Tema 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Transcripción

1 Te SISTS D CUCIONS LINLS Sises de res ecucioes co res icógis So de l for: Ls lers i, ij i represe, respecivee, ls icógis, los coeficiees los érios idepediees L solució del sise es el cojuo de vlores de, que verific sus ecucioes Dos sises so equivlees si iee ls iss solucioes Discuir u sise es deerir sus posiiliddes de solució Puede ser: copile deerido, cudo el sise iee u úic solució copile ideerido, si iee ifiis solucioes icopile, cudo o iee solució éodos de resolució éodo de susiució s el ás eleel de los éodos de resolució Cosise e despejr u icógi e lgu de ls ecucioes llevr su vlor ls ors Se oiee sí u sise socido l priero pero co u ecució eos L discusió del sise iicil coicide co l del sise fil jeplo:, ( ) éodo de Guss Cosise e rsforr el sise iicil,, e oro equivlee él, de l for: llo se cosigue sudo o resdo ecucioes hs eliir l icógi de l ecució segud () ls icógis de l ercer ecució () l ercer ecució resule,, se deeri ls posiiliddes de solució del sise, pues: el sise es copile deerido (L icógi puede despejrse) Si José rí ríe edio

2 José rí ríe edio Si el sise es copile ideerido Si el sise es icopile No: Coo ls ecucioes puede reorderse, lo de eos es que el sise quede rigulr; lo ipore es dejr u ecució co u sol icógi or ecució co dos icógis L discusió se hce esudido l ecució que eg u sol icógi jeplos: , L solució del sise es,, l sise es copile ideerido, equivlee : 6 6 Hciedo, se iee: 6, Coo es flso, el sise propueso es icopile Solució edie l ri ivers Si llos, X B, el sise B X Si l ri es iverile ( ), l solució del sise es B X

3 José rí ríe edio jeplo: Coo, l ri de coeficiees es iversile, siedo Co eso, l solució del sise es: Regl de Crer Cudo el deerie de l ri de coeficiees es disio de cero (ri iversile), es ás cóodo plicr l regl de Crer, cu for geéric, pr sises, es: No: U deosrció de es regl puede verse e Sdseer, p 6 jeplo: Pr el sise erior: ; ; 6

4 Sises lieles e geerl Teore de Rouché Pr u sise ás grde, de ecucioes co icógis: (*) puede geerlirse culquier de los éodos esudidos pr sises de ecucioes co icógis No ose, pr su discusió es ás efic plicr el eore de Rouché, que dice: l codició ecesri suficiee pr que u sise de ecucioes lieles eg solució es que el rgo de l ri de coeficiees () se igul l rgo de l ri plid () so es: rgo de rgo de el sise es copile Ls rices de coeficiees plid so, respecivee, : : : :, : : : : : s rices suele escriirse jus; sí: : : : : : pue pr u deosrció: Se C, C,C B los vecores colu de l ri plid Si el sise (*) iee u solució (,,, ) C C C B Pero eso sigific que el vecor B dl de los vecores colu C, C,C Por o: rgo {C, C,C} rgo { C, C,C, B} Recíprocee, si rgo {C, C,C} rgo { C, C,C, B} r, eoces e l ri h r vecores colu li; supogos que se C, C,Cr; coo rgo {C, C,Cr} rgo { C, C,Cr, B} B dl de {C, C,Cr} C C Cr B,,,,,, es u solució del sise (*) Luego ( r ) Discusió: Si rgo de rgo de l úero de icógis, el sise es copile deerido: iee u úic solució Si rgo de rgo de r <, el sise es copile ideerido: iee ifiis solucioes, co r grdos de lierd Pr resolverlo se prescide de ls ecucioes sores; deás, h que rspoer r icógis juo los érios idepediees Si rgo de < rgo de, el sise es icopile Oservcioes: Nóese que r() r() siepre, pues l ri iee u colu ás que Si h eos ecucioes que icógis ( < ), el sise será copile ideerido o icopile Si h ás ecucioes que icógis ( > ), l eos hrá ecucioes sores, que será coició liel de ls ors José rí ríe edio

5 José rí ríe edio jeplos: Sise de ecucioes co icógis: Ls rices socids so: Coo r() L ri iee sólo fils, luego su rgo o puede or que Por o, r() cosecueci: r() r() el sise es copile deerido (Su solució se hll por culquier de los éodos esudidos s:,, ) Sise de ecucioes co icógis: (Oservció: si u sise iee ecucioes icógis sor lgu ecució) Ls rices socids so: (l rgo de o puede ser or, pero el de puede llegr vler ) ese cso, pr clculr los rgos coviee rsforr l ri (uscdo ceros): Luego, r() r() el sise es copile ideerido, equivlee : cu solució depederá del vlor que se dé l ideerid (L solució es:, ; o ie:,, )

6 6 José rí ríe edio Sise de ecucioes co icógis: Ls rices socids so: ( ese cso, o el rgo de coo el de puede llegr vler ) Trsfordo ls rices iiciles se oiee: l rgo de es, pues C C el eor de orde, l rgo de es, pues Coo r() < r(), el sise es icopile

7 José rí ríe edio Sises co uo o dos práeros Cudo lguo de los úeros coeficiees o érios idepediees que figur e u sise o esá deerido, se susiue por u ler lld práero esos csos h que discuir pr qué vlor o vlores del práero el sise iee solució o o L discusió se reli esudido coprdo los rgos de ls rices de coeficiees,, plid, (Teore de Rouché) jeplos: Vos discuir, e fució de los vlores del práero, el sise: Pr su discusió h que esudir los rgos de ls rices, dode es l ri de coeficiees l ri plid Por el eore de Rouché, el sise será copile cudo dichs rices eg el iso rgo; e cso corrio, el sise o edrá solució Co eso: l deerie de, desrrolldo por l ercer fil, es: ( )( ) se deerie vle si o (Solucioes de l ecució: ( )( ) ) Luego: Si r() r(), co lo que el sise será copile deerido Si, susiuedo e ls rices eriores, se iee: r() r() l sise es icopile (Osérvese que l ri iee dos fils uls, iers que sólo iee u fil ul) Si r() r() l sise es copile ideerido, co grdos de ideerició ese cso,, el sise qued {, cu solució es q p q p

8 8 José rí ríe edio Clsifiqueos e fució del práero R, el sise de ecucioes: Coo es, se esudi el rgo de ls rices l deerie de es: 8) )( ( 8 6 se deerie vle si o 8/ Co eso: Si 8/ r() r() l sise será copile deerido Si, se iee l rgo de es (Bs co oservr que h u eor de orde disio de ) Pr ver el rgo de clculos: Por o, el rgo de ié vle Luego, si, el sise es copile ideerido Si 8/, se iee 8 / 8 / l rgo de es Pr ver el rgo de clculos: 8/ Por o, el rgo de vle Luego, si 8/ el sise es icopile

9 Veos hor u sise co dos práeros Discue, e fució de los vlores de el siguiee sise de ecucioes: Se l ri de coeficiees l ri plid l sise edrá solució cudo r() r() ( )( ), luego: Si r() r(), idepedieeee del vlor de l sise será copile deerido L solució, que se puede hllr plicdo l regl de Crer, quedrá e fució de Si, se iee l rgo de es, pues el eor Rgo de : l eor Por o:, que vldrá cudo si el sise será icopile: r() r() si el sise será copile ideerido: r() r() Si, se iee 6 l rgo de es, pues el eor Rgo de : l eor Por o: 6, que vldrá cudo si el sise será icopile: r() r() si el sise será copile ideerido: r() r() Resuiedo: Si r() r(), idepedieeee del vlor de Si o el sise será icopile: r() r() si o el sise será copile ideerido: r() r() José rí ríe edio

10 José rí ríe edio Sises hoogéeos So de l for: (odos los érios idepediees so ulos) sos sises siepre so copiles, pues,,, es u solució del sise; es solució se ll rivil Tié es evidee que l ri es l plició de co u colu de ceros, lo cul o fec l rgo; luego r() r() Si r() úero de icógi, el sise es copile deerido Su úic solució es l rivil Si r() <, el sise será copile ideerido l sise hoogéeo edrá ifiis solucioes el cso de que eg el iso úero de ecucioes que de icógis deerá cuplirse que jeplos: l sise sólo iee l solució rivil,,,, pues el deerie de l ri de coeficiees, l sise es copile ideerido, pues el deerie de l ri de coeficiees, r() < el úero de icógis l sise es equivlee lgus solucioes de ese sise so: (,, ), (,, ), (,, ), ; urlee siepre esá l solució (,, )

11 José rí ríe edio Discusió de u sise hoogéeo co u práero Coo se h dicho erioree, los sises hoogéeos siepre iee solució Por o, l discusió de esos sises cosise e deerir cudo iee sólo l solució rivil cudo iee ifiis solucioes jeplo: Vos discuir el siguiee sise liel de ecucioes, segú los vlores del práero Resul ovio que el sise es hoogéeo L ri de coeficiees, ; ) ( si / Por o: Si /, r(), sise copile deerido L úic solució es l rivil:,, Si /, r() l sise es copile ideerido, equivlee, cu solució es 6 jeplo fil: Discuir resolver el siguiee sise de cuerdo co los vlores del práero Solució: Se l ri de coeficiees l ri plid l sise edrá solució cudo r() r() l deerie de, ) )( ( Discusió: Si ± r() r() l sise será copile deerido

12 José rí ríe edio Si, r() r(), pues, l sise es hoogéeo co ifiis solucioes Si, se iee: Los rgos so diferees, pues el eor Por o: r() r() sise icopile Resolució: Si ±, por l regl de Crer: ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ; ) )( ( ) ( Si el sise qued: Su solució es