CAPITULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, ASIMETRIA Y CURTOSIS

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1 CAPITULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, ASIMETRIA Y CURTOSIS El conocmento de las meddas de centralzacón no es sufcente para caracterzar completamente a una dstrbucón por ejemplo: s las edades medas de dos grupos de personas fueran guales, esto no mplca que las edades en ambos grupos sean las msmas y esta gualdad en las medas persstrá aún cuando en un grupo todos tengan las msmas edades y en el otro grupo solo sean unos cuantos los que tenen mayores edades. Para caracterzar completamente una dstrbucón, es necesaro conocer cómo están dstrbudos los valores de la varable alrededor de un promedo. Son meddas de dspersón; cuantfcan el grado de concentracón o de dspersón de los datos alrededor de un promedo. Por qué estudar la dspersón? Una medda de dspersón se aplca para evaluar la confabldad del promedo que se está utlzando. Permte aprecar cuán dspersas están dos o más dstrbucones. Ejemplo: Observemos los sguentes tres conjuntos de datos: , , En el prmero, cuya meda es 3, notamos que los datos están muy concentrados alrededor de su meda. En el segundo, cuya meda es 15, los datos están menos concentrados alrededor de su meda. En el tercero, cuya meda es 30, los datos están más dstantes, más dspersos alrededor de su meda. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 47

2 4.1 EL RECORRIDO (AMPLITUD TOTAL O RANGO) (R) Es la dstanca entre los valores mámo y mínmo de la varable de una poblacón o muestra. Cálculo Datos no agrupados Cálculo Datos agrupados R Obs. Mayor - Obs. Menor Método 1 R M s - M M s : Marca de clase superor. M : Marca de clase nteror. Método R L s - L L s :Lmte superor del ntervalo más alto. L :Lmte nteror del ntervalo más bajo. 4. LA DESVIACION MEDIA Es el promedo de los valores absolutos las desvacones con respecto a la meda artmétca, medana u otra medda de tendenca central. Denomnada tambén como desvacón promedo, mde el promedo en donde los valores de una poblacón, o muestra, varían con respecto a su meda. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 48

3 Cálculo Datos no agrupados Cálculo Datos agrupados RESPECTO A LA MEDIA Para una muestra: RESPECTO A LA MEDIA Para una muestra: DM... n 1 n DM f m n f m : : observacones en la muestra. : meda muestral. n : tamaño de la muestra. : marca de clase del ntervalo, donde j vara de 1 a m. : meda muestral. f : frecuenca ntervalo. n : tamaño de la muestra. RESPECTO A LA MEDIANA Para una muestra: RESPECTO A LA MEDIANA Para una muestra: DM 1... n n DM 1 f1... m f n m : observacones en la muestra. : cualquer medda de tendenca central de la muestra (medana) n : tamaño de la muestra. : marca de clase del ntervalo, donde varía de 1 a m. : cualquer medda T.C. muestral, tal como la medana. f : frecuenca ntervalo. n : tamaño de la muestra. Característcas: El valor de la desvacón meda depende del valor de la varable en cada undad de la poblacón o muestra. Se puede calcular alrededor de la meda artmétca, medana o cualquer otra Medda de tendenca central. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 49

4 4.3 LA VARIANZA La varanza es una forma especal de desvacón promedo alrededor de la meda. Indca la varacón de las observacones en torno a su meda. Para una poblacón se denota por la letra grega σ y para una muestra por s. Para una muestra: Cálculo Datos no agrupados ( ) S n1 : observacones en la muestra. X : meda muestral. n : tamaño muestra. Para una poblacón: σ ( ) X μ N : observacones en la poblacón. μ : meda poblaconal. N : tamaño de la poblacón. Para una muestra: S Cálculo Datos agrupados ( ) n1 : marca de clase del ntervalo, donde varía de 1 a m. X : meda muestral. f : frecuenca ntervalo. n : tamaño muestra. Para una poblacón: σ ( X ) μ N X : observacones en la poblacón. f : frecuenca de clase. N: tamaño de la poblacón. f f Característcas: Suma de cuadrados y reglas elementales: constante, adtva, multplcatva. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 50

5 Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 51 Reglas Elementales CONSTANTE: ( ) V SC ADITIVA: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V MULTIPLICATIVA: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). E E ce c V c c c c c c c c c V V c E c V c

6 4.4 LA DESVIACION ESTANDAR La Desvacón Estándar es la raíz cuadrada postva de la varanza, es decr, σ para una poblacón y S, para una muestra. Cálculo Datos no agrupados Cálculo Datos agrupados Para una muestra: S ( ) n 1 Para una muestra: S ( ) n 1 f : observacones en la muestra. X : meda muestral. n : tamaño muestra. Para una poblacón: : Marca de Clase del ntervalo, donde varía de 1 a m. X : meda muestral. f : frecuenca ntervalo. n : tamaño poblacón. Para una poblacón: σ ( μ) X N σ ( X μ) N f X : observacones en la poblacón. μ: meda poblaconal. N: tamaño de la poblacón. X : observacones en la poblacón. f: frecuenca. N: tamaño de la poblacón. Característcas: Al gual que la varanza las característcas o propedades de la desvacón estándar se corresponden con las Reglas Elementales: constante, adtva y multplcatva. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 5

7 4.5 EL COEFICIENTE DE VARIACION Es un número abstracto que, denotado por CV, se obtene como cocente entre la desvacón estándar y su meda artmétca. Cálculo para Datos no agrupados y agrupados CV σ 100 μ para una poblacón S CV 100 para una muestra σ : desvacón estándar poblaconal. S : desvacón estándar muestral. μ : meda artmétca poblaconal. : meda artmétca muestral. COEFICIENTE DE VARIACION DE LA DESVIACION MEDIANA CV DM DM Me 100 CV DM : coefcente de varacón de la desvacón medana. DM : desvacón medana. Me : medana. Característcas: El coefcente de varacón es muy útl especalmente cuando se aplca a muestras homogéneas. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 53

8 4.6 ASIMETRIA O SESGO El grado de asmetría de la dstrbucón de frecuencas consttuye uno de sus caracteres de mayor mportanca. En la práctca cas nunca se encuentran polígonos de frecuencas o hstogramas completamente smétrcos, por lo cual, el grado en el cual la dstrbucón es asmétrca consttuye su sesgo. S una dstrbucón de frecuencas es smétrca, no tene sesgo, es decr, el sesgo es nulo. S una o mas observacones son grandes, la meda de la dstrbucón se vuelve mayor que la Me o la Mo, en tales casos se dce que la dstrbucón tene sesgo postvo. S una o más observacones muy pequeñas se encuentran presentes, la meda es la menor de los tres promedos y se dce que la dstrbucón tene sesgo negatvo. Obsérvese el sguente dagrama: Dagrama f 1. SIMÉTRICA X Me Mo f. SESGO POSITIVO M Me X Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 54

9 f 3. SESGO NEGATIVO X Me M Karl Pearson desarrolló una medda para desarrollar el sesgo de una dstrbucón denomnada coefcente de asmetría (C.A.). 3(meda medana) C.A. desvacón estándar Ejemplo: Las duracones de estándar en el pso de cancerología de un hosptal, se organzaron en una dstrbucón de frecuencas. La duracón meda fue de 8 días, la medana 5 días, y la duracón modal 3 días. Se calculó una desvacón estándar de 4. días. 1. Es la dstrbucón smétrca con sesgo postvo o sesgo negatvo?. Cuál es el coefcente de asmetría? Interprételo. Solucón: 1. Es asmétrca con sesgo postvo porque la meda es la mayor de los tres promedos.. Lo calculamos de la sguente manera: C.A 3(meda medana) desvacón estándar 3(8 5) Interpretando esto, el coefcente de asmetría por lo general se encuentra entre 3 y 3. En tal caso.14 ndca un grado mportante de asmetría con sesgo postvo. En aparenca unos cuantos pacentes cancerosos permanecen en el hosptal durante largo tempo, provocando que la meda sea mayor que la medana o la moda. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 55

10 4.7 CURTOSIS Permte medr el grado de la agudeza de una dstrbucón, es decr, para saber cuán agudo o plano es un polígono de frecuencas. Observemos los tpos de curtoss, en las sguentes gráfcas: En la fgura A se observa que ambas curvas son smétrcas y tenen la msma meda, mentras que una de las curvas es más cúrtca. La fgura B se le denomna mesocúrtca (ntermedo con punta). La fgura C se le denomna leptocúrtca (delgada con punta) y la fgura D se le denomna platcúrtca (aplanado con punta). A Su agudeza es mayor que la de esta curva C Curva leptocúrtca B Curva mesocúrtca D Curva platcúrtca El coefcente de curtoss de un grupo de datos, es una medda del apuntamento o aplastamento de su polígono de frecuencas, se defne como: (0,5)(C75 C C C ) en donde C 75 es el percentl 75, etc. Cuando el coefcente de curtoss tende a 0,5; esto es, s las dferencas C 75 C 5 y C 90 -C 10, son apromadamente guales, la curva se llama leptocúrtca. S el coefcente de curtoss tende a 0, esto es, cuando la dferenca C 75 C 5 es pequeña, respecto de C 90 -C 10, la curva se llama platcúrtca. S el coefcente de curtoss es apromadamente 0,5; esto es, s C 90 -C 10 es apromadamente el doble de C 75 C 5, la curva se llama mesocúrtca. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 56

11 4.8 APLICACIONES DE MEDIDAS DE DISPERSION En base al ejercco Nº 1, se tene: d. Desvacón Meda Desgnaremos por DM A : desvacón meda - Empresa A. DM B : desvacón meda - Empresa B Para datos agrupados, la desvacón meda se defne como: DM X 1 - X f 1 X m - X. f m n Entonces calcularemos las desvacones con respecto a la meda artmétca en valor absoluto y luego, las multplcaremos por sus respectvas frecuencas. Empresa A Salaros (S/.) Marcas de Clase X Frecuenca f X - X A X - X A X - X A. f Total n A Donde: X A S/. 110 Por lo tanto: DM A Este una desvacón promedo de de los sueldos percbdos por los empleados de la Empresa A, alrededor de la meda artmétca X A S/. 110 Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 57

12 Empresa B Salaros (S/.) Marcas de Clase X Frecuenca f X - X B X - X B X - X B. f Total n B Donde: X B S/..110 Entonces: DM B , 5 Hay una desvacón promedo gual a 699. de los salaros percbdos por los empleados de la Empresa B, alrededor de la meda artmétca X B S/. 110 Puesto que la DM B es mayor que la DM A, se concluye que los salaros de los empleados de la Empresa B están más dspersos alrededor de su meda artmétca que los salaros de los empleados de la Empresa A. e. Recorrdo (Ampltud de clase o Rango) Denotaremos por Recorrdo A : recorrdo de salaros - Empresa A Recorrdo B : recorrdo de salaros - Empresa B. Para datos agrupados, hay dos formas de calcular el recorrdo. 1ª. Forma : Recorrdo límte superor de la clase más altalímte nferor de la clase más baja. ª Forma : Recorrdo Marca de clase superor - Marca de clase nferor. Entonces para la: Empresa A 1ª Forma : Recorrdo A S/ ª Forma : Recorrdo A S/. 500 Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 58

13 Empresa B 1ª Forma : Recorrdo B S/ ª Forma : Recorrdo B S/. 500 Para ambas Empresas, A y B, los sueldos de los empleados osclan entre S/. 500 y S/ S elmnamos los valores etremos, tendríamos que los salaros de los empleados para las dos empresas, varían entre S/. 750 y S/ f. Varanza Desgnaremos por S A : varanza de salaros - Empresa A S B : varanza de salaros - Empresa B La fórmula de la varanza para datos agrupados es: S ( X 1 - X ). f 1 (X m - X ). f m n-1 Entonces, se deben calcular las desvacones al cuadrado con respecto a la meda artmétca y luego, multplcarlas por las frecuencas correspondentes. Empresa A Salaros (S/.) Marcas de Clase X Frecuenca f (X - X A ) ( X X A ) (X - X A ). f Total n A Por lo tanto, S A (S/.) 4 La varanza de los salaros de los empleados de la Empresa A es de (S/.). Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 59

14 Empresa B Salaros (S/.) Marcas de Clase X Frecuenca f (X - X B ) ( X X B ) (X X B ). f Total Así, S B (S/.) 4 En la Empresa B, la varanza de los salaros es de (S/.) ; la cual es mayor que en la Empresa A. g. Desvacón Estándar Sean S A : desvacón estándar de los salaros - Empresa A. S B : desvacón estándar de los salaros - Empresa B. Como la desvacón estándar es la raíz cuadrada postva de la varanza, es decr: S S Tenemos que: S A S S/ A S B S S/ B La desvacón estándar de los salaros de la Empresa B es mayor que la desvacón estándar de los sueldos de la Empresa A. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 60

15 h. Coefcente de Varacón S denotamos por CV A : Coef. de varacón - Empresa A. CV B : Coef. de varacón - Empresa B Sabemos que el Coefcente de Varacón, se calcula como: CV S X 100 Entonces, a partr de los resultados obtendos en (a) y en (f), sabemos que X A S/..110 y S A S/ X B S/..110 y S B S/ Reemplazando en la fórmula, obtenemos: CV A , CV B , ,8 A partr de estos resultados, puede aprecarse que s ben el ngreso promedo de los empleados en ambas empresas son guales, vemos que hay mayor dspersón en salaros que percben en la Empresa B. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 61

16 Que es un Error Estándar? Para la nferenca estadístca, dgamos una prueba estadístca y de estmacón, se necesta estmar los parámetros de la poblacón. La estmacón mplca la determnacón, con un error posble debdo al muestreo, del valor desconocdo de un parámetro de la poblacón, tal como la proporcón que tene una cualdad específca o el valor medo m de una certa medda numérca. Para epresar la eacttud de las estmacones de las característcas de la poblacón, se debe tambén calcular los errores estándar de las estmacones. Éstas son las meddas de eacttud que determnan los errores posbles que se presentan del hecho de que las estmacones están basadas en muestras escogdas al azar de la poblacón entera, y no en un censo completo de la poblacón. El error estándar es un estadístco que ndca la eacttud de una estmacón. Es decr, nos dce cuan dferente la estmacón (como) es del parámetro de la poblacón (como m). Por lo tanto, esta es la desvacón estándar de una dstrbucón muestral para un estmador como. Los sguentes son una coleccón de errores estándar para la etensamente usada estadístca: Error Estándar para la Meda s: S/n½. Como cualquera esperaría, el error estándar dsmnuye mentras que el tamaño de la muestra aumenta. Sn embargo la desvacón estándar de la estmacón dsmnuye por un factor del n½ no n. Por ejemplo, s usted desea reducr el error en 50%, el tamaño de la muestra debe ser 4 veces n, lo cual es costoso. Por lo tanto, como alternatva a ncrementar el tamaño de la muestra, se puede reducr el error obtenendo los datos de caldad el cual proporcona una estmacón más eacta. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 6

17 EJERCICIOS 1.- Cnco representantes de servco de clentes de una empresa electrónca, trabajaron durante las ventas del vernes. Las cantdades respectvas de vdeograbadoras que venderon durante las prmera cuatro horas de servco son: 5,8,4,10 y 3. a. Cuál es la ampltud total de los datos? b. Cuál es la meda artmétca? c. Cuál es la desvacón meda? d. Interprete la ampltud total..- El departamento de estadístca de una unversdad ofrece ocho cursos de estadístca básca. Las sguentes son las cantdades de estudantes nscrtos en tales cursos:34,46,5,9,41,38,36 y 8. a. Cuál es la ampltud total? b. Cuál es la meda artmétca de las cantdades de estudantes nscrtos en los cursos? c. Cuál es la desvacón promedo? d. Interprete la ampltud total 3.- Una empresa de equpos nstala abrdores automátcos para puertas de garaje. La sguente lsta ndca el número de mnutos necesaros para tal nstalacón en una muestra de 10 puertas:8,3,4,46,44,40,54,38,3y 4. a. Cuál es la ampltud total? b. Cuál es la meda artmétca? c. Cuál es la desvacón meda? d. Interprete esta desvacón promedo 4.- Una muestra de ocho compañías en la ndustra aerospacal fueron entrevstadas acerca de sus rendmentos sobre la nversón de un certo año. Los resultados son en porcentaje: 10.6,1.6,14.8,18.,1.0,14.8,1.y 15.6 a. Cuál es la ampltud total de los rendmentos? b. Cuál es la meda artmétca de los msmos? c. Cuál es la desvacón meda? Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 63