabilidad de que pesque u salmó es 1/3, mietras que si usa ua de las iadecuadas esa probabilidad se reduce a 1/5. (1 5 putos) Si elige aleatoriamete la carada, cuál es la probabilidad de que pesque u salmó? b) (1 5 putos) Si ha pescado u salmó, cuál es la probabilidad de que lo haya hecho co la carada adecuada? Solució Llamemos C1, C, C3, S y S C a los sucesos "carada adecuada, caradas o adecuadas, pesca salmó y o pesca salmó. Nos dice que hay tres tipos de carada Como Hay tres tipos de carada y se elige aleatoriamete teemos p(c1) = p(c) = p(c3) = 1/3. De si utiliza la carada correcta la probabilidad de que pesque u salmó es 1/3, teemos p(s/c1) = 1/3. De si usa ua de las iadecuadas esa probabilidad se reduce a 1/5, teemos p(s/c) = p(s/c3) = 1/5. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). Si elige aleatoriamete la carada, cuál es la probabilidad de que pesque u salmó? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que pesque u salmó es: p(s) = p(c1).p(s/c1) + p(c).p(s/c) + p(c).p(s/c) = (1/3)(1/3) + (1/3)(1/5) + (1/3)(1/5) = 11/ b) Si ha pescado u salmó, cuál es la probabilidad de que lo haya hecho co la carada adecuada? Aplicado el teorema de Bayes, la probabilidad de que haya pescado u salmó, co la carada adecuada es: p( C1 S ) p( C1).p(S/C1 ) (1/3).(1/3) p(c1/s) = = = = 5/ p(s) p(s) 11/45 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Septiembre Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 4_A E ua caja de ahorros se sabe que el porcetaje de los uevos clietes que cotrata u pla de pesioes o supera ei 3%. El director de ua de las sucursales decide hacer u regalo a cualquier uevo cliete que cotrate uo de esos plaes y, tras u mes, comprueba que 110 de los 470 uevos clietes ha cotratado u pla de pesioes. (1 5 putos) Platee u cotraste de hipótesis, co H0 : p 0 3, para decidir si, co los datos dados, se puede afirmar que la medida del director ha aumetado la cotratació de estos plaes de pesioes. Halle la regió de aceptació de este cotraste de hipótesis para u ivel de sigificació del 5%. b) (1 puto) Segú el resultado del apartado aterior, qué coclusió podemos obteer sobre la medida tomada por el director de esta sucursal? Solució ( y (b) Datos del problema: p0 = 3% = 0 3; = 470; ɵ p = 110/ ; α = 5% = 0 05 Etapa 1: Las hipótesis ula y alterativa so: H0: p0 0 3 (me lo dice el problem y H1: p0 > 0 3, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la derecha del puto crítico. Para platear la hipótesis ula os basamos e la iformació previa. El director dice que por lo meos mas de u 3% de las persoas cotratara u pla de pesioes después del regalo. Luego es u cotraste de hipótesis uilateral. E la hipótesis alterativa os dice que la situació es la cotraria. Etapa : El ivel de sigificació es α = 0 05, luego teemos 1 - α = 0,95. De p(z z1-α) = 1 - α = = 0 95, mirado e las tablas de la N(0,1), que o aparece e las tablas. El valor mas próximo es la mitad etre y , que correspode a z1-α = ( )/ = 1 645, co lo cual el valor crítico es z 1 - α = que separa las zoas de aceptació y de rechazo. E uestro caso la regió crítica es (1 645, + ). ˆp - p0 Etapa 3 y 4: E este caso el estadístico de prueba es Z =, que sigue ua ormal tipificada p 0.(1-p 0 ) ˆp - p0 N(0,1), y el valor observado del estadístico de prueba será el úmero z0 = = p 0.(1-p 0 ) '3 = = '3.0' Etapa 5: Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = es meor que el valor crítico z 1 - α = 1 645, vemos que se ecuetra e la zoa de aceptació. Por tato, tomamos la decisió de aceptar la aceptar hipótesis ula H 0: p 0 0 3, y rechazamos la hipótesis alterativa H 1: p 0 > 0 3. Co lo cual co u ivel de sigificació del 5%, afirmamos que o más de u 3% de las persoas cotratara u pla de pesioes después del regalo. OPCIÓN B EJERCICIO 1_B (Resuelto por D, Mauel Froufe Quitas, Catedrático de Matemáticas del IES F co Ayal Ua fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clietes. E el mes de eero el primer cliete compró 9 uidades de A y 5 de B, el segudo cliete 3 de A y 7 de B, y el tercer cliete 4 de A y 6 de B. 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Septiembre Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua E el mes de febrero el primer cliete y el segudo duplicaro las compras del mes aterior, y el tercer cliete compró de cada producto ua uidad más de las que compró e eero. E marzo el primer cliete o compró ada, y el segudo y el tercero compraro lo mismo que e febrero. (0 75 putos) Para cada mes costruya la matriz de dimesió 3x correspodiete a las compras de ese mes. b) (0 5 putos) Calcule la matriz de compras del trimestre. c) (1 5 putos) Si los precios de los productos A y B so, respectivamete, 80 y 100 euros, calcule lo que factura la fábrica e el primer trimestre, por cada cliete y e total. Solució Sea C1, C y C3 los tres clietes y E la matriz correspodiete a eero, F a febrero y M a marzo. A B A B C1 9 5 C C1 y 0 0 E = C 3 7 F = C 6 14 M= C 6 14 C3 4 6 C3 5 7 C3 5 7 b) La matriz T de compras del trimestre viee dada por la suma de las matrices de los 3 meses. A B C = T = E + F + M = C C A 80 c) La matriz de precios es P = B 100 La facturació por cliete viee dada por el producto de las matrices T y P C T P = = = C C3 310 El cliete 1 gastó: 3660 ; el cliete : 4700 y el cliete 3: 310 La facturació total es la suma de la de los tres clietes: = EJERCICIO _B E el mar hay ua macha producida por ua erupció submaria. La superficie afectada, e km, viee 11t + 0 dada por la fució f(t) =, siedo t el tiempo trascurrido desde que empezamos a observarla. t + (0 5 putos) Cuál es la superficie afectada iicialmete, cuado empezamos a medirla? b) (1 5 putos) Estudie si la macha crece o decrece co el tiempo. c) (0 75 putos) Tiee algú límite la extesió de la superficie de la macha? Solució La superficie afectada, e km 11t + 0, viee dada por la fució f(t) = siedo t el tiempo trascurrido t + desde que empezamos a observarla. Cuál es la superficie afectada iicialmete, cuado empezamos a medirla? La superficie afectada iicialmete (t = 0), e km, es f(0) = 0/ = 10 km. b) Estudie si la macha crece o decrece co el tiempo. Vamos a estudiar la mootoía (estudio de f (t) ) para t > 0. 11t (t+)-1 (11t+0) + f(t) = f (t) = = t + (t+) (t+) 5 A B

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Septiembre Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Como f (t) > 0, para cual valor de t > 0, la fució f(t) siempre es creciete por tato la macha siempre crece co el tiempo t. c) Tiee algú límite la extesió de la superficie de la macha? Vamos a calcular el límite de f(t) cuado t tiede a ifiito. 11t t f ( t) = = = (11) = 11, por tato la macha uca llegará a los 11 km. x x t + x t x EJERCICIO 3_B Sea A y B dos sucesos de u espacio muestral, de los que se cooce las probabilidades P(A) = 0 60 y P(B) = 0 5. Determie las probabilidades que debe asigarse a los sucesos A B y A B e cada uo de los siguietes supuestos: (0 5 putos) Si A y B fuese icompatibles. b) (1 puto) Si A y B fuera idepedietes. c) (1 puto) Si p(a/b) = Solució Sea A y B dos sucesos de u espacio muestral, de los que se cooce las probabilidades P(A) = 0 60 y P(B) = 0 5. Si A y B fuese icompatibles. Si A y B fuese icompatibles, sabemos que p(a B) = 0, luego p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = = (b) Si A y B fuese idepedietes. Si A y B fuese icompatibles, sabemos que p(a B) = p(a) p(b) = = 0 15, luego p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = c) p(a B) Si p(a/b) = 0 40, como p(a/b) =, teemos p(a B) = p(b) p(a/b) = = 0 1, luego p(b) p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = EJERCICIO 4_B El peso de las calabazas de ua determiada platació sigue ua ley Normal co desviació típica 100 g. ( putos) Halle el tamaño míimo de la muestra que se ha de elegir para, co u ivel de cofiaza del 95%, estimar el peso medio co u error meor de 450 g. b) (0 5 putos) Para el mismo ivel de cofiaza, idique, razoado la respuesta, si el error aumeta o dismiuye al aumetar el tamaño de la muestra. Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y σ σ geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C= x z 1 α /,x + z1 α / dode z1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z1-α/)=1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media, de 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Septiembre Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua z 1- α/. σ dode = E. Halle el tamaño míimo de la muestra que se ha de elegir para, co u ivel de cofiaza del 95%, estimar el peso medio co u error meor de 450 g. Datos del problema: σ = 100; E < 450; ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dode α = 0 05 De 1 α = 0 95, teemos α = = 0 05, de dode α/ = 0 05/ = 0 05 De p(z z1-α/) = 1 - α/ = = mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que correspode a z1 - α/ = z0 975 = 1 96, por tato tamaño míimo pedido es: z 1- α/. σ 1' > = E , es decir el tamaño míimo es = 8. b) Para el mismo ivel de cofiaza, idique, razoado la respuesta, si el error aumeta o dismiuye al aumetar el tamaño de la muestra. σ Sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, por tato si aumetamos el tamaño de la muestra el error dismiuye, porque dividimos por ua catidad mayor ( ). 7

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