UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA FACULTAD DE AGRONOMÍA HIDRÁULICA

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1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA FACULTAD DE AGRONOMÍA HIDRÁULICA UNIDAD II. HIDROSTÁTICA Introducción. La stática d fluidos studia las condicions d quilibrio d los fluidos n rposo, y cuando s trata sólo d líquidos, s dnomina idrostática. S fundamnta n lys y principios como l d Arquímds, ascal o la paradoja idrostática d Stvin ntr otros; mismos qu contribuyn a cuantificar las prsions jrcidas por los fluidos, y al studio d sus caractrísticas gnrals. En la idrostática s important l studio d las prsions qu jrcn los fluidos sobr los rcipints qu los continn, aunqu líquidos y gass s considran fluidos y tinn algunas caractrísticas n común, n st curso, nos nfocarmos al studio d los líquidos y n particular al agua. El studio d la idrostática adquir spcial importancia para l disño y construcción d barcos, prsas, tanqus d almacnaminto, transmisión d prsions y dond s rquira almacnar líquidos. RESIÓN: La prsión indica la rlación ntr una furza aplicada y l ára sobr la cual actúa. En cualquir caso n qu xista prsión, una furza actuará n forma prpndicular sobr una suprfici. Matmáticamnt la prsión s xprsa d la siguint manra: = dond: F A A mayor furza o mnor ára, mayor prsión; n cambio, a mnor furza o mayor ára, mnor prsión. (.) = prsión n N/m = ascal F = furza prpndicular a la suprfici n Nwtons (N) A = ára o suprfici sobr la qu actúa la furza n mtros cuadrados (m ). La cuación antrior indica qu a mayor furza aplicada, mayor prsión, y a mayor ára sobr la cual actúa la furza, mnor prsión. M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO SETIEMBRE, 007 ÁGINA 9

2 Mnor ára, mayor prsión Mayor ára, mnor prsión Un bloqu rctangular mtálico jrcrá mnor prsión si s l coloca sobr una d sus caras d mayor ára, qu si s l coloca sobr una d ára mnor. Al disminuir l ára sobr la qu actúa una furza, aumnta la prsión. La prsión qu jrcn los líquidos s prpndicular a las pards dl rcipint qu los contin. Dica prsión actúa n todas dirccions y sólo s nula n la suprfici libr dl líquido...- rsión idrostática La prsión idrostática s aqulla qu origina todo líquido sobr l fondo y las pards dl rcipint qu lo contin. Esto s db a la furza qu l pso d las moléculas jrc sobr un ára dtrminada; la prsión aumnta conform s mayor la profundidad. Considérs idalmnt un lmnto d fluido n forma prismática qu ncirra al punto, dond la dnsidad s ρ y la prsión p (Figura.). x z ( p + dz) dxdy ( p dx) dydz z x y dz (ρ,p) ( p dy) dxdz ( p + dy) dxdz y y dx dy ( p + dx) dydz ( p dz) dxdy x z Figura..- Equilibrio d una partícula n un fluido n rposo Si la furza d curpo por unidad d masa d la partícula s dl tipo M=X i +Y j +Z k l quilibrio d las furzas n la dircción x implica qu: ( p dx) dydz ( p + dx) dydz + ρ Xdxdydz = 0 x x M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO SETIEMBRE, 007 ÁGINA 0

3 dond; p s la prsión n l punto x, y, z indica las coordnadas n sas dirccions ρ s la dnsidad n l punto X s la furza por unidad d masa Simplificando la cuación, ésta quda como sigu: pdydz dxdydz pdydz dxdydz + ρ Xdxdydz = 0 x x pdydz dxdydz pdydz dxdydz + ρ Xdxdydz = 0 x x dxdydz + ρ Xdxdydz = 0 x x = ρx (.) Ralizando l mismo razonaminto para las dirccions y y z s obtinn las cuacions siguints: y z = ρy = ρz (.) (.4) Las cuacions (.), (.) y (.4) son conocidas como cuacions státicas d Eulr. Si s considra qu la única furza d curpo s la dbida al campo gravitacional trrstr, sus componnts son: X=Y=0, Z= -g, por lo tanto las cuacions antriors qudan: x y = 0 = 0 (.5) (.6) z = ρ g = (.7) M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO SETIEMBRE, 007 ÁGINA

4 Es posibl concluir qu la prsión dntro d un fluido n rposo varía solamnt con la coordinada vrtical z, y s constant n todos los puntos contnido n un mismo plano orizontal. D las cuacions (.5), (.6) y (.7) s dduc finalmnt qu: = ρ gdz = dz (.8) A la cuación (.8) s l conoc como la cuación fundamntal d la stática d los fluidos. ara intgrar la cuación (.8) s considra qu ρ=constant por lo qu la cuación quda como sigu: + z = cons tan t (.9) A la cuación (.9) s l conoc como cuación d la ly d ascal y prmit calcular la distribución d prsions idrostáticas n l sno d un líquido n rposo. Esta ly o principio stablc qu toda prsión qu s jrc sobr un líquido ncrrado n un rcipint s transmit con la misma intnsidad a todos los puntos dl líquido y a las pards dl rcipint qu lo contin. Esa prsión dpnd xclusivamnt d la coordnada z, s dcir, d la altura d cada punto rspcto d un nivl d rfrncia cualquira. Aora bin, considrando dos puntos A y B, dond A coincid con la suprfici libr dl agua, y B localizado a una lvación z (Figura.), rsulta ntoncs qu; a Suprfici dl agua A z A -z B rsa B z A z B Figura..- Rprsntación gráfica d la dducción d la cuación (.). a + z A = + zb (.0) M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO SETIEMBRE, 007 ÁGINA

5 La prsión absoluta n l punto considrado s; = + ( z z B ) (.) a A dond a s la prsión atmosférica sobr la suprfici libr dl líquido y (z o -z) la profundidad dl punto considrado, p s la prsión absoluta dl punto considrado y s mid a partir dl cro absoluto d prsions. La prsión atmosférica local dpnd d la lvación sobr l nivl dl mar dl lugar dond s ncuntr l líquido. Comúnmnt para mdir la prsión idrostática s considra a la prsión atmosférica local con un valor d rfrncia igual a cro; a la prsión así mdida s l conoc como manométrica y la cuación para calcularla s dduc d la cuación (.), qudando como sigu: = z o bin = ρgz (.) La prsión idrostática n cualquir punto pud calculars multiplicando l pso spcífico dl líquido por la altura qu ay dsd la suprfici libr dl líquido asta l punto considrado. z = m z = z = m A A A Calcular la prsión idrostática n l punto A d los rcipints, y, considrando qu l líquido contnido s agua, y utilizando la cuación (.) kg m N Rcipint : = ρ gz = 000 x9.8 xm = 9600 m s m kg m N Rcipint : = ρ gz = 000 x9.8 xm = 9600 m s m kg m N Rcipint : = ρ gz = 000 x9.8 xm = 9800 m s m M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO SETIEMBRE, 007 ÁGINA

6 La paradoja idrostática d Stvin sñala qu la prsión jrcida por un líquido n cualquir punto d un rcipint, no dpnd d la forma d ést ni d la cantidad d líquido contnido, sino únicamnt dl pso spcífico y d la altura qu ay dl punto considrado a la suprfici libr dl líquido. La paradoja idrostática d Stvin pud comprobars n los rcipints y n dond la prsión idrostática n l punto A s la misma, porqu la altura dl punto A a la suprfici libr dl agua s la misma; mintras qu la prsión idrostática n l punto A dl rcipint s mnor dbido a qu la altura también lo s. Mdición d la prsión. El manómtro s un dispositivo qu s utiliza para mdir las prsions producidas por un líquido n rposo y con bas n la cuación (.). Manómtros simpls. Los manómtros simpls más importants son l barómtro y l tubo pizométrico. Barómtro. El barómtro s un dispositivo para mdir la prsión atmosférica local, consist n un tubo d vidrio llno d mrcurio, con un xtrmo crrado y l otro abirto, sumrgido dntro d un rcipint qu contin dico lmnto (Figura.). rsión atmosférica a Vacío Mrcurio (Hg) Figura..- Esquma gráfico d un barómtro. La furza atmosférica, jrcida sobr la suprfici dl mrcurio n l rcipint, ac qu l líquido s lv dntro dl tubo asta alcanzar una altura qu quilibra la prsión atmosférica, la cuación para xprsar st comportaminto s: a = = ρg (.) Hg dond Hg s l pso spcífico dl mrcurio, ρ s la dnsidad dl mrcurio con valor d,600 kg/m y g s la gravdad (9.8 m/s ). A nivl dl mar y a la M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO SETIEMBRE, 007 ÁGINA 4

7 tmpratura d 5º C la prsión atmosférica s d 0,9 N/m, por lo qu la corrspondint altura barométrica dl mrcurio s: 0,9 = = 0. 76m,80 izómtro El pizómtro o tubo pizométrico s utiliza para mdir prsions státicas modradas d un líquido qu fluy dntro d una tubría. Consist d un tubo transparnt d diámtro pquño, conctado al intrior d una tubría mdiant un nipl y con l otro xtrmo abirto a la atmósfra. La altura d la columna pizométrica multiplicada por l pso spcífico dl líquido n la tubría, dtrmina la prsión d la misma n l punto d contacto con l tubo pizométrico (Figura.4). a Tubo = p Nipl 90º Manómtros difrncials Figura.4.- Esquma gráfico d un pizómtro Manómtro difrncial abirto Consist n un tubo transparnt n forma d U, parcialmnt llno d un líquido psado (comúnmnt mrcurio). Uno d sus xtrmos s concta d manra prpndicular a la pard qu confina l flujo dl rcipint qu lo contin; l otro xtrmo pud star abirto a la atmósfra, o bin conctado a otro punto d la pard, n cuyo caso l manómtro mid la difrncia d prsions ntr los dos puntos. La difrncia d nivls d la columna dl líquido n l manómtro difrncial indica la difrncia d las cargas d prsión jrcidas sobr los xtrmos d la columna (Figura.5). M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO A SETIEMBRE, 007 ÁGINA 5 A

8 p A s la prsión manométrica n l rcipint qu contin al líquido; por otro lado, la prsión n l punto d contacto B d los líquidos stá dada por: p p B = A + or otra part, si p B =, al igualar ambas cuacions rsulta: p A = Manómtro difrncial crrado Son aparatos comrcials provistos d un sistma mcánico d aguja y carátula graduada dond s ln dirctamnt las prsions. atm..- Empuj idrostático Figura.6.- Esquma gráfico d un manómtro difrncial crrado. El mpuj idrostático s la furza rsultant dbido a la prsión idrostática qu actúa d manra prpndicular sobr una ára dtrminada; dica ára pud sr plana o curva. S idntifican dos lmntos clavs, primro, l cntro d gravdad dl ára y sgundo, l cntro d prsions dl mpuj idrostático....- Empuj idrostático sobr suprficis planas M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO SETIEMBRE, 007 ÁGINA 6

9 El mpuj idrostático s igual al volumn d la cuña d distribución d prsions, y para suprficis planas sta dado por: E = Az (.4) G dond; E = mpuj idrostático n kg = pso spcífico dl líquido n kg/m A = ára sobr la qu actúa l mpuj idrostático n m z G = lvación dl cntro d gravdad d la cuña d prsions n m El cntro d prsions s l punto sobr l cual actúa la furza rsultant o mpuj idrostático. ara dtrminar l cntro d prsions s utiliza la siguint xprsión: Ix y k = + y y G G (.5) dond; y k s l cntro d prsions dl mpuj idrostático sobr la suprfici plana. I x s l radio d giro d A rspcto al j cntroidal parallo a x. y G s l cntro d gravdad d A. CASOS COMUNES CASO.- Una pard vrtical con líquido d un solo lado y parcialmnt sumrgida. E y k Figura.6.- Distribución d prsions idrostáticas sobr una pard vrtical parcialmnt sumrgida. M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO SETIEMBRE, 007 ÁGINA 7

10 ara calcular l mpuj idrostático qu actúa sobr la pard s utiliza la cuación (.4) E = Az dond; A = b z G = / G = b Cuando l ára sobr la qu actúa la prsión idrostática s rctangular y simétrica dl tipo: y G y G = I x = A = b b ara calcular l cntro d prsions idrostáticas s utiliza la cuación (.5) y Ix k = + yg = + yg CASO.- Una pard inclinada con líquido n ambos lados d la misma. θ E y k Figura.7.- Distribución d prsions n una pard inclinada con agua n ambos lados d la pard. Como ya s mncionó l mpuj idrostático sobr la pard s l volumn d la cuña d distribución d prsions d anco b, indicada con l ára sombrada, la cual s pud dtrminar calculando l ára dl triángulo d prsions d la izquirda mnos l d la drca. El mpuj idrostático total sta rprsntado por la cuña sombrada, por lo tanto E = E -E E = b b = b (.6) snθ snθ snθ M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO SETIEMBRE, 007 ÁGINA 8

11 El cntro d prsions s dtrmina con la cuación: y k = snθ snθ (.7) CASO.- Una pard vrtical con líquido n ambos lados d la misma. y k E Figura.8.- Distribución d prsions n una pard vrtical con agua n ambos lados d la pard. El mpuj idrostático s calcula con la siguint cuación (.6), acindo l valor d θ= 90º, por lo qu l sn 90º = E = b snθ E = b (.8) Mintras qu para calcular l cntro d prsions s utiliza la cuación (.7) acindo l valor d θ= 90º, por lo qu l sn 90º = y k = snθ snθ y k = (.9) M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO SETIEMBRE, 007 ÁGINA 9

12 CASO 4.- Un muro d contnción combinado con una part vrtical y otra inclinada, dond l líquido s ncuntra n un solo lado dl muro. E y k a E y k a Figura.9.- Distribución d prsions sobr un muro d contnción. ara calcular l mpuj idrostático sobr a s utiliza la siguint cuación: E = ba (.0) ara l mpuj idrostático n la part inclinada, s dcir sobr a, s utiliza la siguint cuación: E a + = b a (.) El cntro d prsions sobr a coincid con l cntro d gravdad, para calcularlo s utiliza la cuación: y a (.) G = y k = D la misma manra para a s calcula l cntro d gravdad mdiant la siguint cuación: a a + y G = a + (.) Una vz calculado l cntro d gravdad s calcula l cntro d prsions mdiant la siguint cuación: M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO SETIEMBRE, 007 ÁGINA 0

13 a y = + k a yg (.4) a...- Empuj idrostático sobr suprficis curvas ara dtrminar l mpuj idrostático sobr una suprfici curva, la furza rsultant s dscompon n sus dos componnts vctorials F x y F z d la forma: F = F x + F z (.5) F z F F x A p F = y A (.6) x k p dond F x s la furza o mpuj n l sntido orizontal; y k s l cntro d prsions; y A p s l ára proyctada n dircción x. La componnt vrtical d la furza d prsión sobr una suprfici curva s igual al pso dl líquido qu s ncuntra vrticalmnt por ncima d dica suprfici y s xtind asta la suprfici libr. F = z V (.7) dond F z s la furza o mpuj n l sntido vrtical; s l pso spcífico dl líquido y V s l volumn qu s ubica por ncima d la suprfici curva y qu pud sr ral o imaginario. Cuando l mpuj s ascndnt s considra qu l volumn s imaginario y cuando s dscndnt s considra ral. Vi F x F x F z F z M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO SETIEMBRE, 007 ÁGINA

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