NUMEROS NATURALES Y NUMEROS ENTEROS

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1 NUMEROS NATURALES Y NUMEROS ENTEROS

2 ELEMENTOS DE LOGICA En sta primra unidad iniciamos l dsarrollo d los contnidos d la asignatura hacindo una rvisión d algunos concptos qu srán fundamntals para comprndr lugo otros tmas propios d matmática discrta. Algunos d sos concptos provinn d la lógica y sirvn d bas para abordar los númros ntros; otras nocions s rfirn a los conjuntos, tma qu rsulta ncsario para dsarrollar muchos concptos nuvos, propios d sta matria, por jmplo, rlacions d ordn, grupos y lnguajs. Comnzamos, ntoncs, con l rpaso d los concptos d lógica. La lógica studia métodos d razonaminto qu sparan los razonamintos válidos d los no válidos. El intrés por l análisis d los razonamintos s db a qu n las cincias d la computación dbn aplicars para lograr qu los programas ralicn lo qu s prtnd. Los razonamintos s basan n la nunciación d una scuncia proposicions, qu s conocn como prmisas, para arribar a una conclusión. Una proposición s todo nunciado al qu s l pud asignar un valor d vrdad. Es dcir qu son afirmacions qu pudn rsultar vrdadras o falsas. Para dnotarlas s utilizan ltras minúsculas como p, q, r. Por jmplo: p: = 2 q: = 3 La proposición p s vrdadra con lo qu s scribirá d la forma: V(p) = V La proposición q s falsa y s scrib: V(q) = F Por l contrario, no son proposicions nunciados tals como: Hola, cómo stás?, dado qu no pud dcirs nada acrca d su vrdad o falsdad. Las proposicions pudn sr simpls o compustas. Las proposicions simpls son las proposicions p, q, r. Las proposicions compustas s construyn con proposicions simpls y opradors qu dnominamos conctivos lógicos. 1

3 Rprsntamos los conctivos n l cuadro qu sigu, con su rspctivo nombr y modo d lrlo Conctivo S l Nombr No Ngación Y Producto lógico o conjunción O (inclusivo) Suma lógica o disyunción Si... ntoncs... Condicional Si y sólo si Bicondicional O (xclusivo) Disyunción xcluynt Para obtnr l valor d vrdad d una proposición compusta s utilizan tablas d vrdad tnindo n cunta como actúan los conctivos lógicos, sgún las siguints dfinicions: Ngación: La ngación p d p s dfin por mdio d la siguint tabla d vrdad: p V F p F V Por jmplo: Sa p: hay un prmio Nobl d cincias d la computación. p: no hay un prmio Nobl d cincias d la computación. Conjunción: San p y q proposicions, s llama conjunción d p y q, y s dnota p q, a la proposición p y q, y l corrspond la siguint tabla d vrdad: Por jmplo: p q p q V V V V F F F V F F F F San las proposicions simpls: p: = 3 y q: una década tin 10 años. 2

4 Entoncs la conjunción s: p q: = 3 y una década tin 10 años. Disyunción: San p y q proposicions. S llama disyunción d p y q, y s dnota p q, a la proposición p o q, y l corrspond la siguint tabla d vrdad: p q p q V V V V F V F V V F F F Por jmplo: San las proposicions simpls: p: = 3 y q: una década tin 10 años. Entoncs la disyunción s: p q: = 3 o una década tin 10 años. Condicional: San p y q proposicions, la proposición compusta: si p, ntoncs q, s llama proposición condicional y s dnota por p q. La proposición p s dnomina hipótsis (o antcdnt) y la proposición q, conclusión (o conscunt). La tabla d vrdad qu corrspond s la siguint: p q p q V V V V F F F V V F F V Por jmplo: San las proposicions simpls: p: = 3 y q: una década tin 10 años. Entoncs l condicional p q s: p q: Si = 3 ntoncs una década tin 10 años. T convnc l valor d vrdad dl condicional n los dos últimos rnglons? Si no s así, considra l siguint jmplo: 3

5 María l dic a Juan: si mañana lluv, salgo a pasar con vos Las cuatro situacions qu s pudn dar son las qu corrspondn a los cuatro rnglons d la tabla d vrdad. Analicmos uno por uno: - n l primr caso, las dos proposicions son vrdadras, lo cual n nustro jmplo significa qu lluv y qu María pasa con Juan. No hay duda d qu la promsa d María ra cirta. - n l sgundo caso, la primra proposición s vrdadra, lo cual n nustro jmplo significa qu lluv, pro como la sgunda s falsa, significa qu María no sal a pasar con Juan. No hay duda d qu la promsa d María no s cumpl. - pro qué ocurr n l trcr y cuarto caso? Ambos tinn l antcdnt falso, o sa qu n nustro jmplo significa qu no lluv. En uno d los casos (l trcro), María sal a pasar con Juan, y n l otro caso (l cuarto) no pasan. Qué podmos dcir d la promsa fctuada? Tnmos lmntos para dcir qu no s cumplió? Por supusto qu no. Pus la promsa fu con la condición d qu llovira, María no promtió nada si no llovía. Así qu como no tnmos vidncia suficint para dcir qu María no cumpl su promsa, la dbmos considrar inocnt (como n los juicios). Bicondicional: San p y q proposicions, la proposición compusta: p si y sólo si q, s llama proposición bicondicional y s dnota por p q. El valor d vracidad d la proposición p q stá dfinido por la siguint tabla d vrdad: Por jmplo: p q p q V V V V F F F V F F F V San p: = 3 y q: una década tin 10 años. p q: = 3 si y sólo si una década tin 10 años. Disyunción xcluynt: San p y q proposicions, la proposición compusta: p ó (xcluynt) q, s llama proposición disyunción xcluynt y s dnota por p q. El valor d vracidad d la proposición p q stá dfinido por la siguint tabla d vrdad: p q p q V V F V F V F V V F F F 4

6 Por jmplo: San p: = 3 y q: una década tin 10 años. p q: = 3 ó (xcluynt) si una década tin 10 años. Un jmplo d la vida cotidiana dond s utiliza la disyunción xcluynt s l caso d una mamá qu l dic a su hijo: lgí l autito o l trncito, pro no ambos. T voy a comprar uno solo. O bin, otro jmplo qu vivist hac no mucho timpo s n l rcupratorio dl curso d ingrso. Los qu pudn prsntars a dar rcupratorio d parcial son los qu tinn aprobado uno solo. Entoncs si considramos las proposicions simpls: p: l alumno aprobó l primr parcial q: l alumno aprobó l sgundo parcial dbmos dcir qu para dar l rcupratorio s db cumplir qu: p q ya qu l qu aprobó los dos parcials, no tin nada qu rcuprar. Algunas obsrvacions qu val la pna tnr n cunta. Dada pq: ** la proposición qp s dic rcíproca ** la proposición qp s dic contrarrcíproca ** la proposición pq s dic contraria Las tablas d vrdad corrspondints a stas proposicions son: p q q p q p p q V V V V V V F V F V F V F V F F F V V V Si una proposición compusta tin n proposicions simpls ntoncs l númro d filas n la tabla d vrdad s 2 n. Para continuar, vamos algunos tipos spcials d proposicions compustas. Ellas son: la tautología, la antitautología y la contingncia. Tautología Llamamos tautología (V) a aqulla proposición compusta cuyo valor d vrdad s simpr vrdadro n forma indpndint dl valor d vrdad d las proposicions simpls qu la componn. 5

7 Por jmplo: p q (p q ) (p q) V V V V F V F V V F F V Antitautología o Contradicción (F) Llamamos antitautología o contradicción a aqulla proposición compusta cuyo valor d vrdad s simpr falso n forma indpndint dl valor d vrdad d las proposicions simpls qu la componn. Por jmplo: p q (p q ) (p q) V V F V F F F V F F F F Contingncia S dnomina contingncia a aqulla proposición compusta cuyo valor d vrdad dpnd dl valor d vrdad d las proposicions simpls qu la componn. Por jmplo: p q p (p q) V V V V F V F V F F F V 6

8 Hasta aquí, ntoncs, tnmos qu: Una proposición s todo nunciado al qu s l pud asignar un valor d vrdad. Las proposicions pudn sr simpls o compustas: las proposicions simpls son las proposicions p, q, r. Las proposicions compustas s construyn con proposicions simpls y conctivos lógicos (ngación; producto lógico o conjunción; suma lógica o disyunción; condicional; bicondicional; o xcluynt) Para obtnr l valor d vrdad d una proposición compusta s utilizan tablas d vrdad tnindo n cunta como actúan los conctivos lógicos. Proposicions Lógicamnt Equivalnts Estamos transitando un nuvo camino, l d la lógica; para llo, s ncsario qu conozcamos algunas rglas qu nos prmitirán sabr si stamos avanzando corrctamnt. Estas rglas son las quivalncias lógicas ntr proposicions. Cuándo dcimos qu son quivalnts las proposicions o, lo qu s lo mismo, qu las proposicions son lógicamnt quivalnts? Las proposicions compustas P = P (p 1,..., p n ) y Q = Q (p 1,..., p n ) son lógicamnt quivalnts simpr qu, dados cualsquira valors d vrdad d p 1,..., p n, P y Q son ambas vrdadras o ambas falsas. S cumpl cuando: P (p 1,..., p n ) Q (p 1,..., p n ) s una tautología. Lo dnotamos P Q Por jmplo: p q p q Tngamos n cunta, admás, qu si las quivalncias no nos convncn a priori podmos dmostrarlas; para so dbmos usar las tablas d vrdad. A continuación prsntamos los distintos tipos d quivalncias. 1. Involutiva: p p 2. Idmpotncia: (p p) p (p p) 3. Conmutatividad: (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) (q p) 7

9 4. Absorción: p (p q) p p (p q) 5. Idntidad: p V p p F F p V V p F p 6. Lys d D Morgan: (p q) p q (p q) p q 7. Asociatividad: p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r 8. Distributividad: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) Ahora bin, para qué utilizarmos las quivalncias lógicas? Entr otras cosas para podr simplificar proposicions compustas y otorgarls un aspcto más amigabl. Vamos l siguint caso: (p q) (r r) utilizando quivalncia d proposicions (p q) (r r) utilizando D Morgan ( p q) (r r) utilizando involución ( p q) (r r) utilizando contradicción ( p q) f utilizando idntidad p q utilizando quivalncia d proposicions p q Con lo cual (p q) (r r) y p q son quivalnts. Esto podmos probarlo hacindo ambas tablas d vrdad. Ls proponmos qu las ralicn ants d continuar. Si no lo logran, pudn consultar a los tutors. Vamos otro jmplo: Dada la siguint proposición: p [ (p q ) (p r )] 8

10 Apliqumos quivalncia dl condicional n (p q ) y al mismo timpo apliqumos D Morgan n (p r ). Obtnmos: p [ ((p) q ) [(p) ( r)] ] Ahora apliqumos la ly involutiva n ( p): Distributiva d rspcto d : p [ ( p q ) [ p ( r)] ] p [ p ( q r) ] Equivalncia dl condicional: p [ p ( q r) ] Apliqumos nuvamnt D Morgan: p [ p ( q r) ] Finalmnt, por absorción: p Prdicado o Función proposicional Comncmos analizando l siguint nunciado: x s un númro impar No podmos dcir qu s una proposición porqu para qu sa vrdadra o falsa dpnd dl valor qu l asignmos a x. Tnmos una xprsión d la forma p(x), n nustro caso, p(x): x s un númro impar. Esta xprsión srá cirta para todos los númros ntros impars y falsa para todos los pars. Tngamos n cunta qu para asignarl un valor d vrdad ncsitamos rcurrir a los lmntos d un conjunto, n particular, n st caso, al d los númros ntros. Podmos, ntoncs, concluir n la siguint dfinición Sa A un conjunto no vacío, llamamos prdicado o función proposicional con dominio n A a toda xprsión p(x) tal qu para cualquir lmnto a dl conjunto A s vrifica qu p(a) s proposición. 9

11 Por jmplo: Sa A = (númros naturals) p(x) : x > 3 Si x = 1 ntoncs p(1) : 1 > 3 ntoncs l valor d vrdad d la proposición p(1) s falso. Si x = 9 ntoncs p(9) : 9 > 3 ntoncs l valor d vrdad d la proposición p(9) s vrdadro. Digamos ahora: Todos los númros naturals son impars. Podmos dar un valor d vrdad: l nunciado s falso y por lo tanto s una proposición. Ahora bin, cómo convncmos a alguin d qu sa afirmación s falsa?; dbmos mostrar un caso, por lo mnos uno, qu asvr qu ralmnt l nunciado s falso. Elgimos, por jmplo, l númro 4 s par y solucionamos nustro problma. La situación qu plantamos podmos scribirla utilizando los siguints símbolos: y, qu s llaman cuantificadors. Dbmos tnr n cunta qu algunas vcs para dar una proposición podmos usar cuantificadors. El cuantificador univrsal ( ), significa para todo (s dcir cualquira). Si p(x) s vrdadra para todo x n A ntoncs dcimos qu x: p(x) s vrdadra. El cuantificador xistncial ( ), significa qu xist al mnos un... Así x A s l xist al mnos un x n A. Entoncs, para l nunciado Todos los númros naturals son impars: Qu s dnota x : x s impar, su ngación s la siguint: [x : x s impar] x : x no s impar] Vamos otro jmplo qu rsolvrmos juntos. Para llo t pdimos qu complts los puntos suspnsivos. 10

12 Supongamos qu María dic: Todos los alumnos d st curso aprobaron l parcial Y Hrnán l rspond: Eso no s vrdad. Aquí hay un alumno qu no aprobó Es suficint la justificación qu da Hrnán? En otra ocasión, María dic: Algún alumno d st curso aprobó l parcial y nuvamnt Hrnán stá n dsacurdo. Qué dbría hacr ahora para justificar su posición? Podmos dar al siguint rsultado? [ x : p(x)] x : p(x) [ x : p(x)] x : p(x) Otro caso: Supongamos qu qurmos xprsar simbólicamnt l siguint nunciado: Para todo númro ntro xist otro númro ntro qu lo divid. Vmos qu hay dos variabls: l númro ntro qu s dividido y l qu divid; podríamos scribirlo así: x: y: x y Podmos prguntarnos, srá lo mismo scribir y: x: x y?; n ralidad, nos stamos hacindo la siguint prgunta: s lo mismo x : y : p(x;y) qu y : x : p(x;y)? Analicmos algunos otros casos: n l conjunto d los númros ntros sabmos qu l númro 0 s nutro para la suma. Cómo pud scribirs qu l nutro para la suma s l 0 usando los cuantificadors? Vamos las siguints formas 1. 0 Z, z Z:0+z = z+0 = z 2. z Z, 0 Z: 0+z = z+0 = z La corrcta s la 1, dond dcimos qu xist l 0 y qu s l lmnto nutro para la suma. En la 2 stamos dicindo qu cada ntro tin su nutro y nosotros sabmos qu l nutro s único y s l 0. Vamos otro jmplo a partir d las mismas xprsions: Est jmplo s un aport d la Profsora Ana María Gómz 11

13 Supongamos qu x son las mujrs soltras, y son los varons soltros y la propidad p(x;y) significa qu x y son novios. La primra proposición dic qu para todas las mujrs soltras x xist un varón y, qu s l novio. La sgunda proposición, n cambio, dic qu xist un varón y, tal qu todas las mujrs x dl mundo son sus novias. Son afirmacions muy difrnts, no? Por lo tanto los cuantificadors no conmutan Algunos jmplos para rpasar: Considrmos l siguint nunciado p (x): x s un númro par Es una proposición lógica? SI NO Por qué?... A st tipo d nunciados s los llama... Son nunciados con variabls qu pudn convrtirs n proposicions lógicas d las siguints formas: 1) Asignando valors a las variabls (jmplo: 3 s un númro par) 2) Cuantificándolas (jmplo: todos los númros son pars) Ejmplos: San: P(x): x s múltiplo d 5 Q(x): x s par R(x): x s impar A = {10, 15, 20} B = {3, 6, 9, 12} Para dcir qu todos los lmntos dl conjunto A son múltiplos d 5 scribimos: x A : P(x) Para dcir qu algunos lmntos dl conjunto B son pars scribimos: x B : Q(x) Para dcir qu algunos lmntos dl conjunto A son pars y múltiplos d 5 scribimos: x A : [ P(x) Q(x) ] Existn lmntos d B qu san impars y múltiplos d 5?... Cómo s scribn?... Es cirto qu todos los múltiplos d 5 son impars?... Cómo s scribn?... 12

14 Analiza l valor d vrdad d las siguints proposicions con cuantificadors: 1. x : x 2 = 7 3. x : y : x + y = 5 2. x : x 2 > x : y : x y = y Rcordmos cómo ngar los cuantificadors: [ x: p(x) ] [ x: p(x) ] [ x: p(x) ] [ x: p(x) ] Nga cada una d las siguints proposicions: p: x : x 2 > 0 p:..... q: x : ( x + 3 = 8 x > 4 ) q:..... r: x : y R : x y = y r:..... s: x : ( x > 0 x + 2 > 3 ) s:..... Considrmos ahora los siguints prdicados dfinidos n l conjunto d los númros naturals. p(x;y) : x y: x y q(x;y) : x y: x y r(x;y) : x y: x y t(x;y) : x y: x y En cada caso la variabl x y la variabl y stán afctadas por un cuantificador, univrsal o xistncial; dirmos ntoncs qu son variabls acotadas. Si tuviéramos p(x) : x-2 3, la variabl x no stá afctada por un cuantificador; dcimos qu la variabl no cuantificada s una variabl libr. Es dcir qu n l prdicado p(x) a la variabl x la llamamos variabl libr y n x: p(x), x s variabl acotada. Cómo analizamos l valor d vrdad d una proposición dada por cuantificación con más d una variabl? Vamos l valor d vrdad d p(x;y) : x: y: x y n l conjunto d los númros rals. Considrmos primro y: x y, como la x no stá cuantificada s una variabl libr y la y s la variabl acotada, sa x = 5 y n l nunciado original quda y: 5 y qu s falso para, por jmplo y = 8. Por lo tanto V(p(x;y)) s falso. 13

15 Vamos ahora qué pasa con l valor d vrdad d t(x;y) : x: y: x y. Si actuamos d la misma manra quda y: x y, dond x s libr y stá acotada, qu s vrdadra ya qu podmos lgir simpr un x qu sa mayor o igual qu l y propusto. Ants d finalizar st punto, rcordmos qu: Dcimos qu dos proposicions son lógicamnt quivalnts simpr qu dados cualsquira valors d vrdad, ambos son V o F. S pudn dmostrar usando las tablas d vrdad. Sa A un conjunto no vacío, llamamos prdicado o función proposicional con dominio n A a toda xprsión p(x) tal qu para cualquir lmnto a dl conjunto A s vrifica qu p(a) s proposición. En algunos casos, para dar una proposición podmos usar cuantificadors (univrsal o xistncial); pro s important rcordar qu los cuantificadors no conmutan. Cuando las variabls x y stán afctadas por un cuantificador, s trata d variabls acotadas; cuando una d las variabls no stá afctada por un cuantificador s dnomina variabl libr. Hasta aquí nustro rpaso d las nocions d lógica qu aplicarmos n las próximas unidads. Avancmos ahora con los tmas qu sigun: conjuntos, inducción matmática y númros ntros. 14

16 CONJUNTOS Tal como anticipamos al inicio d la unidad, los concptos vinculados al tma conjuntos son ncsarios para abordar lugo otros tals como las rlacions d ordn, grupos y lnguajs qu studiarmos n las próximas unidads. Empzando por caractrizar un conjunto, podmos dcir qu simplmnt s cualquir colcción d objtos o sa toda agrupación d lmntos. Los conjuntos s indican con ltras mayúsculas y los lmntos con ltras minúsculas. Si un conjunto s finito y no dmasiado xtnso s pud dscribir nombrando cada uno d sus lmntos, s dcir, por xtnsión o numración. Asimismo, darlo por comprnsión s dar una propidad qu caractriza a todos los lmntos d s conjunto. Por jmplo: A = {2, 4, 6, 8} El conjunto A stá dfinido por xtnsión. B = { x tal qu x s un númro par y 2 x 8 } El conjunto B stá dfinido por comprnsión. Las qu sigun son dfinicions y rlacions ntr conjuntos, qu aplicarmos lugo n tmas postriors, tals como n las opracions ntr conjuntos. Cardinalidad d un conjunto Un conjunto A s dic finito si tin n lmntos distintos con n, n s caso l cardinal d A s n y lo indicamos A = n. Conjunto vacío Si l conjunto A no tin lmntos, su cardinal s 0. El conjunto qu no tin lmnto alguno s llama conjunto vacío o nulo y s dnota Ø, Ø = { }. Por jmplo: A = {x tal qu x = 0 } 15

17 Inclusión d conjuntos Dados dos conjuntos A y B, dcimos qu A stá incluido (o contnido) n B si todos los lmntos d A stán n B. Lo indicamos como A B sí y sólo sí x A x B. La rlación qu liga a los conjuntos ntr sí s la inclusión. B A A B Igualdad d conjuntos Dos conjuntos X Y son iguals si tinn los mismos lmntos. En st caso s scribirá X = Y. Dicho n otras palabras, simpr qu x X s cumpl qu x Y, y simpr qu x X s cumpl qu x Y, y así X = Y. Por jmplo: A = { x tal qu x 2 + x 6 = 0 } y B = {2, -3 }, ntoncs A = B. Supóngas qu X Y son conjuntos. Si todo lmnto d X s un lmnto d Y s dic qu X s un subconjunto d Y y s xprsa X Y. Si vinculamos la noción d igualdad con l concpto d inclusión podmos dcir qu A y B son iguals si A B B A. Conjunto Univrsal S llama conjunto rfrncial o univrsal al conjunto U qu hac vrdadra la siguint proposición: x A x U. En un diagrama d Vnn s rprsnta con un rctángulo 16

18 U A Opracions con conjuntos Las qu sigun son opracions qu pudn ralizars con conjuntos, tals como: intrscción, unión, difrncia, complmnto y difrncia simétrica. Dados dos conjuntos A y B llamamos intrscción ntr A y B indicamos A B al siguint conjunto: A B = { x tal qu x A x B } Por jmplo: Sa A = { 1, 3 } y B = { 1, 2, 3, 4 } A B = { 1, 3 } Dados dos conjuntos A y B llamamos unión ntr A y B indicamos A B al siguint conjunto: A B = { x tal qu x A x B } Por jmplo: Sa A = { 1, 3 } y B = { 1, 2, 3, 4 } A B = { 1, 2, 3, 4 } Dados dos conjuntos A y B llamamos difrncia ntr A y B indicamos A - B al siguint conjunto: A B = { x tal qu x A x B } 17

19 Por jmplo: Sa A = { 1, 3 } y B = { 1, 2, 3, 4 } A - B = B - A = { 2, 4 } Dado l conjunto A llamamos complmnto d A indicamos A al siguint conjunto: A = { x tal qu x U x A } = U - A Por jmplo: Sa A = { x tal qu x y x s impar } y U = A = { x tal qu x y x s par } Dados los conjuntos A y B llamamos difrncia simétrica ntr A y B indicamos A B al siguint conjunto: A B = ( A B ) ( A B ) Por jmplo: Sa A = { 1, 3 } y B = { 1, 2, 3, 4 } A B = { 2, 4 } Propidads d las opracions Las opracions antriors cumpln las siguints propidads: 1. Involución: A = A 2. Idmpotncia: A A = A A A = A 18

20 3. Conmutatividad: A B = B A A B = B A 4. Nutro y absorbnt: A U = A, A U = U A =, A = A 5. Absorción: A ( A B ) = A ( A B ) = A 6. Lys d D Morgan: A B = A B A B = A B 7. Asociatividad: A ( B C ) = A ( B C ) A ( B C ) = A ( B C ) 8. Distributividad: A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) 9. Propidads dl complmnto: A A = A A = U 19

21 Por jmplo: A ( A B ) = A B A ( A B ) = ( A A ) ( A B ) por propidad distributiva. = ( A B ) = A B A continuación dfinirmos un conjunto d parts d un conjunto dado. Est s un concpto con l qu vamos a trabajar mucho n unidads postriors, al tratar tmas como rlacions d ordn y Álgbras d Bool. Conjunto d parts S llama conjunto d parts o conjunto potncia d A al conjunto: P(A) = { X tal qu X A } Tngamos n cunta: El conjunto potncia d A s un conjunto cuyos lmntos son todos los subconjuntos d A. Si A = n P(A) = 2 n A: P(A) Si A = P(A) = 1 Por jmplo: Sa A = { 1, 2, 3 } A = 3 P(A) = 2³ = 8 P(A) = {, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, { 1, 2, 3 } } Dmostracions d propidads con conjuntos Hay difrnts formas d dmostrar propidads d los conjuntos. Algunas d sas formas son las siguints: 20

22 Dmostracions a nivl d lmntos Sin antcdnt Con antcdnt y conscunt Con una inclusión n l conscunt Ejmplo: A A B Con una igualdad n l conscunt Ejmplo: A ( B C ) = ( A B ) C Dmostrar a partir dl 1r mimbro d la tsis [ C A B ( C - B ) A ] Dsarrollar la hipótsis complta hasta llgar a la tsis ( A - B = A B ) Dmostracions conjuntistas Utilizando propidads básicas d conjuntos dmostradas prviamnt Comncmos a dmostrar cada uno d stos jmplos Empcmos por las dmostracions d lmntos: Sin antcdnt y con una inclusión n l conscunt. Es dcir, dbmos probar qu A A B Sabmos qu por dfinición d inclusión, s lo mismo probar qu x: x A x A B Dbmos partir dl primr mimbro y lugo d una cadna d implicacions llgar al sgundo mimbro. x: x A x A x B x A B propidad p p q dfinición d unión Sin antcdnt y con una igualdad n l conscunt Ahora tnmos qu probar una igualdad A ( B C ) = ( A B ) C Rcordmos qu dos conjuntos son iguals cuando s incluyn mutuamnt. O sa, qu n principio st jrcicio comprnd dos parts: Primra inclusión: x: x A ( B C ) x ( A B ) C Sgunda inclusión: x: x ( A B ) C x A ( B C ) 21

23 Dmostrmos la primra: x: x A ( B C ) x A x ( B C ) aplicamos dfinición d intrscción aplicamos dfinición d intrscción x A ( x B x C ) por la asociatividad d la ( x A x B ) x C por dfinición d intrscción x ( A B ) x C por dfinición d intrscción x ( A B ) C con lo cual llgamos al sgundo mimbro Es important tnr n cunta qu a sta altura no trminamos l jrcicio, pus nos falta la sgunda inclusión. Si nos fijamos bin, n la mayoría d los casos s trata d hacr l camino invrso aunqu rcordmos qu no n todos ocurr sto-. Nos quda: x: x A ( B C ) x A x ( B C ) x A ( x B x C ) ( x A x B ) x C x ( A B ) x C x ( A B ) C por dfinición d intrscción por dfinición d intrscción por la asociatividad d la por dfinición d intrscción por dfinición d intrscción Con antcdnt y conscunt ralizando la dmostración a partir dl primr mimbro d la tsis Dbmos probar qu C A B ( C - B ) A A difrncia d los jrcicios antriors, n st caso tnmos un antcdnt o hipótsis (C A B) y un conscunt o tsis (( C - B ) A), qu s lo qu hay qu dmostrar. Si nos fijamos n la tsis, s trata d una inclusión y la vamos a dmostrar como toda inclusión, s dcir: x: x (C - B) x A En l camino d implicacions para llgar al sgundo mimbro, admás d dfinicions y propidads, podmos utilizar la hipótsis. Apliqumos stas dmostracions n l jrcicio qu sigu: Compltá sñalando n cada paso cuál s la propidad utilizada: x: x (C - B) x C x B x (A B) x B ( x A x B ) x B ( x A x B ) ( x B x B ) ( x A x B ) F x A x B x A Con antcdnt y conscunt dsarrollando la hipótsis complta hasta llgar a la tsis 22

24 En st caso s una quivalncia o dobl implicación: A - B = A B Si lo hacmos como n caso antrior s ncsario ralizar dos jrcicios. En cambio, lo vamos a dmostrar dsarrollando l antcdnt complto hasta llgar al conscunt. Como n l caso antrior, sñalá n cada paso cuál s la propidad utilizada: A - B = x: x (A - B) x: [ x (A - B)] x: [x A x B] x: x A x B [ x: x A x B ] A B Sigamos con las dmostracions conjuntistas: Por jmplo, dmostrmos (A B) ( A B) = (B - A) (A - B) n forma conjuntista, utilizando las propidads d conjuntos básicas, sin bajar al nivl d la lógica: (A B) (A B) = (A A) (A B) (B A) (B B) = = (A - B) (B - A) = (A - B) (B - A) = (B - A) (A - B) Ralizá las siguints dmostracions: 1. A B B C = A C = 2. A - (B - C) = (A - B) (A C) 3. (A B) (B A) = (A B) (A B) 4. P(A) P(B) P(A B) Partición d un conjunto Sa un conjunto A. Sa P = {A 1, A 2,..., A n } P s una partición d A 1) A i i 2) A i A j = i j 3) U A i = A Algunas obsrvacions para tnr n cunta: Las particions stán incluidas n l conjunto d parts. Los subconjuntos A i rcibn l nombr d cldas d la partición. La condición 3 también s pud xprsar: x A : A i P : x A i 23

25 Para finalizar, t proponmos ralizar algunos jrcicios sobr particions. 1- Cuáls d los siguints conjuntos son particions d A = { a, b, c, d, }? En caso ngativo, indicá cual d las trs condicions no s cumpl. P 1 = { {a,b,c}, {d,} } P 2 = { {a,b}, {c,d}, {b,} } P 3 = { {a,b}, {c}, {} } P 4 = { {a}, {b}, {c}, {d,} } P 5 = { {a}, {b,c,d}, { }, {} } 2- Cuáls d los siguints conjuntos P = {A 1, A 2, A 3 } son particions d? a) A 1 = ( - ; -2] A 2 = ( -2 ; 0] A 3 = (1; + ) c) A 1 = ( - ; -3] A 2 = ( -3 ; 0) A 3 = + b) A 1 = ( - ; -1) A 2 = { -1, 2 } A 3 = ( -1; + ) { 2 } d) A 1 = ( - ; 4) A 2 = { 0, 5 } A 3 = [ 4; + ) { 5 } Sinttizando: Un conjunto pud dscribirs por xtnsión o por comprnsión. Las opracions ntr conjuntos son: intrscción, unión, difrncia, complmnto, difrncia simétrica. Estas opracions prsntan las propidads: involución, idmpotncia, conmutatividad, nutro y absorbnt, absorción, lys d D Morgan, asociatividad, distributividad, propidads dl complmnto. Entr las difrnts formas d dmostrar las propidads d conjuntos ncontramos: Dmostracions a nivl d lmntos Sin antcdnt Con una inclusión n l conscunt Con una igualdad n l conscunt Con antcdnt y conscunt Dmostrar a partir dl 1r mimbro d la tsis Dsarrollar la hipótsis complta hasta llgar a la tsis Dmostracions conjuntistas Utilizando propidads básicas d conjuntos dmostradas prviamnt Llamamos Partición a todo subconjunto P dl conjunto d parts d A, P(A) qu cumpl las siguints condicions: ningún componnt d P s l conjunto vacío, dos componnts distinto no tinn lmntos n común y todos los lmntos d A stán n alguno d los componnts d P. 24

26 INDUCCION MATEMATICA En muchos casos qurmos dmostrar qu alguna propidad rlativa a los númros naturals s cirta. Para dmostrarlo podmos analizar algunos casos particulars -para algunos valors naturals- pro no podmos hacrlo con todos, pus son infinitos. Por jmplo, si obsrvamos la suma d los primros númros impars: 1 = = = = 16 Notás algo n particular? Obsrvá bin los rsultados... Vmos qu todos son cuadrados prfctos: 1 = 1 = = 4 = = 9 = = 16 = 4 2 Por lo tanto, si agrgamos otro númro impar sguramnt obtndrmos 5 2 = 25 y así sucsivamnt. Pro, podmos star sguros d llo? S cumplirá ralmnt con cualquir cantidad d impars sumados? Para podr rspondr con crtza a st intrrogant y muchos similars vamos a utilizar la Inducción Matmática, qu studiarmos n sta scción. Para comnzar dfinirmos conjunto inductivo y conjunto d númros naturals, así como la rlación ntr ambos. Qué s un conjunto inductivo? Sa R l conjunto d los númros rals, dado A, dcimos qu A s inductivo si: 1) 1 A 2) x A x+1 A Qué s l conjunto d númros naturals? = AR A tal qu A s inductivo O sa qu l conjunto d los númros naturals s la intrscción d todos los conjuntos inductivos. Es l más pquño d los conjuntos inductivos n l sntido d la inclusión. 25

27 Una hrraminta qu podmos utilizar para dmostrar propidads rlativas al conjunto d los naturals s la inducción complta. Principio d Inducción Complta (PIC) Sa p(n) un prdicado o función proposicional con dominio n l conjunto d los númros naturals. Si: 1) v [ p(1) ] = V 2) v [ p(h) ] = V v [ p(h+1) ] = V Entoncs: todas las p(n) son vrdadras. Tngamos prsnt qu: a) l paso 1) s llama PASO BASE d la inducción y consist n valuar la proposición con n = 1 b) l paso 2) s llama PASO INDUCTIVO El antcdnt d 2) s llama HIPOTESIS INDUCTIVA y l conscunt s la TESIS INDUCTIVA La hipótsis inductiva consist n tomar como válida la propidad n un dtrminado valor d n qu llamamos h. A partir d sto, s db probar la tsis inductiva, o sa qu la propidad s válida para l valor siguint d h, s dcir para h+1. Tngamos n cunta qu st método s pud usar aunqu no s cominc con n=1 Dado m 1: Si : 1) v [ p(m) ] = V 2) v [ p(h) ] = V v [ p(h+1) ] = V Entoncs: p(n) s vrdadra para todo n m. Vamos algunos jmplos dl procso d inducción Ejmplo 1 n Dmostrar qu: k1 k k! = ( n+1 )! 1 n 26

28 Qué significa l símbolo y l signo d admiración? Vayamos d a poco. El símbolo indica sumatoria, s dcir, una suma d varios términos. Dbajo dl signo hay una ltra qu s l contador igualado a su valor inicial. Arriba dl signo s scrib l valor final dl contador; lugo, s rmplaza n la xprsión por los sucsivos valors dl contador y s suman. Por jmplo: 5 n 2 = = = 55 n1 3 n1 n 2 n = Ahora vamos l signo d admiración; st signo s l símbolo d factorial. Qué s l factorial d un númro? S llama factorial d un númro natural a otro númro natural qu s obtin multiplicando todos los naturals antriors al dado. En forma rcursiva s dfin: 0! = 1 n! = (n-1)! n Ejmplos: 4! = 4 3! = 4 3 2! = ! = ! = 24 5! = 5 4! = 5 24 = 120 Solución: Paso bas: n = 1: p(1): 1 k1 k k! = ( 1+1 )! 1 Vamos a analizar l valor d vrdad d p(1). Para llo calculamos ambos mimbros por sparado y lugo comparamos: Primr mimbro d p(1): 1 1! = 1 Sgundo mimbro d p(1): (1+1)! - 1 = 2! - 1 = 2-1 = 1 Como los dos mimbros son iguals, ntoncs v [p(1)] = V Paso inductivo: Hipótsis Inductiva: n = h Tsis Inductiva: n = h+1 h k1 h 1 k1 k k! = ( h+1 )! - 1 k k! = ( h+1+1 )!

29 Dmostración: para dmostrar la igualdad d la tsis partimos dl primr mimbro y tratarmos d llgar al sgundo. h 1 k1 h k k! = (1) k1 = (4) (h+1)! (1+h+1) -1 = 4 (h+1+1)! -1 k k! + (h+1) (h+1)! = (2) (h+1)! (h+1) (h+1)! = (3) Así, llgamos al sgundo mimbro. Justificacions: (1) D los h+1 términos djamos apart l último d llos (2) Utilizamos la hipótsis inductiva (3) Sacamos factor común (h+1)! ntr primr y trcr términos (4) Usamos dfinición rcursiva d factorial Ejmplo 2: Dmostrar n 3 : (2n)! > 8 n-1 n 2 Solución: Paso bas: n = 3: (En st caso comnzamos d n=3 n vz d n=1 ya qu lo dic l nunciado) p(1): (2 3)! > Vamos si p(1) s vrdadra: Primr mimbro d p(1): (2 3)! = 6! = 720 Sgundo mimbro d p(1): = 64 9 = 576 Como , ntoncs v [p(1)] = V Paso inductivo: Hip. Ind.: n = h (2h)! > 8 h-1 h 2 Tsis Ind: n = h+1 (2(h+1))! > 8 h (h+1) 2 28

30 Dmostración: para dmostrar la tsis, partimos dl primr mimbro d la misma y tratarmos d probar qu s mayor qu l sgundo. (2(h+1))! = (2h + 2)! = (1) (2h+2) (2h+1) (2h)! (2) (4h h + 2) 8 h-1 h 2 (3) (3) (h h + 1) 8 h 8-1 h 2 > (4) 8 h (h+1) h 2 > (5) 8 h (h+1) 2 Con lo cual qudó dmostrado qu: 2(h+1))! > 8 h (h+1) 2 Justificacions d cada paso: (1) Usamos la dfinición rcursiva d factorial (2) Distribuimos l producto d (2h+2)(2h+1) y utilizamos la hipótsis inductiva (3) Acotamos la xprsión (4h 2 + 6h + 2) por una xprsión mnor (h h + 1) ya qu rsulta convnint para lo qu dbmos probar (4) Escribimos l cuadrado d una suma qu tníamos dsarrollado (5) Dado qu como h 3 ntoncs h 2 9 por lo tanto h 2 8 En st momnto, t proponmos rsolvr los jrcicios d inducción d la guía (3.1.1 y ) SUCESIONES Una sucsión s una lista d objtos, uno dspués dl otro, numrada n l ordn crcint d los númros naturals. Formalmnt, una sucsión s una función f: Hay qu tnr n cunta qu n una sucsión: 1. Los lmntos pudn o no rptirs. 2. A vcs n vz d s pud tomar 0 Por jmplo: S 1 : 1,4,9,16,25,...,n 2,... S 2 :1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...,(-1) n,... Notacions: S: a 1,a 2,...,a n,... S : ( a i ) i N 29

31 RECURSION Una dfinición s rcursiva si hac rfrncia a lla misma. Por jmplo: la dfinición d factorial s rcursiva n! = n (n-1)! con 0! = 1 Lo mismo ocurr al dar una sucsión, s dcir qu también pud dfinirs n forma rcursiva. Al dfinir l término gnral, s pud hacr rfrncia a términos antriors. Ejmplo: Sa la sucsión dfinida por: a n = 2 a n-1 con a 1 = 4 Vamos algunos lmntos d la sucsión: Ya sabmos qu a 1 = 4. calculmos l siguint: a 2 = 2 a 1 ntoncs: a 2 = 2 4 = 8 Y l próximo s: a 3 = 2 a 2 ntoncs: a 3 = 2 8 = 16 Y así sucsivamnt. En st caso s fácil dars cunta qu los lmntos d la sucsión son todos potncias d 2, pro hay muchos casos dond no s tan sncillo dscubrir la rgla gnral a simpl vista. A las sucsions dadas n forma rcursiva, s las llama rlacions o cuacions d rcurrncia. Qué significa rsolvr una rlación d rcurrncia? Significa ncontrar una xprsión dl a n qu satisfaga la rlación y qu no sa rcursiva. Clasificación d rlacions d rcurrncia: Ordn: s la mayor difrncia ntr los subíndics d los lmntos d la sucsión qu figuran n la rlación d rcurrncia. Es dcir, l ordn indica cuántos términos antriors hay qu conocr para obtnr uno n particular. Grado: s l mayor xponnt al qu stán lvados los lmntos d la sucsión qu figuran n la rlación d rcurrncia. Ecuación Homogéna: al igual qu las cuacions algbraicas, las homogénas son las qu no tinn términos indpndints; pro n st caso no ncsariamnt los términos indpndints son constants sino qu todos aqullos n los qu no figuran lmntos d la sucsión. Por jmplo los siguints términos son indpndints: 3 n, 4, n 2, tc. 30

32 Ecuación d coficints constants: n stas cuacions ninguno d los coficints d los lmntos d la sucsión dpndn d n. Por l contrario, si alguno dpnd d n, s dic qu la cuación tin coficints variabls. Algunos jmplos: a) a n = 3 a n-1 + 2n 2 s d ordn 1 (difrncia ntr n y n-1), grado 1 o linal (xponnts 1), no homogéna (pus figura l término 2n 2 ) y d coficints constants (1 y 3). b) a n = a n-1 + a n-2 s d ordn 2, linal, homogéna y d coficints constants. c) a n 3 = 2 a n-1 1 s d ordn 1, grado 3, no homogéna y coficints constants. d) 2 a n = n a n-2 s d ordn 2, linal, homogéna y d coficints variabls (n) Vamos a analizar ahora las rlacions d rcurrncia d ordn 1 y d ordn 2, homogénas con coficints constants y sus rspctivas rsolucions Rlacions d rcurrncia linals d ordn 1, homogénas Son d la forma: an = k a n-1 sindo k una constant ral no nula. Rsolución: Supongamos qu conocmos l valor d a 0. Cuánto val l a 1? a 1 = k a 0 Y a 2? a 2 = k a 1 qu a su vz s a 2 = k k a 0 = k 2 a 0 Y a 3? a 3 = k a 2 qu a su vz s a 3 = k k k a 0 = k 3 a 0 O sa qu parcira qu: a n = k n a 0 Pro para star sguros d la fórmula ncontrada, dbmos dmostrarla. Vamos a hacrlo por mdio d Inducción Complta. Qué s lo qu hay qu dmostrar? Dato dl jrcicio: la fórmula rcursiva a n = k a n-1 y l valor d a 0 Fórmula ncontrada no rcursiva: a n = k n a 0 Lo qu dbmos probar s qu la nuva fórmula dfin la misma sucsión qu la otra. 31

33 Paso bas: n = 0 (ya qu l primr término s a 0 ) Lo calculamos con la nuva fórmula: a 0 = k 0 a 0 = a 0 ntoncs s cumpl p(0) s V Paso inductivo: Hip. Ind: n = h a h = k h a 0 Tsis Ind: n = h+1 a h+1 = k h+1 a 0 Dm./ a h+1 = k a h = k k h a 0 = k h+1 a 0 Por dato dl jrcicio Hip. Ind. Producto d potncias d igual bas Por lo tanto, quda dmostrado qu n N 0 : p(n) s vrdadra Ejmplo: La siguint rlación d rcurrncia: 3 a n - 5 a n-1 = 0 con a 0 = 4 Es quivalnt a: a n = 5 3 a n-1 Tin por solución: a n = n Rlacions d rcurrncia linals d ordn 2, homogénas Son d la forma: c n a n + c n-1 a n-1 + c n-2 a n-2 = 0 Rsolución: Supongamos qu a n = x n s una solución d la cuación. Por lo tanto db satisfacrla: Sacamos factor común... y obtnmos: c n x n + c n-1 x n-1 + c n-2 x n-2 = 0 x n-2 ( c n x 2 + c n-1 x + c n-2 ) = 0 Como x no pud sr cro, ntoncs db sr c n x 2 + c n-1 x + c n-2 = 0 Lo cual s una cuación algbraica d sgundo grado qu s llama cuación caractrística. 32

34 Sus raícs pudn sr rals y distintas rals iguals (una raíz dobl) compljas conjugadas Sgún san las raícs d la cuación caractrística, la solución gnral srá: Rals distintas: Rals iguals: a n = k 1 r 1 n + k 2 r 2 n a n = k 1 r 1 n + k 2 n r 1 n Compljas: ídm primr caso pro s opra con D Moivr (no s considran n sta matria) Las constants k 1 y k 2 s calculan con los datos inicials Important: Para podr rsolvr una rlación d rcurrncia d ordn n s ncsitan conocr n condicions inicials. Vamos dos jmplos: Ejmplo 1 a n - 5 a n a n-2 = 0 con a 0 = 3 y a 1 = 5 Dirctamnt plantamos la cuación caractrística: x 2-5 x + 6 = 0 Calculamos sus raícs, qu son: r 1 = 2 y r 2 = 3 Rsultaron sr raícs REALES y DISTINTAS Plantamos la forma d la solución gnral: a n = k 1 r n n 1 + k 2 r 2 Y ahora, tnindo n cunta las condicions inicials: a 0 = 3 ntoncs 3 = k 1 r k 2 r 0 2 o sa k 1 + k 2 = 3 a 1 = 5 ntoncs 5 = k 1 r k 2 r 1 2 o sa 2 k k 2 = 5 Nos ha qudado un sncillo sistma d cuacions linals. Al rsolvrlo obtnmos: k 1 = 4 y k 2 = -1 Por lo tanto, nustra solución s: a n = 4 2 n - 3 n Ejmplo 2: a n+2 = 4 a n+1-4 a n con a 0 = 1 y a 1 = 5 La cuación caractrística s: x 2-4 x + 4 = 0 qu tin como raícs: r 1 = 2 y r 2 = 2 O sa qu son raícs REALES IGUALES Plantamos la forma d la solución gnral: a n = k 1 2 n + k 2 n 2 n Y ahora, tnindo n cunta las condicions inicials: a 0 = 1 ntoncs k 1 = 1 a 1 = 5 ntoncs 2 k k 2 = 5 ntoncs: k 2 =

35 Por lo tanto, nustra solución s: a n = 2 n n 2 n Dmostración por Inducción: Paso bas: Por sr d sgundo ordn hay qu probar los dos datos inicials: n = 0: a 0 = = 1 n = 1: a 1 = = = 5 s vrifica Paso inductivo: Hip. Ind: n = h a h = 2 h h 2 h a h-1 = 2 h (h-1) 2 h-1 Tsis Ind: n = h+1 a h+1 = 2 h (h+1) 2 h+1 Dm./ Comnzamos dsarrollando l primr mimbro d la tsis: a h+1 = 4 a h 4 a h-1 = 4 ( 2 h h 2 h ) 4 ( 2 h (h-1) 2 h-1 ) = = 4 2 h + 6 h 2 h 4 2 h-1-6 (h-1) 2 h-1 = 4 2 h + 6 h 2 h 2 2 h - 3 h 2 h h = = 4 2 h + 6 h 2 h 2 2 h - 3 h 2 h h = 5 2 h + 3 h 2 h ( xprsión 1) Ahora dsarrollamos l sgundo mimbro d la tsis: 2 h (h+1) 2 h+1 = 2 h h 2 h h 2 = 2 2 h + 3 h 2 h h = =5 2 h + 3 h 2 h (xprsión 2) Como ambas xprsions son iguals, ha qudado probada la tsis. Y por principio d inducción: n N 0 : p(n) s vrdadra Sinttizando: El Principio d Inducción Complta s utiliza para dmostrar propidads rlativas al conjunto d los númros naturals. El PASO BASE d la inducción consist n valuar la proposición con n = 1 ( o l primr lmnto indicado). En l PASO INDUCTIVO l antcdnt s llama HIPOTESIS INDUCTIVA y l conscunt s la TESIS INDUCTIVA. Si s vrifica la igualdad n l paso bas y d la hipótsis inductiva s obtin la tsis inductiva, la propidad s válida para todos los númros naturals Una sucsión s una lista d objtos, uno dspués dl otro, numrada n l ordn crcint d los númros naturals. Formalmnt, una sucsión s una función f: Hay qu tnr n cunta qu n una sucsión: los lmntos pudn o no rptirs; a vcs n vz d s pud tomar 0. Una dfinición s rcursiva si hac rfrncia a lla misma. 34

36 A las sucsions dadas n forma rcursiva s las llama rlacions o cuacions d rcurrncia. Rsolvr una rlación d rcurrncia significa ncontrar una xprsión dl a n qu satisfaga la rlación y qu no sa rcursiva. En una rlación d rcurrncia s caractriza l ordn, l grado, la homognidad y los coficints Las rlacions d rcurrncia linals d ordn 2, homogénas son d la forma: c n a n + c n-1 a n-1 + c n-2 a n-2 = 0 Ahora podés intntar rsolvr los jrcicios d rcursión d la guía (3.2.1 al 3.2.6) Una vz rsultos pasamos al último d los tmas d la Unidad: los Númros Entros. 35

37 NUMEROS ENTEROS Si bin n la scción antrior studiamos los númros naturals, cómo dmostrar propidads rlativas a llos y, n particular, las sucsions y la rcursividad, no todos los modlos matmáticos son con númros naturals. Para muchas aplicacions s ncsario trabajar con númros ntros. Rcordmos qu l conjunto d los númros ntros s: = U {0} U {-x / x } En l conjunto, la adición y la multiplicación son opracions crradas, s dcir, simpr s pudn fctuar y dvulvn un rsultado ntro. Pro con la división no pasa lo mismo, pus por jmplo, si qurmos dividir 8 por 3 ningún númro ntro coincid. Por llo s qu dfinimos la división ntra, tal cual la habías aprndido n la scula primaria. Sguramnt lo rcordás. División ntra: D d d r c Dados dos númros ntros D y d, xistn y son únicos otros dos ntros c y r tals qu: D = d c + r con 0 r < d D s llama DIVIDENDO, d s l DIVISOR, c s l COCIENTE y r l RESTO d la división ntra. Esto s llama Algoritmo d la División y s pud dmostrar. Ejmplos: a) El cocint y l rsto d la división ntra d 17 por 3 son rspctivamnt: c = 5 y r = 2 ya qu 17 = y 0 2 < 3 b) El cocint y l rsto d la división ntra d -8 por 5 son rspctivamnt: c = -2 y r = 2 ya qu -8 = 5 (-2) + 2 y 0 2 < 5 c) El cocint y l rsto d la división ntra d -13 por -4 son rspctivamnt: c = 4 y r = 3 ya qu -13 = (-4) y 0 3 < 4 d) El cocint y l rsto d la división ntra d 15 por -6 son rspctivamnt: c = -2 y r = 3 ya qu 15 = (-6) (-2) + 3 y 0 2 < 3 Tratmos d gnralizar un poco lo qu hmos obsrvado n los cuatro casos antriors: Si d 0 : c = nt(d/d) r = mant(d/d) d Por jmplo, n los casos a) y b) antriors: 36

38 a) En rals: 17 3 = ntoncs: c = nt ( 17 3 ) = 5 r = mant ( 17 3 ) 3 = = 2 b) En rals: -8 5 = -1.6 ntoncs: c = nt ( -8 5 ) = -2 r = mant ( -8 5 ) 5 = = 2 Si d < 0: d = -d s rsulv sta división como n los casos antriors obtnindo: c = nt (D/d ) r = mant (D/d ) d Lugo: c = - c r = r Por jmplo, n los casos c) y d) antriors: c) Rsolvmos: n rals: = ntoncs: c = nt ( ) = -4 r = mant ( 4 4 ) 4 = = 3 Por lo tanto l cocint y rsto d la división d -13 por -4 son: c = - c = 4 r = r = 3 d) Rsolvmos: 15 6 n rals: 15 6 = 2.5 ntoncs: c = nt ( 15 6 ) = 2 r = mant ( 15 6 ) 6 = = 3 Por lo tanto l cocint y rsto d la división d 15 por -6 son: c = - c = -2 r = r = 3 Divisibilidad San a, b, con a 0: ab k / b = k a S l: a divid a b a s divisor d b b s múltiplo d a b s divisibl por a 37

39 Propidads: 1) a, a 0: a a 2) a, b, c, a 0 b 0: a b b c ntoncs a c 3) a, b, c, a 0: a b a c ntoncs a b + c 4) a, b, a 0 : a b k ntoncs a k b Los númros ntros n qu sólo son divisibls por 1, -1, n, -n s llaman PRIMOS. Los primros númros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...y sus opustos!!!!! Los matmáticos han dmostrado qu xistn infinitos númros primos, pro aún no ncontraron una fórmula gnral para obtnrlos. Por qué son importants los númros primos? Pus cumpln muchas propidads qu no cumpln los númros compustos (los qu no son primos ). Los númros 1, -1, 0 no son primos pro tampoco compustos, son casos particulars. Por jmplo, pnsmos si l siguint condicional s vrdadro o falso: San, n, a, b : Si n a b ntoncs n a n b Est condicional s FALSO, pus por jmplo: pro no s cirto qu ( ) En cambio si nos dijran qu l númro n s primo, ntoncs sí la propidad s cirta y s pud dmostrar fácilmnt. Es la qu nunciamos a continuación: Propidad: Si p a b p: primo p a p b Torma fundamntal d la aritmética Todo númro ntro distinto d 0, 1 y -1, s o bin primo o s pud scribir como producto d factors primos d manra única salvo l ordn. Ejmplo: 84 = = A continuación dmostrarmos un jrcicio d divisibilidad: 5 23 n - 18 n, n 38

40 Para dmostrar sta propidad vamos a utilizar inducción complta. Nos convin scribir la proposición n forma d igualdad, d sta forma: P(n): 23 n - 18 n = 5 k k Paso bas: n =1: = 5 = Paso inductivo: Hip. Ind: 23 h 18 h = 5 k k Tsis Ind: 23 h+1 18 h+1 = 5 t t Dm./ 23 h+1 18 h+1 = 23 h h 18 = 23 h ( ) 18 h 18 = = 5 23 h + 18 ( 23 h 18 h ) = 5 23 h k = 5 (23 h + 18 k ) = 5 t Pus 23 h + 18 k por sr productos y suma d ntros. Por lo tanto, por principio d inducción, n s cumpl p(n) s vrdadra MCM (mínimo común múltiplo) y MCD (máximo común divisor) San a, b, no simultánamnt nulos, y sa m +, ntoncs m = m.c.m. (a,b) si y sólo si s cumpln las siguints condicions: 1) a m 2) b m 3) Si m 0: a m b m m m San a, b, no simultánamnt nulos, y sa d +, ntoncs d = m.c.d. (a,b) si y sólo si s cumpln las siguints condicions: 1) d a 2) d b 3) Si d 0 : d a d b d d 39

41 Notacions: m.c.m.(a,b) = [ a, b ] m.c.d.(a,b) = ( a, b ) Tngamos n cunta qu: Si a = 0 b = 0 ntoncs m.c.m.(a,b) = 0 = mcm(a,b) Propidad dl MCD ntr dos ntros: pud sr scrito como combinación linal ntra d dichos ntros Si d = m.c.d.(a,b) ntoncs k 1, k 2 tals qu d = k 1 a + k 2 b Propidad dl MCM y MCD: l producto d ambos s igual al módulo d a b ( a,b ) [ a,b] = a b Por jmplo: Dados los ntros: a = 64 y b = 48, vamos a calcular l m.c.d.(64,48) y l m.c.m.(64,48) Primro factoramos ambos númros: 64 = = Entoncs: m.c.d.(64,48) = 2 4 = 16 y m.c.m.(64,48) = = 192 El producto: s 3072 qu s igual al producto = 3072 Podmos scribir al 16 como combinación linal ntra d 64 y 48: 16 = (-1) 48 Cómo ncontramos los dos ntros s y t para scribir al m.c.d.(a,b) como combinación linal ntra d ambos cuando no s vn a simpl vista? Una forma s utilizando l Algoritmo d Euclids para calcular l máximo común divisor por sucsivas divisions. Vamos Algoritmo d Euclids para calcular l máximo común divisor Dados dos ntros a y b, l m.c.d.(a,b) = m.c.d.(b,r) sindo r l rsto d la división d a por b. Esta propidad pud dmostrars. Volvmos a aplicar sta propidad, s dcir m.c.d.(b,r) = m.c.d.(r, r 1 ) sindo r 1 l rsto d la división d b por r. Lugo m.c.d.(r, r 1 ) = m.c.d.(r 1,r 2 ) sindo r 2 l rsto d la división d r por r 1. Y así sucsivamnt hasta llgar a un rsto igual a cro. D sta manra s pud ncontrar l m.c.d. ntr dos ntros dados, ya qu s l último rsto no nulo. Por jmplo: Vamos a calcular l m.c.d.(720, 224). Para llo ralizamos las siguints divisions ntras sucsivas: 1) 720 / 224 c = 3 r = 48 2) 224 / 48 c 1 = 4 r 1 = 32 3) 48 / 32 c 2 = 1 r 2 = 16 4) 32 / 16 c 3 = 2 r 3 = 0 40

42 Entoncs m.c.d.(720,224) = 16 También s pud hacr n forma matricial: Primro s coloca la matriz idntidad d ordn 2, y n una trcr columna los dos númros ntros, sindo l mayor l d la primra fila F F 2 La ida s ir obtnindo nuvas filas, simpr oprando con las últimas dos antriors, d modo d rstar d la antúltima la mayor cantidad d vcs qu ntra l término indpndint d la última. En ralidad s hacr la división ntra y rstar l cocint por l lmnto d la última fila. Por jmplo, n st caso, al dividir 720 por 224, s obtin cocint 3, ntoncs vamos a rstar 3 vcs la fila 2 d la fila 1, la rsta s hac n toda la fila: F F F 3 = F 1 3 F 2 Y lugo sguimos st procdiminto hasta llgar a un valor nulo. El antrior al nulo s l máximo común divisor F F F 3 = F 1 3 F F 4 = F 2 4 F F 5 = F 3 F 4 0 F 6 = F 4 2 F 5 Obtnmos qu m.c.d.(720,224) = 16 y admás: 16 = (-16) 16 TEOREMA DE BEZAUT Est Torma nuncia qu: Dados dos ntros a y b, ntoncs m.c.d.(a,b) = 1 1 = s a + t b con s,t Est torma nos sirv para dmostrar qu dos ntros son coprimos, o sa qu su m.c.d. s 1 solamnt dmostrando qu 1 s combinación linal ntra d ambos. Ejmplo 1: Como 1 = (-2) ntoncs podmos asgurar qu m.c.d.(8541, 12811) = 1 41

43 Ejmplo 2: Dos ntros conscutivos simpr son coprimos. ( m.c.d.(x, x+1) = 1 ) Ya qu 1 (x+1) + (-1) x = 1 Ejmplo 3: Sabindo qu a y b son coprimos, podmos dmostrar qu a y a+b también lo son. Podmos dmostrarlo: 1 = s a + t b con s, t Z 1 = s a + t (b+a-a) 1 = s a + t (b+a) t a 1 = (s-t) a + t (b+a) 1 = k a + t (b+a) con k Z pus s rsta d dos ntros. m.c.d.(a, a+b) = 1 En la Guía d TP podés rsolvr los jrcicios d ntros (4.1 al 4.7). Cualquir duda, no duds n consultar a tus tutors. A continuación vrmos l último tma d sta primra unidad, qu s la bas para podr ntndr lugo la rprsntación numérica n las computadoras, así como también para comprndr lo qu vas a studiar n otra asignatura llamada Arquitctura d computadoras. SISTEMAS DE NUMERACION Dsd hac mucho timpo, l hombr ha utilizado símbolos para rprsntar los númros. Un sistma d numración conocido s l romano, l cual consta d los símbolos I, V, X, L, C, D, M, dond cada uno rprsnta una cantidad fija y hay cirtas rglas para formar los otros númros. El sistma d numración utilizado por nosotros s posicional ya qu cada símbolo tin distinto valor sgún la posición n la qu s ncuntra (unidads, dcnas, cntnas, tc.) S usan 10 símbolos, por so nustro sistma s llama dcimal. Pro las computadoras rprsntan los númros n otro sistma, qu s l binario (utilizando únicamnt dos símbolos 0 y 1), o bin l hxadcimal, qu utiliza 16 símbolos. Para podr comprndr bin stos otros sistmas, rpasmos un poco nustro sistma dcimal. Exprsión polinómica d un númro ntro: Pnsmos n un númro ntro, por jmplo: x = Rcordmos qu podmos scribirlo d la siguint manra: x = Esta forma s dnomina xprsión o dscomposición polinómica n función d la bas, qu s 10 n st caso. 42

44 Gnralizando: Sa x un númro dcimal ntro, formado por los dígitos: x n x n-1... x 1 x 0 con x i { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Entoncs dicho númro significa: x = x n 10 n + x n-1 10 n x x 0 Lo mismo ocurr con otros sistmas d numración posicionals, qu n vz d utilizar como bas al 10, utilizan otras. Sistma Cantidad d Símbolos Símbolos binario 2 0, 1 bas 3 3 0, 1, 2 bas 4 4 0, 1, 2, 3... bas , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A... bas , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F En cada uno d llos, la notación posicional s quivalnt a la polinómica. O sa: x n x n-1... x 1 x 0 = x n b n + x n-1 b n x 1 b + x 0 dond b s la bas. Tné n cunta qu l númro b, la bas, s un númro distinto d 1, podés xplicarlo?, pnsalo n función d la dscomposición factorial, dond la bas, b, stá lvada a distintas potncias, tin sntido 1 m? Ejmplo: Si qurmos rprsntar 5 unidads n l sistma d bas 3, pnsmos qu 5 = , ntoncs, l 5 n bas 3 s scrib:12 3 Si qurmos rprsntar 59 unidads n l sistma hxadcimal, pnsmos qu 59 = , ntoncs s scrib: 3 B Pasaj d númros d otras bass a bas 10 Para ralizar st pasaj s dsarrolla la xprsión polinómica y s hac la cunta n dcimal. Ejmplo: = = Considrmos qu pud utilizars la rgla d Ruffini tomando como coficints dl dividndo a los dígitos dl númro dado ordnados d mayor a mnor y l divisor s x b (sindo b la bas). El valor quivalnt n dcimal s l rsto d la división. 43