UNIDAD 2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN. Germán E. Rincón

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1 UNIDAD 2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN Germán E. Rincón

2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 1. Formas de describir un fenómeno Tablas y gráficos Números 2. Concepto de medida en Estadística 3. Objetivo de la medidas en Estadística 4. Repaso de los conceptos de parámetro y Estadístico 5. Clases de medidas en estadística Medidas de tendencia central Medidas de tendencia no central o de posición Medidas de dispersión

3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 6. Concepto de medidas de Tendencia Central 7. Concepto de Medidas de Tendencia no central o de posición 8. Concepto de Medidas de Dispersión 9. Cálculos diferentes para poblaciones y muestras Símbolos para parámetros y estadísticos 10. Cálculos para datos no agrupados y datos agrupados

4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 11. Clases de medidas de Tendencia Central La media La mediana La moda 12. Clases de medias La media aritmética simple La media aritmética ponderada La media geométrica 13. Media aritmética simple Datos no agrupados Datos agrupados

5 MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE PARA DATOS NO AGRUPADOS Para poblaciones: Para muestras: EJEMPLO Las comisiones que un vendedor ha recibido en los 6 primeros meses del año se presentan en la siguiente tabla Ingresos MES (Miles de $ ) Enero 800 Febrero 950 Marzo 920 Abril 1000 Mayo 830 Junio 900

6 MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE PARA DATOS NO AGRUPADOS Ingresos MES (miles de $) Enero 800 Febrero 950 Marzo 920 Abril 1000 Mayo 830 Junio 900 SUMA 5400 Concepto de promedio Interpretación: Es como si.

7 MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE PARA DATOS AGRUPADOS Para poblaciones: Para muestras: Ejemplo : Una muestra del valor de las facturas que se cancelan con tarjeta de crédito en un almacén Ventas / factura No. De (Miles de $) Facturas SUMA 224

8 MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE PARA DATOS AGRUPADOS Ventas / factura No. De (Miles de $) Facturas x i x i FA i SUMA Interpretación: Es como si..

9 PRÁCTICA EN CLASE ( 1 ) Funciones estadísticas de las calculadoras Ejemplo datos no agrupados La duración en horas de un componente electrónico se presenta en la siguiente tabla: Calcular la media Interpretar el resultado

10 Ejemplo datos agrupados PRÁCTICA EN CLASE ( 2 ) El consumo de gasolina, en un día, de una muestra de 200 vehículos de servicio público Consumo/vehículo (Miles de pesos) No. de vehículos

11 Datos no ponderados MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA Prueba Nota Quiz No.1 3,5 Quiz No.2 4,1 Quiz No.3 2,4 Promedio 3,3 Datos ponderados Asignatura Nota Final Créditos A 4,9 2 B 3,1 4 C 3,0 3

12 MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA Expresión para la media aritmética ponderada: Aplicando al ejemplo: Nota Final Créditos Asignatura x i w i x i w i A 4,9 2 9,8 B 3,1 4 12,4 C 3,0 3 9,0 SUMA 9 31,2 Interpretación: Es como si.

13 PRÁCTICA EN CLASE ( 3 ) En una fábrica se pagan los siguientes salarios por hora: Sección No. De Salario del taller operarios por hora Corte 12 $ Armado 29 $ Terminado 46 $ Total 87 Cuál es el salario promedio por hora? Interpretación: Es como si..

14 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA El cálculo de la media aritmética tiene en cuenta todos los valores de la variable en estudio registrados A todas las variables cuantitativas se les puede calcular la media aritmética Un conjunto de datos sólo tiene una media La media permite hacer comparaciones entre poblaciones o muestras La media se puede trabajar matemáticamente La media es afectada por los valores extremos No se puede calcular la media en distribuciones de frecuencias que tienen clase de extremo abierto

15 LA MEDIA GEOMÉTRICA Caso de presentación Expresión de la media geométrica: Solución al caso de presentación Usos de la media geométrica Casos de la media geométrica: Valores en porcentaje Valores absolutos

16 EJEMPLO DE MEDIA GEOMÉTRICA (VALORES EN PORCENTAJE) La rentabilidad de un título valor ha estado variando en las últimas semanas como se presenta en la siguiente tabla: Rentabilidad Semana % ,7 5 1,5 6 1 A qué tasa promedio semanal ha estado variando la rentabilidad de este título?

17 EJEMPLO DE MEDIA GEOMÉTRICA (VALORES EN PORCENTAJE) Rentabilidad Semana % FC 1 3 1, , ,98 4 0,7 1, ,5 1, ,01 G = 1, (Factor de crecimiento promedio) Tasa promedio = (1, )100 = 0,857 = 0,9% semanal

18 EJEMPLO DE MEDIA GEOMÉTRICA (VALORES ABSOLUTOS) Ejemplo : Las ventas anuales de una empresa, en millones de pesos, se presentan en la tabla No.1. A qué tasa promedio anual están variando las ventas de esta empresa? Ventas Año (Millones )

19 EJEMPLO DE MEDIA GEOMÉTRICA (VALORES ABSOLUTOS) Ventas Año (Millones ) FC , , , , , ,1739 G = 1,08017 (Factor de crecimiento promedio) Tasa promedio = (1, )100 = 8,017%

20 MEDIA GEOMÉTRICA (CRECIMIENTO PROMEDIO EN UN INTERVALO DE TIEMPO) Expresión de la media geométrica para este caso: Ejemplo: Una persona invirtió $25 millones a 3 años, recibiendo al final de este periodo la suma de $33,306 millones A qué tasa promedio mensual creció esta inversión?

21 MEDIA GEOMÉTRICA (CRECIMIENTO PROMEDIO EN UN INTERVALO DE TIEMPO) (Factor de crecimiento promedio) Tasa promedio = (FC 1)100 = (1,008 1)100 = 0,8% mensual Propiedad de la media geométrica La media geométrica siempre es menor o igual a la media aritmética

22 PRÁCTICA EN CLASE ( 4 ) Los precios de una materia prima han estado variando en los últimos 6 meses como se presenta en la siguiente tabla: Variación / Mes Mes % 1 3,00 2 0,90 3 1,20 4-2,00 5-1,00 6 1,00 A qué tasa promedio mensual ha estado variando el precio de este material? Sí el precio el mes pasado del material fue de $2365 A qué precio se podría conseguir este mes el material? Por qué?

23 PRÁCTICA EN CLASE ( 5 ) El valor del metro cuadrado construido de apartamentos, en una ciudad, en los últimos 6 años se presenta en la siguiente tabla: Valor / M 2 Año (Millones) , , , , , ,6 A qué tasa promedio anual está variando el precio del metro construido de apartamentos en estos años?

24 PRÁCTICA EN CLASE ( 6 ) Un trabajador ganaba en el 2002, $ mensuales y actualmente gana $ mensuales. Otra empresa le ofrece un trabajo con una asignación mensual de $ mensuales con el compromiso de aumentar su sueldo el 7,5% anual todos los años. Qué le conviene mas a este trabajador? Por qué?

25 CONCEPTO DE MEDIANA LA MEDIANA Estudiante Nota Estudiante Nota R. Martínez 4,3 L. Rueda 2,9 P. Ardila 1,7 J. Zárate 4,0 M. Castillo 3,8 G. Torres 1,2 A. Manjarrés 4,8 Z. Benítez 4,7 O. León 3,5 Ordenados de menor a mayor 1,2 1,7 2,9 3,5 3,8 4,0 4,3 4,7 4,8 La mitad de los estudiantes obtuvieron nota inferior a 3,8

26 LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS Símbolo de la mediana : Cálculo de la mediana para datos no agrupados Número impar de datos Expresión : Ejemplo: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 1,2 1,7 2,9 3,5 3,8 4,0 4,3 4,7 4,8

27 LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS Mediana pata datos no agrupados Número par de datos Expresión: Ejemplo: Una muestra de las estaturas, en metros, de 10 estudiantes de una clase se presentan en la siguiente tabla

28 LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS Estudiante estatura Estudiante estatura M. Rodríguez 1,75 G. López 1,69 L. Sánchez 1,68 H. Núñez 1,57 D. Rojas 1,81 T. García 1,77 J. Acevedo 1,65 R. Orduz 1,62 F. Díaz 1,73 P. Pinzón 1,71 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 1,57 1,62 1,65 1,68 1,69 1,71 1,72 1,75 1,77 1,81 Interpretación : la mitad de los estudiantes mide mas de 1,70 metros

29 MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS Primer caso: La frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta alguna de las clases, de la distribución de frecuencias, coincide con la cantidad total de datos dividida entre 2, es decir, ( n / 2) Ejemplo: Los ingresos en una semana, en millones de pesos, de una muestra de tabernas se presenta en la siguiente tabla:

30 MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS Clase Ventas / Taberna No. de No. (Millones de $) Tabernas 1 1,6 1, ,9 2, ,2 2, ,5 2, ,8 3, ,1 3, ,4 3,7 11 SUMA 120

31 MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS Clase Ventas / Taberna No. de No. (Millones de $) Tabernas FAA 1 1,6 1, ,9 2, ,2 2, ,5 2, ,8 3, ,1 3, ,4 3, SUMA 120 = Límite superior de la clase = $2,8 millones Interpretación: Segundo caso El cálculo del total de datos de la muestra dividido entre 2, n/2, no coincide con el valor de la frecuencia absoluta acumulada, FAA, de ninguna de las clases

32 MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS Expresión para calcular la mediana: Ejemplo : Los saldos de los depósitos al finalizar un mes en las cuentas de ahorro de un número de cuentahabientes, de los bancos locales, escogidos al azar, se presentan en la siguiente tabla: Práctica en clase

33 MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS Clase Saldo /Cuenta No. de No. (Miles de $) cuentas Mas de

34 MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS Clase Saldo /Cuenta No. de No. (Miles de $) cuentas FAA clase i clase i Mas de FAA inmediatamente superior a n / 2 = 154 Interpretación:

35 PRÁCTICA EN CLASE ( 7 ) Una muestra del peso de los lingotes de aluminio que salen de una fundición se presenta en la siguiente tabla: Peso / lingote No. de (Kilogramos) lingotes 2,995 2, ,996 2, ,997 2, ,998 2, ,999 3, ,000 3, ,001 3, Formula calcule la mediana e interprete el resultado

36 MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL O DE POSICIÓN Los cuartiles Son 3 números que dividen cualquier conjunto de datos ordenado en 4 partes iguales Q 1 : Primer cuartil Q 2 : Segundo cuartil Q 3 : Tercer cuartil Ejemplo: El número de clientes que atendieron en un día once vendedores de un centro comercial escogidos al azar se presenta en la siguiente tabla:

37 LOS CUARTILES NÚMERO DE CLIENTES ATENDIDO POR VENDEDOR NÚMERO DE CLIENTES ATENDIDO POR VENDEDOR Q 1 Q 2 Q 3 Por debajo de Q 1 se encuentran el 25% de los datos Por debajo de Q2 se encuentran el 50% de los datos Por debajo de Q3 se encuentran el 75% de los datos Nótese que: Interpretación:

38 CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS Primer caso: La frecuencia absoluta acumulada hasta alguna de las clases coincide con el valor de la operación: Ejemplo : Las utilidades por acción del portafolio de inversiones de una empresa se presenta en la siguiente tabla:

39 CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS. Utilidad por No. de acción acciones

40 CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS Utilidad por No. de acción acciones FAA Cálculo del primer cuartil 275 coincide con la FAA hasta la segunda clase Interpretación:

41 Segundo caso: CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS La frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta cualquiera de las clases no coincide con el valor de la operación : Expresión par el cálculo de Q i : Utilizando el mismo ejemplo del primer caso: Práctica en clase

42 CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS Utilidad por No. de acción acciones FAA Clase i Clase i Cálculo de tercer cuartil: FAA inmediatamente superior a 825 = 845 Interpretación: Práctica en clase

43 LOS PERCENTILES Concepto de percentil: Son valores que dividen cualquier conjunto de datos en 100 partes iguales, cuando este conjunto está ordenado de menor a mayor Un percentil, por lo tanto, es un valor por debajo del cual se encuentra un determinado porcentaje de los datos. Símbolo de percentil: Ejemplo: Significa que..

44 PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS Primer caso: La frecuencia absoluta acumulada hasta alguna de las clases coincide con el valor de la operación Ejemplo: La siguiente tabla se refiere a una muestra, al azar, del tiempo que duraron las llamadas telefónicas realizadas por el personal de oficina de una empresa

45 PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS Duración / llamada No. de (Minutos) llamadas 0,0 2,0 46 2,0 4,0 67 4,0 6,0 44 6,0 8,0 31 8,0 10,0 25 Mas de 10, Calcular el percentil 20 e interpretar el resultado

46 Duración / llamada PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS No. de (Minutos) llamadas FAA 0,0 2, ,0 4, ,0 6, ,0 8, ,0 10, Mas de 10, es la FAA hasta la primera clase Interpretación: El 20% de las llamadas de la muestra duraron menos de 2,0 minutos

47 PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS Segundo caso: La frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta cualquiera de las clases no coincide con el valor de la operación Expresión para el cálculo del percentil Práctica en clase

48 PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS Ejemplo: El mismo ejemplo del caso anterior Duración / llamada No. de (Minutos) llamadas FAA 0,0 2, ,0 4, ,0 6, Clase i-1 6,0 8, Clase i 8,0 10, Mas de 10, La FAA inmediatamente Superior a 161 es 188 Interpretación:..

49 PRÁCTICA EN CLASE ( 8 9 ) El diámetro en centímetros de una muestra de cojinetes que salen de la línea de producción Diámetro /cojinete No. de (centímetros) cojinetes 1,434 1, ,509 1, ,584 1, ,659 1, ,734 1, ,809 1, ,884 1, Fórmula cuartil Fórmula percentil A Ejercicio Calcular el tercer cuartil e interpretar el resultado Cuál es el diámetro mínimo del 35% de los cojinetes de la muestra?

50 PROPIEDADES DE LA MEDIANA CUARTILES Y PERCENTILES A la mediana, cuartiles y percentiles no los afectan los valores extremos La mediana, cuartiles y percentiles se pueden calcular en distribuciones de frecuencias que tengan clases de extremo abierto Los cálculos de la mediana, cuartiles y percentiles son más complejos que los de las demás medidas de tendencia central La mediana, cuartiles y percentiles no se pueden operar matemáticamente Para calcular la mediana, cuartiles y percentiles los datos deben estar ordenados

51 LA MODA Concepto: La moda, de un conjunto de datos, es el valor que más se repite dentro de ese conjunto. Símbolo: Moda para datos no agrupados Cuando los datos no están agrupados la moda se establece a simple vista.

52 MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS Ejemplo: Una muestra de las edades de la última promoción de graduados se presenta en la siguiente tabla Establecer la moda

53 MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS Ejemplo: Los puntajes alcanzados, en una escala de 100 puntos, en las pruebas de ingreso, por los aspirantes a trabajar en una empresa se presentan en la siguiente tabla: Establecer la moda e interpretar el resultado

54 MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS Ejemplo: El tiempo, en horas, que gastan los buses de una empresa de transportes en realizar el viaje entre dos ciudades determinadas, en una muestra de recorridos escogidos al azar, se presenta en la siguiente tabla: 6,8 5,5 6,1 6,4 6,2 5,7 6,3 5,6 5,1 6,9 7,0 7,4 6,6 6,0 5,4 6,5 6,7 5,8 5,9 7,5 Establecer la moda e interpretar el resultado

55 MODA PARA DATOS AGRUPADOS Primer caso: Datos de variable discreta agrupados en clases de amplitud igual a cero Ejemplo: Una muestra del número de motocicletas que vende por semana un distribuidor se presenta en la siguiente tabla

56 MODA PARA DATOS AGRUPADOS No. de motos No. de semanas Mas de 6 4 Establecer la moda e interpretar El resultado

57 MODA PARA DATOS AGRUPADOS Segundo caso: Moda para variable cualitativa Ejemplo: Se preguntó a una muestra de profesionales, escogidos al azar, por la marca de celular que utilizan y el resultado se presenta en la siguiente tabla:

58 MODA PARA DATOS AGRUPADOS Marca de celular No. de profesionales Sony 18 Motorola 32 L.G. 15 Nokia 47 Samsung 30 iphone 10 Otras marcas 5 Establecer la moda e interpretar el resultado

59 MODA PARA DATOS AGRUPADOS Tercer caso: Datos de variable discreta o continua agrupados en clases de amplitud mayor que cero Expresión para la moda: Ejemplo: Utilizando un radar de carretera los agentes de tránsito tomaron una muestra de la velocidad, en kilómetros por hora, a la que se desplazan los vehículos al pasar por un puente. Los resultados están en la siguiente tabla:

60 MODA PARA DATOS AGRUPADOS Velocidad (Kmts / hora ) No. de Vehículos Hasta Mas de Clase modal: La que Tiene la mas alta Frecuencia = 61 Interpretación:.

61 PRÁCTICA EN CLASE ( 9 ) El diámetro en centímetros de una muestra de cojinetes que salen de la línea de producción Diámetro /cojinete No. de (centímetros) cojinetes 1,434 1, ,509 1, ,584 1, ,659 1, ,734 1, ,809 1, ,884 1, Cuál es el diámetro mas común de los cojinetes de la muestra?

62 PROPIEDADES DE LA MODA La moda se puede calcular en situaciones de variables cualitativitas y cuantitativas A la moda no la afectan los valores extremos La moda se puede calcular en distribuciones de frecuencias que tengan clases de extremo abierto Existen conjuntos de datos que no tienen moda o que tienen más de una moda La moda no se puede operar matemáticamente