Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 5. Números complejos

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1 Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN 3 Dado el número complejo z3i, su conjugado, z, su opuesto, z, y su inverso,, son: z a) z 3, z 3, z b) z 3, z 3, z 3 c) z 3, z 3, z 3 i 3,i,i,i 3,son iguales a: a) i 3 i i i 3 i b) i 3 i i i i 3 c) i 3 i i i 3 i La forma polar y la forma trigonométrica del número complejo z i, son: a) z 3 z (cos 3 sen 3 ) b) z 3 z (cos 3 sen 3 ) c) z 3 z (cos 3 sen 3 ) La forma binómica y la forma trigonométrica del número complejo conjugado de z 3 0,son: a) z 3 (cos 300 sen 300 ) z,,i b) z 3 (cos 0 sen 0 ) z,,i c) z 3 (cos 0 sen 0 ) z,,i La forma binómica y la forma polar del número complejo z 3 (cos 0 sen 0 ), son: a) z 3 0 z,,i b) z 3 0 z,,i c) z 3 0 z,,i El número complejo (3 3i) es igual a: a) 83i b) 83i c) 83 Las soluciones de la ecuación x 0, son: a) x x 3 x 3 x 3 b) x 0 x 3 80 x 90 x 0 c) x x 3 i x x i Los vértices de un pentágono regular de centro O, sabiendo que uno de ellos es el punto (, ), son: a) A (, ) B (,, 0,33) C (0,3,,) D (,98,,03) E (,9,,) b) A (, ) B (3,, 3,) C (,8,,3) D (,9, 0,83) E (0,,,9) c) A (, ) B,,9i C,0,98i D, 0,3i E 0,33,i Las soluciones, en el conjunto, de la ecuación x 8x 3 x 8x 0, son: a) x 3i x 3i x 3, x b) x x x 3 3i x 3i c) x 3i x 3i x 3, x i (3) 30 ( 3i) 3 es igual a: ( ) a) (3) 0 b) (3) 300 c) (33) 0. Números complejos

2 Solución de la evaluación (Se indican con las respuestas correctas) Dado el número complejo z3i, su conjugado, z, su opuesto, z, y su inverso,, son: z a) z 3, z 3, z b) z 3, z 3, z 3 c) z 3, z 3, z 3 i 3,i,i,i 3,son iguales a: a) i 3 i i i 3 i b) i 3 i i i i 3 c) i 3 i i i 3 i 3 La forma polar y la forma trigonométrica del número complejo z i, son: a) z 3 z (cos 3 sen 3 ) b) z 3 z (cos 3 sen 3 ) c) z 3 z (cos 3 sen 3 ) La forma binómica y la forma trigonométrica del número complejo conjugado de z 3 0,son: a) z 3 (cos 300 sen 300 ) z,,i b) z 3 (cos 0 sen 0 ) z,,i c) z 3 (cos 0 sen 0 ) z,,i La forma binómica y la forma polar del número complejo z 3 (cos 0 sen 0 ), son: a) z 3 0 z,,i b) z 3 0 z,,i c) z 3 0 z,,i El número complejo (3 3i) es igual a: a) 83i b) 83i c) 83 Las soluciones de la ecuación x 0, son: a) x x 3 x 3 x 3 b) x 0 x 3 80 x 90 x 0 c) x x 3 i x x i 8 Los vértices de un pentágono regular de centro O, sabiendo que uno de ellos es el punto (, ), son: a) A (, ) B (,, 0,33) C (0,3,,) D (,98,,03) E (,9,,) b) A (, ) B (3,, 3,) C (,8,,3) D (,9, 0,83) E (0,,,9) c) A (, ) B,,9i C,0,98i D, 0,3i E 0,33,i 9 Las soluciones, en el conjunto, de la ecuación x 8x 3 x 8x 0, son: a) x 3i x 3i x 3, x b) x x x 3 3i x 3i c) x 3i x 3i x 3, x i (3) 30 ( 3i ) 3 0 es igual a: ( ) a) (3) 0 b) (3) 300 c) (33) 0 8. Números complejos

3 SÍNTESIS. Números complejos La unidad imaginaria i = Escribe las cuatro primeras potencias de i: i 0 = i = i = i 3 = Formas de los números complejos Dado el complejo de afijo P, se puede expresar: Forma binómica: Forma polar: Forma trigonométrica: 3 Transformaciones Dado el número complejo en forma binómica, a + bi, sus coordenadas polares son: m: : Es única la determinación del argumento? Su expresión trigonométrica es: Dado un número complejo en forma polar, m, su expresión en forma binómica es a + bi con: a = b = Conjugado, opuesto e inverso Si z a bi z z z Si z m z z z Operaciones Fórmula de De Moivre Dados los números complejos en forma polar m y m : m m = m = m (m ) n = n m = Escribe la fórmula de De Moivre:. Números complejos 9

4 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Actividades complementarias Un punto P tiene de coordenadas (, 3). Halla las coordenadas del punto P que resulta de un giro de 30 con centro en el origen de coordenadas. Da el resultado en forma binómica. Indica cuáles de las siguientes igualdades son ciertas: a) (m ) m b) 3 m 3 3 m m c) m m m d) m m m m Si z y z 3 30,calcula: a) z z b) z z z c) z ' a) (3 0 ) 3 b) ( 00 ) c) ( 0 ) Calcula ( ) 8. 3 Si el cociente de dos números complejos es un número imaginario, entonces: a) Los dos complejos son conjugados. b) Los dos complejos son opuestos. c) Los dos complejos son imaginarios. d) Los dos complejos son reales. e) Puede ser uno real y el otro imaginario. i 3 i Expresa en forma polar los números complejos: a) b) c) d) Calcula a y b para que: 3a 9i 3i a bi Expresa en forma binómica: a) 3 b) 80 c) 3 0 d) e) a) b) c) i d) i 3 8(cos0 sen 0 ) 3 8(cos0 sen 0 ) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) z 8 0 b) z 8 0 Sabiendo que el punto (, ) es el vértice de un cuadrado centrado en el origen, calcula los demás vértices. Escribe en forma binómica el conjugado y el opuesto de 0. Resuelve las siguientes ecuaciones en el campo de los números complejos: a) x x 3 0x 0x 0 b) x 3 x x c) x 8 0 d) x Números complejos

5 SOLUCIONES DEL MATERIAL FOTOCOPIABLE. Números complejos La unidad imaginaria. i Escribe las cuatro potencias de i: i 0 i i i 3 i Formas de los números complejos Dado el complejo de afijo P, se puede expresar: Forma binómica: a bi Forma polar: m Forma trigonométrica: m(m sen ) 3 Transformaciones Dado el número complejo en forma binómica, a bi, sus coordenadas polares son m: a b : tag b/a Es única la determinación del argumento? La determinación del argumento,, de la expresión anterior no es única, ya que existen infinitos ángulos con una misma tangente. Su expresión trigonométrica es: m (cos i sen ). Dado un número complejo en forma polar, m, su expresión en forma binómica es: a bi donde a m cos b m sen Conjugado, opuesto e inverso. Si z a bi z a bi z a bi /z a b i Si z m z m m 30 z m 80 /z m3 0 Operaciones. Dados los números complejos en forma polar m y m : m m (m m ) m /m (m/m ) a) 3 b) c) d) 3 a) a a) b) c) 3i d) e) 3i a) z z 33 3 b) c) 3 a) 0 b) 0 c) 00 a) ( ) (cos0 sen 0 ) (cos0 sen 0 ) a) i (m ) n m n n n m n k 30 m con k 0,,, n n Fórmula de De Moivre Escribe la fórmula de De Moivre: (cos i sen ) n [cos (n ) sen (n )]. Actividades complementarias P (,3,,0) La igualdad correcta es la a). 3 La solución correcta es la e), puesto que han de diferir sus argumentos en 90 o 0. b) c) i d) i 3 3,, 0, 9,,,, 33,. Números complejos

6 3 Si z 0, z i, z i a) z b) z i A(, ); B(, ); C(, ); D(, ) i a) x x i x 3 x b) x x x 3 3 c) x π/8 x 3π/8 x 3 π/8 x π/8 x 9π/8 x π/8 x 3π/8 x 8 π/8 d) x π/ x 3π/ x 3 π/ x π/ π x 9π/ x π/ x 3π/. Números complejos