ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

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1 ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función g : (0, + ) f ( ) dada por g () = Solución: g crece en (0, e) y decrece en (e, + ).. Sea k un número real y sea f : la función definida por f () = cos k + k a) Determinar todos los valores de k para los que la función anterior es creciente en todo su dominio. b) Para k = 1 hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa = 0. Solución: k 0, y = Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f () = + 5 sen. π 5 π Solución: f es creciente en + k π, + k π, para todo k y decreciente en el interior del 3 3 complementario. 4. Idem para la función f () = Solución: f es creciente en (, 0) (, + ) y decreciente en el interior del complementario. 5. Hallar el dominio de la función f () = Ln [( 1) ( )] y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Solución: Dom (f) = (, 1) (, + ), f es decreciente en (, 1) y creciente es (, + ). 6. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f () = ( 1)e Solución: f es decreciente en (, 0), f es creciente en (0, + ) y f alcanza un mínimo en = Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones: f () = f () = Solución: a) f crece en (, ) (4, + ) y decrece en (, 4). En el punto = hay un máimo y en = 4 hay un mínimo. b) f crece en (, 1) (1, + ) y decrece en ( 1, 1). En el punto = 1 hay un máimo. 8. Estudiar la conveidad y concavidad de la función f : definida como: 1 f () = π Solución: f es convea en (, 1) (1, + ) y cóncava en ( 1, 1). 9. Hallar los valores de m para que la función f : definida como: f () = m + 3 sea convea para todo. Solución: m 6 e

2 10. Para las siguientes funciones, calcular los puntos en que alcanzan el máimo y el mínimo: 1 f () = con [, 5] 1 g () = 1 con [, ] h () = 1 con [ 1, 1] Solución: a) El mínimo se alcanza en = 5. El máimo se alcanza en =. b) El mínimo se alcanza en = 1 y = 1. El máimo se alcanza en = 0, = y =. c) El mínimo se alcanza en = 0. El máimo se alcanza en = 1 y = Estudiar la concavidad y conveidad de la función f : definida como: f () = a según los valores de a. Solución: Si a 3, f es convea para todo. Si a < 3, entonces f es convea en (, 1 ) (, + ) y cóncava en ( 1, ), donde 1 = 3 9 6a 6, = a 6 1. De una función f : [0, 4] se sabe que f (1) = 3 y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el siguiente dibujo: a) Hallar la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1. b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. En qué punto alcanza la función f su máimo absoluto? c) Estudiar la concavidad y la conveidad de f. Solución: y = + ; f crece en (0, 4); f alcanza el máimo absoluto en = 4; f es convea en (0, 1) (3, 4); cóncava en (1, 3). 13. Sabemos que la función f : ( 1, + ) definida por f () = es continua en ( 1, + ). a) Hallar el valor de a. Es f derivable en = 0? b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Solución: a) a = 3. No; b) f decrece en ( 1, 1) y crece en (1, + ) si 1< < + a + 1 si Consideremos la función f () = 4 a) Razonar en qué puntos es derivable y en cuáles no lo es. b) Estudiar la eistencia de máimos y mínimos relativos y absolutos. c) Representar gráficamente la función. Solución: a) No es derivable en = ±. b) Tiene un máimo relativo en = 0. Mínimos absolutos y relativos en los puntos (, 0) y (, 0).

3 15. Sea f : la función dada por f () = 8 a) Esboza la gráfica y hallar los etremos relativos de f (dónde se alcanzan y cuáles son sus respectivos valores). b) Calcular los puntos de corte de la gráfica de f con la recta tangente a la misma en el punto de abscisa =. Solución: a) (, 0), (, 0) son mínimos locales; (0, 8) es un máimo local. b) Puntos de corte: P = (, 4), Q = ( + 6, ), R = ( 6, 0 8 6). 16. Sea f : (0, + ) la función definida por f () = Ln, siendo Ln el logaritmo neperiano. a) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Hallar los intervalos de concavidad (f negativa) y de conveidad (f positiva) de f. c) Obtener, si los hay, los etremos globales de f. d) Encontrar las asíntotas de f y esboza su gráfica. π e) Probar que eiste un número a π tal que a = π a. Solución: f es creciente en (0, e) y decreciente en 3 (e, + ); Cóncava en 0, e y convea en 3 e, +. Máimo absoluto en = e. Asíntotas: = 0, y = Determinar a, b y c para que la curva y = a + b + c sea la siguiente: Solución: a = 8, b =, c = Sea f la función definida para por f () = + a) Hallar las asíntotas de la gráfica de f. b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos locales de f. c) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de f. Solución: = es asíntota vertical; y = es asíntota oblicua; f crece en (, 4) (0, + ) y f decrece en ( 4, 0) { }; En = 4 máimo local; En = 0 hay un mínimo local. 19. Consideremos la función f : definida por f () = ( + 3)e a) Calcular las asíntotas de la gráfica de f. b) Determinar los etremos relativos de f y los puntos de infleión de su gráfica. c) Esboza la gráfica de f. Solución: y = 0 es una asíntota horizontal cuando + ; (, e ), máimo; ( 1, e), infleión..

4 0. Sea f la función derivada de una función derivable f :. Se sabe que f es continua y que: (i) f (0) = 0, f () = 1, f (3) = 0, f (4) = 1, f (5) = 0. (ii) f es estrictamente creciente en los intervalos (, ) y (4, + ). (iii) f es estrictamente decreciente en el intervalo (, 4). (iv) La recta de ecuación y = + 3 es una asíntota oblicua de f cuando +. 1) Esbozar la gráfica de f. ) En qué valores de alcanza f sus máimos y mínimos relativos? Solución: En = 0 y = 5 hay mínimos relativos y en = 3 un máimo relativo. 1. Sea f la función definida para 1 por f () = 1 a) Hallar las asíntotas de la gráfica de f. b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos locales de f. c) Esbozar la gráfica de f. Solución: = 1 es asíntota vertical; y = + es asíntota oblicua; f crece en (, 0) (, + ) y f decrece en (0, ) {1}; En = 0 hay un máimo local; En = hay un mínimo local. 1. Consideremos la función f : definida por f () = e a) Calcular las asíntotas de la gráfica de f. b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan). Solución: y = 1es una asíntota horizontal; f decrece en (, 1) (1, + ) y f crece en ( 1, 1) En = 1 hay un mínimo local; En = 1 hay un máimo local; f ( 1) = e 1 ; f (1) = e Sea f la función definida por f () = para 0 y. a) Calcular las asíntotas de la gráfica de f. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) Con los datos obtenidos, esbozar la gráfica de f. Solución: y = 0 es una asíntota horizontal; = 0 y = son asíntotas verticales; f decrece en {0, } Sea f la función definida para 0 por f () = f) Estudiar y determinar las asíntotas de la gráfica de f. g) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcular sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). h) Esboza la gráfica de f. Solución: = 0 es una asíntota vertical; y = es una asíntota oblicua. f crece en (, 1) (1, + ) y decrece en ( 1, 1) {0}. El punto ( 1, ) es un máimo local y (1, ) es un mínimo local.

5 5. Consideremos la función f () = 4 a) Razonar en qué puntos es derivable y en cuáles no lo es. b) Estudiar la eistencia de máimos y mínimos relativos y absolutos. c) Representar gráficamente la función. Solución: a) No es derivable en = ±. b) Tiene un máimo relativo en = 0. Mínimos absolutos y relativos en los puntos (, 0) y (, 0). 6. Representar las siguientes funciones: [1] f () = [] f () = [3] f () = 3 [4] f () = 1+ [5] f () = (1 cos ) cos3 [6] f () = 1+ cos [7] f () = e [8] f () = 1 [9] f () = Ln ( ) [10] f () = [11] f () = 1 [1] f () = + sen [13] f () = tg + 1 [14] f () = + [15] f () = 1 [16] f () = [17] f () = [18] f () = e [19] f () = cos + sen 1 [0] f () = ( 1)( 3) [1] f () = 1 ( 1) 1 9 [] f () = 4 ( ) [3] f () = [4] f () = ( ) [5] f () = [6] f () = + 1 [7] f () = 1 + Ln 1 [8] f () = Ln [9] f () = [30] f () = ( 1) sen [31] f () = sen + cos cos [3] f () = 1+ cos [33] f () = si -1 1 si 1< 3 si > 1 si -4 [34] f () = < + si 4 < 8 si [35] f () = Ln [36] f () = 3 9

6 Solución: [1] [] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

7 [9] [10] [11] [1] [13] [14] [15] [16]

8 [17] [18] [19] [0] [1] [] [3] [4]

9 [5] [6] [7] [8] [9] [30] [31] [3]

10 [33] [34] [35] [36]