Notar que A = A S = A ( ). Por la propiedad distributiva, se tiene que n A = A, donde la

Transcripción

1 4.3.2 Probabldad Total y Regla de ayes Regla de la Probabldad Total. Sean 1,, n una coleccón de eventos que forman una partcón del espaco muestral S esto es n S y φ para. Sea A otro evento defndo sobre S entonces: A) n n ) A/ ) Notar que A A S A ( ). Por la propedad dstrbutva, se tene que n A A, donde la unón es dsunta. Aplcando el tercer axoma se obtene n A) A ). Fnalmente, se aplca la regla del producto a cada térmno de la suma y se obtene la fórmula de probabldad total. Para una partcón de S en dos eventos y se obtene: P ( A) A/ A/ Fgura Teorema de la Probabldad Total Eemplo El 70 % de los pacentes de un hosptal son mueres y el 20% de ellas son fumadoras. Por otro lado el 40 % de los pacentes hombres son fumadores. Se elge al azar un pacente del hosptal. uál es la probabldad de que sea fumador? Solucón: Sean los eventos F: Que el pacente sea fumador, H: Que el pacente sea hombre y M: Que el pacente sea muer. laramente, ( F ) M ) F / M ) H ) F H ) P /

2 el enuncado del problema se tene que P ( M ). 7, P ( H ). 3, P ( F / M ). 2 y ( F / H ). 4 susttuyendo estos valores en la fórmula anteror se obtene que P ( F ) Fgura 4.14 se muestra el dagrama de árbol correspondente al problema. P,. En la Sexo del Pacente ondcon de Fumar F MF) M H.7.8 F F MF ).7.8 HF) F HF ) Fgura agrama de árbol para Eemplo 4.17 Eemplo En un hosptal el 98% de los bebés nacen vvos. Por otro lado, 40% de todos los partos son por césarea y de ellos el 96% sobrevven al parto. Se elge al azar una muer a la que no se va practcar césarea. uál es la probabldad de que el bebé vva? Solucón: Sean los eventos V: que el bebe nazca vvo, : que el parto sea por césarea. el enuncado del problema P ( V ). 98, P ( ). 40 y P ( V / ). 96. Se desea hallar P ( V / ).

3 esarea ebé Vve V V / ) V V.60 V Fgura agrama de árbol para Eemplo Por la regla de la probabldad total P ( V ) ) V / ) ) V / ), de donde: (.40)(.96).60 V / ), y P ( V / ) Un dagrama de árbol para el problema.60 aparece en la Fgura Eemplo Una empresa tene 3 plantas: A, y. La planta A produce el 50% de la produccón total, produce el 30% y el 20%. El 3% de la produccón de A es defectuosa, mentras que el 2% de y el 5% de tambén lo son. Se elge al azar un artículo producdo por la empresa: a) uál es la probabldad de que el artículo elegdo sea defectuoso? b) S el artículo elegdo resulta ser defectuoso, uál es la probabldad de que provenga de la planta? Solucón: a) Los eventos A, y forman una partcón del espaco muestral S correspondente a elegr un artculo de la fábrca. Luego, s representa artículo defectuoso: Suttuyendo los datos del problema se tene que ( ) A) / A) / ) ) P / P ( ). 5).03).3).02).2).05). 031 b) P ( / ) ) ) (.2)(.05)

4 El dagrama de árbol de la Fgura 4.16 representa el problema. Planta efectuoso A Fgura agrama de árbol para el problema 4.19 La Regla de ayes ao las msmas condcones de la regla de probabldad total, se cumple que: / A) n ) A / ) ) A/ ) A) Por defncón de probabldad condconal / A) y aplcando la regla del producto en el numerador y probabldad total en el denomnador se obtene la regla de ayes. Eemplo Una prueba para dagnostcar cáncer lo detecta en el 95% de personas que efectvamente tenen la enfermedad y en el 1% de las personas que no tenen la enfermedad. Por estudos prevos se ha determnado que sólo el.5% de las personas sometdas a la prueba tenen efectvamente cáncer. S la prueba da un dagnóstco postvo, uál es la probabldad de que la persona tenga realmente cáncer?

5 Solucón: Sean los eventos : La persona tene cáncer y : La persona da un dagnóstco postvo de cáncer. P / P P / P, donde Hay que hallar ( ) ( ) ( ) ( ) omo ( ). 005 ( ) ) / ) ) ) P /. P, P ( / ). 95 y P ( / ). 01 P, se obtene que ( ) (. 005)(.95) (.995)(.01) Luego, / ) (.005)(.95)/ / El sguente dagrama de árbol representa el problema. áncer? agnóstco? Fgura agrama de árbol para Eemplo 4.20 Eemplo Suponga que los chps de un crcuto ntegrado son probados con certo nstrumento y la probabldad de que se detecten los defectuosos es.99. Por otro lado hay una probabldad de.95 de que un chp sea declarado como bueno s efectvamente lo es. S el 1% de todos los chps son defectuosos. uál es la probabldad de que un chp que es declarado como defectuoso sea en realdad bueno?

6 Solucón: Sean los eventos M: Que el chp sea declarado defectuoso por el nstrumento, : Que el chp sea realmente defectuoso y : Que el chp sea realmente bueno. e los datos del problema se tene que P ( M / ). 99 y P ( M / , además P ( ). 01. Lo que debemos calcular es P ( / M ) M / M ). Pero, P ( M ) ) M / ) M / (. 01)(.99) (.99)(.05) , por lo tanto P ( / M ) Eemplo Una urna I contene 2 bolas roas y 4 blancas y una urna II contene 3 bolas roas y 2 blancas. Se saca una bola de la urna I y se la coloca en la urna II, luego se saca una bola de ésta la cual resulta ser roa, uál es la probabldad de que la bola pasada de I a II haya sdo blanca? Solucón: Sean los eventos 1 : Que la bola extrada de la urna I sea blanca, R 1 : Que la bola extrada de la urna I sea roa, 2 : Que la bola extrada de la urna II sea blanca, R 2 : Que la bola extrada de la urna II sea roa. Hay que hallar 1 / R2 ) 1 R2 ) / R2 ). Puesto que P ( 1 ) 1/ 3, P ( R 1 ) 2 / 3, P ( R2 / 1 ) 3/ 6 1/ 2 y P ( R2 / R1 ) 4 / 6 2 / 3, se tene que P ( R2 ) R1 ) R2 / R1 ) R1 ) R2 / R1 ) , de donde sgue que P / R ) ( 1 6) ( 11 18) ( 1 2 ola Urna I 1 ola Urna II 1/2 2 1/3 R 1 1/2 R 2 2 2/3 1/3 2/3 R 2 Fgura agrama de árbol para Eemplo 4.22.

7 EJERIIOS 1. Un metereólogo afrma que la probabldad de que llueva el sábado es 25%, la probabldad de que llueva el domngo es 20% y la probabldad de que llueva ambos das es 15%. uál es la probabldad de que llueva durante el fn de semana? 2. En una unversdad el 60% de los estudantes n fuman n beben. Además el 30% fuma y el 25% bebe. Se elge al azar un estudante, uál es la probabldad: a) Que tenga al menos uno de los dos hábtos? b) Que tenga sólo uno de los hábtos? c) Que sea un bebedor y fumador? 3. Un grupo de 6 hombres y 6 mueres es dvddo al azar en dos grupos de tamaño 6. uál es la probabldad de que: a) Ambos grupos tengan el msmo número de hombres? b) Un grupo tenga dos mueres y el otro 4? 4. S 10 bolas son dstrbudas al azar en 4 urnas. uál es la probabldad de que la cuarta urna contenga exactamente 3 bolas? nños de segundo grado son asgnados al azar en dos clases de 30 cada uno. nco de ellos: ana, Ana, Sofía, Mchelle y Paula son amgas ntmas: a) uál es la probabldad de que todas ellas sean asgnadas a la msma clase? b) uál es la probabldad de que exactamente 4 de ellas sean asgnadas a la msma clase? c) uál es la probabldad de que ana esté en una clase y sus amgas en la otra? 6. Un catador de vnos afrma que puede dstngur entre 4 varedades de un vno abernet. uál es la probabldad de que el catador logre dentfcar correctamente las 4 varedades de vno s le dan a probar 4 vasos donde no aparecen marcadas las varedades del vno? 7. Una Urna A contene 3 bolas roas y dos bolas blancas y, una Urna tene 2 bolas roas y 5 blancas. Se lanza una moneda legal y s sale cara se extrae una bola de la Urna A, en caso contraro la bola es sacada de. a) uál es la probabldad de que la bola extrada sea roa? b) S la bola extraída fue roa, uál es la probabldad de que la moneda haya saldo cara? 8. Se lanza un par de dados y la suma que aparece es 6, uál es la probabldad de que al menos uno de los dados saló 3? 9. Una parea de esposos tene dos hos a) uál es la probabldad de que ambas sean nñas s la mayor lo es? b) uál es la probabldad de que ambas sean nñas dado que una de ellas es nña? 10. En una cudad el 1.5% de personas sufren de altonsmo. Por otro lado, 55% de la poblacón son mueres y el.5% de ellas sufre de altonsmo. S se elge al azar una persona y se encuentra que sufre de altonsmo; uál es la probabldad de que sea hombre? 11. Una urna contene 3 bolas roas y dos blancas. Se extrae una bola, se observa su color y luego se

8 devuelve a la urna unto con otra bola del msmo color, luego se extrae una segunda bola: a) uál es la probabldad de que la segunda bola extrada sea blanca? b) S la segunda bola extraída fue blanca; uál es la probabldad de que la prmera bola extraída haya sdo roa? 12. Una compaña de seguros clasfca a sus clentes como de alto, medano y bao resgo, ellos reclaman el pago de un seguro con probabldades.02,.01 y.0025 respectvamente. El 10% de los clentes son de alto resgo, el 20% de medano y el 70% de bao resgo. S uno de los clentes reclama el pago de un seguro; uál es la probabldad de que sea uno de bao resgo? 13. Se tenen 3 taretas guales excepto que una tene ambos lados roos, otra ambos lados negros, y la tercera un lado roo y otro negro. Se elge al azar una tareta y se muestra uno de sus lados que resulta ser roo; uál es la probabldad de que el otro lado de la tareta sea tambén roo? 14. Una caa tene 3 monedas, una de ellas tene dos caras, la otra dos cruces y la tercera cara por un lado y cruz por el otro. Se escoge una moneda al azar y se muestra uno de sus lados que resulta ser cara; uál es la probabldad de que el otro lado de la moneda sea tambén cara? 15. a) Se colocan al azar 8 bolas en 8 urnas, cuál es la probabldad de que quede solamente una vaca? b) S sólo hay dsponbles 5 urnas para colocar las 8 bolas; uál es la probabldad de que la prmera urna contenga exactamente dos bolas? 16. Una fábrca tene tres turnos El 1% de los artículos producdos en el prmer turno son defectuosos, 2% de los artículos del segundo turno son defectuosos y el 5% de los artículos del tercer turno tambén son defectuosos. S en todos los turnos se produce la msma cantdad de artículos, Qué porcentae de los artículos producdos en un da son defectuosos? S un artículo saló defectuoso, uál es la probabldad de que haya sdo producdo en el tercer turno? 17. Una urna contene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se extraen 4 de estas bolas sn reposcón. uál es la probabldad de que la segunda de ellas en orden ascendente de magntud sea 4? 18. a) Se lanzan 6 dados, uál es la probabldad de que salgan cada uno de los números posbles? b) Reponder la parte a) s se lanzan 7 dados. 19. El 60 por cento de los estudantes de una escuela no usan n anllo n cadena. Por otro lado el 20 por cento usan anllos y el 30 por cento usan cadenas. Se elge un estudante al azar, uál es la probabldad de que esté usando: a) Anllo y cadena? b) Solamente una de las dos prendas? 20. Un conseero académco hace una encuesta a 1000 graduandos de escuela superor para tratar de relaconar el promedo de graduacón y su decsón acerca de lo que pensa estudar en la unversdad. Promedo Academco

9 ecddo Indecso Se elge al azar un graduando a) S resulta que él está ndecso, uál es la probabldad de que tenga promedo de 3.5 ó más? b) S resulta que su promedo es menor que 3.0, uál es la probabldad de que haya decddo qué estudar en la unversdad? c) S resulta que él está decddo, uál es la probabldad de tenga promedo de 3.0 ó más? d) S su promedo es menor que 3.5, uál es la probabldad de que aún no se haya decddo? 21. En un lote de 50 neveras hay 6 dañadas y 44 buenas. Se elgen al azar dos neveras una por una y sn reposcón. uál es la probabldad de que: a) Ambas neveras salgan dañadas? b) Sólo una de las neveras salga dañada? c) Por lo menos una de las neveras salga dañada? d) La segunda salga dañada? 22. En un proceso de reclutamento de personal se ha determnado que la probabldad de que a un entrevstado se le haga una oferta de empleo es.3 ndependentemente de quén sea.. Juan, Pedro y Lllam son entrevstados. uál es la probabldad de que: a) A todos ellos se les haga oferta de empleo? b) Al menos a uno de ellos se le haga oferta de empleo?