Secciones cónicas. Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Secciones cónicas. Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola."

Transcripción

1 Prof. Enrique Mteus Nieves Doctorndo en Educción Mtemátic Secciones cónics Ls secciones cónics son curvs que pueden otenerse como l intersección de un cono circulr con un plno que no conteng l vértice del cono. Ls distints cónics precen dependiendo de l inclinción del plno respecto del eje del cono. Si el plno es perpendiculr dicho eje produce un circunferenci; si se lo inclin ligermente, se otiene un elipse; cundo es prlelo un genertriz del cono se tiene un práol y si cort ms rms del cono l curv es un hipérol. Circunferenci Elipse Práol Hipérol. L primer definición conocid de sección cónic surge en l Antigu Greci, cerc del ño 000 (Menæchmus) donde ls definieron com o secciones «de un cono circulr recto». Los nomres de hipérol, práol y elipse se deen Apolonio de Perge. Actulmente, ls secciones cónics pueden definirse de vris mners; ests definiciones provienen de ls diverss rms de l mtemátic: como l geometrí nlític y l geometrí proyectiv entre otrs. Tipos: Se clsificn en cutro tipos: elipse. Práol, hipérol, circunferenci. Perspectiv de ls secciones cónics. Ls cutro secciones cónics en el plno.

2 Prof. Enrique Mteus Nieves Doctorndo en Educción Mtemátic PARÁBOLA Definición Un práol es el lugr geométrico de los puntos de un plno equidistntes un rect dd, llmd directriz, y un punto exterior ell, que se denomin foco. Al punto de intersección de l práol con tl líne (conocid como eje de l práol) se le conoce como vértice de l práol y es el punto cuy distnci l directriz es mínim. L distnci entre el vértice y el foco se conoce como distnci focl o rdio focl. Propieddes geométrics Diferentes elementos de un práol Digrm que muestr l propiedd reflexiv, l directriz (verde), y ls línes que unen el foco y l directriz de l práol (zul) Al segmento de rect comprendido por l práol, que ps por el foco y es prlelo l directriz, se le conoce como ldo recto. L longitud del ldo recto es siempre veces l distnci focl. Ecuciones de l práol Fmili de Práols tipo y x, con,,, 0

3 Prof. Enrique Mteus Nieves Doctorndo en Educción Mtemátic Ecución generl de un práol Hst hor se hn descrito práols con sus ejes prlelos lguno de los ejes de coordends. De est form ls fórmuls son funciones de x ó de y. Pero un práol puede tener su eje inclindo con respecto un pr de ejes de coordends ortogonles. L expresión lgeric que descrie un práol que ocupe culquier posición en un plno es: x xy cy dx ey f 0 si y sólo si c 0 y los coeficientes y c no pueden ser simultánemente nulos. Medinte trslciones y rotciones es posile hllr un sistem de referenci en el que l ecución nterior se exprese medinte un fórmul lgeric de l form x x c 0, donde es distinto de cero. Prue geométric de l relción y x Con l construcción y desrrollo de l geometrí nlític se inició un estudio de ls forms geométrics sdo en ecuciones y coordends. Un práol cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de ls ordends, tiene un ecución de l form y x donde el prámetro especific l escl de l práol, incorrectmente descrit como l form de l práol, y que como se dijo ntes, tods ls práols tienen l mism form. Cundo el prámetro es positivo, l práol se re «hci rri» y cundo es negtivo se re «hci jo». Si ien, l expresión en form de ecución no fue posile hst el desrrollo de l geometrí nlític, l relción geométric expresd en l ecución nterior y est presente en los trjos de Apolonio, y se osquejrá continución usndo notción modern. Tomndo nuevmente l definición de práol como sección de un cono recto de form prlel l directriz, se V un punto en el eje y se QV perpendiculr l eje. (QV corresponde l vlor x en l versión nlític y PV l vlor y). Considerndo l sección circulr que ps por Q y es prlel l se del cono, otenemos H, K prlelos B y C. Por el teorem de potenci de un punto: QV HV VK Al ser PM prlel AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejntes y sí: HV HK BC Usndo nuevmente los prlelismos: PV KA AC VK HK BC Despejndo HV y VK pr sustituir en l fórmul de QV result en PA HA BA BC PV BC PA BC PA QV HV VK PV AC BA BA AC Pero el vlor de BC PA BA AC es un constnte pues no depende de l posición de V, por lo que hciendo BA AC, rroj l expresión ctul y x BC PA

4 Prof. Enrique Mteus Nieves Doctorndo en Educción Mtemátic Práols verticles, con ecuciones de l form y=x²+x+c. Aplicndo un sustitución de coordends podemos otener hor l ecución de un práol verticl pr culquier posición de su vértice. L ecución de un práol cuyo eje es verticl y su vértice es h,k tiene y k x h. Agrupndo los términos y reordenndo se otiene un form equivlente: L ecución de un práol cuyo eje es verticl es de l form y x x c l form Si l práol es horizontl, se otienen ecuciones similres pero intercmindo y por x y vicevers. Así tendrímos: L ecución de un práol cuyo eje es horizontl es de l form x y y c. Ecución involucrndo l distnci focl Ecución de un práol verticl. Pueden her muchs práols que tengn un mismo vértice ( vrindo el prámetro ) en l primer ecución. Sin emrgo, ddos dos puntos fijos, existe sólo un práol que los tiene por vértice y foco y que l directriz qued utomáticmente fij como l perpendiculr l líne que une el foco con el vértice y es mism distnci del último. Consideremos el cso especil en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p). L directriz es por tnto, l rect horizontl que ps por (0,-p). A l distnci entre el vértice y el foco se le llm distnci focl, de modo que en este cso l distnci focl es igul p. Con est configurción se tiene: L ecución de un práol con vértice en 0,0 y foco en p 0, es x py. De form ltern: L ecución de un práol con vértice en 0,0 y foco en p 0, es x y. p

5 Prof. Enrique Mteus Nieves Doctorndo en Educción Mtemátic Es de notr que el coeficiente p es precismente l longitud del ldo recto de l práol. Ams ecuciones se refieren práols verticles que se ren «hci rri». L ecución de un práol que se re hci jo es similr excepto que vrí un signo. En este cso, el foco serí 0,-p y de est form: L ecución de un práol con vértice en 0,0 y foco en 0,-p es x - py Cundo l práol es horizontl intercmindo los roles de x, y: hci l derech, se otiene un ecución similr L ecución de un práol con vértice en 0,0 y foco en p,0 es y px Oteniendo medinte un cmio de signo l ecución de ls práols hci l izquierd. Ecuciones cundo el vértice no está en el centro Se otienen medinte un trslción. En el cso común de l práol verticl hci rri se tiene L ecución de un práol con vértice en h, ky foco en h, k p es: x - h p y - k, mientrs que pr l práol horizontl se intercmi x con y: L ecución de un práol con vértice en k p, k y - k p x - h h, y foco en h es Ejercicios Determine ls coordends del foco y l ecución de l directriz pr cd un de ls siguientes práols. Trce su gráfic.. x y x 3 8. y 6y x y x x. y 3. y x. x y x - 6y 7. y x x y 3

6 Prof. Enrique Mteus Nieves Doctorndo en Educción Mtemátic Definición de Elipse. Un elipse es el conjunto de los puntos de un plno tles que l sum de sus distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte. Puntos de un elipse Los focos de l elipse son dos puntos equidistntes del centro, F y F en el eje myor. L sum de ls distncis desde culquier punto P de l elipse los dos focos es constnte, e igul l longitud del diámetro myor, (PF + PF = ). Si F y F son dos puntos de un plno, y es un constnte myor que l distnci F F, un punto P pertenecerá l elipse si se cumple l relción: PF PF donde es l medid del semieje myor de l elipse. Ejes de un elipse El eje myor, es l myor distnci entre dos puntos dversos de l elipse. El resultdo constnte de l sum de ls distncis de culquier punto los focos equivle l eje myor. El eje menor, es l menor distnci entre dos puntos dversos de l elipse. Los ejes de l elipse son perpendiculres entre sí. Excentricidd de un elipse L excentricidd e de un elipse es l rzón entre su semidistnci focl (segmento que v del centro de l elipse uno de sus focos), denomind por l letr c, y su semieje myor. Su vlor se c encuentr entre cero y uno. e, con 0 e. Ddo que c, tmién vle l relción: e e o el sistem: c c L excentricidd indic l form de un elipse; un elipse será más redonded cunto más se proxime su excentricidd l vlor cero. L designción trdicionl de l excentricidd es l letr grieg ε llmd épsilon.

7 Prof. Enrique Mteus Nieves Doctorndo en Educción Mtemátic Ecución generl de un elipse L expresión lgeric que descrie un práol que ocupe culquier posición en un plno es: x xy cy dx ey f 0. Form estándr de l ecución de un elipse con focos en c,0 y c,0 x y, donde c Form estándr de l ecución de un elipse con centro en x h y k, donde c Form estándr de l ecución de un elipse con centro en x h y k, donde c Elipse cuyo eje myor es de longitud, prlel l eje x,k h y focos h c,k,k h y focos h,k c Ejercicios Determine ls coordends del centro, los vértices y los focos. Trce su gráfic.. x y x y. 3. x y x 9y x 9y x 9y 7. x y 9 8. x y x x 3y 6y x 3x 9y 7y 6. x x 9y 5. 5x y y 6y

8 Prof. Enrique Mteus Nieves Doctorndo en Educción Mtemátic L hipérol Es el conjunto de todos los puntos en el plno tles que l diferenci de sus distnci dos puntos fijos llmdos focos es un constnte Ecuciones de l hipérol Form estándr de l ecución de un hipérol con focos en c,0 y c,0 x y, donde c Hipérol cuyo eje myor es de longitud, prlel l eje x Form estándr de l ecución de un elipse con centro en x h y k, donde c Form estándr de l ecución de un elipse con centro en y k x h, donde c Ls síntots de un hipérol con centro en h,k y k y k x h son:,k h y focos h c,k,k h y focos h,k c cundo el eje trnsvers l es horizontl x h Cundo el eje trnsvers l es verticl Ejercicios Determine ls coordends del centro, los vértices y los focos. Trce su gráfic.. x y x y x y

9 Prof. Enrique Mteus Nieves Doctorndo en Educción Mtemátic. x 9y x 9y y 9y 7. x y 9 8. y x 00 L circunferenci. Es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo centro Ecución Ordinri de l Circunferenci Ddos ls coordends del centro de l circunferenci en h,k y de rdio "r", determinmos l x h ecución generl de l form y k r Ecución Cnónic de l Circunferenci h,k 0,0 y de rdio "r", definimos l ecución cnónic Se l circunferenci centr den x y r Ecución Generl de l Circunferenci Si conocemos el centro y el rdio de un circunferenci, podemos otener ecución de l circunferenci, sí: x y Dx Ey F 0 l form generl de l NOTA: Dd l ecución de l circunferenci x y Dx Ey F 0 se cumple que: E El centro es: C D ; El rdio es: r D E F Referencis Bruño, Geometrí curso superior, Bruño, Mdrid 9. Soel, M. (998). Precálculo. Originl English lnguge Edition Pulished y Prentice Hll, Inc. Copyright 995. Printed Mexico Sánchez-Ruio - Ripollés Amel, Mnul de mtemátics pr preprción olímpic, Ed. Universitt Jume I 000. TAYLOR, C. Geometricl Conics, McMilln, London 863 Rouche - Cmerouse.Trité géométrie élémentire, Guthier - Villrs, Pris 899.

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.

Más detalles

LA ELIPSE DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA ELIPSE

LA ELIPSE DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA ELIPSE 1 LA ELIPSE DEFINICIÓN L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos P del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos, F 1 y F, llmdos focos es un constnte positiv. Es decir: L elipse es l curv cerrd

Más detalles

el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1

el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1 el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 1 SECCIONES CÓNICAS Un superficie cónic se obtiene l girr un rect g (llmd genertriz), lrededor de otr rect e, llmd eje de giro, l que cort en un punto V (vértice).

Más detalles

ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS

ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS Chí, Octubre de 015 Señores Estudintes grdos Décimos Adjunto encontrrán ls definiciones y los ejercicios que deben relizr de los dos tems pendientes pr l evlución

Más detalles

UTalca - Versión Preliminar

UTalca - Versión Preliminar 1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol)

Más detalles

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 007 LA HIPERBOLA Definición : Un Hipérol es el lugr geométrico de un punto en

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS TEMA 1: CURVAS 1. CÓNICAS * Prábols * Elipses * Hipérbols * Ecución Generl de un cónic. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA CURVA 3. COORDENADAS POLARES EN EL PLANO *

Más detalles

Ejercicios de las Cónicas

Ejercicios de las Cónicas Ejercicios de ls Cónics Ejemplo 1 Ejemplo Otener l ecución crtesin generl de l circunferenci que coincide con el punto (, 3) cuo centro coincide con el origen. Prtiendo de l ecución ordinri ( - h) + (

Más detalles

Circunferencia y elipse

Circunferencia y elipse GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Circunferenci y elipse Por: Sndr Elvi Pérez Circunferenci Comienz por revisr l definición de circunferenci. Un circunferenci es un curv formd por puntos que equidistn

Más detalles

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO XI. LA HIPÉRBOLA 11.1. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus

Más detalles

6.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Consideremos la siguiente figura: Según el teorema de Pitágoras se tiene que: d x. y 2

6.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Consideremos la siguiente figura: Según el teorema de Pitágoras se tiene que: d x. y 2 UNIDAD 6: GEOMETRIA ANALÍTICA 6. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Un sistem de coordends rectngulres divide l plno en cutro cudrntes por medio de dos rects perpendiculres que se cortn en el punto O.

Más detalles

INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS

INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Ls tutorís corresponden los espcios cdémicos en los que el estudinte del Politécnico Los Alpes puede profundizr y reforzr sus conocimientos en diferentes tems de cr l exmen de

Más detalles

3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS

3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS Colegio SSCC Concepción - Depto. de Mtemátics Eje Temático: SECCIONES CONICAS Unidd de Aprendizje: Ecución de l Elipse Cpciddes/Destrez/Hbiliddes: Resolver/Construir/ Decidir/Anlizr/ Identificr/ Verificr

Más detalles

ELIPSE. Las componentes principales de la elipse se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág. 1

ELIPSE. Las componentes principales de la elipse se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág. 1 ELIPSE. Es el conjunto de todos los puntos con l propiedd de que l sum de ls distncis de los puntos del conjunto dos puntos fijos ddos es un constnte, myor que l distnci entre los dos puntos. L elipse

Más detalles

y ) = 0; que resulta ser la

y ) = 0; que resulta ser la º BT Mt I CNS CÓNICAS Lugr geométrico.- Es el conjunto de los puntos que verificn un determind propiedd p. Considermos un determindo sistem de referenci crtesino del plno. Diremos que l ecución f(x,)=0

Más detalles

La Elipse. Distancia Focal : F 1 F 2 = 2 c Eje mayor o focal : AB = 2 a Focos : F 1 y F 2 Eje menor : CD = 2 b. Además se cumple que a

La Elipse. Distancia Focal : F 1 F 2 = 2 c Eje mayor o focal : AB = 2 a Focos : F 1 y F 2 Eje menor : CD = 2 b. Además se cumple que a L Elipse L elipse es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos es constnte. Estos dos puntos fijos se llmn focos de l elipse. Elementos de l Elipse Vértices : A, B,

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INDICADORES DE DESEMPEÑO INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: GEOMETRÍA DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N 0 FECHA

Más detalles

CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS

CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS Definición: Cónic es el lugr geométrico de los puntos de un plno cu rzón de distncis un punto fijo (que llmremos foco) un rect fij (que llmremos directriz) es constnte.

Más detalles

HIPÉRBOLA. Ecuación de la hipérbola

HIPÉRBOLA. Ecuación de la hipérbola Mtemátic 014 HIPÉRBOLA Definición: Se llm hipérol l conjunto de puntos del plno que cumplen con l condición de que l diferenci de ls distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. pf p f ' = constnte

Más detalles

Geometría Analítica. Lección II. Cónicas en coordenadas cartesianas. Prof. Miguel Ángel De Carlo

Geometría Analítica. Lección II. Cónicas en coordenadas cartesianas. Prof. Miguel Ángel De Carlo Geometrí Anlític Prof. Miguel Ángel De Crlo Lección II Cónics en coordends crtesins M.A. De Crlo Índice 1.- Ls Cónics... 3. Circunferenci... 3.1. Ecución de l circunferenci.... 3.. Cálculo de los elementos

Más detalles

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INDICADORES DE DESEMPEÑO INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: GEOMETRÍA DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA

Más detalles

LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS

LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Elipse: lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte. d(x,f) + d(x,f ) = k LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS

Más detalles

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas. . Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

HIPÉRBOLA. Las componentes principales de la hipérbola se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág.

HIPÉRBOLA. Las componentes principales de la hipérbola se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág. HIPÉRBOLA. Es el conjunto de todos los puntos con l propiedd de que l diferenci de ls distncis de los puntos del conjunto dos puntos fijos ddos es un constnte, positiv y menor que l distnci entre los focos.

Más detalles

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS Colegio Sor Jun Inés de l Cruz Sección Preprtori Mtemátics III Bloque VII Ing. Jonthn Quirog Tinoco 1. Pr encontrr l ecución de l elipse con centro en el origen, un foco

Más detalles

SEPTIEMBRE " ( él representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.

SEPTIEMBRE  ( él representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme. SEPTIEMBRE 99 OPCIÓN A EJERCICIO. Otener ls mtrices A y B tles que cumplen ls siguientes condiciones: B A B A Se trt de un sistem de ecuciones mtriciles, que se puede resolver por culquier método. Pr este

Más detalles

La Hipérbola. César Román Martínez García Conalep Aztahuacan. 20 de noviembre de 2005

La Hipérbola. César Román Martínez García  Conalep Aztahuacan. 20 de noviembre de 2005 L Hipérbol Césr Román Mrtínez Grcí cesrom@esfm.ipn.mx, mcrosss666@hotmil.com Conlep Azthucn 20 de noviembre de 2005 Resumen Estudiremos l ecución de l hipérbol 1. Hipérbol Definición 0.1 Un hipébol es

Más detalles

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo

Más detalles

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. LA ELIPSE DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6., los focos están representdos por los puntos y f.

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

CÓNICAS. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. centro de la circunferencia.

CÓNICAS. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. centro de la circunferencia. CÓNICAS CPR. JORGE JUAN Xuvi-Nrón L circunferenci, l elipse, l hipérol y l práol se conocen como cónics deido que se pueden otener l cortr un superficie cónic de revolución por un plno que no pse por su

Más detalles

La integral. En esta sección presentamos algunas propiedades básicas de la integral que facilitan su cálculo. c f.x/ dx C f.

La integral. En esta sección presentamos algunas propiedades básicas de la integral que facilitan su cálculo. c f.x/ dx C f. CAPÍTULO L integrl.6 Propieddes fundmentles de l integrl En est sección presentmos lguns propieddes ásics de l integrl que fcilitn su cálculo. Aditividd respecto del intervlo. Si < < c, entonces: f./ d

Más detalles

Ecuación de la circunferencia de centro el origen C(0, 0) y de

Ecuación de la circunferencia de centro el origen C(0, 0) y de CÓNICAS EN EL PLANO. CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA centrds en el origen CIRCUNFERENCIA Aunque segurmente se sep, recordmos que l circunferenci es el conjunto de puntos que distn un cntidd

Más detalles

Laboratorio N 7, Asíntotas de funciones.

Laboratorio N 7, Asíntotas de funciones. Universidd Diego Portles Fcultd de Ingenierí. Instituto de Ciencis Básics Asigntur: Cálculo I Lortorio N 7, Asíntots de funciones. Introducción. Ls síntots de un función son rects que seprn ls regiones

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA ELIPSE. 1. Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen. 4. Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA ELIPSE. 1. Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen. 4. Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen LA ELIPSE CONTENIDO. Ecución de l elipse horizontl con centro en el origen. Análisis de l ecución. Ldo recto 3. Ecentricidd de l elipse 4. Ecución de l elipse verticl con centro en el origen 4. Ejercicios

Más detalles

Calcular la pendiente y los puntos de intersección con los ejes coordenados de una recta. y (x,y) (x 2,y 2) (x 1,y 1 )

Calcular la pendiente y los puntos de intersección con los ejes coordenados de una recta. y (x,y) (x 2,y 2) (x 1,y 1 ) Clse 1: Ecución de l rect Determinr l pendiente del segmento de rect que une dos puntos. Comprender ls distints representciones lgerics de l ecución de l rect. Determinr un ecución pr un rect ddos dos

Más detalles

CENTRO DE BACHILLERATO Y SECUNDARIA DEPTO. DE MATEMATICAS. MATEMÁTICAS III Geometria Analítica CLAVE SEMESTRE PLAN DE ESTUDIOS 12036 3 2004

CENTRO DE BACHILLERATO Y SECUNDARIA DEPTO. DE MATEMATICAS. MATEMÁTICAS III Geometria Analítica CLAVE SEMESTRE PLAN DE ESTUDIOS 12036 3 2004 CENTRO DE BACHILLERATO Y SECUNDARIA DEPTO. DE MATEMATICAS MATERIA MATEMÁTICAS III Geometri Anlític CLAVE SEMESTRE PLAN DE ESTUDIOS 036 3 004 CRÉDITOS 6 HORAS TEÓRICAS HORAS PRÁCTICAS 4 FECHA ACTUALIZACIÓN

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 6:CÓNICAS 1º BACHILLERATO ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN... 1.1. SUPERFICIE CÓNICA... 1.. CURVAS CÓNICAS... 5. CIRCUNFERENCIA... 6.1. ECUACIÓN COMPLETA DE UNA CIRCUNFERENCIA... 6.1.1.

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A =

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A = Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Práctic 0 - Prte Áre entre curvs Un de ls plicciones del cálculo de integrles definids es el cálculo de áres de regiones cotds del plno delimitds

Más detalles

Aplicaciones de la Integral.

Aplicaciones de la Integral. Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl. 2.1. Áre de figurs plns. Definición 2.1.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x)

Más detalles

HIPÉRBOLA. En una hipérbola siempre se cumple c a b. excentricidad: e a. 2b a. Lado Recto: LR =

HIPÉRBOLA. En una hipérbola siempre se cumple c a b. excentricidad: e a. 2b a. Lado Recto: LR = XI. HIPÉRBOLA Lugr geométrico de todos los puntos tles que el vlor soluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos (focos), es un cntidd constnte y menor que l distnci entre los focos. En un hipérol

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

BLOQUE 4: GEOMETRÍA. Vectores. La recta en el plano. Cónicas

BLOQUE 4: GEOMETRÍA. Vectores. La recta en el plano. Cónicas BLOQUE 4: GEOMETRÍA Vectores L rect en el plno Cónics 83 4. VECTORES Hy mgnitudes que no quedn bien definids medinte un número; necesitmos conocer demás su dirección y su sentido. A ests mgnitudes se les

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas

TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas TRIGONOMETRÍA Sistems de Medición de Ángulos Equivlenci entre los tres Sistems Áre del Circulo =. r 360º = Rd = 400 G º = R = G 360º 400 G Longitud de l Circunferenci C =. rdio Áre de Anillo o Coron Circulr

Más detalles

Ejercicios de optimización

Ejercicios de optimización Ejercicios de optimizción 1. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0, cuál es el de áre máxim? Función mximizr: A yh Relcionr vribles: Estudimos l función: h h y x h x y x y 0 x 0y 0 y 0 0y

Más detalles

Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES

Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES 4.1 DEFINICION. Un hipérol es el conjunto de todos los puntos del plno euclideno R~ tles que que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos es en vlor soluto un constnte. Así, si F, y F, son dos puntos

Más detalles

VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R 2 Y R 3

VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R 2 Y R 3 Profesionl en Técnics de Ingenierí VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R Y R 3 1. Puntos en R y R 3 Un pr ordendo (, ) y un tern ordend (,, c) representn puntos de IR y IR 3, respectivmente.,, c, se denominn

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

Z ξ. g(t)dt y proceda como sigue:

Z ξ. g(t)dt y proceda como sigue: Prolems Prolem.9. Sen f(x) y g(x) funciones continus en [,] y f (x) continu y de signo constnte en [,]. demuestre que (,) tl que f(x)g(x)dx = f() g(x)dx+ f() g(x)dx. R Pr esto considere l función G(x)

Más detalles

* La letra a representa la distancia que hay desde el centro hasta el extremo de la elipse por su parte más alargada. Ver la figura 7.3.

* La letra a representa la distancia que hay desde el centro hasta el extremo de la elipse por su parte más alargada. Ver la figura 7.3. págin 110 7.1 DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 7.1, los focos están representdos por los puntos

Más detalles

SUPERFICIES CUÁDRICAS Ó CUADRÁTICAS.

SUPERFICIES CUÁDRICAS Ó CUADRÁTICAS. SUPERFICIES CUÁDRICAS Ó CUADRÁTICAS. Como su nombre lo dice, se trt de superficies que están representds por ecuciones que tienen vribles de segundo grdo. Ests superficies están representds por l ecución

Más detalles

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas TRIGONOMETRÍA En términos generles, l trigonometrí es el estudio de seis rzones trigonométrics: seno, coseno; tngente, cotngente; secnte y cosecnte. Interviene direct o indirectmente en ls demás rms de

Más detalles

TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS

TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS. ÁREA BAJO UNA CURVA. El prolem que pretendemos resolver es el cálculo del áre limitd por l gráfic de un función f() continu y positiv, el eje X y ls sciss = y =. Si

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 8 Pág. Págin 88 PRACTICA Vectores y puntos Ddos los puntos A 0 B0 C y D hll ls coordends de los vectores AB BC CD DA AC y BD. AB = 0 0 = DA = 0 = BC = 0 = AC = 0 = 7 CD = = 6 BD = 0 = 8 Ls coordends del

Más detalles

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a. Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos

Más detalles

EJERCICI0S PARA ENTRENARSE. Hacemos una tabla de valores y después representamos la función

EJERCICI0S PARA ENTRENARSE. Hacemos una tabla de valores y después representamos la función Unidd 3 Funciones Cudrátics EJERCICI0S PARA ENTRENARSE 4 Represent en los mismos ejes ls siguientes funciones: )) y y -. )) y 0,5 y - 0,5. c)) y 6 y - 6. Hcemos un tl de vlores y después representmos l

Más detalles

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 PRODUCTOS NOTABLES. BINOMIO CUADRADO. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES El cudrdo de l sum de dos cntiddes puede representrse geométricmente cundo los vlores son positivos.

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA. 1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA. 1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen LA HIPÉRBOLA CONTENIDO. Ecución de l hipérol horizontl con centro en el origen. Análisis de l ecución. Asíntots de l hipérol Ejemplo 3. Ecución de l hipérol verticl con centro en el origen Ejemplo 4. Hipérols

Más detalles

TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Hll el punto medio del segmento de extremos P, y Q,. Ls coordends del punto medio, M, son l

Más detalles

Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas

Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas pítulo 16 Teorem de pitágors emos visto que l rzón de segmentos es igul l de sus medids tomds con un mism unidd. Tod proporción entre segmentos puede interpretrse como proporción entre sus medids. iendo

Más detalles

Secciones cónicas CONO. Un cono es la superficie que se obtiene girando una recta alrededor de un eje que la cruza.

Secciones cónicas CONO. Un cono es la superficie que se obtiene girando una recta alrededor de un eje que la cruza. Secciones cónics Un cono es l superficie que se obtiene girndo un rect lrededor de un eje que l cruz. Un sección cónic es l curv que se obtiene intersectndo un cono con un plno. CONO Los griegos comenzron

Más detalles

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación) Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)

Más detalles

Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola

Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola INTRODUCCIÓN: UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCIÓN DE MATEMÁTICA Prof. Esther Morles (009) 1 Ls figurs

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

CIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio.

CIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio. Ls cónics responden l ecución generl del tipo F, ) 0 L ecución generl de un cónic es: A B C D E F 0 I) tér min oc cudráti cos tér min os lineles tér min o independiente B término rectngulr, cundo prece

Más detalles

Funciones cuadráticas

Funciones cuadráticas Funciones cudrátics A l función polinómic de segundo grdo f() + b + c siendo, b, c números reles y 0, se l denomin función cudrátic. Los términos de l función reciben los siguientes nombres: y + b + c

Más detalles

geometria proyectiva primer cuatrimestre 2003 Práctica 5

geometria proyectiva primer cuatrimestre 2003 Práctica 5 geometri proyectiv primer cutrimestre 2003 Práctic 5 1. Encontrr un curv prmetrizd α cuy trz se el círculo x 2 + y 2 = 1, que lo recorr en el sentido de ls gujs del reloj y tl que α(0) = (0, 1). 2. Se

Más detalles

Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas

Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles no vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso / MATERIA MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El lumno

Más detalles

vectores Componentes de un vector

vectores Componentes de un vector Vectores Un vector es un segmento orientdo. Está formdo por se representn: - con un flech encim v - en un eje de coordends - el módulo: es l longitud del origen l extremo - l dirección: es l rect que contiene

Más detalles

Tema 10: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas

Tema 10: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles nos vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes

Más detalles

= α G. TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas. Funciones Trigonométricas

= α G. TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas. Funciones Trigonométricas TRIGONOMETRÍA Sistems de Medición de Ángulos Equivlenci entre los tres Sistems Áre del Circulo = π. r 360º = πrd = 400 G α º = α R = α G 360º π 400 G C = π. rdio Longitud de l Circunferenci Áre de Anillo

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo

Más detalles

m m = -1 = μ - 1. Halla la Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 27 - IV - 15 CURSO Opción A

m m = -1 = μ - 1. Halla la Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 27 - IV - 15 CURSO Opción A S Instrucciones: EXAMEN DE MATEMATICAS II 3ª EVALUACIÓN Apellidos: Nobre: Curso: º Grupo: A Dí: 7 - IV - 5 CURSO 4-5 ) Durción: HORA y 3 MINUTOS. b) Debes elegir entre relizr únicente los cutro ejercicios

Más detalles

Y f. Para ello procederemos por aproximaciones sucesivas, de modo que cada una de ellas constituya un término de una sucesión G n cuyo límite

Y f. Para ello procederemos por aproximaciones sucesivas, de modo que cada una de ellas constituya un término de una sucesión G n cuyo límite INTEGRALES LECCIÓN Índice: El prolem del áre. Ejemplos. Prolems..- El prolem del áre Se f un función continu y no negtiv en [,]. Queremos clculr el áre S de l región del plno limitd por l gráfic de f,

Más detalles

Aplicaciones de la integral definida

Aplicaciones de la integral definida MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Aplicciones de l integrl definid Por: Sndr Elvi Pérez L integrl tiene vris plicciones en diferentes áres del conocimiento. En este curso se nlizrán sus funciones

Más detalles

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód. 44-5 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Números reles Intervlos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorem fundmentl del Álgebr NÚMEROS REALES Números nturles, enteros rcionles e irrcionles En mtemátics son importntes

Más detalles

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función

Más detalles

Las medias como promedios ponderados

Las medias como promedios ponderados Misceláne Mtemátic 8 (009) 1 6 SMM Ls medis como promedios ponderdos Alfinio Flores Peñfiel University of Delwre lfinio@mth.udel.edu Resumen Tres de ls medis que se usn frecuentemente en mtemátics (medi

Más detalles

Enunciados y Soluciones

Enunciados y Soluciones L limpid mtemátic Espñol (oncurso Finl) Enuncidos y Soluciones 1. Es posible disponer sobre un circunferenci los números 0, 1, 2,..., 9 de tl mner que l sum de tres números sucesivos culesquier se, como

Más detalles

3. ÁLGEBRA VECTORIAL

3. ÁLGEBRA VECTORIAL 3. ÁLGEBRA VECTORIAL Ojetivo: El lumno plicrá el álger vectoril en l resolución de prolems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3.2 Cntiddes esclres y cntiddes

Más detalles

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3).

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3). ÁlgebryGeometrí 1. ) Ddos tres puntos A, B y C en el plno demuestr que l circunferenci de diámetro AC ps por B siysólosielánguloâbc es recto. b) Ddos dos puntos A y B del plno y un rect r, determin, cundo

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

Vectores en el espacio. Producto escalar

Vectores en el espacio. Producto escalar Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Vectores en el espcio Producto esclr Espcios vectoriles Definición de espcio vectoril Un conjunto E es un espcio vectoril si en él se definen dos operciones,

Más detalles

, y el plano Π forma un ángulo β con el eje del cono, se pueden presentar los siguientes casos:

, y el plano Π forma un ángulo β con el eje del cono, se pueden presentar los siguientes casos: Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 9 Cónics 9. Cónics Se llm cónic culquier de ls secciones plns que se producen l cortr en el espcio un doble cono recto por un plno. Si el doble cono

Más detalles

BLOQUE II Análisis. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. sea continua en x = 1.

BLOQUE II Análisis. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. sea continua en x = 1. Pág. de 7 x si x Ì Hll el vlor de k pr que l función fx = x + k si x > se continu en x =. b Represent l función pr ese vlor de k. c Es derivble en x =? Pr que f se continu en x =, h de ser fx = f. x 8

Más detalles

TEMA 2. Geometría elemental y analítica

TEMA 2. Geometría elemental y analítica TEMA 2. Geometrí elementl y nlític En el presente tem nos ocupremos de l geometrí desde dos puntos de vist: geometrí elementl y geometrí nlític. Empezremos viendo los conceptos básicos de trigonometrí,

Más detalles

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers.

Más detalles