1. Teorema Fundamental del Cálculo

Transcripción

1 1. Teorema Fundamental del Cálculo Vamos a considerar dos clases de funciones, definidas como es de otras funciones Funciones es. F (t) = t a f(x)dx donde f : R R, y F (t) = f(x, t)dx A donde f : R n R R l primer tipo de es son las es indefinidas, y tienen para la de Lebesgue un comportamiento similar al teorema fundamental del cálculo demostrado para la de Riemann. l segundo tipo de funciones se llaman es paramétricas, y estudiaremos condiciones para determinar la continuidad y la derivabilidad de F (t). b La notación f(x)dx corresponde a f(x)dx si a b, y como en la de Riemann a [a,b] de funciones de una variable, si a > b se entiende b a f(x)dx = a b f(x)dx

2 es. Teorema (Fundamental del Cálculo). Sea I un intervalo real, y sea f : I R una función integrable Lebesgue en I Sea a I fijo, y definamos la función F (t) = t a f(x)dx para todo t I. ntonces F es continua en I. Además, si f es continua en un punto t 0 I entonces F es derivable en t 0 y F (t 0 ) = f(t 0 ) Demostración: (Saltar al final de la demostración) Sea b I fijo, b > a, y vamos a ver que F es continua en b. Sea {s } una sucesión en I que converja a b, y consideremos las funciones características χ [a,s ](x) Si x [a, b), como s b, existe algún 0 tal que para todo 0 se tiene s > x, y por tanto χ [a,s ](x) = 1 = χ [a,b) (x) Y si x [a, b], también como s b, existe 1 tal que para todo 1 se tiene s < x y por tanto χ [a,s ](x) = 0 = χ [a,b) (x) s decir, χ [a,s ](x) χ [a,b) (x) para todo x I excepto quizá para el punto b Sea entonces f = fχ [a,s ] f son funciones medibles, por ser producto de funciones medibles.

3 Para todo x I, x b, se tiene lim f (x) = f(x)χ [a,b) (x) f (x) f(x) para todo x I y para todo. Funciones es. Como f es integrable por hipótesis, podemos aplicar el teorema de convergencia dominada a la sucesión f, y tenemos fχ [a,b) = lim f = lim fχ [a,s ] es decir I F (b) = lim I fχ [a,s ] = lim F (s ) I por tanto F es continua en b. La segunda parte de la demostración se puede hacer de forma análoga a la del teorema fundamental del cálculo para la de Riemann. Sea t 0 tal que f es continua en t 0. ntonces dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si t I y t t 0 < δ, entonces f(t) f(t 0 ) < ɛ, o equivalentemente, si t I y t t 0 < δ, se tiene f(t 0 ) ɛ < f(t) < f(t 0 ) + ɛ

4 es. Si t t 0 se tiene entonces (f(t 0 ) ɛ)(t t 0 ) y si t t 0 se tiene (f(t 0 ) ɛ)(t 0 t) t t 0 f(x)dx (f(t 0 ) + ɛ)(t t 0 ) t0 t f(x)dx (f(t 0 ) + ɛ)(t 0 t) n cualquier caso (poniendo b f = a f) a b t t (f(t 0 ) ɛ) 0 f(x)dx (f(t 0 ) + ɛ) t t 0 o equivalentemente t t ɛ 0 f(x)dx f(t 0 ) ɛ t t 0 si t I y 0 < t t 0 < δ t Como f(x)dx = F (t) F (t 0 ), tenemos que si t I y 0 < t t 0 < δ, t 0 F (t) F (t 0 ) f(t 0 ) t t 0 ɛ

5 es. es decir, F (t) es derivable en t 0, y F (t 0 ) = lim t t0 F (t) F (t 0 ) t t 0 = f(t 0 ) (Volver al enunciado)

6 jercicio: Demostrar la primera parte del teorema cuando b a Funciones es. Observación: Si f no es continua en ningún punto, la segunda mitad del teorema no tiene sentido. Sin embargo uno de los teoremas importantes de la teoría de integración es que de hecho F (s) = f(s) en casi todo punto, tanto si f es continua como si no. Pero esto no podemos demostrarlo ahora.

7 2. Funciones es. Vamos a estudiar ahora algunas aplicaciones a las llamadas es paramétricas. Consideramos una familia de funciones dependientes de un parámetro real t I R, del tipo f t (x, y) = sen(t(x 2 + y 2 )) para x R n. sta familia de funciones se puede describir como una función en I f : I R (x, t) f(x, t) = f t (x) de modo que para cada valor de t I tenemos una función de varias variables f(., t) : R x f(x, t) Y también para cada x tenemos una función real de una variable real f(x,.) : I R t f(x, t) Llamamos paramétrica a la función F : I R definida por F (t) = f(x, t)dx

8 cuando esta existe Para este tipo de funciones se pueden demostrar los dos teoremas siguientes, sobre continuidad y derivabilidad. Funciones es.

9 es. Teorema (Continuidad de las es paramétricas). Sea I un intervalo real, R n un conjunto medible Lebesgue, y f : I R verificando: a) Para cada t I, la función f(., t) es medible Lebesgue, y existe una función g : R integrable Lebesgue tal que para todo t I f(x, t) g(x) para casi todo x b) Para casi todo x, la función f(x,.) es continua en I ntonces la función F (t) = f(x, t)dx es continua en I Demostración: (Saltar al final de la demostración) n primer lugar, F está bien definida, ya que la condición (a) nos asegura que para todo t I la función f(., t) : R es integrable. Para probar que F es continua, sea a I fijo, y sea {t } una sucesión de puntos de I que tienda a a. Por la condición (b), existe un subconjunto Z con m(z) = 0, tal que para todo x \ Z las funciones f(x,.) : I R son continuas. ntonces, si x \ Z, se tiene f(x, t ) f(x, a). s decir, la sucesión de funciones {f(., t )} tiende a la función f(., a) en

10 es. cada punto de \ Z. Así pues, tenemos una sucesión de funciones medibles, {f(., t )} N, que converge en casi todo punto de a una función f(., a), y que verifican para todo N que f(x, t ) g(x) para casi todo x, con g una función integrable en. Aplicando el Teorema de Convergencia Dominada, f(x, a)dx = lim f(x, t )dx es decir, F (a) = lim F (t ). Por tanto F es continua en a. (Volver al enunciado)

11 es. Teorema ( ). Sea I un intervalo en R, R n un conjunto medible Lebesgue, y f : I R verificando: a) Para todo t I la función f(., t) es medible en, y existe t 0 I tal que f(., t 0 ) es integrable en b) Para casi todo x la función f(x,.) es de clase C 1 en I c) xiste g : R integrable Lebesgue en tal que para todo t I y para casi todo x se tiene df (x, t) g(x) dt ntonces la función F (t) = f(x, t)dx es de clase C 1 en I, y F (t) = df (x, t)dx dt Demostración: (Saltar al final de la demostración) Primero vamos a ver que F está bien definida, es decir, que las funciones f(., t) son integrables.

12 es. Por (b), existe un conjunto Z 0 con m(z 0 ) = 0, tal que las funciones f(x,.) : I R son de clase C 1 para todo x \ Z 0. Por (c), existe un conjunto Z 1 con m(z 1 ) = 0 y tal que para todo x \ Z 1 se tiene df (x, t) dt g(x) para todo t I donde g es una función integrable. Sea t 0 I tal que f(., t 0 ) es integrable, según se indica en el enunciado. Y sea t I otro punto de I, fijo. Para todo x \ (Z 0 Z 1 ), podemos aplicar el teorema del valor medio a f(x,.) en [t 0, t], de modo que f(x, t) f(x, t 0 ) = df dt (x, µ)(t t 0) para algún µ [t 0, t], luego f(x, t) f(x, t 0 ) + df (x, µ) dt t t 0 f(x, t 0 ) + g(x) t t 0 y la función f(., t 0 ) + g(.) t t 0 ) es integrable en. Por tanto f(., t) es integrable.

13 Veamos ahora que df (., t) son medibles, para cada t I dt Sea t I fijo; sea h 0, y definamos las funciones g (., t) : R Funciones es. g (x, t) = f(x, t + h ) f(x, y) h Las funciones g (., t) son medibles, por ser cociente de funciones medibles, y para todo x \Z 0 se tiene g (x, t) df df (x, t) Por tanto (., t) es medible (ĺımite en casi todo punto de una dt dt sucesión de funciones medibles) Y por último veamos que F es derivable y que se verifica F df (t) = (x, t)ds dt calculando esta. Las funciones g (., t) verifican g (x, t) = f(x, t + h ) f(x, t) h df (x, µ) h dt h g(x)

14 es. para todo x \ (Z 0 Z 1 ) Aplicando el Teorema de Convergencia Dominada, df dt (x, t)dx = lim F (t + h ) F (t) g (x, t)dx = lim h luego efectivamente F es derivable, y además F df (t) = (x, t)dx dt Que F es de clase C 1 se deduce del teorema anterior. (Volver al enunciado)

15 es. jercicios: 1. Se define la función Gamma de uler como Γ(t) = 0 e x x t 1 dx para t > 0. Comprobar que Γ(t) está bien definida, y es una función continua en t (0, ) (Sugerencia: para aplicar el teorema de continuidad, considerar I un intervalo cualquiera [a, b] con a > 0) Comprobar también que para todo t > 0, Γ(t + 1) = tγ(t), de dónde se deduce que para todo n N, Γ(n + 1) = n! Demostrar que Γ es infinitamente diferenciable y que para cada n N Γ (n) (t) = 0 x t 1 (log x) n e x dx 2. n los siguientes casos comprobar que φ está bien definida, y calcular φ (t): a) φ(t) = c) φ(t) = ln(x 2 + t 2 )dx; t 0 b) φ(t) = te tx dx d) φ(t) = π e xt x sen xdx x t 1 dx (t > 1) ln x

16 3. Calcular las es siguientes, derivando con respecto al parámetro: Funciones es. a) 0 1 e tx xe x dx (t > 1) b) π/4 0 ln(1 + t cos 2 x) dx (t 0) cos 2 x

17 es. BIBLIOGRAFIA: Kennan T. Smith, Primer of Modern Analysis. Springer-Verlag (1983) J.A. Facenda - F.J. Freniche, Integración de funciones de varias variables. d. Pirámide (2002)