Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad

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1 y Laterales Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: y Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico

2 y Esquema Laterales 1 Laterales 2

3 y Esquema Laterales 1 Laterales 2

4 y Laterales En esta clase repasaremos las nociones de límite y continuidad para una función. La noción de límite para una función es central en el Cálculo. Es la idea que permite formalizar los dos conceptos centrales: derivada e integral de una función. Los nombres asociados al desarrollo de esta noción son los de Bolzano, Cauchy y Weierstrass.

5 y Laterales Definición (Límite de una función en un punto) Supongamos que la función f (x) está definida para todos los puntos que están cerca del punto c, es decir f está definida para 0 < x c < α para algún α > 0. Decimos que la función tiende al límite L R cuando x tiende a c si para cualquier número positivo ε, por pequeño que este sea, es posible encontrar un número positivo δ tal que para todos los valores de x diferentes de c que satisfacen 0 < x c < δ se tiene que f (x) L < ε

6 y Laterales Si L es el límite de la función f cuando x tiende a c, usamos la notación lim x c f (x) = L o también f (x) L cuando x c. Si el límite de la función f (x) cuando x c existe, decimos que la función converge (cuando x c). En caso contrario decimos que diverge.

7 y Laterales

8 y Laterales Ejemplo Veamos que lim (3x + 1) = 7. x 2 Demostración. Supongamos que ε > 0 está dado, queremos hallar un valor de δ tal que si x está a una distancia menor que δ de 2, entonces f (x) 7 = 3x = 3x 6 < ε Para que esta desigualdad se satisfaga es necesario que 3 x 2 < ε y para esto basta que x 2 < ε/3. Por lo tanto si tomamos δ = ε/3 tenemos que x 2 < δ f (x) 7 < ε

9 y Laterales Ejemplo Como segundo ejemplo vamos a calcular el límite de la función f (x) = x 2 4 x 2 en x = 2. Observamos que la función no está definida en este punto. Demostraremos que este límite vale 4. Tenemos que demostrar que, para cualquier valor de ε, sin importar lo pequeño que sea, podemos hallar un valor de δ tal que se cumple la desigualdad siempre que x 2 < ε. x 2 4 x 2 4 < ε (1)

10 y (x^2 4)/(x 2) Laterales f(x) Para hallar el límite en x = 2 no necesitamos considerar la función en este punto, basta con considerar los valores en los puntos cercanos a x = 2. Por lo tanto, si x 2, la fracción que define la función se puede simplificar y la condición (1) se puede escribir x (x + 2) 4 = x 2 < ε. (2)

11 y Laterales Definición (Límite de una función en infinito) Decimos que la función f tiende al límite L R cuando x + si para cualquier número positivo ε, por pequeño que este sea, es posible encontrar un número positivo K tal que para todos los valores de x que satisfacen x > K se tiene que f (x) L < ε Usamos la notación lim f (x) = L x o también f (x) L cuando x +. De manera análoga se define lim x f (x) = L.

12 y Laterales Ejemplo Veamos que 1 lim x x = 0.

13 y Laterales 1/x x

14 y Laterales 1/x x

15 y Laterales 1/x x

16 y Laterales Ejemplo Veamos que 1 lim x x = 0. Para ver esto sea ε > 0 dado, queremos ver que se cumple la desigualdad 1 x < ε, (3) siempre que x > K, donde el valor de K puede depender de ε. La desigualdad (3) se satisface siempre que x > 1/ε = K.

17 y Laterales Principales propiedades de los límites: Supongamos que lim x c f (x) = K, lim x c g(x) = L, donde K, L R. 1 El límite, si existe, es único. 2 El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites: lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = K + L. x c x c x c 3 El límite de la diferencia entre dos funciones es la diferencia de los límites: lim (f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x) = K L. x c x c x c

18 y Laterales Principales propiedades de los límites: Supongamos que lim x c f (x) = K, lim x c g(x) = L, donde K, L R. 1 El límite, si existe, es único. 2 El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites: lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = K + L. x c x c x c 3 El límite de la diferencia entre dos funciones es la diferencia de los límites: lim (f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x) = K L. x c x c x c

19 y Laterales Principales propiedades de los límites: Supongamos que lim x c f (x) = K, lim x c g(x) = L, donde K, L R. 1 El límite, si existe, es único. 2 El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites: lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = K + L. x c x c x c 3 El límite de la diferencia entre dos funciones es la diferencia de los límites: lim (f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x) = K L. x c x c x c

20 y Laterales Principales propiedades de los límites: Supongamos que lim x c f (x) = K, lim x c g(x) = L, donde K, L R. 1 El límite, si existe, es único. 2 El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites: lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = K + L. x c x c x c 3 El límite de la diferencia entre dos funciones es la diferencia de los límites: lim (f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x) = K L. x c x c x c

21 y Laterales 4 El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites: lim (f (x)g(x)) = ( lim f (x))( lim g(x)) = KL. x c x c x c 5 El límite del cociente entre dos funciones es el cociente de los límites si el límite del denominador es distintos de 0: f (x) lim x c g(x) = lim x c f (x) lim x c g(x) = K L, si L 0.

22 y Laterales 4 El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites: lim (f (x)g(x)) = ( lim f (x))( lim g(x)) = KL. x c x c x c 5 El límite del cociente entre dos funciones es el cociente de los límites si el límite del denominador es distintos de 0: f (x) lim x c g(x) = lim x c f (x) lim x c g(x) = K L, si L 0.

23 y Laterales 6 Si f (x) g(x) para los valores de x cerca del punto c (para x c < ε para algún ε > 0) entonces lim f (x) = K L = lim g(x). x c x c 7 Si f (x) g(x) h(x) para todo x cerca de c y se tiene que lim f (x) = lim h(x) = L x c x c entonces lim g(x) = L x c 8 lim x c ( f (x) ) g(x) = ( lim x c f (x)) (limx c g(x)) = K L

24 y Laterales 6 Si f (x) g(x) para los valores de x cerca del punto c (para x c < ε para algún ε > 0) entonces lim f (x) = K L = lim g(x). x c x c 7 Si f (x) g(x) h(x) para todo x cerca de c y se tiene que lim f (x) = lim h(x) = L x c x c entonces lim g(x) = L x c 8 lim x c ( f (x) ) g(x) = ( lim x c f (x)) (limx c g(x)) = K L

25 y Laterales 6 Si f (x) g(x) para los valores de x cerca del punto c (para x c < ε para algún ε > 0) entonces lim f (x) = K L = lim g(x). x c x c 7 Si f (x) g(x) h(x) para todo x cerca de c y se tiene que lim f (x) = lim h(x) = L x c x c entonces lim g(x) = L x c 8 lim x c ( f (x) ) g(x) = ( lim x c f (x)) (limx c g(x)) = K L

26 y Laterales 9 lim x c log ( f (x) ) = log ( lim x c f (x) ) = log K. 10 Si f (x) es una función constante igual a a entonces para cualquier c en el dominio de la función lim f (x) = a x c 11 Si lim x c f (x) = L y a R entonces lim af (x) = a lim f (x) = al. x c x c

27 y Laterales 9 lim x c log ( f (x) ) = log ( lim x c f (x) ) = log K. 10 Si f (x) es una función constante igual a a entonces para cualquier c en el dominio de la función lim f (x) = a x c 11 Si lim x c f (x) = L y a R entonces lim af (x) = a lim f (x) = al. x c x c

28 y Laterales 9 lim x c log ( f (x) ) = log ( lim x c f (x) ) = log K. 10 Si f (x) es una función constante igual a a entonces para cualquier c en el dominio de la función lim f (x) = a x c 11 Si lim x c f (x) = L y a R entonces lim af (x) = a lim f (x) = al. x c x c

29 y Laterales Las propiedades anteriores también son válidas si en lugar de considerar límites cuando x c consideramos límites cuando x + o cuando x.

30 y Laterales Ejemplo Hallar el límite cuando x 0 de la función f (x) = (3x 2 + 2x 3 + x 16 )/(x 2 ) Tenemos que 3x 2 + 2x 3 + x 16 x 2 = 3x 2 x 2 + 2x 3 x 2 + x 16 x 2 = 3 + 2x + x 14. Tomando ahora límite cuando x 0 tenemos que lim f (x) = lim 3 + lim 2x + lim x 14 = 3. x 0 x 0 x 0 x 0

31 y Laterales Ejemplo Veamos que x + 1 lim = lim (1 + 1 ) = 1. x x x x Usando las propiedades de límites y el resultado de un ejercicio anterior tenemos ( lim ) 1 = 1 + lim x x x x = 1.

32 y Laterales Ejemplo Hallar 3x 3 + 2x 2 6 lim x 2x 3 Usando las propiedades de límites tenemos 3x 3 + 2x 2 6 3x 3 lim x 2x 3 = lim x = lim x = 3 2 2x 3 + lim x 1 x lim x 2x 2 2x 3 lim x 3 x 3 6 2x 3

33 y Laterales Ejemplo Hallar 3x 3 + 2x 2 6 lim x 2x 4 + 3x Para hallar el límite de esta función racional buscamos el mayor exponente en todos los términos presentes en numerador y denominador. En este caso el mayor exponente es 4 y dividimos tanto numerador como denominador por x 4 : 3x 3 + 2x 2 6 2x 4 + 3x = (3x 3 /x 4 ) + (2x 2 /x 4 ) (6/x 4 ) (2x 4 /x 4 ) + (3x/x 4 ) = (3/x) + (2/x 2 ) (6/x 4 ) 2 + (3/x 3 )

34 y Laterales Ejemplo Ahora usamos las propiedades de límites que vimos 3x 3 + 2x 2 6 (3/x) + (2/x 2 ) (6/x 4 ) lim x 2x 4 = lim + 3x x 2 + (3/x 3 ) = lim x (3/x) + lim x (2/x 2 ) lim x (6/x 4 ) 2 + lim x (3/x 3 ) = 0 2 = 0.

35 y Laterales Extensión de la noción de límite: límites infinitos. Definición ( de una función en un punto) Supongamos que la función f (x) está definida para todos los puntos que están cerca del punto c, es decir f está definida para 0 < x c < α para algún α > 0. Decimos que la función tiende a cuando x tiende a c si para cualquier número positivo M, por grande que este sea, es posible encontrar un número positivo δ tal que para todos los valores de x diferentes de c que satisfacen 0 < x c < δ se tiene que f (x) > M

36 y Laterales Ejemplo Veamos que 1 lim x 0 x =

37 y Laterales 1/x x

38 y Laterales 1/x x

39 y Laterales 1/x x

40 y Laterales Ejemplo Veamos que 1 lim x 0 x = En efecto, para cualquier M > 0 tenemos que 1 x > M siempre que x = x 0 < 1 M = δ

41 y Laterales Si la función f (x) tiende a infinito tomando sólo valores positivos escribimos lim f (x) = + x c Si en cambio lo hace tomando sólo valores negativos escribimos lim f (x) = x c

42 y Laterales Ejemplo Veamos que lim x 1 1 (1 x) 2 = + f(x) x

43 y Laterales Ejemplo Para cualquier M > 0 tenemos que 1 (1 x) 2 > M siempre que (1 x) 2 < 1 1, 1 x < = δ. M M La función f (x) = 1/(1 x) 2 sólo toma valores positivos, por lo que el límite es +.

44 y Laterales de funciones que no tienen límite. La función f (x) = sen(x) no tiene límite cuando x. La función seno sen(t) t

45 y Laterales de funciones que no tienen límite. La función f (x) = sen(1/x) está definida para todos los valores de x excepto para x = 0 y no tiene límite cuando x 0. sin(1/x) x

46 y Laterales de funciones que no tienen límite. Un tercer ejemplo, de naturaleza distinta, es la siguiente función definida a trozos: { x 2 si x 2, f (x) = 5 si x > 2. f(x) x En este caso el comportamiento de la función en x = 2 depende de si nos acercamos a este punto por la derecha o por la izquierda.

47 y Laterales Si nos acercamos por la derecha, la función toma el valor constante 5 y por lo tanto el valor del límite debería ser 5 En cambio, si nos acercamos por la inquiera, el valor de la función es x 2, que tiende a 4 cuando x se acerca a 2 (por la izquierda). Como estos dos valores son distintos el límite no existe en el punto x = 2.

48 y laterales Laterales El ejemplo anterior sugiera la definición de los límites laterales Definición Decimos que el límite de la función f (x) cuando x tiende a c por la izquierda es L si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (c δ, c) entonces f (x) L < ε. En este caso usamos la notación lim x c f (x) = L. Decimos que el límite de la función f (x) cuando x tiende a c por la derecha es L si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (c, c + δ) entonces f (x) L < ε. En este caso usamos la notación lim x c + f (x) = L.

49 y Laterales En el ejemplo anterior tenemos lim f (x) = 4; lim x 2 laterales f (x) = 5. x 2 + Esto sugiere el siguiente el siguiente resultado, que es cierto pero demostraremos en este curso. Teorema La función f tiene límite L en c si y sólo si los límites laterales lim f (x) y lim f (x) x c x c + ambos existen y son iguales a L.

50 y Laterales Cuando las propiedades de los límites que consideramos anteriormente no nos permiten calcular un límite decimos que hay una indeterminación. Usando notación simbólica las indeterminaciones son, 0, 0 0,, 00, 0, 1 En estos casos no es posible saber a priori cual es el valor del límite y hay que usar otros métodos para resolver la indeterminación.

51 y Laterales Ejemplo Si consideramos los límites de las funciones x x 2 ; x x ; x 2 x cuando x 0, obtenemos la indeterminación 0/0 en todos los casos; sin embargo lim x 0 lim x 0 lim x 0 x x 2 = lim x 0 x 1 x = x = 1 x 2 x = lim x = 0 x 0

52 y Laterales Ejemplo x 3 27 lim x 0 x 2 9 = 0 0 Esta indeterminación se resuelve factorizando los polinomios: x 3 27 lim x 0 x 2 9 = lim (x 3)(x 2 + 3x + 9) x 0 (x 3)(x + 3) = lim x 0 x 2 + 3x + 9 x + 3 = 27 6 = 9 2

53 y Laterales Las indeterminaciones de tipo / causadas por el cociente de polinomios se resuelven dividiendo numerador y denominador por la potencia mayor de la variable. En estos casos se obtiene lim x ± a n x n + + a 1 + a 0 b m x m + + b 1 x + b 0 = 0 si m > n, a n b m si n = m, ± si m < n.

54 y Laterales Las indeterminaciones de tipo 0/0 o ± / ± pueden resolverse usando la regla de L Hôpital, que requiere el uso de derivadas. Las indeterminaciones 0 0, (± ) 0, 1 ± se pueden transformar a una del tipo 0 (± ) tomando logaritmos.

55 y Laterales En ocasiones algunas de las indeterminaciones se pueden resolver usando los llamados infinitésimos equivalentes, que son funciones cuyo límite vale 0 y que se pueden sustituir una por otra si están multiplicando o dividiendo dentro de un límite sin que éste se modifique. Algunos ejemplos cuando f (x) 0: sen f (x) f (x) log(1 + f (x)) f (x) 1 cos f (x) (f (x))2 2 tan f (x) f (x) e f (x) 1 f (x)

56 y Laterales Ejemplo sen(3x) 3 sen(3x) lim = lim = 3. x 0 x x 0 3x (cos x 1) 2 lim x 0 tan 2 x = lim x 0 ( x 2 /2) 2 x 2 = lim x 0 x 4 4x 2 = 0.

57 y Esquema Laterales 1 Laterales 2

58 y Laterales La noción intuitiva de continuidad para una función a valores reales es que su gráfica puede trazarse sin levantar el lápiz del papel. Para formalizar esta noción necesitamos el concepto de límite que estudiamos en la sección anterior. Muchas de las propiedades de las funciones continuas son consecuencia de las propiedades de límites.

59 y Laterales Definición Definición Sea f una función definida en el intervalo (a, b) y sea c un punto de (a, b). Decimos que la función f es continua en c si 1 Existe lim x c f (x), y 2 f (c) = lim x c f (x). Equivalentemente, f (c + h) = f (c). lim h 0

60 y Laterales Definición Una definición alternativa para la continuidad es la siguiente Definición Sea f una función definida en el intervalo (a, b) y sea c un punto de (a, b). Decimos que la función f es continua en c si dado cualquier valor ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 tal que si se tiene que x c < δ f (x) f (c) < ε.

61 y Laterales Ejemplo La función f (x) = x 2 es continua en cualquier punto c R. Sea h cualquiera, tenemos que f (c + h) = (c + h) 2 = c 2 + 2ch + h 2 Por lo tanto lim f (c + h) = lim h 0 h 0 (c2 + 2ch + h 2 ) = c 2 = f (c) de modo que la función es continua en c.

62 y Laterales f (x) = { x 2 si x 2, 4 si x > 2. f(x) En este caso la función está definida a trozos y para ver la continuidad en x = 2 tenemos que calcular los límites laterales y ver si coinciden entre sí y si coinciden con el valor de la función en x = 2, que es 4. x lim f (x) = lim x 2 = 4 x 2 x 2 lim f (x) = lim 4 = 4 x 2 + x 2 + de modo que la función es continua en x = 2.

63 y Laterales de las funciones continuas: 1 Si la función f es continua en c y a R, la función a f (x) también es continua en c. 2 Si las funciones f y g son continuas en el punto c entonces su suma, su diferencia y su producto también son continuas en c. 3 Si las funciones f y g son continuas en c y g(c) 0 entonces la función f /g también es continua en c. 4 Si la función f es continua en c y la función g es continua en d = f (c), la función compuesta (g f )(x) = g(f (x)) es continua en el punto c.

64 y Laterales de las funciones continuas: 1 Si la función f es continua en c y a R, la función a f (x) también es continua en c. 2 Si las funciones f y g son continuas en el punto c entonces su suma, su diferencia y su producto también son continuas en c. 3 Si las funciones f y g son continuas en c y g(c) 0 entonces la función f /g también es continua en c. 4 Si la función f es continua en c y la función g es continua en d = f (c), la función compuesta (g f )(x) = g(f (x)) es continua en el punto c.

65 y Laterales de las funciones continuas: 1 Si la función f es continua en c y a R, la función a f (x) también es continua en c. 2 Si las funciones f y g son continuas en el punto c entonces su suma, su diferencia y su producto también son continuas en c. 3 Si las funciones f y g son continuas en c y g(c) 0 entonces la función f /g también es continua en c. 4 Si la función f es continua en c y la función g es continua en d = f (c), la función compuesta (g f )(x) = g(f (x)) es continua en el punto c.

66 y Laterales de las funciones continuas: 1 Si la función f es continua en c y a R, la función a f (x) también es continua en c. 2 Si las funciones f y g son continuas en el punto c entonces su suma, su diferencia y su producto también son continuas en c. 3 Si las funciones f y g son continuas en c y g(c) 0 entonces la función f /g también es continua en c. 4 Si la función f es continua en c y la función g es continua en d = f (c), la función compuesta (g f )(x) = g(f (x)) es continua en el punto c.

67 y Laterales Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio. Si una función f es continua en todos los puntos de su dominio D, decimos simplemente que es continua. Si el dominio de la función es un intervalo cerrado I = [a, b], decimos que la función es continua si es continua en el sentido usual en el intervalo (a, b) y en los extremos la función es continua cuando consideramos los límites laterales apropiados: f (a) = lim x a + f (x), f (b) = lim x b f (x).

68 y Laterales 5 Si la función f (x) es continua en el intervalo [a, b], siempre existe al menos un punto x 1 [a, b] tal que para todo x [a, b] se satisface la desigualdad f (x 1 ) f (x). También existe siempre un punto x 2 [a, b] tal que para todo x [a, b] se satisface la desigualdad Resumiendo se tiene que f (x 2 ) f (x). f (x 2 ) f (x) f (x 1 )

69 y Laterales El valor de f (x 1 ) = M se conoce como el máximo del a función mientras que el valor de f (x 2 ) = m se conoce como el mínimo. El resultado (teorema) anterior se puede enunciar diciendo que una función continua f en [a, b] alcanza al menos una vez su máximo y su mínimo. f(x) M m x

70 y Laterales 6 Sea f (x) una función continua definida sobre el intervalo [a, b]. Si la función toma valores f (a) = A, f (b) = B en los extremos del intervalo y los valores A y B son distintos, dado cualquier valor C entre A y B, siempre existe al menos un punto c tal que f (c) = C f(x) A C B c x

71 y Laterales El resultado anterior se conoce como el Teorema del Valor Intermedio, y se debe al matemático checo Bernard Bolzano Si en el resultado anterior tenemos que A y B tienen signos distintos, tomando C = 0 vemos que existe al menos un punto c [a, b] donde la función se anula. Si la función f (x) es continua en el intervalo [a, b] sabemos por la propiedad 5 que alcanza su máximo y su mínimo. La propiedad 6 nos dice que la función toma todos los valores intermedios.

72 y Laterales Si la función f no es continua en un punto c decimos que la función f es discontinua en c. Hay varias razones por las cuales una función f puede ser discontinua en un punto c: 1 Existe lim x c f (x) pero o bien la función toma un valor distinto al límite en este punto, o bien no está definida en c. 2 No existe lim x c f (x) En el primer caso decimos que la discontinuidad es evitable, pues es posjble redefinir el valor de la función en el punto c para hacer que la función sea continua.

73 y Laterales Si la función f no es continua en un punto c decimos que la función f es discontinua en c. Hay varias razones por las cuales una función f puede ser discontinua en un punto c: 1 Existe lim x c f (x) pero o bien la función toma un valor distinto al límite en este punto, o bien no está definida en c. 2 No existe lim x c f (x) En el primer caso decimos que la discontinuidad es evitable, pues es posjble redefinir el valor de la función en el punto c para hacer que la función sea continua.

74 y Laterales Si la función f no es continua en un punto c decimos que la función f es discontinua en c. Hay varias razones por las cuales una función f puede ser discontinua en un punto c: 1 Existe lim x c f (x) pero o bien la función toma un valor distinto al límite en este punto, o bien no está definida en c. 2 No existe lim x c f (x) En el primer caso decimos que la discontinuidad es evitable, pues es posjble redefinir el valor de la función en el punto c para hacer que la función sea continua.

75 y Laterales Si la función f no es continua en un punto c decimos que la función f es discontinua en c. Hay varias razones por las cuales una función f puede ser discontinua en un punto c: 1 Existe lim x c f (x) pero o bien la función toma un valor distinto al límite en este punto, o bien no está definida en c. 2 No existe lim x c f (x) En el primer caso decimos que la discontinuidad es evitable, pues es posjble redefinir el valor de la función en el punto c para hacer que la función sea continua.

76 y Laterales Ejemplo La función f (x) = x 2 4 x 2 no está definida en x = 2, pero vimos anteriormente que el límite en este punto existe y lim f (x) = 4. x 2 Por lo tanto, si redefinimos la función de la siguiente manera { x 2 4 f (x) = x 2 si x 2 4 si x = 2. la función es continua.

77 y Laterales Cuando no existe el límite de la función f en el punto c, hay dos situaciones posibles. 1 Los limites laterales de la función f existen en el punto c pero no coinciden. En este caso decimos que la discontinuidad es de primer tipo o de primera especie. 2 Alguno (o ambos) de los límites laterales no existe. En este caso decimos que la discontinuidad es de segundo tipo o de segunda especie. Veamos ejemplos de ambos casos.

78 y Laterales Cuando no existe el límite de la función f en el punto c, hay dos situaciones posibles. 1 Los limites laterales de la función f existen en el punto c pero no coinciden. En este caso decimos que la discontinuidad es de primer tipo o de primera especie. 2 Alguno (o ambos) de los límites laterales no existe. En este caso decimos que la discontinuidad es de segundo tipo o de segunda especie. Veamos ejemplos de ambos casos.

79 y Laterales Cuando no existe el límite de la función f en el punto c, hay dos situaciones posibles. 1 Los limites laterales de la función f existen en el punto c pero no coinciden. En este caso decimos que la discontinuidad es de primer tipo o de primera especie. 2 Alguno (o ambos) de los límites laterales no existe. En este caso decimos que la discontinuidad es de segundo tipo o de segunda especie. Veamos ejemplos de ambos casos.

80 y Laterales Cuando no existe el límite de la función f en el punto c, hay dos situaciones posibles. 1 Los limites laterales de la función f existen en el punto c pero no coinciden. En este caso decimos que la discontinuidad es de primer tipo o de primera especie. 2 Alguno (o ambos) de los límites laterales no existe. En este caso decimos que la discontinuidad es de segundo tipo o de segunda especie. Veamos ejemplos de ambos casos.

81 y Laterales La función f definida en el intervalo [0, 4] por { x + 3 si 0 x 2 f (x) = x 2 si 2 < x 4. Es continua en todo su dominio salvo en el punto x = 2 porque si calculamos los límites laterales obtenemos lim f (x) = lim x + 3 = 5 x 2 x 2 lim f (x) = lim x 2 = 4 x 2 + x 2 + y como los límites existen pero son distintos, la discontinuidad es de primera especie.

82 y Laterales La función f (x) = sen(1/x) definida para x 0 es continua en todo su dominio. Si buscamos los límites laterales de la función en 0 vemos que no existen. sin(1/x) x Por lo tanto la discontinuidad es de segunda especie

83 y Laterales La función f (x) = (1/(x 2) 2 ) definida salvo en x = 2 también tiene una discontinuidad de segundo tipo pues lim x 2 x 2 f (x) = lim f (x) = + + f(x) x

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