TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES.

Transcripción

1 TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES. Definición: Una función es una relación entre dos variables x e y de manera que a cada valor de la variable x le corresponde un único valor de la variable y. Se dice que y depende de x,y se escribe y=f(x), y es una función de x. X es la variable independiente e Y la dependiente. Una función puede venir dada de varias formas: por una tabla, por una gráfica, por su expresión analítica o algebraica (ecuación), o por un enunciado. Gráficamente una relación entre dos variables no será función si su grafica se dobla sobre si misma. Gráfica 1: es función. Gráfica 2: no es función. ENUNCIADO EXPRESIÓN ANALÍTICA TABLA GRÁFICA Definición: El dominio de definición de una función son los distintos valores que puede tomar la la variable x. Se representa en el eje x y, por supuesto es un subconjunto de R. Se calcula bien a partir de la gráfica, o bien partir de la expresión analítica. Se representa por la letra D. Definición: El recorrido o imagen de una función es el conjunto de valores que toma la variable y. Se representa por I o R y también es un subconjunto de R. Sólo se puede obtener a partir de la grafica de la función. TIPOS DE FUNCIONES. Las funciones se clasifican según su expresión analítica. Encontramos los siguientes tipos de funciones: 1.- FUNCIONES POLINÓMICAS: su expresión algebraica es un polinomio f(x)=a+bx+cx 2 +dx 3... Su dominio es el conjunto de los Números reales D=R. Según el grado del polinomio pueden ser de grado cero, de primer grado, de segundo, etc... Las funciones polinómicas son siempre continuas y derivables en todo su dominio que es R. 1

2 1.1.- Función constante: es una función polinómica de grado 0 cuya expresión es f(x)= K. Su grafica es una línea recta paralela al eje x en el valor K del eje y. Representa las funciones y=30/6 e y=-2/ Función Lineal: es una función polinómica de grado 1 cuya expresión es f(x)= mx con m no nulo. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen y cuya pendiente es m. Se puede representar a partir del valor de la pendiente. También se puede representar dando dos o tres valores en una tabla. Si la m<0 la función es decreciente. Si m>0 sería creciente. Representa las funciones y=3x, y=-2x, y=5/2 x e y=-2/3x Función Afín: es una función polinómica de grado 1cuya expresión es f(x)= mx+n con m y n no nulos. Su gráfica es una línea recta que pasa por el punto (0,n) y cuya pendiente es m. Se puede representar a partir de la ordenada en el origen n, y el valor de la pendiente. También se puede representar dando dos o tres valores en una tabla. Si la m<0 la función es decreciente. Si m>0 sería creciente. Representa las funciones y=3x, y=-2x, y=5/2 x e y=-2/3x 2

3 1.4.-Función cuadrática: es una función polinómica de grado 2 cuya expresión es f(x)= ax 2 +bx+c con a no nulo. Su gráfica es una parábola abierta hacia arriba U si a>0, y hacia abajo en caso contrario. Para representarla se hallan los cortes con los ejes coordenados y el vértice al menos. Si es necesario se hará también una tabla dando valores que estén a ambos lados del vértice. Se puede tener en cuenta la simetría respecto del eje vertical que pasa por dicho vértice(eje de la parábola). Para hallar los cortes con el eje x imponemos la condición y=0 y resolviendo la ecuación obtendremos dos soluciones, una o ninguna. Estos puntos son de la forma (p,o). Para hallar los cortes con el eje y impondremos la condición x=0 obteniendo un valor de y, y=c, y el punto (0,c) Representa las funciones y= x 2-4x+3; y= -x 2 +1; y=2x 2 +4x+4; y=-x 2-4; y=x 2-2x+1 El estudio y representación de funciones polinómicas de grado superior a 2 lo realizaremos más adelante. 3

4 2.- FUNCIONES EXPONENCIALES: su expresión analítica es de la forma f(x)=a x donde a es un número real a>0. Su dominio es el conjunto de los números reales D=R. Y el recorrido es R= (0, +! ). Las funciones son continuas y derivables en todo su dominio que es R. Su gráfica es creciente si a>1 y decreciente si 0<a<1. Para representarla gráficamente se construye una tabla con al menos 4 valores positivos de x, el 0, y 3 negativos. Representa las siguiente funciones: y= 2 x! e y= 1 $ " # 2% & x 3.-FUNCIONES LOGARÍTMICAS. Su expresión analítica es de la forma f(x)=log a g(x) donde a es un número real a>0 llamado base. Su dominio es el conjunto de los números reales que hacen que g(x) sea positiva, i.e, D= { x!r / g(x) > 0}.Para hallarlo resolveremos la inecuación g(x)>0, igualándola a 0 en primer lugar lugar para hallar las raíces, y después viendo en que intervalos la función es positiva por el método de sustitución. Las funciones logarítmicas son continuas y derivables en todo su dominio. En general para la función Y=log a x el dominio es D== (0, +! ). Serán crecientes si a>1 y decrecientes si 0<a<1. Para representarla haremos una tabla con al menos 5 valores que pertenezcan al dominio. Es conveniente recordar algunas propiedades de los logaritmos: log a 1=0 el log a 0 no existe logb c =clogb logm n= logm+logn logm/n= logm-logn log a a=1 si la base(=a) es el número e, se escribe lnx si la base no aparece significa que es 10 4

5 1.-Halla el dominio de las siguientes funciones: Y=lnx y=ln(x-3) y=log(3-5x) y=log(1-x 2 ) 2.-Representa las siguientes funciones logarítmicas: y=log 2 x y=log 1/2 x y=lnx y=ln(1-x) y=ln(x 2-1) 5

6 4.- FUNCIONES RACIONALES. Su expresión analítica es de la forma f(x)=p(x)/q(x) donde P y Q suelen ser polinomios. El domino son todos los números reales que no hacen 0 el denominador, i.e., D= { x!r / Q(x) " 0} Para su calculo igualaremos a 0 el denominador, calcularemos las raíces y esos serán los valores que quitamos de R. Estas funciones son continuas y derivables en todo su dominio. La represtación grafica se estudiará más adelante. Halla el dominio de las siguientes funciones: F(x)= x g(x)= x 2! 1 x h(x)= 2 + x 3 x! 1 3 r(x)= log(1+ x) Y(x)= 3 + x 3 x 6

7 4.- FUNCIONES RADICALES. Su expresión analítica es de la forma f(x)= P(x), donde P(x) suele ser un polinomio. Su { }. dominio son todos los valores de R que hacen que P sea positivo o nulo, i.e, D= x!r / P(x) " 0 Por lo tanto se calculará como el dominio de los logaritmos teniendo en cuento la solución que hace cero a P(x) también formará parte del dominio. Estas funciones son continuas en todo su dominio y derivables en { x!r / P(x) > 0}, es decir, se excluyen las raíces de P(x), los valores que hacen que sea cero. Para representar las funciones radicales se construye una tabla con al menos 5 valores del dominio. Halla el dominio de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente. Y= 1! x y= x 2! 9 Y= x e y=!1! x 2 7