T. 5 Estadísticos de forma de la distribución
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- Juan Carlos Rubén Nieto Valverde
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1 T. 5 Estadístcos de forma de la dstrbucón 1 1. Asmetría 2. Apuntamento o curtoss Ya ha sdo abordado en temas precedentes el análss de la forma de la dstrbucón de frecuencas desde una aproxmacón gráfca. De hecho, se trata de la forma más drecta e ntutva de hacerse una dea acerca de la forma de la dstrbucón de una varable. Como se vo en su momento, conocer la forma de una dstrbucón resultaba relevante a la hora de decdr qué estadístcos de poscón y dspersón era oportuno utlzar con varables cuanttatvas. En cualquer caso, su examen va a aportar nformacón relevante por sí msma a la hora de descrbr a una varable. Ejemplo: Qué nos dce la forma de la dstrbucón de la varable Salaro actual que se muestra en el sguente hstograma?
2 En este tema se presentan dversos índces que permten cuantfcar esa forma de la dstrbucón, en concreto, dos facetas de la msma: la asmetría y el apuntamento (o curtoss) Asmetría La smetría (tambén denomnada sesgo) de una dstrbucón de frecuencas hace referenca al grado en que valores de la varable, equdstantes a un valor que se consdere centro de la dstrbucón, poseen frecuencas smlares. Es un concepto más ntutvo a nvel vsual, especalmente, s se observa una representacón gráfca (dagrama de barras, hstograma ) de la dstrbucón de frecuencas. Ésta será smétrca s la mtad zquerda de la dstrbucón es la magen especular de la mtad derecha. Ejemplos de dstrbucón smétrca: Meda y medana concden en las dstrbucones smétrcas. S sólo hay una moda (dstrbucón unmodal), el valor de ésta tambén será gual a las dos anterores En dstrbucones unmodales, el nvel de smetría se suele descrbr de acuerdo a tres grandes categorías: dstrbucones smétrcas, dstrbucones asmétrcas postvas (o asmetría a la derecha) y dstrbucones asmétrcas negatvas (o asmetría a la zquerda). Tomando como eje de referenca a la moda, estas categorías de asmetría venen defndas por el dferente grado de dspersón de los datos a ambos lados (colas) de ese eje vrtual. La cola más dspersa en el lado de los valores altos de la varable caracterza a la asmetría postva; s en el lado de los más bajos, a la asmetría negatva; y s la dspersón es gual o muy smlar a ambos lados, a una dstrbucón de frecuencas smétrca.
3 3 En caso de asmetría, los valores de la meda, de la medana y de la moda dferen. En concreto, s la asmetría es postva: X > Mdn Mo; s negatva: X < Mdn Mo. Ejemplo de las puntuacones de un grupo de sujetos en un test de habldades socales antes, durante y después de recbr 6 sesones de entrenamento en habldades socales. Antes ( X =3,26; Mdn=3; Mo=2) Durante ( X =4,97; Mdn=5; Mo=5) Después ( X =6,67; Mdn=7; Mo=8) A contnuacón se presentan dferentes índces estadístcos que permten cuantfcar el nvel de asmetría de una varable. Destacar antes que para varables categórcas no tene sentdo el plantear este tpo de índces, dado que no exste un orden ntrínseco a los valores de la varable. Ver, por ejemplo, los dos dagramas de barras de una msma dstrbucón de frecuencas de la varable Estado cvl en las que lo únco que se ha cambado es la poscón de las barras:
4 Frecuenca 10 Frecuenca Vudo/a Separado/a Soltero/a Casado/a Estado cvl 0 Soltero/a Casado/a Separado/a Vudo/a Estado cvl 1.1. Varables ordnales: el índce de asmetría ntercuartílco. El índce de asmetría ntercuartílco se basa en las dstancas entre los cuartles a fn de establecer un resumen de la asmetría de la dstrbucón. La fórmula es la sguente: As Q Q 3 1 ( Q3 Q2) ( Q2 Q1) Q3Q12Q Q Q Q Q Interpretacón: oscla entre -1 y 1, lo cual faclta su comprensón. Q 1 Q 2 Q 3 Q 1 Q 2 Q 3 Q 1 Q 2 Q 3 Q3 Q < Q Q Q 3 Q = Q Q Q 3 Q > Q Q As < 0 Asmetría As = 0 Smetría As > 0 Asmetría + Q3-Q1 Q3-Q1 Q3-Q1 Ejercco 1: Obtener el As Q3-Q1 para las dstrbucones de frecuencas de 3 grupos de 10 casos cada uno (A, B y C) que, en el desarrollo de una nvestgacón, cumplmentaron un test que constaba de 10 ítems, cada uno de los cuales era valorado con 1 punto s estaba ejecutado de forma totalmente
5 5 correcta, un 0 en cualquer otro caso. La puntuacón en el test para cada sujeto se obtenía como suma de las puntuacones de los ítems, pudendo por tanto osclar entre 0 y 10 (aunque la varable podría consderarse como cuanttatva, asúmase para este ejercco que es ordnal). Obtener tambén los respectvos dagramas de caja y bgotes. Grupo A Grupo B Grupo C Nota n n n Varables cuanttatvas: el prmer coefcente de Pearson y el coefcente de asmetría de Fsher. El prmer coefcente de Pearson se basa en la relacón exstente entre la meda y la moda en dstrbucones unmodales asmétrcas (ver más arrba). Su fórmula es la sguente: X Mo As 1 S X Interpretacón: los valores menores que 0 ndcan asmetría negatva; los mayores, asmetría postva; y cuando sea 0, o muy próxmo a 0, smetría. No está lmtado a un rango de valores. El coefcente de asmetría de Fsher se basa en las desvacones de los valores observados respecto a la meda. La nterpretacón de los resultados proporconados por este coefcente es gual a la del prmer coefcente de Pearson. La fórmula para su cálculo es la sguente: As F n 1 ( X X) 3 n S X 3 (versón para dstr. de frecuencas: As F n ( X X) 3 n S X 3 )
6 6 Acorde al tpo de varable que nos ocupa, el hstograma representa la mejor opcón en la vsualzacón de la asmetría de una varable, s ben, el dagrama de caja y bgotes tambén consttuye una opcón válda para tal fn. A contnuacón se presenta un ejemplo con ambos tpos de gráfcos superpuestos (Barón-López, 2005), en que se muestran 3 varables que lustran dstrbucones con dferente nvel de asmetría: x s 78 % x s 66 % x s 78 % x x x Tal como ya se destacó en el capítulo prevo, una ventaja mportante de los dagramas de caja y bgotes es la facldad para representar varos de ellos conjuntamente y, en consecuenca, para realzar comparacones entre dferentes dstrbucones. Ejemplo con las puntuacones en un test de mpulsvdad para un grupo de sujetos ntrovertdos y para otro grupo de extravertdos: Escala mpulsvtat N = 45 Introvertt 37 Extravertt Factor extraversó-ntroversó
7 7 Ejercco 2: La dstrbucón de frecuencas que se muestra a contnuacón corresponde a las puntuacones en un test de habldades socales aplcado a una muestra de 86 sujetos tras la tercera de ses sesones que recberon a fn de mejorar este tpo habldades. Valorar la asmetría de esta dstrbucón, con el prmer coefcente de Pearson. Puede verse el hstograma de esta dstrbucón de frecuencas más arrba en la ntroduccón de esta seccón ( Durante ). Frecuenca Porcentaje Porcentaje váldo Porcentaje acumulado 0 2 2,3 2,3 2, ,3 2,3 4, ,7 4,7 9, ,6 11,6 20, ,6 18,6 39, ,3 23,3 62, ,4 17,4 80, ,3 9,3 89, ,8 5,8 95, ,5 3,5 98, ,2 1,2 100,0 Total ,0 100,0 2. Apuntamento (curtoss) El apuntamento o curtoss de una dstrbucón de frecuencas no tene un referente natural como en el caso de la smetría, sno que se sustenta en la comparacón respecto a una dstrbucón de referenca, en concreto, la dstrbucón normal o campana de Gauss. En consecuenca, su obtencón sólo tendrá sentdo en varables cuya dstrbucón de frecuencas sea smlar a la de la curva normal en la práctca ello se reduce, báscamente, a que sea unmodal y más o menos smétrca. El apuntamento expresa el grado en que una dstrbucón acumula casos en sus colas en comparacón con los casos acumulados en las colas de una dstrbucón normal cuya dspersón sea equvalente (Pardo y Ruz, 2002). Así, de forma análoga a la asmetría, se dferencan 3 grandes categorías de apuntamento: - Dstrbucón platcúrtca (apuntamento negatvo): ndca que en las colas hay más casos acumulados que en las colas de una dstrbucón normal. - Dstrbucón leptocúrtca (apuntamento postvo): justo lo contraro. - Dstrbucón mesocúrtca (apuntamento normal): como en la dstrbucón normal.
8 Varables ordnales: el índce K 2. El índce K 2 se basa en la comparacón de la dspersón exstente en el 80% central de la dstrbucón con la exstente en el 50% central. Su fórmula es la sguente: K 2 P90 P10 1, 9 ( P P ) Interpretacón: valores gual o muy próxmos a 1 corresponden a una dstrbucón mesocúrtca (apuntamento como la dstrbucón normal); valores mayores que 1 ponen de manfesto que la dstrbucón es leptocúrtca (más puntaguda que la normal); mentras que s son menores que 1 ndcan que la dstrbucón es platcúrtca (más aplastada que la normal). Este coefcente no está lmtado a un rango de valores. Ejercco 3: Obtener el índce de apuntamento K 2 para la dstrbucón de frecuencas presentada en el ejercco 1 para las notas en el grupo B Varables cuanttatvas: el coefcente de apuntamento de Fsher El coefcente de apuntamento de Fsher se basa en las desvacones de los valores observados respecto a la meda. La fórmula para su cálculo es la sguente: Ap F ( X X) N S 4 X 4 3 (versón para dstr. de frecuencas: Ap F n ( X X) N S 4 X 4 3 ) Interpretacón: el valor de este coefcente para la dstrbucón normal será gual a 0, o sea que cualquer dstrbucón para la que se obtenga un valor de Ap F gual o próxmo a 0 sgnfcará que su nvel de apuntamento es como el de la dstrbucón normal (mesocúrtca). Valores mayores que 0, expresan que la dstrbucón es leptocúrtca, mentras que s son menores que 0 ponen de manfesto que la dstrbucón es platcúrtca. No está lmtado a un rango de valores.
9 9 Ejercco 4: Valorar la curtoss a partr del hstograma de la dstrbucón de la varable con las puntuacones en el test de habldades socales. En el msmo aparece superpuesta la curva suavzada de esta varable en el caso en que se dstrbuyese según la curva normal. Referencas: Barón-López, J. (2005). Boestadístca: métodos y aplcacones. Apuntes y materal dsponble en Rus, F., Barón-López, F. J., Sánchez, E. y Parras, L. (2006). Boestadístca: métodos y aplcacones. Dsponble en Pardo, A. y Ruz, M. A. (2002). SPSS: Guía para el análss de datos. Madrd: McGraw-Hll.
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