Tema 1 Los números reales Matemáticas CCSS1 1º Bachillerato 1

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1 Tem 1 Los úmeros reles Mtemátics CCSS1 1º Bchillerto 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros rcioles: Se crcteriz porque puede expresrse: E form de frcció, es decir, como cociete de dos úmeros eteros: x Q, b Z tles que x = b 0 b E form deciml: O bie so eteros o bie tiee expresió deciml fiit o periódic. El cojuto de todos los úmeros rcioles se desig por Q. El cojuto Q es deso e R (l situr todos los úmeros rcioles sobre l rect uméric l ocup desmete). Esto quiere decir: Etre dos úmeros rcioles hy ifiitos úmeros x1 x 2 rcioles. (si x 1, x 2 Q El puto medio: + Q) 2 No obstte, e l rect uméric hy ifiitos putos o ocupdos por úmeros rcioles. A cd uo de estos putos le correspode u úmero irrciol. Los úmero irrcioles: Se crcteriz porque: No puede expresrse e form de frcció. Su expresió deciml tiee ifiits cifrs o periódics. El cojuto de todos los úmeros irrcioles se desig por I. Tto los úmeros rcioles como los irrcioles se llm úmeros reles. El cojuto de los úmeros reles se desig por R. Los úmeros reles lle l rect uméric por eso se l llm rect rel. ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 24 NATURALES(N) 0 ; 4 ; ; ENTEROS (Z) ENTEROS NO NATURALES -11; ; 8... (Eteros egtivos) 4 RACIONALES(Q) 3-5 Frccioes:,... REALES(R) 4 8 FRACCIONARIOS. Exctos : 0,31;... (Rcioles o eteros) ) Números decimles Puros : 7,1;... Periódicos ) Mixtos : 7,31,... 3 IRRACIONALES (I) 2 ; - 3 ; 5 ; π, decimles o periódicos...

2 Tem 1 Los úmeros reles Mtemátics CCSS1 1º Bchillerto 2 REPRESENTACIÓN SOBRE LA RECTA L represetció de u úmero rel sobre l rect se hrá de u modo u otro segú el tipo de úmero que se: Etero o deciml excto: 2; 3, ,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 3,4 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49 3,5 Deciml periódico: Puede expresrse e form de frcció y, de este modo, se represet dividiedo cd uidd etre ls prtes que teg el deomidor y tomdo tts de ess prtes como idique el umerdor: 5/6, -8/5 0 1 Rciol cudrático: Costruyedo triágulos rectágulos y teiedo el cuet el teorem de Pitágors: 2, 6, 10 Números decimles periódicos o o periódicos : Se represet de form proximd medite u itervlo de vlores: 3, , ,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 3,4 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49 3,5

3 Tem 1 Los úmeros reles Mtemátics CCSS1 1º Bchillerto 3 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS Sirve pr expresr trmos de l rect rel NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN Itervlo bierto (,b) { x / < x < b } Nº compredidos etre y b Itervlo cerrdo [,b] { x / x b } Nº compredidos etre y b, Itervlo semibierto Semirrect éstos icluidos. (,b] { x / < x b } Nº compredidos etre y b, icluido b [,b) { x / x < b } Nº compredidos etre y b, icluido (-,) { x / x < } Números meores que (-,] { x / x } Nº meores o igules que (, ) { x / < x } Números myores que [, ) { x / x } Nº myores o igules que Not : Si queremos ombrr u cojuto de putos formdos por dos o más de estos itervlos, se utiliz el sigo (uió) etre ellos. 1.2 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL DEFINICIÓN El vlor bsoluto de u úmero rel,, es el propio úmero, si es positivo, o su opuesto, si 0 -, si es egtivo: = - si < 0 (Es decir, cosiste e covertirlo e positivo) DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS L distci etre dos putos y b es su difereci e vlor bsoluto: b ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO x = b x = b x = + b {-b,+b} (Dos putos cocretos) x = b x = b

4 Tem 1 Los úmeros reles Mtemátics CCSS1 1º Bchillerto 4 x < b x b x = b x = + b (-b,+b) (El iterior) x = b x = b x = b x = + b (-, -b] [+b,+ ) (El exterior) x = b x = b 1.3 RADICALES. PROPIEDADES DEFINICIÓN DE RAIZ N-ÉSIMA Se llm ríz -ésim de u úmero y se escribe, u úmero b que cumple l siguiete codició: = b si b = se llm rdicl, rdicdo y ídice de l ríz. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Si 0, existe culquier que se Si < 0, sólo existe su ríz de ídice impr. FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES Form expoecil de rdicles m = m PROPIEDADES DE LOS RADICALES p p = (Pr simplificr rdicles o reducir comú ídice) p ( ) = p m m =. b =. = b b b OPERACIONES CON RADICALES Sum y rest de rdicles : Dos rdicles distitos o puede sumrse si o es obteiedo sus expresioes decimles proximds. Sólo puede sumrse rdicles idéticos.

5 Tem 1 Los úmeros reles Mtemátics CCSS1 1º Bchillerto 5 Producto y cociete de rdicles : Pr poder multiplicr o dividir dos rdicles debe teer el mismo ídice e l ríz, es decir, debemos expresrls co el m.c.m de sus ídices. (Aplicr propieddes 1 y 4 del prtdo terior). Rciolizció de deomidores : A veces coviee suprimir ls ríces del deomidor. Pr ello hy que multiplicrlo por l expresió decud. Nturlmete, el umerdor tmbié se multiplicrá por es mism expresió. - Pr suprimir u ríz cudrd (uque esté multiplicd por u úmero), bst multiplicr umerdor y deomidor por dich ríz. - Pr suprimir u ríz -ésim (uque esté multiplicd por u úmero), se multiplic umerdor y deomidor por otr ríz -ésim tl que se complete e el rdicdo u poteci -ésim. - E u sum de ríces cudrds, + b, se suprime los rdicles multiplicdo por el cojugdo b y vicevers. 1.4 LOGARITMOS LOGARITMOS EN BASE CUALQUIERA Si > 0 y 1, se llm logritmo e bse de p, y se desig log p, l expoete l que hy que elevr l bse pr obteer p. log p = x x = p PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS El logritmo de l bse es 1 : log = 1 El logritmo de 1 es 0 : log 1 = 0 El logritmo de u poteci es igul l expoete por el logritmo de l bse de l poteci: log p =. log p El logritmo de u producto es igul l sum de los logritmos: log (p.q) = log p + log q El logritmo de u cociete es igul l rest de los logritmos: log (p/q) = log p log q El logritmo de u ríz es igul l logritmo del rdicdo dividido por el ídice : log p log p = Cmbio de bse : El logritmo e bse de u úmero se puede obteer prtir de log c p logritmos de logritmos decimles. log p = log c

6 Tem 1 Los úmeros reles Mtemátics CCSS1 1º Bchillerto 6 ALGUNOS LOGARITMOS IMPORTANTES Se llm logritmo deciml de u úmero p y se desig por log p, l expoete l que hy que elevr el 10 pr obteer p. log p = x 10 x = p L tecl log os d el logritmo deciml del úmero que escribmos e l ptll cotiució. Se llm logritmo eperio de u úmero p y se desig por L p, l expoete l que hy que elevr el úmero e pr obteer p. L p = x e x = p L tecl L os d el logritmo eperio del úmero que escribmos e l ptll cotiució. U logritmo e otr bse culquier (distit de 10 o e) se puede obteer prtir de logritmos de logritmos e culquier bse (c) (E prticulr, bse 10 o bse e). log c p log p L p log p = = = log log L c 1.5 EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS REALES. NÚMEROS APROXIMADOS. EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS REALES. ERRORES Y COTAS Al expresr u úmero rel co muchs o ifiits cifrs decimles, utilizmos expresioes decimles proximds, es decir, recurrimos l redodeo. Al relizr ests proximcioes cometemos errores. Error bsoluto = Vlor rel Vlor de medició Error reltivo = Error bsoluto Vlor rel Cots de los errores: Números myores o igules que el vlor bsoluto de los errores: Error Absoluto k Error reltivo k CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cudo utilizmos los úmeros decimles pr expresr medicioes cocrets, se debe dr co u ctidd decud de cifrs sigifictivs. Se llm cifrs sigifictivs quells co ls que se expres u úmero proximdo. Sólo de debe utilizr quells cuy exctitud os coste. El error bsoluto suele ser meor que 5 uiddes del lugr siguiete l de l últim cifr sigifictiv utilizd. El error reltivo es tto meor, cuto más cifrs sigifictivs se utilice.

7 Tem 1 Los úmeros reles Mtemátics CCSS1 1º Bchillerto 7 NOTACIÓN CIENTÍFICA L otció cietífic se utiliz pr expresr úmeros muy grdes o muy pequeños. U úmero puesto e otció cietífic cost de : - U prte eter formd por u sol cifr que o es el cero(l de ls uiddes) - El resto de ls cifrs sigifictivs puests como prte deciml. - U poteci de bse 10 que d el orde de mgitud del úmero. = Prte eter (sólo u cifr) bcd... = Prte deciml 10 = Poteci eter de bse 10 N =, bcd... x 10 Si es positivo, el úmero N es grde Si es egtivo, el úmero N es pequeño Opercioes co úmeros e otció cietífic El producto y el cociete so imeditos, teiedo e cuet: 10 b. 10 c = 10 b+c 10 b : 10 c = 10 b-c E sums y e rests hy que preprr los sumdos de modo que teg todos l mism poteci de bse 10 Clculdor pr l otció cietífic Iterpretció : sigific 5,74901 x 10 9 Escritur: 5,74901 x ,74901 EXP 9 2,94 x ,94 EXP 13 ± Modo cietífico (SCI) : Hce que l clculdor trbje siempre co úmeros e otció cietífic y, demás, co l ctidd de cifrs sigifictivs que previmete le hymos idicdo. ( MODE ) Pr volver modo orml MODE 9.