En el ejercicio 3 el alumno demuestra nociones de aritmética, sobre números pares e impares, media aritmética, y nociones de lógica.

Transcripción

1 L prueb de l XV Olimpid Mtemátic de º de ESO de Cntbri, celebrd en Universidd de Cntbri el 16 de bril de 011 const de 5 ejercicios de diferentes tems decudos los contenidos de º de ESO. Est prueb fue pensd por un equipo de profesores de secundri pr que el prticipnte demostrr un vriedd de competencis relcionds con ls mtemátics, competencis que se detlln continución: En el ejercicio 1 el lumno demuestr conocimientos sobre el sistem deciml, nociones básics sobre ecuciones y ser metódico en el plntemientote relciones y en el nálisis de tods ls soluciones posibles. En el ejercicio el lumno demuestr conocimientos sobre longitud de l circunferenci, sobre ángulos, sobre triángulos isósceles y rectángulos y teorem de Pitágors y sobre movimientos y orientción en el espcio. En el ejercicio el lumno demuestr nociones de ritmétic, sobre números pres e impres, medi ritmétic, y nociones de lógic. En el ejercicio 4 el lumno demuestr ser metódico en los csos de esclers de un esclón, dos esclones, tres esclones y cutro esclones, y prtir de quí ser cpz de bstrer y generlizr un fórmul o procedimiento generl por inducción. En el ejercicio 5, donde los prticipntes disponín de un juego de tngrm, mnifestbn hbiliddes mnipultivs, en el primer prtdo. En el segundo mnifestbn propieddes elementles de descomposición de figurs pr hllr su áre y, de nuevo, el teorem de Pitágors pr el perímetro (puesto que estb indicdo que no se podí usr regl pr medir), debiendo trbjr, no con números concretos, sino con dtos genéricos ( como el ldo del cudrdo originl).

2 Debes socir cd letr un número distinto de 0 l 9, de form que se cumpln ls dos sums siguientes l vez. O N C E + N U E V E V+E+I+N+T+E=0 V E I N T E De l column de ls uniddes E = 0 Como V 0 V=1 puesto que sólo me puedo llevr 1 de l column de ls decens de millr ls centens de millr. N = 9 puesto que de no ser sí no me llevrí 1 l column de ls centens de millr. O + U > 10 pr llevrme un l column siguiente. De todo lo nterior qued I + T = 10 C + 1 = T O + U -10 = I Hcemos un tbl con tods ls posibiliddes y descrtmos ls fils con cifrs repetids teniendo en cuent que el 9, el 0 y el 1 y están reservdos. I T= 10-I C = T-1 O U = 10+I-U descrtdo descrtdo descrtdo descrtdo descrtdo descrtdo descrtdo * * * descrtdo Descrtdo Descrtdo descrtdo Luego, como se ve solo cben ls posibiliddes I =,T = 7, C = 6, O = 8, U = 5 y I =,T = 7, C = 6, O = 5, U = 8 O se: = y = 10970

3 Tenemos tres circunferencis igules de rdio centímetros que se están tocndo, tl y como indic l figur. Si hcemos rodr l circunferenci A lrededor de l circunferenci C hst tocr l circunferenci B por el otro ldo sbrís decir: ) l distnci que h recorrido el centro de l circunferenci A b) A qué distnci h queddo el punto M del centro de l circunferenci C y del centro de l circunferenci B? C1 M C M C C4 M C ) Los triángulos C1,C,C y C,C,C4 son triángulos equiláteros por tnto el ángulo centrl es de 10 grdos. 40 El centro C1 recorre 40 grdos de un circunferenci de rdio 4. Luego π 4 = π cm. 16 b) Si el centro C1 recorre π cm rodndo y el perímetro de l circunferenci es de 16 π 4 π cm. signific que h ddo 4 = vuelts, o se 480 grdos respecto de l 4π posición M (sin rodr), quedndo en l posición M. L distnci de M C1 es de y l distnci de M C, por el teorem de Pitágors es de 4 = 1. 46

4 Un cudrdo mágico es un cudrdo en el que tods ls fils, tods ls columns y ls dos digonles sumn lo mismo. Con ls fichs de dominó: puests en verticl o en horizontl debes formr un cudrdo mágico de cutro fils y cutro columns. Como yud te ponemos dos fichs: El totl de puntos que hy en ls fichs de dominó es de 64. Como deben estr reprtidos en 4 columns con l mism sum de puntos, result que encd column (en cd fil y en cd digonl) debe hber 16 puntos. Por tnto debe ser 5. Pr conseguir16 puntos, un fil puede tener todos los números pres, dos impres, o 4 impres. Luego b y c deben tener los dos impres que quedn b = y c =. i f l d h b c g e k j L digonl secundri qued complet con d = e form prte de l mism fich que, como el (5,4) y está puest, sólo cbe que e = y por tnto f = 6 g h de ser myor que, de lo contrrio no se conseguirí 16 en l ultim fil, si fuese 4 me obligrí poner h = 6, i =, imposible por solo tengo tres doses, luego h de ser g = 6 esto oblig h = 4 esto oblig i = 4 esto oblig j= 4 esto oblig k = 4 y esto oblig l = 4 Luego l únic solución es:

5 L entrd un mnicomio tiene un escler de 1 peldños. Los locos suben o bjn l escler en psos de un peldño o de dos peldños o mezclndo psos de un peldño con psos dos peldños. Cd loco sube l escler de un form propi y diferente l de los demás por que, dicen, tre ml suerte que dos de ellos subn l escler de l mism form (es un mní de locos). Hst hor eso h sido posible, pero, dí de hoy hy 60 locos en el mnicomio. Hbrá suficientes forms distints de subir l escler pr todos ellos? Cuánts forms distints de subir l escler hy? (Indicción: puedes empezr contndo ls forms de subir en un escler de 1 esclón, de esclones, después de esclones, etc...) Pr un esclón solo hy un form (1) Pr dos esclones hy dos forms (1,1) y (), dos forms Ls mners de subir un escler de tres esclones, según el pso con el que se comience, se dividen en: - si empezmos con un pso de dos esclones el esclón que flt es como l escler de un esclón, por tnto se sube de un form - si empezmos con un pso de un esclón, lo que me flt es como el cso de escler de dos esclones por tnto dos forms. Así ls mners de subir un escler de tres esclones es l sum de ls dos nteriores., es decir, tres forms. Rzonndo de l mism form obtenemos que ls mners de subir un escler de 4 esclones es l sum de ls mners de subir un de dos y un de tres. Llegmos por tnto l siguiente sucesión de resultdos: Esclones Forms forms de subir un escler de 1 esclones en psos de uno o de dos.!no hy bstntes pr tntos locos!.

6 El tngrm de l figur es un cudrdo de 14,5 cm. de ldo. Debes hcer lo siguiente: Form con tods sus piezs un rectángulo que teng un ldo doble que otro. L respuest l debes dr dibujndo ls piezs con su número (como en l figur inferior derech). Explic cuál de ls piezs, 4 y 5 es l que tiene myor áre y cuál es l que tiene myor perímetro Solución ) Pr eliminr posibiliddes nos podemos preguntr cul será l ltur del rectángulo: En un rectángulo de ltur x y bse x el áre es x., que h de ser igul, siendo el ldo del cudrdo originl. De quí x =. L figur (6) y l (7) tienen como longitud de ctetos justmente. A prtir de quí vmos probndo hst encontrr ests soluciones: b) Como se ve por el número de triángulos ( que son ) que contienen ls figurs (), (4) y (5) tienen el mismo áre. En cunto perímetros, si x es el ldo del cudrdo (), su perímetro es 4x. Su digonl es x, por tnto el perímetro de l figur (4) es x + x 4.8 x, y el de l figur (5) es tmbién x + x 4.8x Luego, en cunto perímetros: () <() = (4)